模糊数学——第12次硬划分和软划分祥解
数据处理(模糊数学)
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确 定性的领域，即从必然现象到偶然现象， 定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学 的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊 的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域， 现象。 现象。
模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性” 模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性” 是指客观事物差异的中间过渡中的 亦此亦彼性” 或“亦此亦彼性”。 如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、 如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境 污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象， 污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象， 如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？ 如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不 好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。 好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很 难用经典的数学来描述。 难用经典的数学来描述。
第一章 模糊数学基本概念
一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。 集合：具有某种特定属性的对象集体。 通常用大写字母A 等表示。 通常用大写字母 、B、C等表示。 等表示 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U 等表示。 通常用大写字母 、V、X、Y等表示。 等表示 论域U中的每个对象 称为 论域 中的每个对象u称为 的元素。 中的每个对象 称为U的元素。
称为集合A的特征函数 的特征函数。 函数 χ A 称为集合 的特征函数。
二、模糊集合及其运算 1、模糊子集 、 定义： 是论域， 定义：设U是论域，称映射 是论域
µA : U →[0,1],
~
模糊数学综合评价法
模糊数学综合评价法模糊综合评价法（fuzzy prehensive evaluation method）模糊数学综合评价法 1模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法。
该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。
它具有结果清晰,系统性强的特点,能较好地解决模糊的、难以量化的问题,适合各种非确定性问题的解决。
模糊数学综合评价法 2为了便于描述，依据模糊数学的基本概念，对模糊综合评价法中的有关术语定义如下：1．评价因素（F）：系指对招标项目评议的具体内容（例如，价格、各种指标、参数、规范、性能、状况，等等）。
为便于权重分配和评议，可以按评价因素的属性将评价因素分成若干类（例如，商务、技术、价格、伴随服务，等），把每一类都视为单一评价因素，并称之为第一级评价因素（F1）。
第一级评价因素可以设置下属的第二级评价因素（例如，第一级评价因素“商务”可以有下属的第二级评价因素：交货期、付款条件和付款方式，等）。
第二级评价因素可以设置下属的第三级评价因素（F3）。
依此类推。
2．评价因素值（Fv）：系指评价因素的具体值。
例如，某投标人的某技术参数为120，那么，该投标人的该评价因素值为120。
3．评价值（E）：系指评价因素的优劣程度。
评价因素最优的评价值为1（采用百分制时为100分）；欠优的评价因素，依据欠优的程度，其评价值大于或等于零、小于或等于1（采用百分制时为100分），即0≤E≤1（采用百分制时0≤E≤100）。
4．平均评价值（Ep）：系指评标委员会成员对某评价因素评价的平均值。
平均评价值（Ep）＝全体评标委员会成员的评价值之和÷评委数5．权重（W）：系指评价因素的地位和重要程度。
一级评价因素的权重之和为1；每个评价因子的下一个评价因子的权重之和为1。
6．加权平均评价值（Epw）：系指加权后的平均评价值。
加权平均评价值（Epw）＝平均评价值（Ep）×权重（W）。
模糊数学阅读练习及答案
模糊数学阅读练习及答案模糊数学1965年，世界上诞生了一门新的学科——模糊数学。
数学的特点是精确，如今却与“模糊”攀上了亲，似乎不可思议。
确实，模糊数学引起人们的浓厚兴趣，世界各国的研究者与日俱增，正如1975年纪念模糊数学诞生十周年的论文集所指出的：“未来的十年，将是模糊数学大发展的十年。
”模糊数学的诞生，是科学技术发展到一定阶段的必然产物。
人类应用数学工具，对世界的认识从模糊到精确，是一个飞跃。
今天，精确的数学计算在许多场合必不可少。
然而，当我们要求电子计算机具备人脑功能的时候，精确这个长处在一定的程度上反而成了短处。
例如，我们在判别走过来的人是谁时，总是将来人的高矮、胖瘦、走路姿态等与大脑中储存的样本进行比较，从而得出相应的结论。
一般说来，这是轻而易举的事情。
即使一位旧友多年不见，面貌有变化，仍能依稀相认。
然而要是让电子计算机来做这件事，那就复杂了。
得测量来人的身高、体重、手臂摆动的角度以及鞋底对地面的正压力、摩擦力、速度、加速度等等数据，而且非要精确到小数点后几十位才肯罢休。
如果某熟人近来消瘦了点，计算机就“翻脸不认人”了。
显然，这样的“精确”，反使人糊涂。
由此可见，要使计算机能模拟人脑功能，一定程度的模糊，倒是需要的。
模糊数学以客观世界的模糊性为研究对象，它的基础是模糊集合论。
集合原是德国数学家康托尔在19世纪末提出的概念。
例如，太阳系是所有行星的集合，车厢是所有乘客的集合，一张报纸是全部字组成的集合等等。
经典集合论对事物只作明确的划分。
然而事实上，一个事物是否属于某集合，并非只有“是”或“非”两种回答，常有模棱两可的情况。
例如，对“老年人”和“高个子”这类集合的界限就很难作明确的划分。
50岁的人，可以算老年，也可不算老年。
这就是说，在现实世界中，集合的边缘往往是模糊的。
在人们的思维或语言中，这样模糊的概念比比皆是。
如胖、高、重、浓、响、明亮、暖和、粉红、漂亮等，都没有绝对的标准。
经典数学就无法进行描述，而模糊数学却能对这些模糊的集合，进行定量的分析。
第一章模糊集的基本概念
6.集合的运算规律
幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = .
§1.2 模糊理论的数学基础
一 经典集合
1.经典集合具有两条基本属性：
元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明, 即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属 于集合(记作xA)，二者必居其一. 2.集合的表示法 (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
记R=(rij)n×n, R2 =(rij(2))n×n.
先设R具有传递性.
若rij(2) =0，则有rij(2) ≤ rij .
若rij(2) =1，则由于
rij(2) = ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = 1，
故存在1≤s≤n，使得
(ris∧rsj) = 1，
即ris= 1, rsj= 1.
由于R具有传递性，ris= 1, rsj= 1， 则rij =1. 综上所述 R2≤R. 再设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
2.关系的三大特性 定义9 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关 系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也 有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
模糊集的基本概念
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 或f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
也称f为一一的。 满射(surjection)： f : X Y, 且对任意 y Y, 都有 x X , 使得 y f (x), 则称f为满射。
也称f 映X到Y上（映上）。
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：
确定性
数学 不确定性
经典（精确）数学
随机性 模糊性 随机数学 模糊数学
模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
一、集合
集合的有关概念 集合的运算 集合运算的性质 映射与扩张 集合的特征函数 直积 关系的概念 关系的运算 特征关系 等价关系与划分 偏序集 格
Ai {x | i I , x Ai }
分配律、对偶律等可推广
4. 集合中元素的计数
• 集合A＝{1，2，„，n}，它含有n个元素,可以说这 个集合的基数是n，记作 card A＝n
也可以记为｜A｜＝n，
空集的基数是 即｜｜＝0．
有穷集、无穷集
• 定义: 设A为集合，若存在自然数n（0也是自然 数），使得｜A｜＝card A＝n，则称A为有穷集， 否则称A为无穷集。
• 例如，{a,b,c}是有穷集，而N，Z，Q，R都是无 穷集。
5. 映射与扩张
（1） 映射(mapping):实际是函数概念的推广
x X, 设 X, Y 都是集合，若存在对应关系 f, 使
都有唯一的 y Y 与之相对应，则称f 映X入Y的映射。 记号： f : X Y x a y f (x)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
第一讲 模糊数学基本知识
§1.2 模糊集的基本定理
λ-截集： 截集： (A)λ = Aλ= {x | A(x) ≥ λ }
模糊集的λ 截集 是一个经典集合， 模糊集的λ-截集Aλ是一个经典集合，由隶属 度不小于λ的成员构成. 度不小于λ的成员构成. 论域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}(学生集)， 例：论域 (学生集) 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95 50,60,70,80,90,95， 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习 学习 成绩好的学生” 成绩好的学生”的隶属度分别为 0.9,0.95， 0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则 A0.9 (90分以上者 = {u5 , u6}, 分以上者) 分以上者 A0.6 (60分以上者 = {u2, u3, u4 , u5 , u6}. 分以上者) 分以上者
第一讲 模糊数学基本概念
1. 1 模糊集合的基本定义 1.2 模糊集合的截集 1.3 模糊关系 1.4 模糊等价关系与经典等价关系
§1.1 模糊子集及其运算
模糊子集与隶属函数 是论域， 设U是论域，称映射 是论域 A(x)：U→[0,1] ： 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为 的 上的模糊子集 称为A的 确定了一个 上的模糊子集 ，映射 称为 隶属函数，它表示x对 的隶属程度 的隶属程度. 隶属函数，它表示 对A的隶属程度 当映射A(x)只取 或1时，模糊子集 就是经 只取0或 时 模糊子集A就是经 当映射 只取 典子集， 就是它的特征函数. 典子集，而A(x)就是它的特征函数 可见经典子 就是它的特征函数 集就是模糊子集的特殊情形. 集就是模糊子集的特殊情形
模糊关系的合成 的关系, 的关系, 设 R1 是 X 到 Y 的关系 R2 是 Y 到 Z 的关系 上的一个关系. 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系 (R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } ∧ ∈ 当论域为有限时， 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊 矩阵的合成. 矩阵的合成 设X = {x1, x2, …, xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的模糊关系 1 = (aik)m×s， 模糊关系 关系R ， × Y 到Z 的模糊关系 2 = (bkj)s×n，则X 到Z 的模糊关 模糊关系 关系R 模糊关 × 系可表示为模糊矩阵的合成： 模糊矩阵的合成 系可表示为模糊矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n， × 其中c 其中 ij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
模糊数学方法
~
，则称隶属度
度。
R ( x, y )
~
~
为
( x, y)
关于模糊关系
U V
R
~
的相关程
注：由于模糊关系就是乘积空间
上的一个模糊
子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。
模糊矩阵：设矩阵
n n
t ( R) R ( rij( k ) ) nn
k k 1 k 1
特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数
k (k
，使得 t ( R) R k ，对任意自然数 l k 都有 Rl R k n)
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
假设作n次模糊统计试验，可以算出
x0 A*的次数 x0 对A的隶属频率＝ n
事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定， 其稳定值称为 x 0 对A的隶属度，即
x0 A* 的次数 A ( x0 ) lim n n
2. 指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们
的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果 模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为 模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经
1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] ( j 1, 2,, m) n i 1 n i 1
(ii) 平移——极差变换.
' xij [0,1] ，则还需 如果经过平移—标准差变换后还有某些
对其进行平移—极差变换，即令
xij xij min {xij }
模糊分析
设三个指标的权系数向量： 设三个指标的权系数向量： ＝｛图像评价 声音评价，价格评价｝ 图像评价， A ＝｛图像评价，声音评价，价格评价｝ ＝（0.5, ＝（0.5, 0.3, 0.2) 应用模型1 有综合评价结果为： 应用模型1，bj=max{(aiΛrij)有综合评价结果为： 有综合评价结果为 B＝A⊙P ＝（0.3, ＝（0.3, 0.5, 0.2, 0.2) 归一化处理： 归一化处理： ＝（0.25, B＝（0.25, 0.42, 0.17, 0.17) 所以综合而言，电视机还是比较好的比重大。 所以综合而言，电视机还是比较好的比重大。
b j = ∑ (ai ⋅ pij )( j = 1,2⋯ m)
例1：对某品牌电视机进行综合模糊评价 ： • 设评价指标集合： 设评价指标集合： ＝｛图像 声音，价格｝； 图像， U＝｛图像，声音，价格｝； 评语集合： 评语集合： ＝｛很好 较好，一般，不好｝； 很好， V＝｛很好，较好，一般，不好｝；
首先对图像进行评价： 首先对图像进行评价： 假设有30%的人认为很好，50%的人认为较好 30%的人认为很好 的人认为较好， 假设有30%的人认为很好，50%的人认为较好， 20%的人认为一般 没有人认为不好， 的人认为一般， 20%的人认为一般，没有人认为不好，这样得 到图像的评价结果为 （0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同样对声音有： 同样对声音有：0.4, 0.3, 0.2 , 0.1) 对价格为： 对价格为： （0.1, 0.1, 0.3 , 0.5) 所以有模糊评价矩阵： 所以有模糊评价矩阵：
• 对方案、人才、成果的评价，人们的考虑 对方案、人才、成果的评价， 的因素很多， 的因素很多，而且有些描述很难给出确切 的表达，这时可采用模糊评价方法。 的表达，这时可采用模糊评价方法。它可 对人、 对人、事、物进行比较全面而又定量化的 评价，是提高领导决策能力和管理水平的 评价， 一种有效方法。 一种有效方法。
模糊数学综合评价总结
模糊综合评判1、概念及基本知识1965年，美国著名自动控制专家查德（L.A. Zadeh ）教授提出了模糊（fuzzy ）的概念，并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文“模糊集合”（fuzzy set ）。
他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。
并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。
而模糊综合评价是根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价的一种综合评价方法。
它具有结果清晰，系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。
在决策中，对于方案、人才、成果的评价，人们的考虑往往是从多种因素出发的，而且这些考虑一般只能用模糊语言来描述。
例如，评价者从考虑问题的诸因素出发，参照有关的数据和情况，根据他们的判断对复杂问题分别作出“大、中、小”；“高、中、低”；“优、良、可、劣”；“好、较好、一般、较差、差”等程度的模糊评价。
然后通过模糊数学提供的方法进行运算，就能得出定量的综合评价结果。
2、模糊综合评价的基本原理首先确定被评价对象的因素（指标）集合评价（等级）集；再分别确定各个因素的权重及它们的隶属度向量，获得模糊评判矩阵；最后把模糊评判矩阵与因素的权向量进行模糊运算并进行归一化，得到模糊综合评价结果。
其特点在于评判逐对象进行，对被评价对象有唯一的评价值，不受被评价对象所处对象集合的影响。
综合评价的目的是要从对象集中选出优胜对象，所以还需要将所有对象的综合评价结果进行排序。
3、模糊综合评判方法步骤1、确定评价对象的因素论域2、确定评语等级论域3、进行单因素评价，建立模糊关系矩阵R4、确定评价因素的模糊权向量5、多因素模糊评价6、对模糊综合评价结果进行分析答案二：模糊综合评价的一般步骤如下：（1） 确定评价对象的因素集（2） 确定评语集；（3） 作出单因素评价（4） 综合评价1、 确定评价对象的因素集{}m 21,,,U u u u L =也就是说有m 个评价指标，表明我们对被评价对象从哪些方面来进行评判描述。
模糊数学基本知识
一．模糊数学的基础知识1．模糊集、隶属函数及模糊集的运算。
普通集合A ，对x ∀，有A x ∈或A x ∉。
如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。
模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0，1]闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数（记为)(x E ）称为集合E 的隶属函数。
即对于每一个元素x ，有[0,1]内的一个数)(x E 与之对应。
（1）模糊子集的定义：射给定论域U ，U 到[0，1]上的任一映射： ))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→都确定了U 上的一个模糊集合，简称为模糊子集。
)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。
映射所表示的函数称为隶属函数。
例如：设论域U=[0，100]，U 上的老年人这个集合就是模糊集合：⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤=--10050,))550(1(50,0)(12u u u u A 若在集合U 上定义了一个隶属函数，则称E 为模糊集。
（2）模糊集合的表示：},.....,,{21n u u u U =，)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度；则模糊集可以表示为：nn u u A u u A u u A A )(....)()(2211+++=。
或 )}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，))}(,()),.....,(,()),(,{(2211n n u A u u A u u A u A =，（3）模糊集合的运算：)}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，)}(),.....,(),({21n u B u B u B B =，并集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∨∨∨=⋃，交集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∧∧∧=⋂，补集：)}(1),.....,(1),(1{21n c u A u A u A A ---=，包含：B A u B u A U u ⊂≤∈∀，则有有若)()(,，2．模糊集的截集已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→对]1,0[∈λ，则称})(,{λλ≥∈=u A U u u A 为模糊集A 的λ-截集； 称})(,{λλ>∈=u A U u u A s 为模糊集A 的λ-强截集；λ称为λA 、sA λ的置信水平或阀值。
第1章 模糊数学1-1
经典集合只能表示“非此即彼”的确切概念。
现代数学方法——模糊数学
现实世界中的很多概念具有模糊性。 例如，“年轻人”, “绵绵细雨”和“倾盆大雨” 。
模糊概念:外延不明确的概念。
经典集合可以表示明确概念而不能表现模糊概念。 例如，“秃子悖论” 。 定义 1.1论域X的一个模糊子集 A 是指 X到[0,1]的 ， 一个映射： A：X 01 A x 表示元素x 属于集合 映射 A 称为 A 的隶属函数， A 的程度，或称为 x 对 A 的隶属度。
二、特征函数 特征函数：设A ∊ (X)，称X到{0,1}的映射
1， x A A x 0， x A
为集合A的特征函数。 对于任意的 x ∊X,特征函数 A x 表明了元素x属于 集合A的“程度”。 经典集合论中：x 属于或不属于A是绝对明确的， 因此用 0 和 1 二值表示。 集合A可以由特征函数 A x 唯一确定，反之亦然。 三、关系与运算
现代数学方法——模糊数学
( x) 定义1.3 设 A为论域 X上的模糊子集，隶属函数 A 对于任意实数 [0,1] ，记 A {x | x X , A ( x) }
称集合 A 为模糊集 A 的 水平截集,或简称 截集。 [注] 对于任给 [0,1], A 是普通集 例如:设论域 X {a, b, c, d , e, f }, X 中的模糊子集 则
x X
x X
x X
AB x A x B x
AC x 1 A x
x X
x X
现代数学方法——模糊数学
数学建模-模糊综合评判(2017.8.20)
并： A U B = (aij ∨ bij )m×n 交： A I B = (aij ∧ bij )m×n 余： Ac = (1 − aij )m×n
⎛ 1 0.1 ⎞ ⎛ 0.4 0 ⎞ 例：设A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟, 则 ⎝ 0.2 0.3 ⎠ ⎝ 0.3 0.2 ⎠ ⎛ 1 0.1 ⎞ AU B = ⎜ ⎟ ⎝ 0.3 0.3 ⎠ ⎛ 0 0.9 ⎞ A =⎜ ⎟ ⎝ 0.8 0.7 ⎠
模糊数学简介
• 最后，人们对模糊性的认识往往同随机性混淆起来， 其实它们之间有着根本的区别。随机性是其本身具 有明确的含义，只是由于发生的条件不充分，而使 得在条件与事件之间不能出现确定的因果关系，从 而事件的出现与否表现出一种不确定性。而事物的 模糊性是指我们要处理的事物的概念本身就是模糊 的，即一个对象是否符合这个概念难以确定，也就 是由于概念外延模糊而带来的不确定性。
A( xi ) 这里 表示 xi 对模糊集A的隶属度是A( xi ) 。 xi
（2）序偶表示法
A = {( x1 , A( x1 )), ( x2 , A( x2 )),L, ( xn , A( xn ))}
（3）向量表示法
A = ( A( x1 ), A( x2 ),L, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
第二讲 模糊集合及其运算
一、经典集合与特征函数 典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。 通常用大写字母A、B、C等表示。 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U、V、X、Y等表示。 论域U中的每个对象u称为U的元素。
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A，则必有 u ∈ A 或者u ∉ A ，用函数表示为：
模糊集的基本运算
A ={(x1, 0.4), (x2, 0.5), (x3, 0), (x4, 0.6)}.
四.模糊集的运算性质
1. 经典集合的运算性质 经典集合关于并、交、补运算具有以下性质: 设X为论域, A, B, C为X上的经典集合, 则
A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). X上的模糊集B为:
帅哥
B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37). 则根据定义有BA.
超男
定义 论域X上的模糊集A与B称为是相等的, 如果AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
3. 模糊集的并 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}.
第二章 模糊集的基本运算
一. 模糊集的表示方法
模糊集合是论域X 到[0,1]的映射, 因此用隶属函 数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外, 还有 以下的表示方法： 1)序偶表示法
A={(x, A(x)|xX}. 例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中的四 位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法 对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依 次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集 合A记为:
A(x)
1 0
xa xa
1
xa
A(x) ek(xa) x a, k 0
A(x)
1 ek
( xa )2
xa x a, k 01A( x)源自11 b(x a)c
xa x a (b, c 0)
模糊数学的基础知识
模糊数学知识小结与模糊数学相关的问题模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系模糊层次分析法—两两比较指标的确定模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。
由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果模糊数学基础一.Fuzzy 数学诞生的背景1）一个古希腊问题：“多少粒种子算作一堆？”2）Fuzzy 概念的广泛存在性，如“找人问题”3）何谓Fuzzy 概念？，如何描述它？由集合论的要求，一个对象x,对于一个集合，要么属于A,要么不属于A，二者必居其一，且仅居其一，绝对不允许模棱两可。
这种绝对的方法，是不能处理所有科学的问题，即现实生活中的一切事物一切现象都进行绝对的精确化时行不通的，从而产生模糊概念。
二.模糊与精确的关系对立统一，相互依存，可互相转化。
- 精确的概念可表达模糊的意思：如“望庐山瀑布”“飞流直下三千尺，凝是银河落九天”- Fuzzy的概念也能表达精确的意思：模糊数学不是让数学变成模模糊糊的东西，而是让数学进入模糊现象这个禁区，即用精确的数学方法去研究处理模糊现象。
三. 模糊性与随机性的区别事物分确定性现象与非确定性现象- 确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象。
- 非确定性现象分随机现象与模糊现象* 随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义，只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性。
* 模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模糊的。
模糊数学的广泛应用性模糊技术是21世纪的核心技术模糊数学的应用几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域：1）软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等。
2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析。
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c
2
2、软（模糊）划分
x1 1 u11 2 u21 U 3 u 31 M M c uc1 x2 u12 u22 x3 L u13 L u23 xn u1n u2 n u3n M ucn
u32 u33 M M u c2 uc 3
注意：每一个分类都是模糊集
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软划分矩阵满足如下性质： 是模糊矩阵，即0 uij 1.
每个样本属于各类的隶属度之和为1，即
u
i 1
n
c
ij
u1 j u2 j ucj 1
每一类模糊集不能为空集，即
u
j 1
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ij
ui1 ui 2 uin 0
9
注意：不同的分类矩阵对应不用的分类，全体软划分称为 软划分空间。
思考：软划分空间的个数，有限or无限？ 答案：无限
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10
软划分矩阵：
uij 1 x j Vi x j V k k 1
c
2 m 1
聚类中心：
v jk
u
i 1 n i 1
0 max u u Step4：判断 ij ij
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为了最终得到最佳优化，得到软划分矩阵后，还应进行硬划分： （1）直接法； （2）二次分类法
前提：一定要明确分类的数目。
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13
思考2：如何找出最优的分类？
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聚类中心：
xi = {xi1, xi2, , xis}
设 v jk
u
i 1 n i 1
n
ji ik
x
ji
u
得到聚类中心 Vj = {vj1, vj2, , vjs} 如何判断一个硬划分是最优？
min J U ,V min uij xi V j
n
ji ik
x
ji
u
如何一个软划分最优？
min J U ,V min uij xi V j
j 1 i 1 c n 2
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结论：当m > 1,Vi xk时，可以算出近似最优软划分
计算近似最优软划分的步骤：
Step1：给定一个初始软（硬）划分矩阵U0 Step2：根据U0，计算聚类中心Vi Step3：根据Vi，计算优化问题，得到一个新的软划分矩阵U
得到一个分类矩阵
x1 0 2 1 U 3 0 M M c 0 1
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x2
x3 L
xn 1 0 0 M 0
0 0 L 0 0 1 0 M M 0 1
4
分类矩阵满足如下性质：
是布尔矩阵，即uij = 0 or 1
每个样本只能属于其中的某一类，即
u
i 1
n
c
ij
u1 j u2 j ucj 1
每一类至少含有一个样本，即
u
j 1
2018年11月28日
ij
ui1 ui 2 uin 0
5
注意：不同的分类矩阵对应不同的分类，全体分类矩阵 矩阵的集合称为划分空间。
思考1：软划分空间的个数，有限or无限？ 答案：有限
回顾内容
基于模糊相似关系的动态聚类
基本思想：
去掉模糊等价关系的计算
① 建立模糊相似关系 ② 利用—截矩阵得到普通相似关系
ⅰ 建立原始数据矩阵正规化 ⅱ建立模糊相似关系
③ 利用不同的截矩阵得到不同的分类
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具体方法：
（1）直接法 （2）编网法 （3）最大树法
主要例子：
照片问题
2018年11月28日
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主讲内容
7.5 基于模糊划分的聚类方法
基本前提： 预先确定被分类的样本被分成了几类
2018年11月28日
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模糊聚类分析
1、硬划分
设样本集合 X =｛x1, x2, ,xn｝
每个样本的特征为 xi = {xi1, xi2, , xis}
i类 0 第j个样本不属于第 设 uij 1 第j个样本属于第i类