大学物理习题第一章(运动学)概要

原点时的速度和加速度分别为（ ）。 (A) 8m/s，16m/s2
√ (B) -8m/s，-16m/s2
(C) -8m/s，16m/s2 (D) 8m/s，-16m/s2
8、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的 定滑轮拉湖上的船向岸边运动，设该人以匀速率v收绳，绳长不 变，湖水静止，则小船的运动是（ ）。
解：根据题意
a dv dv dx v dv kv2 dt dx dt dx
把式子v dv kv2整理 dx
则可得到 1 dv kdx
v
v1
x
两边积分
dv kdx
v v0
0
ln v v kx x
v0
0
v v0ekx
例5 某质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x 的关系
。
在t=0时，v 0, x A,其中A,均为正常数 ，求此质点的运动学方程。
解：
a A2 sint
dv A2 sin t
dt
v
dv
t A 2 sin tdt
0
0
v A cost A
dx A cost A dt
x
A
dx

t
例3 由楼窗口以初速度v0水平抛出一小球，若沿v0方向为x轴， 竖直向下为y 轴，不计空气阻力，由抛出瞬间开始计时，（重 力加速度为g）。 求： （1）小球在任一时刻t的坐标及小球运动的轨迹方程；
（2）小球在t 时刻的速度、切向加速度和法向加速度。
解：（1）根据题意小球的运动方程为
x v0t
√ (C)抛体运动
(D)匀速率曲线运动
）。
6、质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T秒转一圈。
在2T时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为（ ）。
(A) 2 R/T ，2 R/T
√ (B) 0，2 R/T
(C) 0，0
(D) 2 R/T ，0
7、质点在x 轴上运动，运动方程为x=4t 2-2t 3，则质点返回
0
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0
则 1 v 2 v 5x 2x3 x
20
0
1 v2 5x 2x3 2
v 10x 4x3
1、 某质点沿x轴作直线运动，其v-t曲线如图所示， 如果t=0时质点位于坐标原点，则t=4.5s时质点在x轴 上的位置为（ ）。
(A) 0 (B) 5m √ (C) 2m (D) －2m
（2）总加速度大小为a = (at2 + an2)1/2，
当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，解得 an at 3
即 r 2 r 3 (12t2 )2 24t 3
得 t3 3 / 6 2 4t3 3.15 (rad)
（3）当at = an时，可得rβ = rω2， 即 24t = (12t2)2， 解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．
2、某质点的运动方程为x=3t-5t3+5，则该质点作（ (A) 匀加速直线运动，加速度沿X轴正方向 (B) 匀加速直线运动，加速度沿X (C) 变加速直线运动，加速度沿X
√ (D) 变加速直线运动，加速度沿X轴负方向
3、某物体的运动规律为a kv2t ，式中的k为大于零的常
数。当t=0时，初速为v０，则速度v与时间t 的函数关系是（ ）。
质点位移的大小为
，质点走过的路程为
。
8m ， 10m
12、半径为R的圆周上运动的质点，速率与时间的关系为
，则从0时刻到t 时刻质点走过的路程S（t）
=t_时_v刻__质_，b点t 2的切向加速at =_____，法向加速度 a n =____ .
1 bt3 3
，
2bt
，
b2t 4 R
13、某质点P 沿半径为R 的圆周运动，质点所经过的弧长与 时间的关系 S bt 1 ct 2，其中b、c 是大于零的常量，则 t 时 刻质点P 的速度大小2 为_______，角加速度大小为________， 加速度大小为___________。
√
4、对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的（ ）。 (A)切向加速度必不为零
√ (B) 法向加速度必不为零（拐点处除外）
(C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零 (D) 若物体的加速度a为恒矢量，它一定作匀变速率运动
5、以下四种运动，加速度保持不变的运动是（ (A)单摆的运动 (B)圆周运动
a 5 6x2
，如果质点在原点处的速度为零，试求其在
任意位置处的速度。
解：设质点在x 处的速度为v
根据题意 , 加速度可以表达为 a dv dv dx v dv 5 6x2
dt dx dt dx
将上式进行整理并将等式两边积分
v
vdv
x (5 6x2 )dx
16t 2 1
a
a2 x
ay2


d
2
x
2

dt 2




d2y dt 2
2

8
at

dv dt

32t 16t 2 1
an
a2 at2
8 16t2 1
例2 一质点以半径r=0.1m做圆周运动，其角位置θ = 2 + 4t3 （rad） 求：（1）t = 1s时，法向加速度an和切向加速度at？
（1）甲车（2）1.19s （3）0.67s
10、某质点在Oxy平面上运动，运动方程
x 2t 3 ,
y

1 t2 2
2t 4 ,
则t=2s末，质点的位置矢量r=_____，速率v=_____, 加速度
a=_____。
7i 2 j ，2 5 ， j
11、某质点的运动方程为x=6t-t2，则在t由0到4s的时间间隔内，
0

A
cos t

A
dt
x A At Asint
20、某物从空中由静止落下，其加速度 a A B , 试求： （1）物体下落的速度； （2）物体的运动方程。
解：（1） A (1 eBt )
B
（2）
y

At B

A B2
(e Bt
1)
解：（1） （2）
a
axi

dv i dt
6ti
v dx 2 3t2 dt
x dx
t
2 3t2 dt
5
2
x 5 2t t3 4 8
x t3 2t 17
19、一质点在x 轴上做直线运动，其瞬时加速度为a A 2sint
例1
已知质点位矢函数为
r



4t 2i (3 2t) j
求： 1）质点运动的轨道方程； 2）t=1秒和t=2秒时刻的速度； 3）从t=1秒到t=2秒的位移，该时间内的平均速度； 4）t时刻的切向加速度和法向加速度。
解：1）由
r

4t
2i

(3

2t)
j
x 4t 2
消t，得轨道方程： x (y 3)2 y 3 2t
y 1 gt 2 2
t 时刻的坐标

v0t,
1 2
gt
2

消去以上方程组中的t，可得小球的轨迹方程
y

gx2 2v02
（2） 速度
dx dy
v
vxi
vy j

i dt

dt
j
v0i
gtj
速率
v
vx2

v
2 y

v02 g 2t 2
切向加速度 法向加速度
c
b ct , R ,
c2

b
ct R2
4
14、飞轮作加速转动时，轮边缘一点的运动方程为 0.04t3 ， 飞轮半径为5m，当此点的速率 v 60m / s 时，其切向加速 度为___________，法向加速度为___________。
12m / s2 , 720m / s2
（A）匀加速运动 （B）匀减速运动
√ （C）变加速运动
（D）变减速运动
9、两辆车甲和乙，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线 上同时出发，由出发点开始计时，行驶距离x(m)与行驶时间t(s)的 函数关系式：甲为x1=4t+t２，乙为x2=2t２+2t3 (1)它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_____； (2)出发后，两辆车行驶距离相同的时刻是_____； (3)出发后，甲车和乙车速度相同的时刻是_____。
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
解: （1）角速度为ω = dθ/dt = 12t2 = 12(rad·s-1)， 法向加速度为an = rω2 = 14.4(m·s-2)； 角加速度为 β = dω/dt = 24t = 24(rad·s-2)， 切向加速度为at = rβ = 2.4(m·s-2)．
15、有一质点沿y轴做直线运动，t时刻坐标为 y 4.5t2 2t3 求：（1）第2秒内的平均速度? （2）第2秒末的瞬时速度? （3）第2秒内的路程?
解：（1）
vy

v(2) v(1) 2 1

0.5m /
s
（2）
vy

dy dt

9t
6t2

6m /
s
（3） y(1.5) y(1) y(2) y(1.5) 2.25m
2）
v

dr

8t i

2j
v (1)

8i

2j
dt
3）位移
r

r2

r1

12i

2
j
v(2)
16i

2j
平均速度 v r r 2 r 1 12i 2 j
t
2 1
4）速率
v
v x2

v
2 y
2
at R 1m / s2 an 2R 2t 2R t 1s
（2） s R 1 Rt2 1.5m
2
18、一质点在x轴上运动，它的速度大小和时间的关系为 v 2 3t2。 当t=2s时，质点在原点左边5m处。 求：（1）质点的加速度? （2）质点的位置表达式?
dv
g 2t
at dt v02 g 2t 2
an
a2 at2
g 2 at2
gv0 v02 g 2t 2
例4 一汽车正以速率 v0行驶，发动机关闭后由于地面阻力得到
与速度方向相反、大小与速率平方成正比的加速度 a kv2
。
试求汽车在关闭发动机后又行驶x 距离时的速率。
16、已知质点的运动方程为 r a sinti b costj ，其中 a、b、 均为正常数。 求：（1）质点的速度和加速度?
（2）运动轨迹方程?
解：（1） v dr a costi b sintj
dt a dv a2 sinti b2 costj
dt
（2）
x asin wt
y b cos wt
x2 a2

y2 b2
1
17、一质点从静止出发沿半径为R 3m 的圆周运动，角加速度
1rad / s2
求：（1）经过多长时间它的总加速度恰好与半径成45o角？ （2）此时质点所经过的路程为多少？
解：（1） at an 3m / s