最新2019届高三第三次模拟考试数学

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|0

2. 已知复数z ＝3＋4i

5i ，其中i 是虚数单位，则|z|＝________．

3. 已知双曲线C 的方程为x 24

－y 2

＝1，则其离心率为________．

4. 根据如图所示的伪代码，最后输出i 的值为________． T ←1 i ←2

While T<6 T ←2T i ←i ＋2 End While Print i (第4题)

5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为15，则抽取的样本容量为________．

6. 口装中有形状、大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4.若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．

7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝2a 2，则S 12

S 8

＝________．

8. 若函数f(x)＝cos (ωx －π3)(ω>0)的图象关于直线x ＝π

2对称，则ω的最小值为________．

9. 已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则2a 2＋1a －2b 2＋4

b

的最小值为________．

10. 已知偶函数f(x)的定义域为R ，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x 2＋2)

的解集为____________．

11. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线长最小时，△PAB 的面积为________．

12. 已知点P 在曲线C ：y ＝1

2x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直

的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点．若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________．

13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC

外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上．若AB →·AQ →＝83，则AQ →·CP →

的最

小值为________．

14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝3

2ax 上方，则实数a

的取值范围是________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，在三棱锥PABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，点E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD.求证：

(1) EF ∥平面ABC ； (2) CE ⊥AB.

16. (本小题满分14分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a c ＝2－cos A sin C

. (1) 求角A 的大小；

(2) 若cos(B ＋π6)＝1

4，求cos C 的值．

某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．

(1) 若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；

(2) 当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为

A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4.过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D.直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H.

(1) 求椭圆C 的标准方程；

(2) 若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；

(3) 如果A 1H →＝λA 1P →

，试求λ的取值范围．

已知函数f(x)＝x2＋(2－a)x－aln x，其中a∈R.

(1) 如果曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为1，求实数a的值；

(2) 若函数f(x)的极小值不超过a

2，求实数a的最小值；

(3) 对任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[4，8]，使得f(x1)＝f(x2)成立，求实数a的取值范围．

已知数列{a n }是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n ∈N ，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －

1a n ＝λ(n －1)a 1a n 恒成立．

(1) 如果1a 1，1a 2，1

a 3成等差数列，求实数λ的值；

(2) 已知λ＝1.

①求证：数列{1

a n

}是等差数列；

②已知数列{a n }中，a 1≠a 2.数列{b n }是公比为q 的等比数列，满足b 1＝1a 1，b 2＝1a 2，b 3＝1

a i (i ∈N

)．求证：q 是整数，且数列{b n }中的任意一项都是数列{1

a n

}中的项．

2019届高三模拟考试试卷

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修42：矩阵与变换)

已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210a ，其逆矩阵A －1

＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤b c 01，求A 2.

B. (选修44：坐标系与参数方程)

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩

⎨⎧x ＝2＋2cos θ，

y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．以坐标

原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，(23，π

6

)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．

C. (选修45：不等式选讲)

已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2

a ＋

b ≥1.