下册 解直角三角形人教版九级数学全一册课件
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人教版九年级数学 下册 28.2 解直角三角形 课件(共16张PPT))
典型例题
例2 如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°， AD 是∠BAC 的角平分线，与 BC 相交于点 D，且 AB=4， 求 AD 的长．
A
CD
B
典型例题
例3 如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°， AC=4，求 AB 和 BC．
A
B 30°
45° C
布置作业
1．已知，如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°， CD⊥AB，垂足为 D，若∠B=30°，CD=6，求 AB 的长．
问题2 根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三 角形的方法，完成下表填空.
已知条件
解法
一条边 和一个
斜边 c 和 锐角∠A
∠B= b=______
，a=
，
锐角 直角边 a ∠B=______，b=______，
和锐角∠A c=______
两条直角边 c=______，由______
两条边
a和b 直角边 a
2．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C= 30°，求 AD，CD 的长．
C
C
AD 第1题
B
B A
D
第2题
实例引入，初步体验
（1）三边之间的关系
B
a2+b2=c2（勾股定理） ； （2）两锐角之间的关系
c
a
∠A+∠B=90°； （3）边角之间的关系
A
b
C
sin
A=
an
A=
a b
，
sin
B=
b， c
cos B= a ， c
tan B= b ． a
实例引入，初步体验
问题3 从问题1 的解答过程看，在直角三角形中， 知道斜边和一条直角边，可以求其余的三个元素．那么， “知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边） ，可 以求其余元素”，还有哪几种情况呢？
《解直角三角形》教学课件(新人教版九年级下册数学ppt)(共15张PPT)
C
6
B
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.1821.9.18Saturday, September 18, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。09:41:3709:41:3709:419/18/2021 9:41:37 AM
课后作业
教科书练习 教科书习题 28.2 第 1 题
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午9时41分37秒上午9时41分09:41:3721.9.18
•
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
一角一边
A
30
2
在Rt△ABC中,
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,
你能求出这个三角形的其他元素吗?
∠B
AC
BC
两边
（2）根据AC=
，BC=
C
6 B 你能求出这个三角形的其他元素吗？
∠A ∠B AB
你发现了什么?
（3）根∠A=60°,∠B=30°,
两角
你能求出这个三角形的其他元素吗?
不能
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素 (其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.
如图设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝5.2m，AB＝54.5m.
6
B
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.1821.9.18Saturday, September 18, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。09:41:3709:41:3709:419/18/2021 9:41:37 AM
课后作业
教科书练习 教科书习题 28.2 第 1 题
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午9时41分37秒上午9时41分09:41:3721.9.18
•
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
一角一边
A
30
2
在Rt△ABC中,
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,
你能求出这个三角形的其他元素吗?
∠B
AC
BC
两边
（2）根据AC=
，BC=
C
6 B 你能求出这个三角形的其他元素吗？
∠A ∠B AB
你发现了什么?
（3）根∠A=60°,∠B=30°,
两角
你能求出这个三角形的其他元素吗?
不能
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素 (其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.
如图设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝5.2m，AB＝54.5m.
人教版数学九年级下册《 解直角三角形》PPT课件
∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，
人教版九年级数学下册《解直角三角形》PPT课件
由cosB a ，得 c
a=c·cosB=287.4×0.7420=213.3
由sinB b ，得 c
b=c·sinB=287.4×0.6704=192.7
跟踪训练
1．（2010·江西中考）如图，从点C测得树的顶角为33º，
BC＝20米，则树高AB＝
米（用计算器计算，结果
精确到0.1米）
解析：由tanC AB，得 BC
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，b=4.
2、在ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝8，AD=6, ∠D=43°,求梯形的面积。（精确到0.01）
1、根据下列条件，解直角三角形。（精确到0.01） （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，ɑ＝30， ∠B=80 °；
∠A=10°, b=170.14, c=172.76 （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，b=4.
1 2
AB CD
1 bc sin 2
A
D
当A＝55，b 20cm, c 30cm时，有
S ABC
1 bc sin 2
A＝ 1 20 30sin 55 2
1 20 30 0.8192 245.8(cm2 ) 2
【反思】本题通过作垂线或高，把任意的三角形转化为两个直角三角形， 使问题变得简单易解。因此，大家可别忘了“遇斜化直”的数学思想方法！
正切函数：tanA
A的对边 A的邻边
如果知道了五个元素的两个元素（至少有一个边）， 就可以求出其余三个元素.
在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元 素的过程，叫做解直角三角形.
例1
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=42°6′， c=287.4.解这个直角三角形.
a=c·cosB=287.4×0.7420=213.3
由sinB b ，得 c
b=c·sinB=287.4×0.6704=192.7
跟踪训练
1．（2010·江西中考）如图，从点C测得树的顶角为33º，
BC＝20米，则树高AB＝
米（用计算器计算，结果
精确到0.1米）
解析：由tanC AB，得 BC
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，b=4.
2、在ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝8，AD=6, ∠D=43°,求梯形的面积。（精确到0.01）
1、根据下列条件，解直角三角形。（精确到0.01） （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，ɑ＝30， ∠B=80 °；
∠A=10°, b=170.14, c=172.76 （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，b=4.
1 2
AB CD
1 bc sin 2
A
D
当A＝55，b 20cm, c 30cm时，有
S ABC
1 bc sin 2
A＝ 1 20 30sin 55 2
1 20 30 0.8192 245.8(cm2 ) 2
【反思】本题通过作垂线或高，把任意的三角形转化为两个直角三角形， 使问题变得简单易解。因此，大家可别忘了“遇斜化直”的数学思想方法！
正切函数：tanA
A的对边 A的邻边
如果知道了五个元素的两个元素（至少有一个边）， 就可以求出其余三个元素.
在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元 素的过程，叫做解直角三角形.
例1
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=42°6′， c=287.4.解这个直角三角形.
人教版九年级数学下册课件：2.1解直角三角形(共29张PPT)
新知归纳
(1)三边之间的关系： (2)两锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：
10
知识点二：两边解直角三角形
归纳总结
利用这些关系，知道其中的两个元素〔至少有 一个是边〕，就可以求出其余三个未知元素.
11
知识点二：两边解直角三角形
典例讲评
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 解这个直角三角形.
23
知识点三：一边和一锐角(或函数值)解直角三角形
学以致用
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，BC＝6，那么 ABD= ()
6.如A图．，4在△ABB．C6中，CA．B＝8 1，ADC．＝10 ，sin B＝ ，求 BC的长．
24
知识点三：一边和一锐角(或函数值)解直角三角形
1.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°， AC= ，求AB的长.
学以致用
3.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与
BC相互垂直，∠CAB＝α，那么拉线BC的长度
为(A，D，B在同一条直线上)(B )
A.
B.
C.
D．h·cos α
4.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°
，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，那么
tan∠DAC的值为( A ) A．2＋ B．2 C．3＋ D．3
21
知识点三：一边和一锐角(或函数值)解直角三角形
学以致用
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
那么BC的长是D( )
A.
B．4
C．8
D．4
2.在△ABC中，∠C＝90°，假设∠B＝2∠A，
b＝3， 那么a等于(B )
(1)三边之间的关系： (2)两锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：
10
知识点二：两边解直角三角形
归纳总结
利用这些关系，知道其中的两个元素〔至少有 一个是边〕，就可以求出其余三个未知元素.
11
知识点二：两边解直角三角形
典例讲评
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 解这个直角三角形.
23
知识点三：一边和一锐角(或函数值)解直角三角形
学以致用
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，BC＝6，那么 ABD= ()
6.如A图．，4在△ABB．C6中，CA．B＝8 1，ADC．＝10 ，sin B＝ ，求 BC的长．
24
知识点三：一边和一锐角(或函数值)解直角三角形
1.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°， AC= ，求AB的长.
学以致用
3.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与
BC相互垂直，∠CAB＝α，那么拉线BC的长度
为(A，D，B在同一条直线上)(B )
A.
B.
C.
D．h·cos α
4.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°
，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，那么
tan∠DAC的值为( A ) A．2＋ B．2 C．3＋ D．3
21
知识点三：一边和一锐角(或函数值)解直角三角形
学以致用
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
那么BC的长是D( )
A.
B．4
C．8
D．4
2.在△ABC中，∠C＝90°，假设∠B＝2∠A，
b＝3， 那么a等于(B )
新人教版九年级下册数学 28.2 解直角三角形及其应用参考课件(共30张PPT)
2.如图,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的 另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=520m, ∠d=50°,那么开挖点E离D多远正好能A,C,E使成一直线,(精 确到0.1m)?
例5.如图,一般海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯 塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于 灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距 离灯塔P有多远(结果取整数)?
问题 要想使人平安地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶 端,梯子与地面所成的角α,一般要满足50°≤α≤75°. 现有一个长6m的梯子.问
(1)使用这个梯子最高可以平安攀上多高的墙(精确到0.1m)
对于问题(1),当梯子与地面成的角α为75°时,梯子顶 端与地面的距离是使用这个梯子所以攀到的最大高度.
问题(1)可以归结为:在Rt△ABC中,己知∠A=75°,斜边 AB=6,求∠A的对边BC的长.
(1)坡度α和β; (2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形问题); (2)根据条件的特点,适中选用锐角三角函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.
例3 2022年6月18日，“神舟〞九号载人航天飞船与“天宫〞 一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟〞九号与“天宫〞一 号的组合体当在离地球外表343km的圆形轨道上运行.如图,当组 合体运行到地球外表上P点的正上方时，从中能直接看到的地球 外表最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半 径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)？
解 : 如图在RtAPC中
下册第章解直角三角形人教版九年级数学全一册完美课件
第二十八章 锐角三角 函数
第4课时 解直角三角形
学习目标
1．理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直 角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2．通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐 角三角函数解直角三角形，提高分析问题、解决问题的能力.
知识要点
知识点一：解直角三角形的概念 解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五 个元素(两条直角边、斜边、两个锐角)，如果知道其中两个元 素(其中至少有一条边)，求出其余三个未知元素的过程，叫做 解直角三角形．
演讲完毕，谢谢观看！
对点训练
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝1，∠A＝30°，则： (1)∠B＝ 60°； (2)AB＝ 2 ； (3)AC＝ 3 .
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
知识点二：解直角三角形的主要依据
(1)三边关系： a2＋b2＝c.2(勾股定理) (2)两锐角关系： ∠A＋∠B＝90.°
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
★9.如图，AD⊥CD，AB＝10，BC＝20，∠A＝∠C＝30°，求 AD，CD 的长．
AD＝5 3＋10，CD＝10 3＋5
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
5.【例 2】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 2，AB ＝2，解这个直角三角形．
BC＝ 2，∠A＝45°，∠B＝45°
第4课时 解直角三角形
学习目标
1．理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直 角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2．通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐 角三角函数解直角三角形，提高分析问题、解决问题的能力.
知识要点
知识点一：解直角三角形的概念 解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五 个元素(两条直角边、斜边、两个锐角)，如果知道其中两个元 素(其中至少有一条边)，求出其余三个未知元素的过程，叫做 解直角三角形．
演讲完毕，谢谢观看！
对点训练
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝1，∠A＝30°，则： (1)∠B＝ 60°； (2)AB＝ 2 ； (3)AC＝ 3 .
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
知识点二：解直角三角形的主要依据
(1)三边关系： a2＋b2＝c.2(勾股定理) (2)两锐角关系： ∠A＋∠B＝90.°
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
★9.如图，AD⊥CD，AB＝10，BC＝20，∠A＝∠C＝30°，求 AD，CD 的长．
AD＝5 3＋10，CD＝10 3＋5
下册第28章 第4课时 解直角三角形-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共1 5张PPT )
5.【例 2】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 2，AB ＝2，解这个直角三角形．
BC＝ 2，∠A＝45°，∠B＝45°
下册28.2.1解直角三角形-2020秋人教版九年级数学全一册课件(共28张PPT)
10．[2019·乐山]如图 28－2－3，在△ABC 中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝35.求边 AB 的长．
图 28－2－3
解：如答图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在 Rt△ADC 中， ∵∠ADC＝90°，cosC＝35，AC＝2， ∴DC＝35×2＝65，AD＝ AC2－CD2＝ 22－652＝85， 在 Rt△ADB 中，∠ADB＝90°，∠B＝30°. ∵sinB＝AADB＝12，∴AB＝2AD＝156.
∴BC＝BD＋CD＝5 3＋ 3＝6 3， ∴S△ABC＝12BC·AD ＝12×6 3×5＝15 3；
第 11 题答图①
第 11 题答图②
Ⅱ.如答图②所示，作 AD⊥BC 的延长线于点 D， 同Ⅰ得 AD＝5， ∴BC＝BD－CD＝5 3－ 3＝4 3， ∴S△ABC＝12BC·AD＝12×4 3×5＝10 3. 综上所述，△ABC 的面积等于 15 3或 10 3.
第10题答图
11．[2018·无锡改编]已知△ABC 中，AB＝10，AC＝2 7，∠B＝30°，求△ABC 的面 积． 解：分两种情况求解： Ⅰ.如答图①所示，作 AD⊥BC 于点 D， ∵AB＝10，∠B＝30°， ∴AD＝12AB＝12×10＝5， BD＝ AB2－AD2＝ 102－52＝5 3. 又∵AC＝2 7， ∴CD＝ AC2－AD2＝ （2 7）2－52＝ 3.
图28－2－4
解：∵在 Rt△ABC 中，BC＝2，∠A＝30°， ∴AC＝taBnCA＝2 3，则 EF＝AC＝2 3， ∵∠E＝45°， ∴FC＝EF·sinE＝ 6， ∴AF＝AC－FC＝2 3－ 6.
13．某学校的校门是伸缩门(如图 28－2
人教版九年级数学下册§28.2解直角三角形PPT
2019/3/10
5．解：在Rt△ADE中，DE=3 2 ， ∠DAE=45°， DE ∴sin∠DAE= AD ，
∴AD=6． 又∵AD=AB， BC 在Rt△ABC中，sin∠BAC= AB ，
∴BC=AB· sin∠BAC=6· sin65°≈5.4． 答：点B到地面的垂直距离BC约为5.4米．
2019/3/10
4.（2006，盐城）如图，花丛中有一路灯杆 AB．在灯光下，小明在D• 点处的影长DE=3米， 沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的 影长GH=5米．• 如果小明的身高为1.7米，求路灯 杆AB的高度（精确到0.1米）．
2019/3/10
4．解：设AB=x米，BD=y米． 由△CDE∽△ABE得
设BC=x，则EC=BC=x． 在Rt△ACE中，AC= 3 x，
∵AB=AC-BC， 即20= 3 x-x． 解得x=10 3 +10．
∴BD=BC+CD=BC+EF =10 3+10+35≈45+10×1.732≈62.3（m）． 所以小山BD的高为62．3m．
2019/3/10
题型4 应用举例
2019/3/10
3．解：如图设BC=x， 在Rt△ADF中，AD=180，∠DAF=30°， ∴DF=90，AF=90 3 ． ∵∠BAC=∠ABC=45°， ∴AC=BC=x． ∴BE=BC-EC=x-90． 在Rt△BDE中，∠BDE=60°， 3 3 ∴DE= BE= （ 3 3 x-90）． FC=AC-AF=x-90 3 ． ∵DE=FC， 3 ∴ （ x-90）=x-90 ．
径，弦AC、BD相交于E，则
A．tan∠AED C．sin∠AED
人教版九年级数学下册 28.2.1解直角三角形 (13张PPT)
A
b c
sin
B
b c
cos
B
a c
以上三点就是解直角三角形的依据。
tan
A
a b
tan
B
b a
例题讲解
探究一：什么是解直角三角形？依据是什么？
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 6，AC= 2，解这个直角三角形。
解： Q tan A BC 6 3
AC 2
A 60
B 90 A 90 60 30 AB 2AC 2 2
点拨：已知两边，用三角函数求出一角是突破口。
例题讲解
探究一：什么是解直角三角形？依据是什么？
例2：如图，在Rt△ABC中，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）。
解： A 90 B 90 35 55
1
（4）含30°角的直角三角形的三边比为 1: 3 : 2 ；含45°角的 sinα 2
直角三角形的三边比为 1:1: 2 。
cosα 3
2
45°
2 2
2 2
60°
3 2
1 2
tanα 3
133来自题探究活动1 应用新知，回顾引言
如图，始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜。1972年比萨发 生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之后，仍巍然屹立。可是，塔 顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每 年倾斜1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险。为此，意大利当局从 1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线 的距离比纠偏前减少了43.8cm，根据上面的信息，你能用“塔身中心线偏离 垂直中心线的角度”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
下册第章解直角三角形的应用人教版九年级数学全一册课件PPT
下册第28章 第6课时 解直角三角形的应用(2)-2020秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共13张 PPT)
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(1)求新坡面的坡角 α； (2)原天桥底部正前方 8 米处(PB 的长)的文化墙 PM 是否需要 拆除？请说明理由．( 3≈1.732) (1)30° (2)AB＝6 3－6<8，不需要拆除． 小结：解决有关坡度的实际问题时，通常是过顶点作高构造 与坡角相关的直角三角形.
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精典范例
3【. 例 1】如图，海中一渔船在 A 处且与小岛 C 相距 70 n mile， 若该渔船由西向东航行 30 n mile 到达 B 处，此时测得小岛 C 位于 B 的北偏东 30°方向上，求该渔船此时与小岛 C 之间的距 离． 50 n mile 小结：解决有关方位角的实际问题时，通常 过固定目标点作垂线构造直角三角形.
对点训练
1.观察如图所示的方位角． (1)点 A 在 O 的 北偏东60方°向上； (2)点 B 在 O 的 东南 方向上； (3)点 C 在 O 的 南偏西30方°向上．
下册第28章 第6课时 解直角三角形的应用(2)-2020秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共13张 角形的应用(2)-2020秋人 教版九 年级数 学全一 册课件( 共13张 PPT)
(2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α. (3)注意：坡角 α 的正切等于坡度 i，即 i＝hl ＝tan α.显然，坡 度越大，坡角就越大，坡面就越陡． (4)区别：坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与 坡角相混淆.
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(1)求新坡面的坡角 α； (2)原天桥底部正前方 8 米处(PB 的长)的文化墙 PM 是否需要 拆除？请说明理由．( 3≈1.732) (1)30° (2)AB＝6 3－6<8，不需要拆除． 小结：解决有关坡度的实际问题时，通常是过顶点作高构造 与坡角相关的直角三角形.
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精典范例
3【. 例 1】如图，海中一渔船在 A 处且与小岛 C 相距 70 n mile， 若该渔船由西向东航行 30 n mile 到达 B 处，此时测得小岛 C 位于 B 的北偏东 30°方向上，求该渔船此时与小岛 C 之间的距 离． 50 n mile 小结：解决有关方位角的实际问题时，通常 过固定目标点作垂线构造直角三角形.
对点训练
1.观察如图所示的方位角． (1)点 A 在 O 的 北偏东60方°向上； (2)点 B 在 O 的 东南 方向上； (3)点 C 在 O 的 南偏西30方°向上．
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(2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α. (3)注意：坡角 α 的正切等于坡度 i，即 i＝hl ＝tan α.显然，坡 度越大，坡角就越大，坡面就越陡． (4)区别：坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与 坡角相混淆.
人教版九年级下册数学 28. 2 解直角三角形及应用 (共15张PPT)
作业：
如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C处的距离. 解：如图，过B点作BD⊥AC于D ∴∠ABD=60°，∠DCB=90°-45°=45° 设BD=x，则CD=BD=x 在Rt△ABD中，AD=x·tan60°= x 在Rt△BDC中， BC= BD= X 又AC=5×2=10，AD+CD=AC ∴ x +x=10 ，得x=5（ -1） ∴BC= •5（ -1)=5( - ) （海里）， 答：灯塔B距C处5( - ) 海里。
28.2.2 解直角三角形的应用
一、创设情景，导入新课
画出方位角（表示东南西北四个方向的）并依次画出表示东南 方向、西北方向、北偏东60度、南偏东30度方向的射线.
西
北
北
东 西
东
南
南
合作探究 达成目标
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏 东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它
65°
A
沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时， P
练习： 1、如图:一艘轮船由海平面上A地出发 向南偏西400的方向行驶40海里到达B地, 再由B地向北偏西200的方向行驶40海里 到达C地,则A,C两地的距离为 ___ _ 。
北
C A
北
D
B
2、如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向， 距离灯塔40 2 海里的 A处，它沿正南方向航行 一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东3 0 ° 方 向上的 B处，则海轮行驶的路程 AB 为多少海 里（结果保留根号）．
解：在Rt△APC中， ∵AP=40 ，∠APC=45° ∴AC=PC=40 在Rt△BPC中， ∵∠PBC=30°，∴∠BPC=60° ∴BC=PC•tan60°=40× =40 ∴AB=AC+BC=40+40 （海里） 答：海轮行驶的路程AB为 (40+40
人教数学九年级下册《解直角三角形》锐角三角函数PPT精品教学课件
第28章 锐角三角函数
解直角三角形
学习目标
1. 了解并掌握解直角三角形的概念； 2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系. (重点) 3. 学会解直角三角形. (难点)
如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三
个角）， 其中∠C=90°.
B
(1) 三边之间的关系:a2+b2=__c_2__；
AB＝54.5m.问：倾斜角∠A是多少？
A
解：sin A BC 5.2 0.0954
AB 54.5
所以∠A≈5.48°
新知探究
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°， b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
A
tan B b , a
解： tan A BC 6 3，
A
AC 2
2
A 60 ，
C6B
B 90 A 90 60 30 ，
AB 2AC 2 2.
已知两条直角边，可以解直角三角形
习题精讲
已知两边解直角三角形
变式1 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a,b, c分别是
A, B, C 的对边，已知 a 5, c 10，
2 2 2 2
1
60°
3 2 1 2
3
新知探究
在直角三角形中，除直角外，共有五个元素， 即三条边和两个锐角。
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元 素的过程，叫作解直角三角形.
新知探究
已知两边解直角三角形
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2 ， BC 6 ，解这个直角三角形. （∠A、∠B、AB）
解： A 90 B 90 72 18
解直角三角形
学习目标
1. 了解并掌握解直角三角形的概念； 2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系. (重点) 3. 学会解直角三角形. (难点)
如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三
个角）， 其中∠C=90°.
B
(1) 三边之间的关系:a2+b2=__c_2__；
AB＝54.5m.问：倾斜角∠A是多少？
A
解：sin A BC 5.2 0.0954
AB 54.5
所以∠A≈5.48°
新知探究
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°， b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
A
tan B b , a
解： tan A BC 6 3，
A
AC 2
2
A 60 ，
C6B
B 90 A 90 60 30 ，
AB 2AC 2 2.
已知两条直角边，可以解直角三角形
习题精讲
已知两边解直角三角形
变式1 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a,b, c分别是
A, B, C 的对边，已知 a 5, c 10，
2 2 2 2
1
60°
3 2 1 2
3
新知探究
在直角三角形中，除直角外，共有五个元素， 即三条边和两个锐角。
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元 素的过程，叫作解直角三角形.
新知探究
已知两边解直角三角形
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2 ， BC 6 ，解这个直角三角形. （∠A、∠B、AB）
解： A 90 B 90 72 18
人教版九年级数学下册解直角三角形ppt课件
AD 4 2 2
∴∠ADC=45°, ∴∠ADB=180°-45°=135°.
5.(2018黑龙江大庆龙凤月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边 分别为a,b,c.根据下列条件解直角三角形. (1)已知a=5,∠B=60°; (2)已知a=5 2 ,b=5 6 .
解析 (1)∵∠C=90°,∠B=60°, ∴∠A=30°, ∵cos B=cos 60°= a = 1 ,a=5,∴c=10,
5
(1)求AB的长; (2)求cos∠BAD的值.
图28-2-1-6
解析 (1)在Rt△ADC中,∵∠C=90°,sin∠ADC= AC = 4,AD=5,∴AC=4.
AD 5
由勾股定理得CD= AD2 -AC2 =3, ∴BC=CD+DB=3+5=8, 在Rt△ABC中,∠C=90°, 由勾股定理得AB= AC2 BC2 = 42 82 =4 5 . (2)∵AD=BD, ∴∠BAD=∠ABD.
知识点一 解直角三角形 1.解直角三角形的定义与边角关系
2.解直角三角形的类型
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
已知条件
解法
两直角边 斜边、一直角边(如c,a) 一锐角与邻边(如∠A,b) 一锐角与对边(如∠A,a) 斜边与一锐角(如c,∠A)
由tan A= a,求∠A;∠B=90°-∠A;c= a2 b2
点O,AB⊥AC.若AB=8,tan∠ACB= 2,则BD的长是
.
3
图28-2-1-3
答案 20
解析 ∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB
⊥AC,AB=8,tan∠ACB= 2= AB ,∴AC= 3AB=12,∴OA=6,∴BO= OA2 AB2=
∴∠ADC=45°, ∴∠ADB=180°-45°=135°.
5.(2018黑龙江大庆龙凤月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边 分别为a,b,c.根据下列条件解直角三角形. (1)已知a=5,∠B=60°; (2)已知a=5 2 ,b=5 6 .
解析 (1)∵∠C=90°,∠B=60°, ∴∠A=30°, ∵cos B=cos 60°= a = 1 ,a=5,∴c=10,
5
(1)求AB的长; (2)求cos∠BAD的值.
图28-2-1-6
解析 (1)在Rt△ADC中,∵∠C=90°,sin∠ADC= AC = 4,AD=5,∴AC=4.
AD 5
由勾股定理得CD= AD2 -AC2 =3, ∴BC=CD+DB=3+5=8, 在Rt△ABC中,∠C=90°, 由勾股定理得AB= AC2 BC2 = 42 82 =4 5 . (2)∵AD=BD, ∴∠BAD=∠ABD.
知识点一 解直角三角形 1.解直角三角形的定义与边角关系
2.解直角三角形的类型
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
已知条件
解法
两直角边 斜边、一直角边(如c,a) 一锐角与邻边(如∠A,b) 一锐角与对边(如∠A,a) 斜边与一锐角(如c,∠A)
由tan A= a,求∠A;∠B=90°-∠A;c= a2 b2
点O,AB⊥AC.若AB=8,tan∠ACB= 2,则BD的长是
.
3
图28-2-1-3
答案 20
解析 ∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB
⊥AC,AB=8,tan∠ACB= 2= AB ,∴AC= 3AB=12,∴OA=6,∴BO= OA2 AB2=
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sinA＝ac，得
a＝sinA·c＝
3 2
×8 3＝12.由∠C＝90°，∠A＝60°，得∠B＝30°，∴b＝12c＝4 3.
Hale Waihona Puke 下册 解直角三角形人教版九级数学全一册课 件
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60°
7．等腰三角形底边长为 2 6，底边上的高为 3 2，则底角为________． 【解析】 底边上的高将等腰三角形分割成两个直角三角形，通过解直角三角形即可 求出底角．
∴a＝b·tanA＝4·tan60°＝4× 3＝4 3； (2)∵a2＋b2＝c2，
∴b＝ c2－a2＝
322－132＝13；
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(3)∵cosB＝ac，
∴a＝c·cosB＝28 2× 23＝14 6；
(4)∵cosB＝ac，
第4题答图
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5．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝2 3，则∠B＝___3_0_°___． 【解析】 本题是已知两直角边解直角三角形，由∠C＝90°，tanB＝ABCC＝263＝ 33， 得∠B＝30°.
积至少需要( D )
4 A.sinθ
m2
B．co4sθ m2
C.4＋ta4nθ m2
D．(4＋4tanθ) m2
图28－2－1
4．[2019·杭州]如图 28－2－2，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边
(OC⊥OB，点 A，B，C，D，O 在同一平面内)，已知 AB＝a，AD
＝b，∠BCO＝x，则点 A 到 OC 的距离等于( C )
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10．[2019·乐山]如图 28－2－3，在△ABC 中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝35.求边 AB 的长．
图 28－2－3
解：如答图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在 Rt△ADC 中， ∵∠ADC＝90°，cosC＝35，AC＝2， ∴DC＝35×2＝65，AD＝ AC2－CD2＝ 22－652＝85， 在 Rt△ADB 中，∠ADB＝90°，∠B＝30°. ∵sinB＝AADB＝12，∴AB＝2AD＝156.
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8．在△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 的对边．
(1)已知∠A＝60°，b＝4，求 a；
(2)已知 a＝13，c＝ 32，求 b；
(3)已知 c＝28 2，∠B＝30°，求 a；
(解4)已：知(1)∵a＝ta2n，Ac＝osabB，＝13，求 B．
A．asinx＋bsinx
B．acosx＋bcosx
C．asinx＋bcosx
D．acosx＋bsinx
图28－2－2
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【解析】 如答图，过点 A 作 AE⊥OC 于点 E，BF⊥AE 于点 F， ∵∠O＝∠BFE＝∠OEF＝90°，∴四边形 BOEF 是矩形，∴EF ＝BO，∠CBF＝∠BCO＝x，∵∠CBF＋∠ABF＝90°，∠BAF ＋ ∠ABF ＝ 90°， ∴∠BAF ＝ ∠CBF ＝ x ， ∴AE ＝ AF ＋ EF ＝ acosx＋bsinx.
∴c＝coasB＝
2 1
＝6.又∵b2＝c2－a2，
3
∴b＝ c2－a2＝ 62－22＝4 2.
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9．根据下列条件，解直角三角形． (1)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°； (2)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝45°，b＝ 6. 解：(1)∠A＝90°－∠B＝30°， c＝coasB＝16，b＝a·tanB＝8 3； (2)∠B＝90°－∠A＝45°，a＝b·tanA＝ 6， c＝cobsA＝2 3.
∴BC＝BD＋CD＝5 3＋ 3＝6 3， ∴S△ABC＝12BC·AD ＝12×6 3×5＝15 3；
第 11 题答图①
第 11 题答图②
Ⅱ.如答图②所示，作 AD⊥BC 的延长线于点 D， 同Ⅰ得 AD＝5， ∴BC＝BD－CD＝5 3－ 3＝4 3， ∴S△ABC＝12BC·AD＝12×4 3×5＝10 3. 综上所述，△ABC 的面积等于 15 3或 10 3.
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6．已知 Rt△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，∠C＝90°，c＝8 3，
∠A＝60°，则 a＝___1_2___，b＝__4___3____．
【解析】
本题是已知一锐角和斜边解直角三角形，由
A．4
B．6
C．8
D．10
【解析】 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝BACB＝35，BC＝6，∴AB＝sBinCA＝
6 3
＝
5
10.故选 D．
3．一座楼梯的示意图如图 28－2－1 所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与 CA
的夹角为 θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知 CA＝4 m，楼梯宽度 1 m，则地毯的面
28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形
1．在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，如果 a2＋b2＝c2，那么下
A
列结论正确的是( )
A．c·sinA＝a
B．b·cosB＝c
C．a·tanA＝b
D．c·tanB＝b
2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝35，BC＝6，则 AB＝( D )
第10题答图
11．[2018·无锡改编]已知△ABC 中，AB＝10，AC＝2 7，∠B＝30°，求△ABC 的面 积． 解：分两种情况求解： Ⅰ.如答图①所示，作 AD⊥BC 于点 D， ∵AB＝10，∠B＝30°， ∴AD＝12AB＝12×10＝5， BD＝ AB2－AD2＝ 102－52＝5 3. 又∵AC＝2 7， ∴CD＝ AC2－AD2＝ （2 7）2－52＝ 3.