根据人口增长模型的数学建模

数学建模论文

题目：人口增长模型的确定专业、姓名：

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人口增长模型

摘要

随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790—1980年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数的变化。预测美国未来的人口。对于问题我们选择建立Logistic模型(模型2)现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型3）进行预测。预测接下来的每隔十年五次人口数量，分别为251.4949， 273.5988 ， 293.4904 ， 310.9222 325.8466。关键词：人口预测Logistic模型指数模型

一、问题重述

1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。

试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。

如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。

二、问题分析

人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。

人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(5～20年)和长期预测(20～50年)。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。

三、问题假设

1.在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害、突发事故

或战争等而受到大的影响；

2.假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则

3.假设人口增长不受环境最大承受量的限制

四、变量说明

：数据的起始时间，即1790年

t：时间

r：人口增长率

x∞：人口常数最大值

五、模型建立

模型一

图一

由图1可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线，因此我们假设美国的人口满足函数关系x=f(t), f(t)=e a+bt，a,b为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a,b是函

数∑

=-

=

n

i

i

i

x t

f

b

a

E

1

2

)

)

(

(

)

,

(的最小值点。其中x i是t i时刻美国的人口数。利用MA TLAB 软件中的曲线拟合程序“lsqcurvefit”。

模型二

上述模型对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地

增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数x ∞，我们假设人口的静增长率为r(1-x(t)/x ∞)，即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小，当t →∞时，静增长率趋于零。

按照这个假设，得到

⎪⎩⎪⎨⎧=-=∞00

)()1(x

t x x x r dt dx

(1) 这便是荷兰数学家Verhulst 于19世纪中叶提出的阻滞增长模型（logistic 模型）。

利用分离变量法，人口的变化规律为：

r t e

x x x )1790(3910

)1(1--∞∞

-+=

(2)

利用MATLAB 软件中的“lsqcurvefit ”命令和函数(2) 来拟合所给的人口统计数据，

从而确定出(2)中的待定参数r 和x ∞。

模型三

从图5 看出，在前一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的预测应该更好。因此，把用函数(2)来拟合所给人口统计数据的评价准则略加修改，看效果如何。将拟合准则改为：

∑∑+==-+-=21

1

2

1

2

))(())(()(min n i i i n i i i x t f w x t f a E

其中w 为右端几个点的误差权重，在此处应该取为大于1的数，这样会使右边的拟合误差减小，相应的，其他点的误差会有所增加。如何才能使这些误差的增减恰当呢？可以通过调整w 和n 的具体取值，比较他们取各种不同值时的拟合效果，从而确定出一个合适的数值。

六、模型求解 模型一

图二

a =0.0154 -25.1080

x1 =279.0104

x2 =325.6156

x3 =380.0056

x4 =443.4808

X5=517.5587

模型二

图三

a =285.8931 0.0286 x1=230.9149

x2 =242.5078

x3 =252.0148

x4 =259.6639

x5 =265.7242

模型三

图四

a =388.7178 0.0260

x1 =251.4949