第十一章练习题答案

∫∫∫ ∫ ∫∫ 1
解：由高斯公式，原式 = 3 dv = 3 dz
dxdy = 3 π
Ω
0 x2 + y2 ≤z
2
B
v∫ 1. 已 知 Ik = Lk x2 ydx + 2x(1− y2 )dy ， k = 1, 2,3, 4 ， 其 中 L1 : x2 + y2 = 1 ， L2 : x2 + y2 = 2 ，
∫∫ ∫∫ 原式 = 2x2 + 2 y2 + 2z dS = 2 1dxdy = π
∑ 1+ 4x2 + 4y2
Dxy
2
w∫∫ 6. 计算曲面积分 xdydz + ydzdx + (z −1)dxdy ，其中 ∑ 为 xOz 面上的抛物线 z = x2 绕 z 轴旋转
∑
一周所得的旋转曲面与平面 z = 1所围成的封闭曲面，取外侧.
L
BA
−1 0
−1
D
∫ ∫ =
1
dx
1− x2
ydy =
8
−1 0
15
∫ 3. 证明曲线积分 (1,1) (x2 + y)dx + (x − 2 sin2 y)dy 与路径无关，并计算积分值； (0,0)
证明：设 P = x2 + y, Q = x − 2 sin2 y ，则 ∂Q = 1 = ∂P ，所以曲线积分与路径无关
−
∂P ∂y
=
0
，所以
yf (x, y)dx − xf (x, y)dy = 0 .
L
∫∫ 3. 计算曲面积分 I = axdydz + (z + a)2 dxdy ，其中 Σ 是曲面 z = − a2 − x2 − y2 的上侧；
Σ
x2 + y2 + z2
∫∫ ∫∫ 解： I = axdydz + (z + a)2 dxdy = xdydz + (z + a)2 dxdy ，
解：设 P = y sin x + x,Q = xy − cos x + x2 ，则 ∂Q − ∂P = y + 2x ，由格林公式 ∂x ∂y
1
1− x2
1
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 则 Pdx + Qdy = ( y + 2x)dxdy − Pdx + Qdy = dx ydy − xdx （注意对称性的应用）
1
dxdy =
(1− x2 − y2 )dxdy = π
∑
x2 + y2 ≤1
1− x2 − y2
x2 + y2 ≤1
2
∫∫ 5. 计算 I = xdydz + ydzdx + 2zdxdy ，其中 ∑ 为曲面 z = 1− x2 − y2 在第一卦限的部分取上侧； ∑
解： ∑ 指定侧的单位法向为 nK = (2x, 2 y,1) ，所以 1+ 4x2 + 4y2
第十一章 曲线积分与曲面积分测试题
A
一、填空题
v∫ 1. 设 L 为圆周 x2 + y2 = a2 ，则 (x2 + y2 )ds = 2π a3 ； L
∫ 2. 设 Γ 为从点 O(0, 0, 0) 到 A(1, 2,3) 的直线段，则 (x + y + z)ds = 3 14 ； Γ
v∫ 3. (x − y)dx + (x + y)dy = 2 ，其中 L 为以 O(0, 0) 、 A(1,1) 、 B(2, 0) 为顶点的三角形区域的边 L
2， 2
L3
:
x
=
cosθ ,
y
=
sinθ , 0
≤θ
≤
π 4
，
v∫ ∫ ∫ ∫ (x + y)ds = (x + y)ds + (x + y)ds + (x + y)ds
L
L1
L2
L3
∫ ∫ ∫ =
1
xdx + 2 2
2
2 xdx +
π 4
(cosθ
+ sinθ )dθ
=
3+
2
0
0
0
2
∫ 2. 计算 ( y sin x + x)dx +(xy − cos x + x2 )dy ，其中 L 为 y = 1− x2 从 A(1, 0) 到 B(−1, 0) 的一段弧； L
∂x
∂y
∫ ∫ ∫ 选择折线路径，
(1,1)
Pdx + Qdy =
1 x2dx +
1
(1 −
2 sin2
y)dy
=
1
+
1
sin
2
(0,0)
0
0
32
∫∫ 4. 计算 I = z3dS ，其中 ∑ 为上半球面 z = 1− x2 − y2 ； ∑
∫∫ ∫∫ ∫∫ 解： z3dS =
3
(1− x2 − y2 )2
2
Σ
w∫∫ 6. 设 Σ 为球心在原点，半径为 R 的球面的外侧，则 xdydz + ydzdx + zdxdy = 4π R3 .
Σ
二、计算题
v∫ 1. 计算 (x + y)ds ，其中 L 为 y = 0, y = x, y = 1− x2 所围成的扇形区域（第一象限部分）的边 L
界；
解：曲线 L 分为三部分， L1 : y = 0, 0 ≤ x ≤ 1， L2 : y = x, 0 ≤ x ≤
L3 : x2 + 2 y2 = 2 ， L4 : 2x2 + y2 = 2 ，均取逆时针方向，则 max{I1, I2 , I3, I4} = I3 ；（提示：运用
格林公式和二重积分的几何意义）
2.
设函数
f (x, y) 在单连通域 D 内具有连续偏导数，对于任意 t > 0 ，有
f (tx,ty) = 1 t2
y))
=
−2
f
( x,
y) −
xfx (x,
y)
−
yf y (x,
y)
f
(tx,
ty)
=
1 t2
f
(x,
y)
两边对
t
求导得
xf1′ (tx,
ty)
+
yf
′
2
(tx,
ty)
=
−
2 t3
f (x, y) ，取 t = 1，则
v∫ xf1′ ( x,
y)
+
yf
′
2
(
x,y)=−2f( x,
y) ，所以
∂Q ∂x
f (x, y) ，证
v∫ 明：对于 D 内任意的简单封闭曲线 L ，有 yf (x, y)dx − xf (x, y)dy = 0 ； L
证明：记 P = yf (x, y) ， Q = −xf (x, y) ，则
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
=
−
f
(x,
y)
−
xfx (x,
y) − (
f
(x,
y)
+
yf y (x,
界，取正向；
∫∫ 4. 设 Σ 为旋转抛物面 z = 1 (x2 + y2 ) 介于 z = 0 与 z = 2 之间的部分，则 xdS = 0 ；（对称性）
2
Σ
∫∫ 5. 设 Σ 为旋转抛物面 z = 1 (x2 + y2 ) 介于 z = 0 与 z = 2 之间的部分，取下侧，则 zdxdy = −4π ；
Σ
x2 + y2 + z2
Σ
a
补面 Σ1 : z = 0, x2 + y2 ≤ a2 ，取下侧，由高斯公式得