Z8_4三重积分的概念及计算
三重积分的概念和计算方法
三重积分的概念和计算方法三重积分是数学中的一个重要概念，是在三维空间中求解某个空间区域内函数值的方法。
本文将介绍三重积分的基本概念以及常见的计算方法。
1. 三重积分的概念三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算，用于描述空间区域内某个物理量的总量。
在三维空间中，我们将积分区域分成无限个微小的体积元，通过将这些微小体积元叠加起来，就可以计算出整个积分区域内函数值的总和。
2. 三重积分的符号表示三重积分通常用∬∬∬f(x,y,z)dxdydz表示，其中f(x,y,z)为被积函数，dxdydz表示积分元，代表了积分的区间范围。
3. 三重积分的计算方法在计算三重积分时，需要确定积分的区域以及被积函数的表达式。
3.1 直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，我们常用直角坐标系(x, y, z)来描述三维空间的位置。
对于一般的积分区域，可以通过确定积分的上下限来确定积分的范围。
3.1.1 矩形坐标系中的三重积分计算方法对于矩形坐标系中的三重积分，可以根据积分区域的形状选择合适的积分顺序，并通过嵌套积分的方式来计算。
常见的积分顺序有xyz、xzy、yxz、yzx、zxy和zyx六种情况，具体选择哪种积分顺序需要根据具体问题进行分析和判断。
3.1.2 柱坐标系中的三重积分计算方法在柱坐标系中，我们用ρ、φ和z来描述空间的位置。
对于圆柱形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合柱坐标系的变换公式进行计算。
3.1.3 球坐标系中的三重积分计算方法在球坐标系中，我们用r、θ和φ来描述位置。
对于球形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合球坐标系的变换公式进行计算。
4. 三重积分的应用领域三重积分在物理、工程、几何等领域都有着广泛的应用。
常见的应用包括计算空间体积、质量、质心、转动惯量、质心坐标等。
5. 三重积分的计算实例为了更好地理解和掌握三重积分的计算方法，我们举一个简单的实例来进行说明。
三重积分及其计算教学材料
x y
球面坐标下的体积元素
元素区域由六个
z
坐标面围成:
半平面 及+d ;
半径为r及r+dr的球面;
圆锥面及+d. rsind
圆锥面
球面r+dr
r
圆锥面 +d
0
d
y
x
球面坐标下的体积元素
元素区域由六个
z
坐标面围成:
半平面 及+d ;
半径为r及r+dr的球面;
圆锥面及+d. rsind
dv = r2sindrdd r
例2: 计算 xdxdyd,其z中 是三个坐标面与
平面x+y+z=1所围成的区域.
解: 画出 在xoy面上的投影区域
z x+y+z=1
Dxy: 0 y 1–x, 0 x 1, 平行于z 轴直线穿过的下曲面为z=0, 上曲面为z=1–x–y, 有 0 z 1–x–y.
xdxdydz
o Dxy x+y=1 y
2, , n), 并作和 n
f(i,i,i)vi
i1
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 该
和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在闭区域
上的三重积分, 并记为f(x,y,z)d,v即
n
f(x,y,z)d vl i0m i 1f(i,i,i)vi
其中dv 称为体积元素, 其它术语与二重积分相同.
同样有: 闭区域上的连续函数一定可积.
①先单后重:
z
z=z2(x, y)
设闭区域 在xoy面的投
影为闭区域Dxy .
在闭区域Dxy内任取一点
三重积分的概念与计算
方法2. “先二后一”
方法3. “三次积分”
具体计算时应根据
三种方法(包含12种形式)各有特点,
被积函数及积分域的特点灵活选择.
例1.化 为三次积分, 由曲面
及平面 围成.
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
的密度函数 ,
方法:
方法1. 投影法 (“先一后二” ) ；
记作
方法2. 截面法 (“先二后一”)
为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
面密度≈
记作
投影法
方法3. 三次积分法；
设区域
利用投影法结果 ,
把二重积分化成二次积分即得:
小结: 三重积分的计算方法
被积函数形式简洁, 或
坐标系 体积元素 适用情况
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
* 说明:
三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:
对应雅可比行列式为
变量可分离.
围成 ;
1. 将
用三次积分表示,
其中由
所
提示:
思考与练习；
六个平面
围成 ,
2. 设
存在,
称为体积元素,
若对 作任意分割: 重积分.
在直角坐标系下常写作
下列“乘
积和式” 极限；
记作
性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
例如:当 时, 为立体 的体积。
感谢您的观看
第三节…
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
…
三重积分的概念与计算；
第九章
一、三重积分的概念
类似二重积分解决问题的思想, 采用
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
(优选)三重积分的概念与计算
a b( 1
z2 c2
)dz
4 15
abc3
补充：三重积分对称性：
1、变量位置对称性：
设由( x, y, z) 0表示，若( y, x, z) 0仍
表示，则 f ( x, y, z)dv f ( y, x, z)dv.
例：：x2＋y2＋z2 a2 ,则
f ( x)dv f ( y)dv f (z)dv
O
方法2. 截面法 (“先二后一”)
c2 f ( x, y, z)dv dz f ( x, y, z)dxdy
D
c1
Dz
z
特别适用于积分区域中一坐标 的范围易获得，截面范围易表 示的情况。
特别对
f
(z)dv更有效（＝ c2 c1
f
(z)SDz dz）。
例3. 计算三重积分 zdxd ydz, 其中 为三个坐标
1x
O 1z
注：此题可用投影法求解．
例4.计算三重积分 zdxdydz 其中 是上半椭球体
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1.
解： : 0 z c,
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2
.
c
则 zdxdydz 0 zdz dxdy
Dz
z c
Dz
z
xa
by
而
dxdy SDz
Z2(x,y)
f ( x, y, z)dv
f ( x, y, z)dzd
D Z1( x, y)
d
x2 ( y)
z2 ( x, y)
dy
dx
f ( x, y, z)dz.
c
x1 ( y)
z1 ( x, y)
三重积分的概念与计算
115页 3, 4, 6, 12, 13
第三节
第九章
三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
一、三重积分的概念
引例: 设在空间有界闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x,y,z) C ,求分布在 内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
d x2(y) z2(x,y)
dy dx f(x,y,z)d.z
c x1(y) z1(x,y)
同理可得用x平 （行 或 y） 于轴的直线 如穿 不多于两 上点三重积分x可 (或先 y)积对分， 再对 yo(z或xo)z面上区域作二重 开积 即分 可展 。
例.计算三重积分 xdxdydz,其中 为三个坐标
,其中
由锥面
z
x2y2z2,
及平面z 1围成.
解：
:
x2 y2 z 1
x 2 y 2 1
x2y2 z2
y x x2y21
I dxdy Dxy
1 x2y2
x2
1 y2
1dz
Dx
y
1 x2
x2 y2 y2 1
dxdy
极坐标 2d 1rr2 dr
0
0 1r2
2
1 1r 0(1r2
I dxdy f(x,y,z)dz
Dxy
0
xy1
x
1 1x x y
O
0dx 0 dy 0 f(x,y,z)dz
方法2. 截面法 (“先二后一”)
z
设在z轴上的投影[区 c1,间 c2] 为 c 2
平z面 z（常数 的 ） 截 截 D 面 z 为z 它在xoy坐标面上的投影也记 Dz 为D z c 1
三重积分的概念及其计算
= ∫ dx
a
∫
dy
∫
f (x, y, z )dz
y1(x )
z1 ( x , y )
所以有
∫∫∫ f (x, y, z )dV
D
= ∫ dx
a
b
y2 ( x )
∫
z 2 ( x ,y )
dy
∫
f (x, y, z )dz (2)
y1 (x )
z1 ( x , y )
公式 (2) 将三重积分化为先 z , 后 y , x 的三次积分 同理对于区域
I =
∫−1 dx ∫x
1
1
2
dy ∫
x 2 +y 2
0
f (x , y , z )dz
.
例 化三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz 为三次积分
Ω
Ω : z = xy 与 x + y = 1, z = 0 所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
1
.
x
例 化三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz 为三次积分
Ω2
z = x2 + y2 + 1
y
x+ y = 4
.
1
o
4
x
例 计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z)dxdydz
z Ω: 曲面 z = x + y 2 + 1,平面 x + y = 4 及三个坐标面所围区域
Ω2
取第一卦限部分
z = x2 + y2 + 1
y
Z8-4三重积分的概念及计算PPT课件
x r cos y r sin
zz
坐标面分别为
0 r
0 2π
z
z z
M (x, y, z)
r 常数
常数
z 常数
2021/4/8
圆柱面 半平面 平面
O
y
(x, y,0)
xr
11Leabharlann 目录 上页 下页 返回 结束2.利用柱面坐标计算三重积分
z
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
“分割, 近似, 求和, 求极限”
可得
n
M
lim
0
(i ,i , i )Vi
i 1
Vi
(i ,i , i )
2021/4/8
2
目录 上页 下页 返回 结束
定义 设 f (x, y, z) , (x, y, z) Ω , 若对 作任意分割:
Vi ( i 1, 2 , , n), 任意取点 (i ,i , i ) Vi , 下列
积和式” 极限
“乘
n
记作
lim
0
i 1
f (i ,i , i )Vi
f (x, y, z)dV
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dV称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
中值定理. 设 f (x, y, z)在有界闭域 上连续, V 为 的
2
解: I x2 d x d y d z 5 xy2 sin x2 y2 d x d y d z
2021/4/8
8
8
19
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
坐标系
重积分的三重积分和四重积分
重积分的三重积分和四重积分重积分是数学中的一项重要概念，它在很多学科中都有广泛应用。
其本质是对多元函数在一个区域上求积分，常见的有二重积分、三重积分和四重积分。
本文将着重介绍三重积分和四重积分的概念和计算方法。
一、三重积分三重积分是对三元函数在三维空间内一个有界区域上的积分。
具体来说，设有一个三元函数$f(x,y,z)$，要求在空间域$D$上对它进行积分，那么三重积分的表达式是：$$\iiint\limits_Df(x,y,z)\mathrm{d}V$$其中，$\mathrm{d}V$表示空间域$D$内的体积元素。
对于一般的空间域$D$，三重积分的计算可以采用积分区域分割法、柱坐标系和球坐标系等方法，这里以柱坐标系为例介绍常用的计算方法。
柱坐标系下，三元函数$f(x,y,z)$可以表示为：$$f(x,y,z)=f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)$$其中，$r=\sqrt{x^2+y^2}$，$\theta$表示$xOy$平面与$x$轴的夹角。
计算三重积分时，需要把球面$D$分解成由柱面、底面和上底面构成的区域，对于每一部分再分别进行积分，最终求和即可。
求和时需要注意各个部分积分时的积分限和积分变量。
二、四重积分四重积分是对四元函数在四维空间内一个有界区域上的积分。
与三重积分类似，四重积分的表示形式是：$$\iiint\limits_Df(x,y,z,t)\mathrm{d}V$$其中，$\mathrm{d}V$表示空间域$D$内的体积元素。
求四重积分可以采用积分区域分割法、柱坐标系和球坐标系等方法。
在柱坐标系下，四元函数$f(x,y,z,t)$可以表示为：$$f(x,y,z,t)=f(\rho\sin\theta\cos\phi,\rho\sin\theta\sin\phi,\rho\cos\th eta,t)$$其中，$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，$\theta$表示$xOy$平面与$x$轴的夹角，$\phi$表示以$z$轴为对称轴的旋转角度。
三重积分
10
三重积分
二,三重积分的计算
1. 在直角坐标系下计算三重积分 在直角坐标系中, 在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的 平面的来划分 , 则 vi = x j yk zl . 直角坐标系下的体积元素为 ( vi是小长方体 ). 故直角坐标系下的体积元素为
dv = dxdydz
在直角坐标系下三重积分可表为 在直角坐标系下三重积分可表为
关于xOz坐标面对称 的奇函数 或 关于坐标面对称 , f是z的偶函数 的奇函数 关于xOy 1关于 关于关于xOz坐标面对称 , f是y, f是y
而得结果为零. 而得结果为零
1
6
三重积分
(2) 若域 关于两个坐标面 yOz, xOz都对称 ,
则∫∫∫ f ( x , y , z )dv
0 = 4∫∫∫ f ( x , y , z ) d v f 同为 x, y的偶函数 2 在第一,五卦限部分的区域 五卦限部分的区域. 其中 2是 在第一 五卦限部分的区域 例 设域为 x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 ,
a
b
∫z ( x , y )
1
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )dz
注
这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多两点情形. 相交不多两点情形
如何写出当D为 型闭域 型闭域时 如何写出当 为Y–型闭域时, 三重积分 化为三次积分的公式
14
三重积分
21
三重积分
例 计算三重积分 ∫∫∫ zdxdydz ,其中为
三个坐标面及平面 x + y + z = 1所围成的闭区域 . 所围成的闭区域
解 截面法(先二后一法) 截面法(
三重积分的概念和方法
在数学中，三重积分可用于求解某些偏微分方程的定解问题，以及研 究多元函数的性质和行为。
02
三重积分的计算方法
先一后二法
投影法
首先将三重积分投影到某个坐标 面上，然后依次对投影区域进行 二重积分和一重积分。
截面法
通过垂直于某个坐标轴的平面截 取积分区域，对每个截面进行二 重积分，再对截面变化的一维参 数进行一重积分。
计算物体质量
三重积分也可以用于计算物体的质量 ，方法是对物体的密度函数进行三重 积分。
如果物体的密度是均匀的，那么三重 积分的结果就是物体的体积乘以密度 ；如果物体的密度是不均匀的，那么 需要对不同部分的密度进行不同的三 重积分，然后将结果相加得到总质量 。
在实际应用中，三重积分计算物体质 量的方法被广泛应用于地球物理、材 料科学、生物医学等领域。
这一性质表明，三重积分具有线性性，可以对被积函数进行线性组合，并分别对每个函数进行积分。
可加性质
三重积分具有可加性，即对于同一积分区域Ω 上的两个被积函数f(x,y,z)和g(x,y,z)，有 ∭[f(x,y,z)+g(x,y,z)]dxdydz=∭f(x,y,z)dxdydz +∭g(x,y,z)dxdydzintintint [f(x,y,z)+g(x,y,z)]dxdydz = intintint f(x,y,z)dxdydz + intintint g(x,y,z)dxdydz∭[f(x,y,z)+g(x,y,z)]dxdydz=∭ f(x,y,z)dxdydz+∭g(x,y,z)dxdydz。
先二后一法
转化为累次积分
首先将三重积分转化为某个变量的一 重积分，然后对剩余的两个变量进行 二重积分。
三重积分的概念,计算,应用
z = 1−r2
Drθ
∫∫ rdrdθ ∫
Drθ
0
zdz = ∫
0
1 π 2 dθ ∫ r (1 − r )dr = 02 4
=
∫∫ dxdy ∫
D xy
z2 ( x, y )
z1 ( x , y )
三、三重积分的一般计算
1. 先一后二法
x= x2(y, z)
x
同理： 同理：
o y Dyz
x = x1 ( y, z )
z
(y,z) y,z)
若Ω = {( x, y, z ) | ( y, z ) ∈ Dyz , x1 ( y, z ) ≤ x ≤ x2 ( y, z )}, Dyz = PrjYZ Ω 则 : ∫∫∫ fdv =
Ω Ω
VΩ = Ω 的体积，则： m ⋅ VΩ ≤
∫∫∫ f ( x, y , z ) dv ≤ M ⋅ V
Ω
这些性质与 二重积分类 似！
Ω
三、三重积分的一般计算
1. 先一后二法
z = z2(x, y)
z
设f ( x, y, z )在Ω上连续，Ω如图：
o
z = z1 ( x, y )
y
Dxy = PrjXY Ω, 且∀( x, y ) ∈ Dxy时：z1 ( x, y ) ≤ z ≤ z2 ( x, y ) x Dxy
x2 y2 z 2 求I = ∫∫∫ z 2 dxdydz, 其中Ω : 2 + 2 + 2 ≤ 1 例2 a b c Ω
zc
z o Dz
解：)将Ω向Z轴投影得： c ≤ z ≤ c (1 − (2)用平面z = z截Ω得截面投影区域：
三重积分的积分性质和计算规则
三重积分的积分性质和计算规则三重积分是数学中的一个重要概念，它在物理、工程、计算机科学等领域被广泛应用。
三重积分的计算需要掌握一些性质和规则，本文将详细介绍三重积分的积分性质和计算规则，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、三重积分的定义三重积分是指对三维空间内的一个体积区域进行积分运算，其数学表达式为：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V$$其中，$V$ 表示积分区域，$f(x,y,z)$ 表示被积函数，$\mathrm{d}V$ 表示体积元素。
二、三重积分的积分性质1. 可积性若$f(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上连续，则其在 $V$ 上可积。
2. 线性性设$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上可积，$k$为常数，则有：$$\iiint\limits_{V}(kf(x,y,z)+g(x,y,z))\mathrm{d}V=k\iiint\limits_ {V}f(x,y,z)\mathrm{d}V+\iiint\limits_{V}g(x,y,z)\mathrm{d}V$$3. 保号性设$f(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上可积，则有：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V\geq0$$当且仅当 $f(x,y,z)$在 $V$ 上恒为 $0$ 时，等号成立。
4. 区域可加性设积分区域 $V$ 可以分成若干个不相交的子区域$V_1,V_2,\cdots,V_n$，则有：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\sum_{i=1}^{n}\iiint\limi ts_{V_i}f(x,y,z)\mathrm{d}V$$三、三重积分的计算规则1. 直角坐标系下的计算在直角坐标系下，我们可以将积分区域先按照 $x,y,z$ 的顺序分解，将三重积分化为三重定积分，然后按照积分顺序先计算$z$ 再计算 $y$ 最后计算 $x$。
第三节_三重积分
其中Ω为由
柱面 x2 + y2 = 2x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体.
0 ≤ ρ ≤ 2cosθ
0 ≤θ ≤ π 2
z a
o
2 x
0≤ z ≤a
y
ρ = 2cosθ
例4. 计算三重积分
其中Ω由抛物面
x2 + y2 = 4z 与平面 z = h (h > 0)所围成 .
小结: 小结 三重积分的计算方法 方法1. 先一后二 先一后二” 方法 “先一后二”
z2 ( x, y)
= ∫∫ dxdy∫
D
z1( x, y)
f (x, y, z)d z
方法2. “先二后一” 方法 先二后一” 先二后一
= ∫ d z∫∫
a
b
DZ
f (x, y, z)dxdy
方法3. 三次积分 三次积分” 方法 “三次积分”
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 三重积分的概念 二、三重积分的计算
一、三重积分的概念
任意分割: 任意分割 定义. 设 f (x, y, z) , (x, y, z) ∈Ω, 若对 Ω 作任意分割 定义 若 任意取点
λ→0 k =1
lim ∑ f (ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
n
记作
∫∫∫Ω f (x, y, z)dv
z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y) Ω : (x, y) ∈ D
z = z2 (x, y)
z
z = z1(x, y)
∫∫∫Ω f (x, y, z) d v
z2 ( x, y) f (x, y, z)dz dxdy = ∫∫ ∫ D z1 ( x, y)
重积分直角坐标
z =0
o
z
x
x+ y=1
y
z=xy
例3.
Dxy:
z =0
0
y
x
1
1
Dxy
解
如图，
2. 先重后单
例6. 计算三重积分
解:
用“先重后单 ”
三重积分的定义和计算
在直角坐标系下的体积元素
（计算时将三重积分化为三次积分）
三、小结
三重积分的计算方法
方法1. “先单后重”
方法2. “先重后单”
具体计算时应根据被积函数及积分域的特点灵活选择.
思考题
选择题:
√
练 习 题
练习题答案
x
1
Dxy
I =
y2=x
x
y
z
o
.
例2.
y2=x
x
y
z
o
.
例2.
z = 0
y=0
x
y
z
o
y2=x
.
例2.
0
y
x
D
当 f (x,y,z)= ycos(z+ x), I = ?
I =
试计算：
1
x+ y=1
y
o
z
x
1
z=xy
.
例3.
z =0
1
x+ y=1
o
z
x
1
y
z=xy
.
例3.
1
3.由三重积分的定义
注意：1.如果 在 上连续，则 存在。 以后总假定 在 上连续。
1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分．（先单后重）
三重积分的概念和计算[精编文档]
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特别对
f
(z)dv更有效（＝ c2 c1
f (z)SDz dz）。
例3. 计算三重积分 zdxd ydz, 其中 为三个坐标
面及平面 x y z 1 所围成的闭区域 .
z
1
解:如图，：0 z 1, Dz 为 xoy 面上x轴， z
y轴和 x y 1 z 围成的等腰直角三角形. o 1 y
0 2, 0 r 1, r2 z 2 r2 ,
2
1
I d dr
2r2 r(2r2 cos2 z2 )dz
0
0
r2
(90 2 89). 60
思考与练习
1. 将 I f (x, y, z) d v用三次积分表示, 其中由
六个平面 x 0, x 2, y 1, x 2 y 4, z x , z 2 所 围成 , f (x, y, z) C().
在球坐标系下方程为 r 2a cos
锥面方程为 所以
r 2a cos
a
V
dxdydz
2
d
d
2a cos
r 2 sindr
0
0
0
x
y
2 si n (r 3 ) 2acos d 4 a3(1 cos4 ).
30
0
3
内容小结
坐标系
体积元素
适用情况
直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 * 说明:
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
提示: 利用对称性
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方法:
方法1 先单后重法(“投影法”)
方法2 先重后单法(“截面法”)
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
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1. 先单后重法 (“投影法” ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) Ω: ( x, y ) Dxy 第一步：先将x，y看做常数，把 f(x，y，z)看做z的函数，在区间 [z1(x，y)，z2(x，y)]上对z积分，
2
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四、在球面坐标系下三重积分的计算
1.球面坐标
设 M ( x, y, z ) R , 其柱坐标为 ( , , z ), 令 OM r , zOM , 则( , , )就称为点M 的球面坐标.
直角坐标与球面坐标的关系 x sin cos 0 y sin sin 0 2 π 0 π z cos 坐标面分别为 球面 常数
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例8.4.9 计算
与球面
其中
所围立体.
解: 在球面坐标系下 0 R
z
π 4
R
: 0 π 4 0 2π
π 4 sin d
2π 0
( x 2 y 2 z 2 )d xd yd z
0
d
R
0
4 d
x
O
y
d v 2 sin d d d
e
f
D( z)
f ( x, y, z ) d x d y.
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其中 是球体： 例8.4.6 求 I x2 y 2 dV，
解 用先重后单法：先画出Ω的图形 (如图)．将Ω投影到z轴得投影区间[0 ，2]，在[0，2]内任取一点z，过此点 作垂直于 z 轴的平面，该平面截 Ω 为 平面域D(z)，D(z)可表示为
x sin cos
之下有
y sin sin z cos
I f ( x, y, z ) d x d y d z
f ( sin cos , sin sin , cos ) 2 sin d d d .
利用对称性
O x
y
(x y z ) dv
2 2 2
用球坐标
2 0
d sin d
4 0
2 4 r dr 0
64 2 1 5 2
r d r d d z.
其中 F ( r , , z ) f ( r cos , r sin , z )
O y r x d d r d r d r d
定理1 如果f(x，y，z)在闭区域Ω上连续，则在坐标变 换 x＝rcosθ，y＝rsinθ，z＝z 之下，有
1 5 π R (2 2) 5
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五、三重积分的应用
设物体占有空间区域Ω，在点(x，y，z)处的体密度为 μ(x，y，z)，假定μ(x，y，z)在Ω上连续，该物体的质 量、重心坐标和转动惯量：
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例8.4.11 计算均匀半球体 的重心． 解: 重心在z轴上， x y 0.
D z ＝ x, y x 2 y 2 2 z z 2 ,
于是
I x
2 0
2
y 2 dV
用“先重后单 ”
dz
x2 y 2 2 z z 2
x
2
y 2 dxdy
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而二重积分
2
x y 2 z z2
1.柱面坐标
（r , , z ) 设 M ( x, y, z ) R 3 , 将 x, y用极坐标r , 代替,则
就叫做点M 的柱面坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x r cos y r sin zz
坐标面分别为
0 r 0 2π z
F ( x, y )
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z ) d z.
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
第二步：计算F(x，y)在闭区域Dxy上的二重积分
f ( x, y, z ) d x d y d z d
Dxy
lim
0
f ( , , )V
i 1 i i i
n
记作
i
f ( x, y, z ) dV
存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在 上的三重积分. dV称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxd ydz. 性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
中值定理.
2
1 2 1 4 a 2 sin . 4 2 0 4 0 3 3 z a, 重心为(0,0, a ). 8 8
4
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/2
a
内容小结
坐标系 直角坐标系 柱面坐标系 体积元素 适用情况 积分区域多由坐标面 围成 ; 被积函数形式简洁, 或
解: 如图所示 : 0 r 2
z
0 2
2
原式 z r d r d d z
2
O
x
2
y
2
0
2
0
16 2 208 16 . 8 sin sin d 5 15 3
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1 4 2 2 3 d 2r 2r sin r sin d r 0 2
得到三重积分的计算公式：
f ( x, y , z ) d V d x
a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
d y
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z ) d z.
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例8.4.2 计算三重积分 I x yz dV , 其中Ω是由平 面x＝0，y＝0，z＝0及x＋y＋z＝1所围成的闭区域． 解:如图 Dxy {( x, y ) | 0 y 1 x,0 x 1}.
1
1 2 xyz 2 0
1 x y
O
B (0,1,0)
y
1 . 720
x
A(1,0,0)
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2. “先重后单”法 (截面法) 设空间区域Ω在z轴上的投影为区间 [e，f]，在[e，f]内任取一点z，过该 点作垂直于z轴的平面，截Ω得一平 面区域D(z)，
f ( x, y, z ) d V d z
质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “分割, 近似, 求和, 求极限” 可得
M lim ( i ,i , i )Vi
0
i 1
n
Vi
( i ,i , i )
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定义 设 f ( x, y, z ) , ( x, y, z ) Ω , 若对 作任意分割: 任意取点 下列 “乘 积和式” 极限
2 F ( , , ) sin d d d
O
d
y
其中 F ( , , ) f ( sin cos , sin sin , cos )
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定理2 如果f(x，y，z)在闭区域Ω上连续，则在坐 标变换
z z
3
O x
M
y
常数 常数
半平面 锥面
M ( , , )
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2.利用球面坐标计算三重积分
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
d
z
d
d V 2 sin d d d
因此有
x
d
f ( x, y, z )d xd yd z
围成 , f ( x, y, z ) C ( ) . 提示:
x : 1 y 2 1 2
I
0 d x 1
2
2 1 x 2
d y f ( x, y, z )d z
x
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2
2. 设 由锥面 所围成 , 计算
和球面
z 2
4
提示:
I (x 2 y 2 z 2 2 x y 2 yz 2 xz ) dv
第4节
一、三重积分的概念
第八章
三重积分的概念及计算
二、在直角坐标系中三重积分的算法
三、在柱面坐标系下三重积分的计算 四、在球面坐标系下三重积分的计算 五、三重积分的应用
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一、三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为 ( x, y, z ) C ,求分布在 内的物质的
2
2 2 x y dxdy 的积分域是圆域，
被积函数中含有x2＋y2，可用极坐标计算，即
I dz d
0 0