弹性力学----基本方程

ji, j Fbi 0
位移与应变几何方程 6个
ij
1 ui 2 x j
u j xi
应力与应变物理方程 6个
σ= Dε
第一节 基本方程
待解未知函数:
空间问题 应力分量 6个 应变分量 6个
未知函数15个，方程数 也为15个。位移和应力 还应该满足单值条件
位移分量 3个 边界条件 应力边界条件：在边界上给定外力，应力应满足 应力边界条件。
第四章 基本方程
弹性静力学的问题构成了偏微分方程组 的边值问题，根据应力或位移为求解的未知 函数进行简化，得到基本方程。直接求解一 般是十分困难的，还需要进一步简化为平面 问题和对称问题。基本方程还为弹性力学的 数值解法奠定了基础。
第一节 第二节
基本方程 基本方程的意义
第一节 基本方程
求解方程: 应力平衡方程 3个
2 2x
1 1
(
2
)
Fb x
x
Fb y y
Fb z z
(1 )2 y
2 2 y
1 1
(2
)
Fb y
y
Fb z z
Fb x x
(1 )2 z
2 2z
1 1
(2
)
Fb z
z
Fb x x
Fb y y
(1 )2 yz
2 yz
(1
)
Fb y
z
Fb y z
(1 )2 zx
2 zxBiblioteka (1 ) 2y
2v Fby
0
E 2(1
)
1
1
2
z
2
w
Fbz
0
其中 x y z 称为体积应变。
边界条件：应力边界条件（可用位移表示）
位移边界条件 混合边界条件
第一节 基本方程
力法：力法以应力分量为未知函数
平衡方程仅含应力分量，但方程数只有3个，未知函数有 六个，因此需要补充方程。
Fb x z
Fb z x
(1 )2 xy
2 xy
(1
)
Fb x
y
Fb x y
x y z
边界条件：由于位移边界条件一般难于化为应力边界
条件，因此只能解应力边界条件，不能解位移边界和
混合边界条件。
第一节 基本方程
第二节 基本方程的意义
弹性力学基本方程建立了弹性 力学问题的数学模型，为求解弹性 力学奠定了基础。虽然这些方程的 直接求解十分困难，只有小部分可 以得到分析解，这些解已经有了广 泛的应用，更为重要的是这些方程 的建立为有限元、边界元等数值计 算提供了基础。
位移边界条件 在边界上的位移应等于给定位移。
混合边界条件既有应力边界，又有位移边界。
第一节 基本方程
基本方程的解法
上述如此庞大的偏微分方程组
的求解是不方便的，通常消去部分
未知数，分为位移法和力法。
x
E
1
1
2
u x
位移法：以位移为未知量
将几何方程
ij
1 2
ui x j
u j xi
y
E
1
w z
将右边后三式分别对x,y,z求导，
yz
1 2
w y
v z
zx
1 2
u z
w x
xy
1 2
v x
u y
后两式相加减去第一式，再对x
求导，得
第一节 基本方程
类似可以得到另外两个方程
将上面得到的六个方程中的应变分量用用应 力分量代替，简化后得到密切尔相容方程
第一节 基本方程
其中
(1 )2 x
补充方程可由位移应变方程中消去位移得到，称为变形协 调条件，由此可得到相容方程。
x
u x
y
v y
z
w z
yz
1 2
w y
v z
zx
1 2
u z
w x
xy
1 2
v x
u y
将二、三式分别对z,y
求二阶导数再相加，得
第一节 基本方程
类似可以得到另外两个方程
第一节 基本方程
x
u x
y
v y
z
弹性力学基本方程的求解一般 是在一定条件下，对问题进行简化 ，化简方程再进行求解，简化后一 般可分为平面问题，轴对称问题、 球对称问题。
1
2
v y
z
E
1
1
2
w z
yz
E
2(1 )
w y
v z
代入物理方程
σ= Dε
得到右式
zx
E
2(1
)
u z
w x
xy
E
2(1 )
v x
u y
第一节 基本方程
再代入平衡方程，就得到位移形式的平衡方程，称
为拉密方程
E 2(1
)
1
1
2
x
2u
Fbx
0
E 2(1
)
1
1