动量守恒与能量守恒的综合应用

动量守恒与能量守恒的综合应用
100043北京市苹果园中学 岳建伟 李世凯
动量守恒与能量守恒的综合应用，一直以来是高中物理学习的重点知识和解题的难点所在。

对于该知识体系，我认为用好两个方程，建立好关系等式，是解决问题的良好途径。

另外，对于能量的种类有一个详尽的了解也是解决好该问题的关键。

高中物理学中涉及的能量种类一般有：动能，重力势能，弹性势能，电势能，内能等。

这些能量的计算都可以渗透到动量守恒与能量守恒综合应用的题目中。

一、动量守恒与弹性正碰
在2009年北京卷理综第24题即涉及动量守恒与弹性正碰，可以建立动量守恒与机械能守恒表达式：
'1
2'112211v m v m v m v m +=+ 1/2m 1v 12+1/2m 2v 22=1/2m 1v 1，2+1/2m 2v 2，2
例如：一个运动物体，碰撞一个静止的物体，如果满足弹性正碰，则可建立如下方程：
'12'1111v m v m v m +=
1/2m 1v 12
=1/2m 1v 1，2
+1/2m 2v 2，2
通过方程求解，可以得到碰后两个物体的速度如下：
v 1，
=（m 1-m 2）v 1 /（m 1+m 2） v 2，
= 2m 1v 1 /（m 1+m 2） 讨论有以下四点：
1.如果1m 大于2m ，即有v 1，
大于0，v 2，
也大于0，但v 1，
小于v 2，
，即水平面上不可能碰撞第二次；
2.如果m 1=m 2 ,则 v 1，=0 v 2，
= v 1 即交换速度（动量）；
3.如果m 小于 m 2，即有v 1，小于0，v 2，
大于0，即质量小的物体碰撞质量大的物体，质量小的物体反弹；
4.如果m 1<< m 2，则v 1，= -v 1 v 2，
= 0。

即如果没有动能损失，质量很小的物体碰撞质量很大的物体，质量小的物体以原速率反弹，质量很大的物体不动。

如在没有动能损失时，弹性小球碰地球。

二、动量守恒与动能和重力势能的守恒
【例】一凹槽的弯曲部分为一个四分之一的光滑圆面，底边与光滑水平面相切，其质量为M ，在凹槽
弯曲部分的顶部有一个质量为 m 的小球，从静止释
放，问小球离开凹槽后，二者的速度各多大？
分析：有已知条件可知，相互的支持力和压力为系统物体的内力，系统所受的外力的合力为0，（一维）动量守恒，属于静止反冲的题型，但二者的动能来自何方呢？通过判断得知，来自小球的重力势能。

建立等式如下：
0= mv 1-Mv 2
Ep=mgR=1/2mv 12+1/2Mv 22
即可解出v 1和v 2的大小。

发散思维：一个小球如果以某一初速度冲上如上的凹槽，解法非常相似。

三、动量守恒与动能和弹性势能的守恒
【例】光滑水平面上，一个质量为m的物块以v0的速度撞上一静止的物体M上，在该物体前有一处于原长的轻弹簧，当物块碰到轻弹簧后，求弹簧的最大弹性势能为多大？
分析：弹力为系统的内力，系统所受的外力的合力为0，符合动量守恒的条件。

弹性势能最大时，二者处于共速的状态，而能量关系为：初态为物块m的动能，末态的总能量为两个物体共速的动能与最大弹性势能之和。

建立关系式如下：
mv0=（m+M）v
1/2mv02=1/2（m+M）v 2+E弹
即可解出最大弹性势能。

讨论：
1．若弹簧恢复原长，二者的关系式可以用本文的论点一的内容解决。

2．如果本题的初始条件改为弹簧处于压缩状态，然后推开两个物体，二者的关系式可以用本文的论点二的内容解决。

只要把重力势能换成弹性势能即可。

3．本题还可以发散到小于最大弹性势能值的任意值的情况，建立方程的方法完全一样。

四、动量守恒与动能和内能的守恒
【例】如图所示，质量为M的长木板静置于光滑水平面上，一质量为m的小铅块（可视为质点）以水平初速v0由木板左端滑上木板，铅块滑至木板的右端时恰好与木板相对静止，此时，它们共同的速度为v。

已知铅块与长木板间的动摩擦因数为μ，木板长为l，在此过程中，木板前进的距离为s。

求此过程系统产生的内能为多大？
分析：小铅块滑上木板，摩擦力为内力，系统所受的外力的合力为0，符合动量守恒的条件。

而能量关系为：初态为物小铅块的动能，末态的总能量为两个物体共速的动能与系统产生的内能之和。

建立关系式如下：
mv0=（m+M）v
1/2mv02=1/2（m+M）v 2+E内
即可解出内能的大小。

讨论：
１．细心的读者会发现，本题与论点二的内容非常相似，其实除能量的形式不一样外，本质的内容完全一样。

２．本题解出的内能，不是小铅块也不是木板内能，而是系统产生的内能，即二者的内
能之和。

３．本题发散的角度有：
１）利用所得的系统产生的内能，可以建立如下等式： E 内=ｆｓ相对
２）在电场中也应用以上规律。

【例】 如图所示，在光滑绝缘的水平面上有两个相距无穷远的带电小球A 、B ，两球带同种电荷，A 球质量为m 以速度0v 2向右运动，B 球质量为4m 以速度0v 正对着A 向左运动。

设两球始终未相撞，求：
（1）当两球相距最近时，A 球的速度；
（2）系统的最大电势能。

分析 （1）A 、B 球组成的系统动量守恒 当两球相距最近时具有共同速度v 由动量守恒 v m m mv mv )4(2400+=-
05
2
v v = 0A v 52v =
（2）根据能量守恒 系统最大电势能
2B A 2B B 2A A max v )m m (21v 2m v 2m E +-+=
2
202020max
mv 5
18)v 52()m 4m (21v 2m 4)v 2(2m E =⋅+-+= 综上所述，应用动量守恒与能量守恒的关系式时，首先认清能量的种类，其次明确能量
的来龙去脉，即打那里来，到那里去。

也可总结成一句话：分清过程抓状态。

即可把上述问题迎刃而解。

【针对训练】 1．相向运动的A 、B 两辆小车相撞后，一同沿A 原来的方向前进，这是由于 （ C ） A 、A 车的质量一定大于B 车的质量 B 、A 车的速度一定大于B 车的速度 C 、A 车的动量一定大于B 车的动量 D 、A 车的动能一定大于B 车的动能
2、在水平气垫导轨上，A 、B 用轻弹簧相连，今将弹簧压缩后用轻绳系在A 、B 上，然后以恒定速度v 0向右运动，已知A 、B 的质量分别为m 1、m 2，且m 1< m 2，滑动中轻绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，滑块A 的速度刚好为零，气垫导轨对AB 的阻力可视为零，求：
（1）此时B 的速度(2
21)(m V m m +)
（2）绳断到弹簧第一次恢复到自然长度过程中弹簧释放的弹性势能
(2
02
2112)(V m m m m +=
弹ε)
（3）在以后的运动过程中滑块B 的速度是否有等于零的时刻，试通过定量分析来证明你的结论。

(没有.否则弹性势能为负值)
v 0
A
3．质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，平衡时，弹簧的压缩量为x 0，如下图所示，一物块从钢板正上方距离为3x 0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘
连，它们到达最低点后又向上运动，已知物块质量也为m 时，它们恰能回到O 点。

若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离。

(0.75X 0)
4．在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。

这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。

两个小球A 和B 用轻质弹簧相连，在光滑的导轨上处于静止状态。

在它们的左边有一垂直于导轨的固定挡板P ，右边有一小球C 沿轨道以速度v 0射向B 球，C 与B 发生碰撞并立即结合成一个整体D 。

在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变得最短时，长度突然被锁定，不再改变。

然后A 球与挡板P 过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失）。

已知A 、B 、C 三球的质量均为m 发生碰撞，碰后A 、D 都静止不动，A 与P 接触而不粘连
（1）求弹簧长度刚被锁定后A 球的速度(02
1V )
（2）求在A 球离开挡板P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能(
2036
1
mV ) （3）A 球离开档板后的运动过程中所能达到的最大速度是多少(
039
2
V )
5．如图所示，A 为固定光滑导轨，其底部水平。

并与小车B 等高，小车B 放在光滑的水平面上，并靠在导轨A 的右端，物体C 从导轨A 上高为1m 处自由滑下，并滑上B ，设物体C 与小车B 的质量均为1kg ，小车A 的高度为0.2m ，当小车固定时，物体C 落地时与小车右端的水平距离为0.6m 。

那么当小车可以在水平面上自由滑动时（其它条件不变）物体C 落地时与小车右端的水平距离是多少？(0.32m)
6．小车的质量为M ，小车上铁块的质量为m
小车之间的动摩擦因数为μ，开始时小车与一起以速度v 向左运动，与竖直的墙壁发生碰撞，设小车与墙壁之间的碰撞时间极短，且无机械能损失，试问： （1）小车能否与墙壁发生多次碰撞（能,总动量向右）
（2）第一次碰撞后小车能向右运动的最大距离是多少（mg
MV S m μ22
=）
（3）最终铁块与小车之间的相对位移是多少？(
mg
V
M m μ2)(+)。