2019-2020年人教统编【三维设计】高考数学二轮复习第一阶段专题二第三节平面向量课件理课件

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备战2023年新高考数学二轮专题复习课件立体几何

第三讲立体几何——大题备考【命题规律】立体几何大题一般为两问：第一问通常是线、面关系的证明；第二问通常跟角有关，一般是求线面角或二面角，有时与距离、几何体的体积有关．微专题1线面角保分题[2022·辽宁沈阳二模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝2AB＝4，点M是P A的中点．(1)求证：BD⊥CM；(2)求直线PC与平面MCD所成角的正弦值．提分题例1 [2022·全国乙卷]如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E 为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．听课笔记：【技法领悟】利用空间向量求线面角的答题模板巩固训练1[2022·山东泰安一模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，P A⊥平面ABCD，E为PD中点．(1)若P A＝1，求证：AE⊥平面PCD；(2)当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥E-ABC的体积．微专题2二面角保分题[2022·山东临沂二模]如图，AB是圆柱底面圆O的直径，AA1、CC1为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且AB＝AA1＝2BC＝2CD，E、F分别为A1D、C1C的中点．(1)证明：EF∥平面ABCD；(2)求平面OEF与平面BCC1夹角的余弦值．提分题例2 [2022·湖南岳阳三模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，F是PD 的中点．(1)证明：PB∥平面AFC；(2)若直线P A⊥平面ABCD，AC＝AP＝2，且P A与平面AFC所成的角正弦值为√21，求7锐二面角F-AC-D的余弦值．听课笔记：AD，现例3 [2022·山东日照二模]如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝12以AC为折痕把△ABC折起，使点B到达点P的位置，且P A⊥CD.(1)证明：平面APC⊥平面ADC；(2)若M为PD上一点，且三棱锥D-ACM的体积是三棱锥P-ACM体积的2倍，求二面角P-AC-M的余弦值．听课笔记：【技法领悟】利用空间向量求二面角的答题模板巩固训练21.[2022·广东韶关二模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，点S是边AB 的中点．AB＝2，AD＝4，P A＝PD＝2√2.(1)若O是侧棱PC的中点，求证：SO∥平面P AD；(2)若二面角P-AD-B的大小为2π，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．32．[2022·河北保定一模]如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝1，∠BCD ＝60°，现将DAC沿AC折起至P AC，使得PB＝√2.(1)证明：AB⊥PC；(2)求二面角A-PC-B的余弦值．微专题3探索性问题提分题例4 [2022·山东聊城三模]已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB＝4，△ADE为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面APE⊥平面ABCE.(1)求证：AP⊥BE；(2)试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．听课笔记：【技法领悟】1．通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明；否则假设不成立．2．探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用．巩固训练3[2022·湖南岳阳一模]如图，在三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝SC，BC⊥AC.(1)证明：平面SAB⊥平面ABC；(2)若BC＝SC，SC⊥SA，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60°，若存在，请求出D点的位置；若不存在，请说明理由．第三讲立体几何微专题1线面角保分题解析：(1)证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD ， ∵P A ，AC ⊂平面P AC ，P A∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面P AC ，又CM ⊂平面P AC ， ∴BD ⊥CM .(2)易知AB ，AD ，AP 两两垂直，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A - xyz . ∵P A ＝2AB ＝4，∴A (0，0，0)，P (0，0，4)，M (0，0，2)，C (2，2，0)，D (0，2，0), ∴MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，2，－2)，MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，2，－2)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(2，2，－4)．设平面MCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则{n ·MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y −2z =0n ·MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −2z =0，令y ＝1，得n ＝(0，1，1)．设直线PC 与平面MCD 所成角为θ，由图可知0<θ<π2，则sinθ＝|cos 〈n ，PC ⃗⃗⃗⃗ 〉|＝|n·PC ⃗⃗⃗⃗⃗||n ||PC ⃗⃗⃗⃗⃗|＝√12+12×√22+22+(−4)2＝√36.即直线PC 与平面MCD 所成角的正弦值为√36.提分题[例1] 解析：(1)证明：∵AD ＝CD ，∠ADB ＝ ∠BDC ，BD ＝BD ， ∴△ABD ≌△CBD ，∴AB ＝CB .∵E 为AC 的中点，∴DE ⊥AC ，BE ⊥AC . ∵DE∩BE ＝E ，DE ，BE ⊂平面BED ， ∴AC ⊥平面BED .∵AC ⊂平面ACD ，∴平面BED ⊥平面ACD .(2)如图，连接EF .由(1)知AC ⊥平面BED . 又∵EF ⊂平面BED ， ∴EF ⊥AC . ∴S △AFC ＝12AC ·EF .当EF ⊥BD 时，EF 的长最小，此时△AFC 的面积最小．由(1)知AB ＝CB ＝2. 又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 是边长为2的正三角形，∴BE ＝√3. ∵AD ⊥CD ，∴DE ＝1，∴DE 2＋BE 2＝BD 2，∴DE ⊥BE .以点E 为坐标原点，直线EA ，EB ，ED 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则E (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，√3，0)，C (－1，0，0)，D (0，0，1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，√3，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，0，1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，√3，－1)，ED⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，0，1)，EC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，0，0)．设DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λDB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，则EF ⃗⃗⃗⃗ ＝ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λDB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，0，1)＋λ(0，√3，－1)＝(0，√3λ，1－λ)． ∵EF ⊥DB ， ∴EF⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，√3λ，1－λ)·(0，√3，－1)＝4λ－1＝0， ∴λ＝14，∴EF ⃗⃗⃗⃗ ＝(0，√34，34)，∴CF ⃗⃗⃗⃗ ＝EF ⃗⃗⃗⃗ −EC ⃗⃗⃗⃗ ＝(0，√34，34)－(－1，0，0)＝(1，√34，34)．设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ·AD⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +√3y =0，−x +z =0.取y ＝1，则x ＝√3，z ＝√3，∴n ＝(√3，1，√3)．设当△AFC 的面积最小时，CF 与平面ABD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，CF ⃗⃗⃗⃗ 〉|＝|n·CF ⃗⃗⃗⃗⃗||n ||CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝|√3×1+1×√34+√3×34|√3+1+3× √1+316+916＝4√37. 故当△AFC 的面积最小时，CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为4√37. [巩固训练1]解析：(1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD ， ∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ⊥CD ，又AD∩P A ＝A ，AD 、P A ⊂平面P AD ，∴CD ⊥平面P AD ， ∵AE ⊂平面P AD ，∴AE ⊥CD ，在△P AD 中，P A ＝AD ，E 为PD 的中点，∴AE ⊥PD ，而PD∩CD ＝D ，PD 、CD ⊂平面PCD ， ∴AE ⊥平面PCD .(2)以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AP ＝a (a ＞0)，则C (2，1，0)，P (0，0，a )，E (0，12，a2)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，1，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，12，a 2)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(2，1，－a )，设平面ACE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y =0n ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12y +a 2z =0，取y ＝－a ，可得n ＝(a2，－a ，－1)．设直线PC 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，PC ⃗⃗⃗⃗ 〉|＝|n·FC⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ||FC⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√54a 2+1·√5+a 2＝√29+20a2+5a ≤27，当且仅当a ＝√2时等号成立．即当AP ＝√2时，直线PC 与平面ACE 所成角最大，此时三棱锥E - ABC 的体积V ＝13×12×2×1×√22＝√26.微专题2 二面角保分题解析：(1)证明：取AD 的中点M ，连接EM 、MC ，∵E 为A 1D 的中点，F 为CC 1的中点，∴EM ∥AA 1，EM ＝12AA 1，又CF ∥AA 1，CF ＝12AA 1， ∴EM ∥CF ，EM ＝CF ，∴四边形EMCF 为平行四边形，∴EF ∥CM ，又EF ⊄平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD .(2)设AB ＝AA 1＝2BC ＝2CD ＝4，∵AC ⊥BC ，∴AC ＝2√3.由题意知CA 、CB 、CC 1两两垂直，故以C 为坐标原点，分别以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．则A 1(2√3，0，4)、O (√3，1，0)、F (0，0，2)、C (0，0，0)、D (√3，－1，0)， ∴A 1D 的中点E 的坐标为(3√32，－12，2)， ∴OF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3，－1，2)，EF ⃗⃗⃗⃗ ＝(－3√32，12，0)，设平面OEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则{n ·OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ·EF ⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√3x −y +2z =0−3√32x +12y =0，即{√3x +y −2z =03√3x −y =0，令x ＝√3，得n ＝(√3，9，6)，∵AC ⊥BC ，AC ⊥CC 1，BC ∩CC 1＝C ， ∴AC ⊥平面BCC 1，∴平面BCC 1的一个法向量为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2√3，0，0)，cos 〈n ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝n·CA ⃗⃗⃗⃗⃗|n |·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗|＝√3+81+36·2√3＝√1020， ∴平面OEF 与平面BCC 1夹角的余弦值为√1020. 提分题[例2] 解析：(1)证明：连接BD 交AC 于O ，易证O 为BD 中点，又F 是PD 的中点，所以OF ∥PB ，又OF ⊂平面AFC ，且PB 不在平面AFC 内，故PB ∥平面AFC .(2)取PC 中点为Q ，以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OQ 为z 轴建立空间直角坐标系，设OB ＝m ，则A (0，－1，0)，B (m ，0，0)，C (0，1，0)，P (0，－1，2)，D (－m ，0，0)⇒F (－m2，－12，1)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，0，2)，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－m 2，－12，1)，OC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，1，0)，设平面AFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由{n ⊥OF ⃗⃗⃗⃗⃗ n ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒{−m2x −12y +z =0y =0，令x ＝2，有n ＝(2，0，m )，由P A 与平面AFC 所成的角正弦值为√217⇒√217＝|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||AP⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|＝2√4+m 2⇒m ＝√3，平面ACD 的法向量为m ＝(0，0，1)，则锐二面角F - AC - D 的余弦值为 |m·n ||m |·|n |＝√3√7＝√217.[例3] 解析：(1)证明：在梯形ABCD 中取AD 中点N ，连接CN ，则由BC 平行且等于AN 知ABCN 为平行四边形，所以CN ＝AB ，由CN ＝12AD 知C 点在以AD 为直径的圆上，所以AC ⊥CD .又AP ⊥CD ，AP∩AC ＝A, AP ，AC ⊂平面P AC ， ∴CD ⊥平面P AC ，又CD ⊂平面ADC ， ∴平面APC ⊥平面ADC .(2)取AC 中点O ，连接PO ，由AP ＝PC ，可知PO ⊥AC ，再由平面P AC ⊥平面ACD ，AC 为两面交线，所以PO ⊥平面ACD ，以O 为原点，OA 为x 轴，过O 且与OA 垂直的直线为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝2，则A (√3，0，0)，C (－√3，0，0)，P (0，0，1)，D (－√3，2，0)，由V P - ACM ∶V D - ACM ＝1∶2，得PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +13PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√33，23，23)，设平面ACM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由{n ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{−√33x +23y +23z =0√3x =0，取z ＝－1得x ＝0，y ＝1，所以n ＝(0，1，－1)，而平面P AC 的法向量m ＝(0，1，0)，所以cos 〈n ，m 〉＝m·n |m ||n |＝√22. 又因为二面角P - AC - M 为锐二面角，所以其余弦值为√22.[巩固训练2]1．解析：(1)证明：取线段PD 的中点H ，连接SO 、OH 、HA ，如图，在△PCD 中，O 、H 分别是PC 、PD 的中点，所以OH ∥CD 且OH ＝12CD ，所以OH ∥AS 且OH ＝AS ，所以四边形ASOH 是平行四边形，所以SO ∥AH ，又AH ⊂平面P AD ，SO ⊄平面P AD ，所以SO ∥平面P AD .(2)取线段AD 、BC 的中点E 、F ，连结PE 、EF .由点E 是线段AD 的中点，P A ＝PD 可得PE ⊥AD ，又EF ⊥AD ，所以∠PEF 是二面角P - AD － B 的平面角，即∠PEF ＝23π，以E 为原点，EA⃗⃗⃗⃗⃗ 、EF ⃗⃗⃗⃗ 方向分别为x 轴、y 轴正方向，建立如图所示坐标系，在△P AD 中，AD ＝4，P A ＝PD ＝2√2知：PE ＝2，所以P (0，－1，√3)，D (－2，0，0)，B (2，2，0)，C (－2，2，0)，所以PD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－2，1，－√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3，－√3)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2，3，－√3)，设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则{n ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗=0n ·PC⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x +3y −√3z =0−2x +3y −√3z =0，可取n ＝(0，1，√3)，设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PD⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 〉|＝2·2√2＝√24，所以直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值为√24.2．解析：(1)证明：在等腰梯形ABCD 中，过A 作AE ⊥BC 于E ，过D 作DF ⊥BC 于F ，因为在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝CD ＝1，∠BCD ＝60°，所以BE ＝CF ＝12CD ＝12，AE ＝DF ＝√12−(12)2＝√32，所以AC ＝BD ＝√(32)2+(√32)2＝√3， BC ＝2，所以BD 2＋CD 2＝BC 2，所以BD ⊥CD ，同理AB ⊥AC ，又因为AP ＝AB ＝1，PB ＝√2， ∴AP 2＋AB 2＝PB 2，∴AB ⊥AP又AC∩AP ＝A ，AC ，AP ⊂平面ACP ，所以AB ⊥平面ACP ，因为PC ⊂平面ACP ，所以AB ⊥PC .(2)取AC 的中点为M ，BC 的中点为N ，则MN ∥AB ，因为AB ⊥平面ACP ，所以MN ⊥平面ACP ，因为AC ，PM ⊂平面ACP ，所以MN ⊥AC ，MN ⊥PM ，因为P A ＝PC ，AC 的中点为M ，所以PM ⊥AC ，所以MN ，MC ，MP 两两垂直，所以以M 为原点，以MN 所在直线为x 轴，以MC 所在直线为y 轴，以MP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，－√32，0)，B (1，－√32，0)，C (0，√32，0)，P (0，0，12)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(0，√32，－12)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－√32，－12)，平面APC 的一个法向量为m ＝AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，0，0)，设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 {n ·PC⃗⃗⃗⃗ =√32y −12z =0n ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −√32y −12z =0，令y ＝1，则n ＝(√3，1，√3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝√31×√7＝√217，因为二面角A - PC - B 为锐角，所以二面角A - PC - B 的余弦值为√217.微专题3 探索性问题提分题[例4] 解析：(1)证明：因为四边形ABCD 为平行四边形，且△ADE 为等边三角形，所以∠BCE ＝120°，又E 为CD 的中点，所以CE ＝ED ＝DA ＝CB ，即△BCE 为等腰三角形，所以∠CEB ＝30°.所以∠AEB ＝180°－∠AED －∠BEC ＝90°，即BE ⊥AE .又因为平面AEP ⊥平面ABCE ，平面APE ∩平面ABCE ＝AE ，BE ⊂平面ABCE ，所以BE ⊥平面APE ，又AP ⊂平面APE ，所以BE ⊥AP .(2)取AE 的中点O ，连接PO ，由于△APE 为正三角形，则PO ⊥AE ，又平面APE ⊥平面ABCE ，平面APE ∩平面ABCE ＝AE ，PO ⊂平面EAP ，所以PO ⊥平面ABCE ，PO ＝√3，BE ＝2√3，取AB 的中点G ，则OG ∥BE ，由(1)得BE ⊥AE ，所以OG ⊥AE ，以点O 为原点，分别以OA ，OG ，OP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz ，则O (0，0，0)，A (1，0，0)，B (－1，2√3，0)，P (0，0，√3)，E (－1，0，0)，则EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，0，0)，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，2√3，0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，2√3，－√3)，EP ⃗⃗⃗⃗ ＝(1，0，√3), 假设存在点F ，使平面AEF 与平面AEP 的夹角为45°，设PF⃗⃗⃗⃗ ＝λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－λ，2√3λ，－√3λ)，λ∈[0，1]，则EF ⃗⃗⃗⃗ ＝EP ⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗ ＝(1，0，√3)＋(－λ，2√3λ，－√3λ)＝(1－λ，2√3λ，√3−√3λ)，设平面AEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由{EF ⃗⃗⃗⃗·m =0EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0得{(1−λ)x +2√3λy +(√3，－√3λ)z =02x =0，取z ＝2λ，得m ＝(0，λ－1，2λ);由(1)知EB⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面AEP 的一个法向量，于是，cos 45°＝|cos 〈m ，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|＝|m·EB ⃗⃗⃗⃗⃗||m |·|EB ⃗⃗⃗⃗⃗|＝2√3|λ−1|2√3·√5λ2−2λ+1＝√22，解得λ＝13或λ＝－1(舍去)，所以存在点F ，且当点F 为线段PB 的靠近点P 的三等分点时，平面AEF 与平面AEP 的夹角为45°.[巩固训练3]解析：(1)证明：取AB 的中点E ，连接SE ，CE ，∵SA ＝SB ，∴SE ⊥AB ， ∵BC ⊥AC ，∴三角形ACB 为直角三角形，∴BE ＝EC ，又BS ＝SC ，∴△SEC ≌△SEB ，∴∠SEB ＝∠SEC ＝90°， ∴SE ⊥EC ，又SE ⊥AB ，AB∩CE ＝E ，∴SE ⊥平面ABC . 又SE ⊂平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面ABC .(2)以E 为坐标原点，平行AC 的直线为x 轴，平行BC 的直线为y 轴，ES 为z 轴建立空间直角坐标系，如图，不妨设SA ＝SB ＝SC ＝2，SC ⊥SA ，则AC ＝2√2，BC ＝SC ＝2知EC ＝2√3，SE ＝1，则A (－√2，1，0)，B (√2，－1，0)，C (√2，1，0)，E (0，0，0)，S (0，0，1)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2√2，－2，0)，SA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－√2，1，－1)，设D (x ，y ，z )，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λCS⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，则(x －√2，y －1，z )＝λ(－√2，－1，1)， ∴D (√2−√2λ，1－λ，λ)，BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√2λ，2－λ，λ)．设平面SAB 的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则{n ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2x 1−2y 1=0n ·SA ⃗⃗⃗⃗ =−√2x 1+y 1−z 1=0，取x 1＝1，得n ＝(1，√2，0)，sin 60°＝|n·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则√2−2√2λ|√3√2λ2+(2−λ)2+λ2＝√32，得λ2＋7λ＋1＝0，又∵0≤λ≤1，方程无解，∴不存在点D ，使直线BD 与平面SAB 所成的角为60°.。

2019-2020学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2讲义：第一章 1.1 1.1&1.1.2 变化率问题导数

1．1.1&1.1.2 变化率问题导数的概念预习课本P2～6，思考并完成下列问题(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？[新知初探]1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (4)平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率，如图所示．[点睛] Δx 是变量x 2在x 1处的改变量，且x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率[点睛] “Δx 无限趋近于0”的含义Δx 趋于0的距离要多近有多近，即|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx ≠0. 3．导数的概念1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．质点运动规律为s (t )＝t 2＋3，则从3到3＋Δt 的平均速度为( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt答案：A3．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上两点A ，B ，且x A ＝1，x B ＝1.1，则函数f (x )从A 点到B 点的平均变化率为( )A ．4B ．4xC ．4.2D ．4.02答案：C4．在f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，Δx 不可能为( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案：C[典例] 求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？[解] 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ；若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193，由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0. (3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0.[活学活用]求函数y ＝x 3从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．解：当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝(x 0＋Δx )3－x 30Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2，当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋⎝⎛⎭⎫122＝194.求瞬时速度[典例] )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．[解] (1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，li mΔt →0 ΔsΔt＝li m Δt →0 (3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ， lim Δx →ΔsΔt ＝lim Δx →0(－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝Δs Δt； (3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v ，即为瞬时速度． 2．求ΔyΔx (当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算； (2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可． [活学活用]一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝12t 2，则t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选A ∵Δs Δt ＝12(2＋Δt )2－12×22Δt ＝12Δt ＋2，∴lim Δx →Δs Δt ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫12Δt ＋2＝2，故选A.求函数在某点处的导数[典例] (1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δy Δt； ②求t 1＝4时的导数． [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， li mΔx →0 11＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12.答案：(1)12(2)解：①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1.②lim Δx →Δy Δt ＝lim Δx →0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48，故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48，即y ′|t 1＝4＝48.1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)求极限lim Δx →Δy Δx. 2．瞬时变化率的变形形式lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝lim Δx →f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx＝f ′(x 0)．[活学活用]求函数y＝x－1x在x＝1处的导数．解：因为Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－()1－1＝Δx＋Δx1＋Δx，所以ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→2，所以函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.对应课时跟踪检测(一)层级一学业水平达标1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是() A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线解析：选D当f(x)＝b时，瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0b－bΔx＝0，所以f(x)的图象为一条直线．2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为() A．2.1 B．1.1C．2 D．0解析：选A ΔyΔx＝f(1.1)－f(1)1.1－1＝0.210.1＝2.1.3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b解析：选C f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0(a＋b·Δx)＝a.4．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为() A．6B．18C．54D．81解析：选B∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt.∴limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0(18＋3Δt )＝18，故应选B.5．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3D ．0解析：选C f ′(0)＝lim Δx →0 (0＋Δx )2－3(0＋Δx )－02＋3×0Δx＝li m Δx →0 (Δx )2－3ΔxΔx ＝lim Δx →0 (Δx －3)＝－3.故选C.6．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →a (1＋Δx )＋4－(a ＋4)Δx＝a ，∴a ＝2.答案：27.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．解析：v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ，由图象知k OA ＜k AB ＜k BC . 答案：v 1＜v 2＜v 38．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 答案：28π39．质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(s 单位：m ，t 单位：s)．若质点在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解：∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[a (2＋Δt )2＋1]－(a ×22＋1)＝4a Δt ＋a (Δt )2，∴ΔsΔt ＝4a ＋a Δt ，∴在t ＝2时，瞬时速度为lim Δx →ΔsΔt＝4a,4a ＝8，∴a ＝2. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1x ，x >0，1＋x 2，x ≤0求f ′(4)·f ′(－1)的值．解：当x＝4时，Δy＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx＝4＋Δx－224＋Δx＝Δx24＋Δx(4＋Δx＋2).∴ΔyΔx＝124＋Δx(4＋Δx＋2).∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0124＋Δx(4＋Δx＋2)＝12×4×(4＋2)＝116.∴f′(4)＝1 16.当x＝－1时，ΔyΔx＝f(－1＋Δx)－f(－1)Δx＝1＋(－1＋Δx)2－1－(－1)2Δx＝Δx－2，由导数的定义，得f′(－1)＝li mΔx→0(Δx－2)＝－2，∴f′(4)·f′(－1)＝116×(－2)＝－18.层级二应试能力达标1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则Δy Δx等于()A．4B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2解析：选C ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝2(1＋Δx)2－4＋2Δx＝2(Δx)2＋4ΔxΔx＝2Δx＋4.2.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是()A．v甲＞v乙B．v甲＜v乙C．v甲＝v乙D．大小关系不确定解析：选B设直线AC，BC的斜率分别为k AC，k BC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝k AC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝k BC.因为k AC＜k BC，所以v甲＜v乙．3．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足limΔx→0f(Δx)Δx＝－1，则f′(0)＝()A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选B∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝limΔx→0f(0＋Δx)－f(0)Δx＝limΔx→0f(Δx)Δx＝－1，∴选B.4．已知f(x)＝2x，且f′(m)＝－12，则m的值等于()A．－4 B．2 C．－2 D．±2解析：选D f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝－2x2，于是有－2m2＝－12，m2＝4，解得m＝±2.5．已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t＝________.解析：∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，∴ΔyΔx＝t2－t1－t＝－t. 又∵ΔyΔx＝2，∴t＝－2.答案：－26．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.解析：ΔsΔt＝7(t0＋Δt)2＋8－(7t20＋8)Δt＝7Δt＋14t0，当limΔx→0(7Δt＋14t0)＝1时，t＝t0＝114.答案：1 147．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解：位移公式为s＝12at2，∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at2＝at0Δt＋12a(Δt)2，∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0⎝⎛⎭⎫at0＋12aΔt＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800 m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.8．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．(1)limΔx→0f(x0－mΔx)－f(x0)Δx；(2)limΔx→0f(x0＋4Δx)－f(x0＋5Δx)Δx.解：(1)limΔx→0f(x0－mΔx)－f(x0)Δx＝－m limΔx→0f(x0－mΔx)－f(x0)－mΔx＝－mf′(x0)．(2)原式＝limΔx→0f(x0＋4Δx)－f(x0)－[f(x0＋5Δx)－f(x0)]Δx＝limΔx→0f(x0＋4Δx)－f(x0)Δx－limΔx→0f(x0＋5Δx)－f(x0)Δx＝4limΔx→0f(x0＋4Δx)－f(x0)4Δx－5limΔx→0f(x0＋5Δx)－f(x0)5Δx＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．。

数学三维设计一轮复习资料

数学三维设计一轮复习资料数学三维设计是高考数学难度较大的一项，要求考生在三维几何空间中进行计算和分析，并能够进行图形的设计与实现。

由于数学三维设计的考察范围涉及的知识点较多且难度较大，因此对于考生来说复习备考不可掉以轻心。

在这篇文章中，我将会为大家整理一些数学三维设计的复习资料，以帮助大家更好地备考。

一、知识点整理要备考数学三维设计，首先需要掌握相关的知识点和概念。

数学三维设计的考察范围包括了三维几何空间的基本概念、向量的应用、直线和平面的方程、球面的方程、圆锥曲线的方程和参数方程等等。

在备考的过程中，我们需要将这些内容进行分类整理，进行深入的理解和掌握。

二、例题练习例题练习是备考数学三维设计时必不可少的环节。

通过高质量的例题练习，我们能够切实提高自己的解题能力和应试经验。

在备考过程中，我们可以通过参考历年高考数学试题中的数学三维设计部分来进行例题练习。

同时，我们也可以通过参考教辅材料中的例题进行深入的训练。

三、模拟测试模拟测试是检测备考成果的重要环节，有效的模拟测试练习可以帮助我们全面地了解自己的备考成果和复习情况，并及时发现和解决存在的问题。

在备考过程中，我们可以通过模拟考试来检测自己的备考水平并提高应试能力。

此外，备考时还可以参加各类模拟考试，学习不同的解题方法和策略。

四、思维拓展数学三维设计不仅考验了考生的计算能力和操作水平，同时也考察了考生的思维能力和逻辑思维能力。

因此，在备考过程中，我们需要注意深入理解和扩展思维。

从历史的数学思想到现代的科技应用，我们需要通过多方面的学习和了解来扩展自己的思维。

五、课程辅导针对某些难点和需要进一步澄清的知识，我们可以参加数学相关的培训或课程辅导。

这些课程辅导不仅可以为我们解答疑惑，更可以帮助我们系统性地学习和掌握数学三维设计的相关内容。

以上就是关于数学三维设计一轮复习资料的整理总结。

备考数学三维设计需要我们掌握基本的知识点和概念，通过例题练习和模拟测试来巩固和提高应试经验，同时还需要拓展思维，吸收多方面的思考和理解。

【三维设计】高考数学二轮专题复习第二部分专题2 数形结合思想课件新人教(江苏专)

解析：将两个命题用数轴表示，如图：从图中可以看出，命题甲是命题乙的充分不必要条件．答案：充分不必要
2．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心均为坐标原点，它们的焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若PF1＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：如图，由题意知PF1＝10， PF2＝2c，且PF1>PF2.
圆锥曲线中与焦点有关的最值问题，求解时可作出图形，借助定义数Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 ________．
解析：点 Q(2，－1)在抛物线 y2＝4x 的内部，要使点 P 到点 Q(2，－1)的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值，根据抛物线的定义知，需使点 P 到点 Q(2，－1)的距离与点 P 到抛物线准线距离之和取得最小，即 PQ⊥准线 l 时最小．则 P14，－1. 答案：14，－1
双曲线的离心率e双＝22ac双
3.设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间[1,2]上，f(x)＝________. 解析：法一：由y＝f(x)是最小正周期为2的函数，得到函数y＝f(x)在区间[1,2]上的图象为如图所示的线段BD.函数y＝f(x)在区间[1,2]上的图象是经过B(1,1)， D(2,2)的线段，由待定系数法，求得f(x)＝x(x∈[1,2])．法二：当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋2；当x∈ [－1,0]时，f(x)＝f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2 (0≤－x≤1)，由最小正周期为2，得当x∈ [1,2]时，f(x)＝f(x－2)＝(x－2)＋2＝x. 答案：x

【三维设计】高考数学(文科,人教版)第二轮专题辅导与测试课件专题三第一讲等差数列、等

(1)判断一个数列是等差等比数列，还有通项公式法及前 n 项和公式法，但不作为证明方法； (2)若要判断一个数列不是等差等比数列，只需判断存在连续三项不成等差等比数列即可；
* (3)a2 ＝ a a n ≥ 2 ， n ∈ N 是{an}为等比数列的必要而－＋ n n 1 n 1
a11－qk＋2 a11－qk＋1 Sk＋2＋Sk＋1＝＋ 1－q 1－q a12－qk 2－qk 1 ＝ . 1－q
＋＋
2a11－qk a12－qk＋2－qk＋1 2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－ 1－q 1－q a1 ＝ [2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)] 1－q a1qk 2 ＝ (q ＋q－2)＝0， 1－q 因此，对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
专题三数列
第一讲等差数列、等比数列
等差、等比数列的基本运算
一、基础知识要记牢
等差数列通项公式前n项和 an＝a1＋(n－1)d
na1＋an Sn＝＝ 2 nn－1 na1＋ d 2
等比数列 an＝a1qn－1(q≠0)
a11－qn (1)q≠1，Sn＝＝ 1－q a1－anq 1－q (2)q＝1，Sn＝na1
(2)证明：法一：对任意k∈N*， Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk) ＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1 ＝2ak＋1＋ak＋1· (－2) ＝0，所以，对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
k 2 a 1 － q 1 *, 法二：对任意k∈N 2Sk＝， 1－q
(2)∵数列{cn}是首项为 a，公比为 p 的等比数列， ∴cn＝c1· p
n－1
＝a· p

2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版(I)

2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版(I)【教学目标】掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题.【知识梳理】1．定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．重要提示1．两个平面垂直的性质定理，即：“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面α的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β α=l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α．2．三种垂直关系的证明(1)线线垂直的证明①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直”；②利用“线面垂直的定义”，即由“线面垂直⇒线线垂直”；③利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”．(2)线面垂直的证明①利用“线面垂直的判定定理”，即由“线线垂直⇒线面垂直”；②利用“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面”；③利用“面面垂直的性质定理”，即由“面面垂直⇒线面垂直”；④利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面”.(3)面面垂直的证明①利用“面面垂直的定义”，即证“两平面所成的二面角是直二面角；②利用“面面垂直的判定定理”，即由“线面垂直⇒面面垂直”.【点击双基】1、在三棱锥A-BCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD,⊿BCD是锐角三角形，那么必有……（）A、平面ABD⊥平面ADCB、平面ABD⊥平面ABCC、平面ADC⊥平面BCDD、平面ABC⊥平面BCDCB E H ASm AP n B α a γ β 2、直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,AC=AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是（）A 、aB 、 2 aC 、22a D 、 3 a 3、设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：① l ⊥α; ② l ∥β;③α⊥β,若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数是（）A 、3B 、2C 、 1D 、 04、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成的二面角A 1-BD-A 的正切值为。

2019年(人教A版)数学高考第二轮复习数学复习(专题4)立体几何(3)》ppt课件

专题四立体几何
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1 ＝4，点 E 在线段 BB1 上，且 EB1＝1，D、F、G 分别为 CC1、 C1B1、C1A1 的中点．
求证：(1)B1D⊥平面 ABD； (2)平面 EGF∥平面 ABD.
专题四立体几何
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
3．平面的法向量求法在平面内任取两不共线向量 a，b，设平面的法向量 n＝(x， y，z)，利用nn··ab＝＝00，，建立 x、y、z 的方程组，取其一组解．
专题四立体几何
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
专题四立体几何
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
7．用向量求空间角与距离的方法 (1)求空间角：设直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b，平面 α、β 的法向量分别为 n、m. ①异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ，则 cosθ＝||aa|·|bb||. ②直线 l1 与平面 α 所成的角为 θ，则 sinθ＝||aa|·|nn||. ③平面 α 与平面 β 所成的二面角为 θ，则|cosθ|＝||nn|·|mm||.
专题四立体几何
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
[点评] 注意到直三棱柱中，侧面AA1C1C为矩形，对角线 AC1与A1C互相平分，故连接AC1与A1C交于点E，则DE∥BC1，第二问易证．在解答立体几何问题时，可以用向量法，也可以用综合几何方法，原则是方便、快捷、正确、规范就行．
专题四立体几何
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【三维设计】高考数学(文科,人教版)第二轮专题辅导与测试课件专题一第三讲基本初等函数

[解]
(1)由年销售量为x件，按利润的计算公式，有生产
A，B两产品的年利润y1，y2分别为y1＝10x－(20＋mx)＝(10－ m)x－20(x∈N,0≤x≤200)， y2＝18x－(8x＋40)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40(x∈ N,0≤x≤120)． (2)因为6≤m≤8，所以10－m>0，函数y1＝(10－m)x－20 在[0,200]上是增函数，所以当x＝200时，生产A产品有最大利润，且y1max＝(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美元)．
二、经典例题领悟好 [例 1] (1)(2012· 四川高考)函数 y＝ax－a(a>0，且 a≠1) ( )
的图像可能是
(2)(2013· 全国卷Ⅱ)设 a＝log32，b＝log52，c＝log23，则 ( A．a>c>b C．c>b>a
[c>a>b
(1)当 x＝1 时，y＝a1－a＝0，所以 y＝ax－a 的
三、预测押题不能少 1．(1)函数y＝x－x 的图像大致为
1 3
(
)
解析：函数y＝x－x 为奇函数．当x>0时，由x－x >0，即x3>x，可得x2>1，故x>1，结合选项，选A.
1 3
1 3
答案：A
(2)若x∈(e 1)，a＝ln 小关系为 A．c>b>a C．a>b>c
－1,
1 x，b＝2ln x，c＝eln x，则a，b，c的大
二、经典例题领悟好 [例 2] (1)函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是 ( A．(－2，－1) C．(0,1) (2)已知函数零点个数是 A．2 C．4 B． 3 D．5 B．(－1,0) D．(1,2)

2019-2020学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：复习课(三) 平面向量 Word版含答案.doc

复习课(三) 平面向量1．题型为选择题和填空题．主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题．2．向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满足交换律、结合律，数乘运算满足结合律、分配律．实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用．[典例] (北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN ＝x AB ＋y AC ，则x ＝________；y ＝________.[解析] ∵AM ＝2MC ，∴AM ＝23AC .∵BN ＝NC ，∴AN ＝12(AB ＋AC )，∴MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－23AC＝12AB －16AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ， ∴x ＝12，y ＝－16.[答案]12 －16[类题通法]向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．[题组训练]1．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)． ∵AB ∥AC ， ∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外， |BC |2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C 由|BC |2＝16，得|BC |＝4. ∵|AB ＋AC |＝|AB －AC |＝|BC |＝4， |AB ＋AC |＝2|AM |， ∴|AM |＝2.3．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP ＝3OA －OB2，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：选B 由于2OP ＝3OA －OB ， ∴2OP －2OA ＝OA －OB ，即2AP ＝BA ， ∴AP ＝12BA ，则点P 在线段AB 的反向延长线上．1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题．2．解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据数量积的定义，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，二是利用坐标运算，即a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法．[典例] (1)(福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32B ．－53C.53D.32(2)(四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB |＝6，|AD |＝4.若点M ，N 满足BM＝3MC ，DN ＝2NC ，则AM ·NM ＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[解析] (1)c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得 k ＝－32.(2)如图所示，由题设知：AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋34AD ， NM ＝NC －MC ＝13AB －14AD ，∴AM ·NM ＝⎝⎛⎭⎫AB ＋34 AD ·⎝⎛⎭⎫13 AB －14 AD ＝13|AB |2－316|AD |2＋14AB ·AD －14AB ·AD ＝13×36－316×16＝9. [答案] (1)A (2)C [类题通法](1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义； (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算．[题组训练]1．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对解析：选C ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )， ∴c 2＝(a ＋b )2，即|c |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉， ∴19＝4＋9＋12cos 〈a ，b 〉， ∴cos 〈a ，b 〉＝12.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝60°.2．在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD ·AB ＝AD ·AC ，则AD ·AB 的值为( )A ．0B ．－4C ．8D ．4解析：选D 由AD ·AB ＝AD ·AC ，得AD ·(AB －AC )＝0，即AD ·CB ＝0，所以AD ⊥CB ，即AD ⊥CB .又AB ＝4，∠ABC ＝30°，所以AD ＝AB sin 30°＝2，∠BAD ＝60°，所以AD ·AB ＝AD ·AB ·cos ∠BAD ＝2×4×12＝4.3．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________．解析：∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1. 答案：14．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1，则AB 的长为________．解析：设|AB |＝x ，x ＞0，则AB ·AD ＝12x .又AC ·BE ＝(AD ＋AB )·⎝⎛⎭⎫AD －12 AB ＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. 答案：121．题目以解答题为主．主要包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往是数量积的运算，所研究的问题主要是讨论三角函数的图象与性质．2．解决此类问题，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题．[典例] (广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.[类题通法]在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．[题组训练]1．设a ＝(sin x,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ，且a ∥b ，则锐角x 为( ) A.π3 B.π4 C.π6D.π12解析：选B 因为a ∥b ，所以sin x cos x －12＝0，所以sin 2x ＝1，又x 为锐角，所以0<2x <π，所以2x ＝π2，x ＝π4，故选B.2．设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数ƒ(x )＝a ·(a ＋b )． (1)求函数ƒ(x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式ƒ(x )≥32成立的x 的取值范围．解：(1)∵ƒ(x )＝a ·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴ƒ(x )的最大值为32＋22，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知ƒ(x )≥32⇔32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥32⇔sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥0⇔2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )． ∴使ƒ(x )≥32成立的x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .1．设P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA ＝a ，OB ＝b ，则OP ＋OQ ＝( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．2(a ＋b ) D.13(a ＋b ) 解析：选A 如图，OP ＝OA ＋AP ，OQ ＝OB ＋BQ ，∵AP ＝－BQ ，∴OP ＋OQ ＝OA ＋OB ＝a ＋b .2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D. 5解析：选D 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D. 3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．4．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.2π3解析：选B ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝a 2，∵|a |＝1，|b |＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 2|a ||b |＝22，∴向量a 与向量b 的夹角为π4，故选B.5．在△ABC 中，(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 由(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，得AC ·(BC ＋BA －AC )＝0，即AC ·(BC ＋BA ＋CA )＝0，∴2AC ·BA ＝0，∴AC ⊥BA ，∴A ＝90°.故选C.6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．6或 3B ．6或 2 C. 2D ．6解析：选A ∵a ，b ，c 两两所成的角相等， ∴这个角为0°或120°.当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝1＋2＋3＝6，排除C ；当夹角为120°时，a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，b ·c ＝|b ||c |·cos 120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3，c ·a ＝|c ||a |cos 120°＝3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， ∴|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋22＋32＋2⎝⎛⎭⎫－1－3－32＝3， ∴|a ＋b ＋c |＝ 3. ∴|a ＋b ＋c |＝6或 3.7．已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，若(a －2b )⊥a ，则|b |＝________.解析：∵a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，∴a －2b ＝(－3,3－2t )．∵(a －2b )⊥a ，∴(a －2b )·a ＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t )＝0，即t ＝2，∴b ＝(1,2)，∴|b |＝12＋22＝ 5.答案： 58．已知平面向量a 与b 的夹角等于2π3，如果|a |＝2，|b |＝3，那么|2a －3b |＝________.解析：|2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos 2π3＋9×32＝133，∴|2a －3b |＝133.答案：1339．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61，即64－4a ·b －27＝61. ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－6)＋9＝13. 11．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R . (1)求|a ＋tb |的最小值及相应的t 值； (2)若a －tb 与c 共线，求实数t . 解：(1)∵a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，∴a ＋tb ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )， ∴|a ＋tb |＝(－3＋2t )2＋(2＋t )2 ＝5t 2－8t ＋13＝5⎝⎛⎭⎫t －452＋495≥495＝755，当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋tb |的最小值为755，此时t ＝45.(2)∵a －tb ＝(－3,2)－t (2,1)＝(－3－2t,2－t )，又a －tb 与c 共线，c ＝(3，－1)， ∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0. 解得t ＝35.12．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围．解：(1)令n ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，2·x 2＋y 2cos 3π4＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0，∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)．∴|n ＋b |＝cos 2x ＋(sin x －1 )2＝2－2sin x ＝2(1－sin x ). ∵－1≤sin x ≤1，∴0≤|n ＋b |≤2.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．tan 8π3的值为( ) A.33B ．－33C. 3D ．－ 3解析：选D tan8π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 2．下列函数中最值是12，周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A 由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A.3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD 等于 ( )A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM解析：选D 依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA ＋OC ＝2OM ，OB ＋OD ＝2OM ，所以OA ＋OC ＋OB ＋OD ＝4OM ，故选D.4．若点(sin α，sin 2α)在第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵点(sin α，sin 2α)在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＞0，sin 2α＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，2sin αcos α＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，cos α＜0.∴α在第二象限． 5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )， ∴1×m －2×(－2)＝0， ∴m ＝－4.∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．6．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)的值为( ) A.225B ．－25 C.25D ．－225解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选C a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又0°<θ<180°，所以θ＝120°.8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象经怎样的平移后所得的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0成中心对称( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0，其中离⎝⎛⎭⎫－π12，0最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6，0，故函数图象只需向右平移π12个单位长度即可． 9．函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图2所示，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而ƒ(x )＝2sin π4x .∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2.10．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35C.35D ．－45解析：选B 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a,4b,5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3,4,5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35. 11．如图，在四边形ABCD 中，|AB |＋|BD |＋|DC |＝4，|AB |·|BD |＋|BD |·|DC |＝4，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0，则(AB ＋DC )·AC 的值为( )A ．4B ．2C ．4 2D ．2 2解析：选A ∵AC ＝AB ＋BD ＋DC ，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0， ∴(AB ＋DC )·AC＝(AB ＋DC )·(AB ＋BD ＋DC )＝AB 2＋AB ·BD ＋AB ·DC ＋DC ·AB ＋DC ·BD ＋DC 2＝AB 2＋2AB ·DC ＋DC 2.∵AB ·BD ＝0，BD ·DC ＝0，∴AB ⊥BD ，DC ⊥BD ，∴AB ∥DC ，∴AB ·DC ＝|AB ||DC |， ∴原式＝(|AB |＋|DC |)2.设|AB |＋|DC |＝x ，则|BD |＝4－x ，|BD |·x ＝4， ∴x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2，∴原式＝4，故选A.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A ∵函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，∴θ＝π2，∴y ＝2cos ωx ，排除C 、D ；y ＝2cos ωx ∈[－2,2]，结合题意可知T ＝π，∴2πω＝π，ω＝2，排除B ，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋12b ，AE ＝12a ＋b ，AC ＝a ＋b ，代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案：4314．在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴AB ⊥OB ，∴OB ·AB ＝0. 又AB ＝OB －OA ＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )，∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：515．已知ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，则ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝22(sin α＋cos α)＝7210. 答案：721016．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12； ③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°>30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确；函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π，所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．答案：④三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α ＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α )(sin α＋cos α ) ＝sin α＋cos αsin α－cos α ＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2 α2.解：∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22(cos α－sin α)1＋cos α＝52×⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45＝－10 2.20．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求ƒ(x )的值域； (2)用五点法在下图中作出y ＝ƒ(x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图；解：ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：21．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin x ＋2sin π4＋x2·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2. (1)若f (α)＝22，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求α的值； (2)若sin x 2＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f (x )的值．解：f (x )＝sin x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)由f (α)＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4. ∴α＋π4＝π6，∴α＝－π12.(2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴x 2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 又∵sin x 2＝45，∴cos x 2＝35.∴sin x ＝2sin x 2cos x 2＝2425，cos x ＝－1－sin 2x ＝－725. ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2425－725＝1725.22．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求ƒ(x )的解析式；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最值．解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2πT＝1. 又ƒ⎝⎛⎭⎫11π6＝0，得A sin ⎝⎛⎭⎫11π6＋φ＝0， ∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由ƒ(0)＝2，得A sin π6＝2，∴A ＝4，∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)将ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝ 4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (3)y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－42sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝4⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2.。

2019年(人教A版)数学高考第二轮复习数学复习(专题4)立体几何(1)》ppt课件

2．以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等．
3．几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合；
4．在与函数、解析几何等知识交汇处命题，这种考查形式有时会出现．
(理)(2014·东北三校第二次联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为________．
[答案]
125 3
2π
[解析] 设该几何体外接球的半径为 R，由三视图可知，该
几何体是一个三棱锥 P－ABC，其中 PA⊥平面 ABC，AB⊥AC，
该几何体可视作长、宽、高分别为 5、4、3 的长方体的一角，
学科素能培养
未知向已知、高维向低维、陌生向熟悉转化的思想
如图所示，在四棱锥 S－ ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，SA⊥平面 ABCD，M、N 分别为 SA、CD 的中点．
(1)证明：直线 MN∥平面 SBC； (2)证明：平面 SBD⊥平面 SAC.
[分析] (1)要证线面平行，可利用线面平行的判定定理转化为证线线平行，考虑到M、N为线段中点，可考虑构造中位线或平行四边形解决．
四边形，即 MN∥EC. 又因为 EC⊂平面 SBC，MN⊄平面 SBC，所以直线 MN∥平面 SBC.
(2)连接 AC、BD 相交于点 O. 因为 SA⊥底面 ABCD，故 SA⊥BD. 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC⊥BD. 又因为 SA∩AC＝A，故 BD⊥平面 SAC. 又因为 BD⊂平面 SBD，所以平面 SBD⊥平面 SAC.
名称圆柱圆台
球
几何特征
①有两个互相平行的圆面(底面)； ②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直

2020年高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语全国卷5年考情图解高考命题规律把握说明:“Ⅰ1”指全国Ⅰ卷第1题,“Ⅱ1”指全国Ⅱ卷第1题,“Ⅲ1”指全国Ⅲ卷第1题.1.本章在高考中一般考查1个小题,以选择题为主,很少以填空题的形式出现．2.从考查内容来看,集合主要从两方面考查:一是集合间的关系；二是集合的运算,包含集合的交、并、补集运算．对常用逻辑用语考查的频率较低,且命题点分散,其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注．3.本章一般不涉及解答题,在知识的交汇上,集合往往以函数的定义域、值域,不等式的解集,曲线的点集为载体进行考查．常用逻辑用语常以函数、平面向量、不等式等为载体进行考查.第一节集__合一、基础知识批注——理解深一点1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性．元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系:属于,记为∈；不属于,记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图:N*或N＋表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等:如果A ⊆B ,并且B ⊆A ,则A ＝B .两集合相等:A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集:不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集．记作∅.0,{0},∅,{∅}之间的关系:∅≠{∅},∅∈{∅},∅⊆{∅},0∉∅,0∉{∅},0∈{0},∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A ∩B ,即A ∩B ＝{x |x ∈A ,且x ∈B }．(2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ＝{x |x ∈A ,或x ∈B }．(3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作∁U A ,即∁U A ＝{x |x ∈U ,且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为∁U A .二、常用结论汇总——规律多一点(1)子集的性质:A ⊆A ,∅⊆A ,A ∩B ⊆A ,A ∩B ⊆B . (2)交集的性质:A ∩A ＝A ,A ∩∅＝∅,A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质:A ∪B ＝B ∪A ,A ∪B ⊇A ,A ∪B ⊇B ,A ∪A ＝A ,A ∪∅＝∅∪A ＝A . (4)补集的性质:A ∪∁U A ＝U ,A ∩∁U A ＝∅,∁U (∁U A )＝A ,∁A A ＝∅,∁A ∅＝A .(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n －1个真子集,2n －1个非空子集． (6)等价关系:A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)若{x2,1}＝{0,1},则x＝0,1.()(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x,y)|y＝x2＋1}．()(4)任何一个集合都至少有两个子集．()(5)若A B,则A⊆B且A≠B.()(6)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(7)若A∩B＝A∩C,则B＝C.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)√(7)×(二)选一选1．已知集合A＝{x∈R|0<3－x≤2},B＝{x∈R|0≤x≤2},则A∪B＝()A．[0,3]B．[1,2]C．[0,3) D．[1,3]解析:选C因为A＝{x∈R|0<3－x≤2}＝{x∈R|1≤x<3},所以A∪B＝{x∈R|0≤x<3}.2．若集合A＝{x∈N|x≤10},a＝22,则下面结论中正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析:选D因为22不是自然数,所以a∉A.3．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x,y)|x2＋y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为() A．9 B．8C．5 D．4解析:选A法一:将满足x2＋y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(－1,－1),(－1,0),(－1,1),(0,－1),(0,0),(0,1),(1,－1),(1,0),(1,1),共有9个．故选A.法二:根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点,即为集合A的元素个数,故选A.(三)填一填4．若集合A＝{x|－2<x<1},B＝{x|x<－1或x>3},则A∩B＝________.解析:由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}．答案:{x|－2<x<－1}5．已知集合U＝{－1,0,1},A＝{x|x＝m2,m∈U},则∁U A＝________.解析:∵A＝{x|x＝m2,m∈U}＝{0,1},∴∁U A＝{－1}．答案:{－1}考点一集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2＝1},B ＝{(x ,y )|y ＝x },则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)已知a ,b ∈R,若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2,a ＋b,0},则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合,B 表示直线y ＝x 上的点的集合,直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0,则ba ＝0,所以b ＝0,于是a 2＝1,即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去,因此a ＝－1,故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C[解题技法] 与集合中的元素有关的解题策略(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性．[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意． [题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3},B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A },则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析:选A 若x ∈B ,则－x ∈A ,故x 只可能是0,－1,－2,－3,当0∈B 时,1－0＝1∈A ；当－1∈B 时,1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时,1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时,1－(－3)＝4∉A ,所以B ＝{－3},故集合B 中元素的个数为2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素,则a 等于( ) A.92B.98C ．0D ．0或98解析:选D 若集合A 中只有一个元素,则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时,x ＝23,符合题意．当a ≠0时,由Δ＝(－3)2－8a ＝0,得a ＝98,所以a 的值为0或98.3.(2018·厦门模拟)已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素,则k 的取值范围为 .解析:因为P 中恰有3个元素,所以P =｛3,4,5｝,故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案:(5,6］考点二集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0,x ∈R},B ＝{x |0<x <5,x ∈N},则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A BD ．B A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0},则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3},B ＝{x |－m <x <m },若B ⊆A ,则m 的取值范围为________． [解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2,∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4},比较A ,B 中的元素可知A B ,故选C.(2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2},又B ⊆A ,∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4,故选C.(3)当m ≤0时,B ＝∅,显然B ⊆A . 当m >0时,因为A ＝{x |－1<x <3}．若B ⊆A ,在数轴上标出两集合,如图,所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述,m 的取值范围为(－∞,1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞,1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变,C ＝{x |0<x <5,x ∈N},则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析:选D 因为A ＝{1,2},由题意知C ＝{1,2,3,4},所以满足条件的B 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中,把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”,其他条件不变,则m 的取值范围为________．解析:若A ⊆B ,由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3,∴m 的取值范围为[3,＋∞)．答案:[3,＋∞)3．已知集合A ＝{1,2},B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0,x ∈R},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围为________．解析:①若B ＝∅,则Δ＝m 2－4<0,解得－2<m <2； ②若1∈B ,则12＋m ＋1＝0,解得m ＝－2,此时B ＝{1},符合题意； ③若2∈B ,则22＋2m ＋1＝0,解得m ＝－52,此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12,不合题意．综上所述,实数m 的取值范围为[－2,2)．答案:[－2,2) [解题技法]判定集合间基本关系的两种方法和一个关键两种方法 ①化简集合,从表达式中寻找两集合的关系；②用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系一个关键关键是看它们是否具有包含关系,若有包含关系就是子集关系,包括相等和真子集两种关系考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4},B ＝{－1,0,2,3},C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2},则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}(2)已知全集U＝R,集合A＝{x|x2－3x－4>0},B＝{x|－2≤x≤2},则如图所示阴影部分所表示的集合为()A．{x|－2≤x<4}B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤2}[解析](1)∵A＝{1,2,3,4},B＝{－1,0,2,3},∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x＜2},∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．(2)依题意得A＝{x|x<－1或x>4},因此∁R A＝{x|－1≤x≤4},题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．[答案](1)C(2)D[解题技法]集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算,也可借助Venn 图运算．(2)当集合是用不等式表示时,可运用数轴求解．对于端点处的取舍,可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下:交集元素仔细找,属于A且属于B；并集元素勿遗漏,切记重复仅取一；全集U是大范围,去掉U中a元素,剩余元素成补集．考法(二)根据集合运算结果求参数[典例](1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0},B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4},则实数m的取值范围是()A．(－4,3) B．[－3,4]C．(－3,4) D．(－∞,4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A＝{1,2,3,4},B＝{a＋1,2a},若A∩B＝{4},则a＝()A．3 B．2C．2或3 D．3或1[解析](1)集合A＝{x|x<－3或x>4},∵A∩B＝{x|x>4},∴－3≤m≤4,故选B.(2)∵A ∩B ＝{4},∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4,则a ＝3,此时B ＝{4,6},符合题意；若2a ＝4,则a ＝2,此时B ＝{3,4},不符合题意．综上,a ＝3,故选A.[答案] (1)B (2)A [解题技法]根据集合的运算结果求参数值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0,x ∈Z},则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析:选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2,x ∈Z}＝{0,1},而A ＝{1,2,3},所以A ∪B ＝{0,1,2,3}． 2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0},B ＝{x |lg x <2},则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，100 B.⎝⎛⎭⎫12，2 C.⎣⎡⎭⎫12，100 D ．∅解析:选A 由题意得A ＝⎣⎡⎦⎤－1，12,B ＝(0,100),则∁R A ＝(－∞,－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞,所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，100.3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1,＋∞),B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1,若A ∩B ≠∅,则实数a 的取值范围是( )A ．[1,＋∞) B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．(1,＋∞)解析:选A 因为A ∩B ≠∅, 所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.[课时跟踪检测]1．(2019·福州质量检测)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1,k ∈Z},B ＝{x |－1<x ≤4},则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析:选B 依题意,集合A 是由所有的奇数组成的集合,故A ∩B ＝{1,3},所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6},A ＝{1,3,5},B ＝{3,4,5},则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{2,6} B ．{3,6} C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}解析:选A 因为A ＝{1,3,5},B ＝{3,4,5},所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6},所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R,集合A ＝{x |0＜x ＜2},B ＝{x |x ≥1},则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0＜x ≤1} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析:选B ∵全集为R,B ＝{x |x ≥1}, ∴∁R B ＝{x |x ＜1}． ∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}, ∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4},集合N ＝{x |x 2－2x <0},则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∪N ＝M解析:选D 由题意可得,N ＝(0,2),M ＝(－∞,4),所以M ∪N ＝M .5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x <2,B ＝{x |ln x ≤0},则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1D ．[－1,1]解析:选A ∵12≤2x <2,即2－1≤2x <212,∴－1≤x <12,∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0,即ln x ≤ln 1,∴0<x ≤1,∴B ＝{x |0<x ≤1},∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2},B ＝{x |x <a },若A ∩B ＝A ,则a 的取值范围是( )A ．(－∞,2]B ．(－∞,1]C ．[1,＋∞)D ．[2,＋∞)解析:选D 由A ∩B ＝A ,可得A ⊆B ,又因为A ＝{x |1<x <2},B ＝{x |x <a },所以a ≥2. 7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素,()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空,则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析:选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素,如图中阴影部分所示,又U ＝A ∪B 中有m 个元素,故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ,已知集合A ＝{2,4,6},B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ,则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析:选B 由题意知,B ＝{0,1,2},B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13,则BA ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2,共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0},B ＝{x |x <1,且x ∈Z},则A ∩B ＝________.解析:依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2},因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1,x ∈Z}＝{－1,0}．答案:{－1,0}10．已知集合U ＝R,集合A ＝[－5,2],B ＝(1,4),则下图中阴影部分所表示的集合为 ________．解析:∵A ＝[－5,2],B ＝(1,4),∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4},则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案:{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ,y )|y ＝3x 2－3x ＋1},B ＝{(x ,y )|y ＝x },则集合A ∩B 中的元素个数为________．解析:法一:由集合的意义可知,A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，13，(1，1),所以A ∩B 中含有2个元素．法二:由集合的意义可知,A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0,所以该方程有两个不相等的实根,所以A ∩B 中含有2个元素．答案:212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2},B ＝{x |x ＜a },若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是__________．解析:由log 2x ≤2,得0＜x ≤4,即A ＝{x |0＜x ≤4},而B ＝{x |x ＜a },由于A ⊆B ,在数轴上标出集合A ,B ,如图所示,则a ＞4.答案:(4,＋∞)13．设全集U ＝R,A ＝{x |1≤x ≤3},B ＝{x |2<x <4},C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(1)分别求A ∩B ,A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ,求实数a 的取值范围．解:(1)由题意知,A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4},所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ,可知C ⊆B ,画出数轴(图略),易知2<a <a ＋1<4,解得2<a <3.故实数a 的取值范围是(2,3)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识批注——1．命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指:A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指:B⇒A且A B,在解题中要弄清它们的区别,以免出现错误．(2)如果q⇒p,则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},①若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件．②若A B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件．③若A＝B,则p是q的充要条件．二、常用结论汇总——规律多一点1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题,否命题等价于逆命题,所以在命题不易证明时,往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件,等价于綈q是綈p的充分不必要条件．其他情况以此类推．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)“x2＋2x－8<0”是命题．()(2)一个命题非真即假．()(3)四种形式的命题中,真命题的个数为0或2或4.()(4)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”．()答案:(1)×(2)√(3)√(4)×(二)选一选1．“x ＝－3”是“x 2＋3x ＝0”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析:选C 由x 2＋3x ＝0,解得x ＝－3或x ＝0,则当“x ＝－3”时一定有“x 2＋3x ＝0”,反之不一定成立,所以“x ＝－3”是“x 2＋3x ＝0”的充分不必要条件．2．命题“若a >b ,则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A ．若a ≤b ,则a ＋c ≤b ＋cB ．若a ＋c ≤b ＋c ,则a ≤bC ．若a ＋c >b ＋c ,则a >bD ．若a >b ,则a ＋c ≤b ＋c解析:选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定,所以题中命题的否命题为“若a ≤b ,则a ＋c ≤b ＋c ”．3．(2018·唐山一模)若x ∈R,则“x >1”是“1x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:选A 当x >1时,1x <1成立,而当1x <1时,x >1或x <0,所以“x >1”是“1x <1”的充分不必要条件．(三)填一填4．“若a ,b 都是偶数,则ab 是偶数”的逆否命题为________．解析:“a ,b 都是偶数”的否定为“a ,b 不都是偶数”,“ab 是偶数”的否定为“ab 不是偶数”,故其逆否命题为“若ab 不是偶数,则a ,b 不都是偶数”．答案:若ab 不是偶数,则a ,b 不都是偶数5．设向量a ＝(x －1,x ),b ＝(x ＋2,x －4),则“a ⊥b ”是“x ＝2”的____________条件．解析:a ＝(x －1,x ),b ＝(x ＋2,x －4),若a ⊥b ,则a·b ＝0,即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0,解得x ＝2或x ＝－12, ∴x ＝2⇒a ⊥b ,反之a ⊥b ⇒x ＝2或x ＝－12, ∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．答案:必要不充分考点一四种命题及其真假判断[典例](2019·菏泽模拟)有以下命题:①“若xy＝1,则x,y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1,则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B,则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是()A．①②B．②③C．④D．①②③[解析]①原命题的逆命题为“若x,y互为倒数,则xy＝1”,是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”,是真命题；③若m≤1,Δ＝4－4m≥0,所以原命题是真命题,故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B,得B⊆A,所以原命题是假命题,故其逆否命题也是假命题,故①②③正确．[答案] D[解题技法]1．由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．2．判断命题真假的2种方法[提醒](1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写；(2)当命题有大前提时,写其他三种命题时需保留大前提．[题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x2<1,则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1,则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1,则x2<1C．若x>1或x<－1,则x2>1D ．若x ≥1或x ≤－1,则x 2≥1解析:选D 命题的形式是“若p ,则q ”,由逆否命题的知识,可知其逆否命题是“若綈q,则綈p ”的形式,所以“若x 2<1,则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1,则x 2≥1”．2．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ,Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z ,记原命题:“x ∈P ,则x ∈Q ”,那么,在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 解析:选C 因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2k ＋12，k ∈Z ,Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z , 所以P Q ,所以原命题“x ∈P ,则x ∈Q ”为真命题,则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ,则x ∈P ”为假命题,则原命题的否命题为假命题,所以真命题的个数为2.考点二充分、必要条件的判断判断充分、必要条件的三种常用方法为定义法、集合法、等价转化法.[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ,b ,c ,d ∈R,则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ,b ,c ,d 依次成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R,则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p :x ＋y ≠－2,q:x ,y 不都是－1,则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)定义法当a ＝－1,b ＝0,c ＝3,d ＝4时,a ＋d ＝b ＋c ,但此时a ,b ,c ,d 不成等差数列；而当a ,b ,c ,d 依次成等差数列时,由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ,b ,c ,d 依次成等差数列”的必要不充分条件,故选B.(2)集合法由⎪⎪⎪⎪x －12＜12,得0＜x ＜1,则0＜x 3＜1,即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1,得x ＜1,当x ≤0时,⎪⎪⎪⎪x －12≥12, 即“x 3＜1” “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． (3)等价转化法因为p :x ＋y ≠－2,q:x ≠－1或y ≠－1,所以綈p :x ＋y ＝－2,綈q:x ＝－1且y ＝－1,因为綈q ⇒綈p 但綈p綈q,所以綈q 是綈p 的充分不必要条件,即p 是q 的充分不必要条件．[答案] (1)B (2)A (3)A[解题技法] 判断充分、必要条件的3种方法利用定义判断直接判断“若p ,则q ”“若q,则p ”的真假．在判断时,确定条件是什么、结论是什么从集合的角度判断利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分必要性的问题利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断真假 [提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别,要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x ∈R,则“x <1”是“x 2<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:选B 若x 2<1,则－1<x <1,∵(－∞,1)⊇(－1,1),∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m ,n 为两个非零向量,则“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:选B 设m ,n 的夹角为θ,若m ,n 的夹角为钝角,则π2<θ<π,则cos θ<0,则m·n <0成立；当θ＝π时,m·n ＝－|m |·|n |<0成立,但m ,n 的夹角不为钝角．故“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:选A 设p :xy ≠1,q:x ≠1或y ≠1,则綈p :xy ＝1,綈q:x ＝1且y ＝1.可知綈q ⇒綈p ,綈p 綈q,即綈q 是綈p 的充分不必要条件．故p 是q 的充分不必要条件,即“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的充分不必要条件．考点三根据充分、必要条件求参数的范围[典例] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0},非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件,则m 的取值范围是________．[解析] 由x 2－8x －20≤0,得－2≤x ≤10,所以P ＝{x |－2≤x ≤10},由x ∈P 是x ∈S 的必要条件,知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件,即所求m 的取值范围是[0,3]．[答案] [0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变,问是否存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解:若x ∈P 是x ∈S 的充要条件,则P ＝S ,所以{ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，解得{ m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若綈P 是綈S 的必要不充分条件”,其他条件不变,求实数m 的取值范围．解:由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10},∵綈P 是綈S 的必要不充分条件,∴S 是P 的必要不充分条件,∴P ⇒S 且SP . ∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9,即m 的取值范围是[9,＋∞)．[解题技法] 根据充分、必要条件求参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象．[课时跟踪检测]1．已知命题p :“正数a 的平方不等于0”,命题q:“若a 不是正数,则它的平方等于0”,则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析:选B 命题p :“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数,则它的平方不等于0”,从而q 是p 的否命题．2．命题“若x 2＋3x －4＝0,则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( )A ．“若x ＝4,则x 2＋3x －4＝0”为真命题B ．“若x ≠4,则x 2＋3x －4≠0”为真命题C ．“若x ≠4,则x 2＋3x －4≠0”为假命题D ．“若x ＝4,则x 2＋3x －4＝0”为假命题解析:选C 根据逆否命题的定义可以排除A 、D,因为x 2＋3x －4＝0,所以x ＝－4或1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z 1,z 2互为共轭复数,则|z 1|＝|z 2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A ．真,假,真B ．假,假,真C ．真,真,假D ．假,假,假解析:选B 当z 1,z 2互为共轭复数时,设z 1＝a ＋b i(a ,b ∈R),则z 2＝a －b i,则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2,所以原命题为真,故其逆否命题为真．取z 1＝1,z 2＝i,满足|z 1|＝|z 2|,但是z 1,z 2不互为共轭复数,所以其逆命题为假,故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a,b,c,d是非零实数,则“ad＝bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析:选B a,b,c,d是非零实数,若a<0,d<0,b>0,c>0,且ad＝bc,则a,b,c,d不成等比数列(可以假设a＝－2,d＝－3,b＝2,c＝3)．若a,b,c,d成等比数列,则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α:如果x<3,那么x<5；命题β:如果x≥3,那么x≥5；命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中,下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析:选A本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确．6．(2018·北京高考)设a,b均为单位向量,则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析:选C由|a－3b|＝|3a＋b|,得(a－3b)2＝(3a＋b)2,即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.因为a,b均为单位向量,所以a2＝b2＝1,所以a·b＝0,能推出a⊥b.由a⊥b得|a－3b|＝10,|3a＋b|＝10,能推出|a－3b|＝|3a＋b|,所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．7．如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析:选C设集合A＝{(x,y)|x≠y},B＝{(x,y)|cos x≠cos y},则A的补集C＝{(x,y)|x＝y},B 的补集D＝{(x,y)|cos x＝cos y},显然C D,所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析:选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立,则Δ＝(－1)2－4m <0,解得m >14,因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时,必有m >0,但当m >0时,不一定推出不等式在R 上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中,“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析:由A ＝B ,得tan A ＝tan B ,反之,若tan A ＝tan B ,则A ＝B ＋k π,k ∈Z.∵0＜A ＜π,0<B <π,∴A ＝B ,故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案:充要10．在命题“若m ＞－n ,则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是________．解析:若m ＝2,n ＝3,则2>－3,但22<32,所以原命题为假命题,则逆否命题也为假命题,若m ＝－3,n ＝－2,则(－3)2>(－2)2,但－3<2,所以逆命题是假命题,则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案:311．已知p (x ):x 2＋2x －m >0,若p (1)是假命题,p (2)是真命题,则实数m 的取值范围为________．解析:因为p (1)是假命题,所以1＋2－m ≤0,解得m ≥3.又p (2)是真命题,所以4＋4－m >0,解得m <8.故实数m 的取值范围为[3,8)．答案:[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法:①“若x ＋y ＝π2,则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题； ②“在△ABC 中,sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1,则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1,则x 2－2x －3≤0”．以上说法正确的是________(填序号)．解析:对于①,“若x ＋y ＝π2,则sin x “若sin x ＝cos y ,则x ＋y ＝π2”,当x ＝0,y ＝3π2时,有sin x ＝cos y 成立,,①正确；对于②,在△ABC中,由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C,②正确；对于③,“a＝±1”是“直线x－ay ＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件,故③错误；对于④,根据否命题的定义知④正确．答案:①②④13．写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假．解:(1)逆命题:已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集,为真命题．(2)否命题:已知a,b∈R,若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集,则a2<4b,为真命题．(3)逆否命题:已知a,b∈R,若a2<4b,则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集,为真命题．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识批注——理解深一点1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p且q”,记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p或q”,记作p∨q；③对命题p的结论进行否定,得到复合命题“非p”,记作綈p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足,“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件,“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定,“非p”只否定p的结论,“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论,而否命题既否定其条件,也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的,即一真一假,而否命题与原命题的真假无必然联系．命题真假的判断口诀p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与綈p→真假相反.2．全称量词与存在量词4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论汇总——规律多一点含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p,q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p,q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)若命题p ∧q 为假命题,则命题p ,q 都是假命题．( ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p ,q 至少有一个是真命题,则p ∨q 是真命题．( )(4)若命题綈(p ∧q)是假命题,则命题p ,q 中至多有一个是真命题．( ) (5)“长方形的对角线相等”是特称命题．( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×(二)选一选1．命题∀x ∈R,x 2＋x ≥0的否定是( ) A ．∃x 0∈R,x 20＋x 0≤0 B ．∃x 0∈R,x 20＋x 0<0 C ．∀x ∈R,x 2＋x ≤0D ．∀x ∈R,x 2＋x <0解析:选B 由全称命题的否定是特称命题知命题B 正确．2．已知命题p :若x >y ,则－x <－y ；命题q:若1x >1y ,则x <y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q)；④(綈p )∨q 中,真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析:选C 由不等式的性质可知,命题p 是真命题,命题q 为假命题,故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③綈q 为真命题,则p ∧(綈q)为真命题；④綈p 为假命题,则(綈p )∨q 为假命题,故真命题为②③.3．下列四个命题中的真命题为( ) A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3 B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0 C ．∀x ∈R,x 2－1＝0D ．∀x ∈R,x 2＋x ＋2>0解析:选D 选项A 中,14<x 0<34,与x 0∈Z 矛盾,不成立；选项B 中,x 0＝－15,与x 0∈Z 矛盾；选项C 中,x ≠±1时,x 2－1≠0；选项D 正确．(三)填一填4．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________________________________．答案:5．若命题p :不等式ax ＋b >0,命题q:关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b },则“p ∧q ”“p p ”形式的复合命题中的真命题是。

2019三维设计二轮复习专题精炼：专项专练-句式的仿用和变换(含详解)

专题专项专练3 句式的仿用和变换(时间：40分钟分值：51分)1．把下面的长句改写成四个短句，要求语句简明连贯。

(4分)昨天我冒着大雨跑到镇上给在新疆参军的叔叔寄了一封告诉他我哥哥将要在今年八月第二个星期天结婚的信。

答：________________________________________________________________________ 2．请仿照画线的句子，续写两句话，要求语意连贯，句式一致。

(4分)综观历史，没有哪一位仁人志士缺乏勇气。

布鲁诺是勇敢的，因为他拥有为真理献身的勇气；________________________________________________________________________ 3．请依照下面的例句，仿写两个句子，与所给的例句构成一组排比句。

(4分)例句：白云懂得与雄鹰分享，蓝天因而更加生动。

答：________________________________________________________________________ 4．根据语境，仿照下面的句式，补写出一个恰当的句子。

(3分)人生如湖泊里的涟漪，细小却不乏美丽动人；人生如绿叶上滚动的露珠，微小却不乏晶莹剔透；________________________________，_____________________________________。

5．把下面的长句变成三个短句，不改变原意。

(4分)为期三天的从议题设置到活动安排处处体现“立足亚洲、放眼全球”特色以及充分展现作为东道主的中国在与各国分享发展机遇、促进亚洲共同发展、求解世界发展难题等方面的担当的博鳌亚洲论坛2019年年会4月6日拉开帷幕。

答：________________________________________________________________________ 6．有人用“千里为重，广大为庆”来解释“重庆”二字。

2019-2020年高考数学二轮专题复习立体几何教案

2019-2020年高考数学二轮专题复习立体几何教案一、本章知识结构：二、重点知识回顾1、空间几何体的结构特征（1）棱柱、棱锥、棱台和多面体棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行；棱柱按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．棱柱性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.棱锥是由一个底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体．棱锥具有以下性质：①底面是多边形；②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形；③平行于底面的截面和底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比．截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．由棱台定义可知，所有侧棱的延长线交于一点，继而将棱台还原成棱锥．多面体是由若干个多边形围成的几何体．多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体．（2）圆柱、圆锥、圆台、球分别以矩形的一边，直角三角形的一直角边，直角梯形垂直于底边的腰所在的直线，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球圆柱、圆锥和圆台的性质主要有：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③圆台的上底变大到与下底相同时，可以得到圆柱；圆台的上底变小为一点时，可以得到圆锥．2、空间几何体的侧面积、表面积（1）棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和．因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别为长和宽的矩形．如果设直棱柱底面周长为，高为，则侧面积．若长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则其表面积．（2）圆柱的侧面展开图是一个矩形．矩形的宽是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面周长．如果设圆柱母线的长为，底面半径为r，那么圆柱的侧面积，此时圆柱底面面积.所以圆柱的表面积222π2π2π() S S S rl r r r l=+=+=+侧底．（3）圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形．如果设圆锥底面半径为r，母线长为，则侧面积，那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成，即为2πππ()S S S rl r r r l=+=+=+侧底．（4）正棱锥的侧面展开图是个全等的等腰三角形．如果正棱锥的周长为，斜高为，则它的侧面积．（5）正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和．如果设正棱台的上、下底面的周长是，斜高是，那么它的侧面积是．（6）圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径，圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇环．如果设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，那么它的侧面积是．圆台的表面积等于它的侧面积与上、下底面积的和，即2222π()πππ() S S S S r r l r r r r r l rl''''=++=+++=+++侧上底下底．（7）球的表面积，即球的表面积等于其大圆面积的四倍．3、空间几何体的体积（1）柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积和高的积，即．其中底面半径是，高是的圆柱的体积是．（2）如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是，高是，那么它的体积是．其中底面半径是，高是的圆锥的体积是，就是说，锥体的体积是与其同底等高柱体体积的．（3）如果台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别是，高是，那么它的体积是．其中上、下底半径分别是，高是的圆台的体积是221π()3V r Rr R h=++圆台．（4）球的体积公式：.4、中心投影和平行投影（1）中心投影：投射线均通过投影中心的投影。

三维设计高考数学二轮专题复习课件第一部分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数，其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为A．-i B．i C．-1 D．12．已知向量a=(2，1)，b=(x，-2)，若a∥b，则a+b=A．(-2，-1) B．(2，1) C．(3，-1) D．(-3，1)3．下列说法中不正确的个数是①命题“ x∈R，≤0”的否定是“ ∈R，>0”；②若“p q”为假命题，则p、q均为假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件A．O B．1 C．2 D．34．函数f(x)=2x-sinx的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．45．一个几何体的三视图如下左图所示，则此几何体的体积是A.112 B．80 C．72 D．646．已知全集U=Z，Z为整数集，如上右图程序框图所示，集合A={x|框图中输出的x值}，B={y|框图中输出的y值}；当x=-1时，(CuA) B=A．{-3，-1，5} B．{-3，-1，5，7} C．{-3，-1，7} D．{-3，-1，7，9}7．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有A．12种B．18种C．24种D．48种8．如右图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x∈(0， ))及直线x=a(a∈(0， ))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值为A．B．C． D．9．如右图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8．8，则正方体的个数至少是A．6 8．7 C．8 D． 1010．已知直线l：y=ax+1-a(a∈R)．若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y=-2 |x-1|；②y= ；③(x-1)2+(y-1)2=1；④x2+3y2=4；则其中直线l的“绝对曲线”有A．①④B．②③C．②④D．②③④二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清．模棱两可均不得分．(一)必考题：(11-14题)11．若tan = ，∈(0， )，则sin(2 + )= ．12．点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内，若点P(x，y)到直线y=kx-1(k>0)的最大距离为2 ，则k= ．13．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．则：(I) y1 y2= ；(Ⅱ)三角形ABF面积的最小值是．14．挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+…+Ln-1(bn-1-bn)+Lnbn则其中：(I)L3= ；(Ⅱ)Ln= ．(二)选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分. 15．(几何证明选讲)如右图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，PC=2 ，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB= ．16．(坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以坐标原点0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为(4 ， )，曲线C的参数方程为 ( 为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知向量 =( sin2x+2，cosx)， =(1，2cosx)，设函数f(x)= • ．(I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a= ，f(A)=4，求b+c的最大值．18．(本小题满分12分)数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n •bn+1( 为常数，且≠1)．(I)求数列{an}的通项公式及的值；(Ⅱ)比较+ + +…+ 与了 Sn的大小．19．(本小题满分12分)如图，矩形A1A2A′2A′1，满足B、C在A1A2上，B1、C1在A′1A′2上，且BB1∥CC1∥A1A′1，A1B=CA2=2，BC=2 ，A1A′1= ，沿BB1、CC1将矩形A1A2A′2A′1折起成为一个直三棱柱，使A1与A2、A′1与A′2重合后分别记为D、D1，在直三棱柱DBC-D1B1C1中，点M、N分别为D1B和B1C1的中点．(I)证明：MN∥平面DD1C1C；(Ⅱ)若二面角D1-MN-C为直二面角，求的值．20．(本小题满分12分)2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”)．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图)，同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表)：月收入(百元) 赞成人数[15,25) 8[25,35) 7[35,45) 10[45,55) 6[55,65) 2[65,75) 1(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；(Ⅱ)若从月收入(单位：百元)在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．21．(本小题满分13分)在矩形ABCD中，|AB|=2 ，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且 = = .(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆： + =1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值．22．(本小题满分14分)已知函数f(x)=lnx，g(x)=k• .(I)求函数F(x)= f(x)- g(x)的单调区间；(Ⅱ)当x>1时，函数f(x)> g(x)恒成立，求实数k的取值范围；(Ⅲ)设正实数a1，a2，a3，…，an满足a1+a2+a3+…+an=1，求证：ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )> ．2013年七市联考数学试题(理工类)（B卷）参考答案一、选择题： CABAB DCBAD二、填空题：11. 12. 13.（Ⅰ）（Ⅱ）14.（Ⅰ）（Ⅱ）15. 16.（注：填空题中有两个空的，第一个空2分，第二个空3分）三、解答题17.解：（Ⅰ）……………3分∴的最小正周期……………4分由得∴的单调递增区间为……………6分（Ⅱ）由得，∵∴∴ , ……………8分法一：又，∴当时，最大为……………12分法二：即；当且仅当时等号成立。

2019-2020年高考数学二轮复习专题1.5立体几何教学案文

2019-2020年高考数学二轮复习专题1.5立体几何教学案文一．考场传真1. 【xx 课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是A ．B ．C ．D ．【答案】A2．【xx 课标II ，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B3．【xx 课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如果，画出圆柱的轴截面，，所以，那么圆柱的体积是22314V r h πππ==⨯⨯=⎝⎭，故选B. 4．【xx 课标3，文10】在正方体中，E 为棱CD 的中点，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若，那么，很显然不成立；B.若，那么，显然不成立；C.若，那么，成立，反过来时，也能推出,所以C 成立，D.若，则，显然不成立，故选C.5．【xx 课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【答案】【解析】取的中点，连接，因为，所以，因为平面平面，所以平面，设，3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，所以，所以球的表面积为 6．【xx 课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为【答案】【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以224π14π.R S R ====7．【xx 课标1，文18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，，且四棱锥P-ABCD 的体积为，求该四棱锥的侧面积．8．【xx 课标II ，文18】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线平面;（2）若△面积为，求四棱锥的体积.9．【xx课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求（1）空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.（2）点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理：◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明：◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.（二）空间想象能力①能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.②空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力，识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志.【命题规律】(1) 空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点，单独考查三视图的逐渐减少，主要考查由三视图求原几何体的面积、体积，主要以选择题、填空题的形式考查；该部分的命题通常围绕三个点展开．第一点是围绕空间几何体的三视图，设计由空间几何体的三视图判断空间几何体的形状，由其中的一个或者两个视图判断另外的视图等问题，其目的是考查对三视图的理解和空间想象能力；第二点是围绕空间几何体的表面积和体积展开，设计根据已知的空间几何体求空间几何体的表面积或体积的问题，其中空间几何体一般以三视图的形式给出，目的是考查空间想象能力和基本的运算求解能力；第三点是围绕多面体和球展开，设计求多面体的外接球的表面积、体积或者计算球的内接多面体的相关元素等问题，目的是考查空间想象能力、逻辑推理能力和基本的运算求解能力．（2）高考对空间点、线、面位置关系的考查主要有两种形式：一是对命题真假的判断，通常以选择题、填空题的形式考查，难度不大；二是在解答题中考查平行、垂直关系的证明、常以柱体、锥体为载体，难度中档偏难．该部分的命题主要在三个点展开．第一点是围绕空间点、直线、平面的位置关系展开，设计位置关系的判断、简单的角与距离计算等问题，目的是考查对该部分基础知识的掌握情况及空间想象能力，这类试题多为选择题或者填空题；第二点是围绕空间平行关系和垂直关系的证明，设计通过具体的空间几何体证明其中的平行关系、垂直关系的问题，目的是考查运用空间位置关系的相关定理、推理论证的能力及空间想象能力，这类试题多数是解答题组成部分；第三个点是围绕空间几何体的体积，设计求空间几何体的体积，求解其他几何元素等问题，目的是综合考查利用空间线面位置关系的知识综合解决问题的能力，这类试题多数是解答题的重要组成部分．（3）求解立体几何问题是高考的必考内容，每套试卷必有立体几何解答题，一般设2问，前一问求证平行或垂直，最后一问求体积，有时涉及探索性问题，难度不大．3．学法导航1. 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑．2.求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．3. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图．4. 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．5．垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.6．折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口．存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．一．基础知识整合1．三视图：(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽，即“长对正，高平齐，宽相等”．(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．(3)画三视图时，可见的轮廓线用实线画出，被遮挡的轮廓线，用虚线画出.2．直观图：空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x’轴、y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半.3.体积与表面积公式：柱体的体积公式：；锥体的体积公式：；台体的体积公式：；球体的体积公式：.球的表面积公式：.棱柱、棱锥及棱台的各个面的面积之和，即为其表面积.4.空间直线、平面之间的位置关系的判定与性质：①空间直线、平面之间的位置关系：（1）位置关系的分类⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）直线和平面的位置关系（3）两个平面的位置关系②空间直线、平面之间的位置关系的判定与性质：（1）异面直线的判定：1、定义法（不易操作）2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.3、客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：（2）直线与直线平行直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（线面平行线线平行）{b a b a a //,,//⇒=⊂βαβα 若}面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（面面平行线线平行）{b a b a //,,//⇒==γβγαβα }公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行 {}直线和平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.{b a b a //,⇒⊥⊥αα若}（3）直线与直线垂直定义法：如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线.（线面垂直线线垂直）两条平行线，若一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线.{}（4）直线与平面平行：判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（线线平行线面平行），{ααα////,,a b a b a ⇒⊂⊄若}面面平行的定义：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.（面面平行线面平行）{} 结论：平面外的两条平行直线，若其中一条平行于一个平面，则另一条必定也平行于这个平面. {}（5）直线与平面垂直：定义法：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直.判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（线线垂直线面垂直）{ααα⊥⇒⊥⊥=⊂⊂l b l a l O b a b a ,,,, 若}面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直线面垂直）{βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥a b a a b ,, ，}直线和平面垂直的性质：两条平行直线，若其中一条垂直于一个平面，则另一条必定也垂直于这个平面. {}结论：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.{βαβα⊥⇒⊥a a ,//}（6）平面与平面平行：定义法：两个平面没有公共点，称两个平面平行.判定法：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行面面平行）{βαββαα////,//,,,⇒=⊂⊂b a O b a b a }，借助法：垂直于同一条直线的两个平面平行.{}（7）平面与平面垂直：定义法：若两个平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面垂直.判定法：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直面面垂直）{βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,}5.空间的角与距离（1）异面直线的夹角：定义：对于异面直线a 和b ，在空间任取一点P ，过P 分别作a 和b 的平行线和，我们把和所成的锐角或者叫做异面直线a 和b 所成的角.范围：(0°，90°】（2）斜线与平面所成的角：定义：把直线l 与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l 和平面α所成的角.直线和平面所成的角的范围【0°，90°】（3）二面角：定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.范围为【0°，180°】（4）点到直线距离和点到平面的距离点到直线的距离：①直接作直线的垂线.②求点P到平面内的直线a的距离：dαaRQP第一步：过P作交平面于点Q，第二步：在内过Q作作，垂足为R；第三步：连结、，则即为点P到直线的距离.点到平面的距离：①直接作平面的垂线；②要作垂线，先作垂面；③体积法（等积法）.二．高频考点突破考点1 ：空间几何体的三视图、表面积、体积【例1】我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器------商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为____________．分析：以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根据三视图想象还原几何体的形状构成,并从三视图发现几何中各元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解.在求几何体的体积时,若给定的几何体是规则柱体,锥体或台体,可直接利用公式求解.若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出,常用转换法,分割法,补形法等求解.【答案】【例2】一块边长为的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，则该容器的体积为（）A ．B ．C ．D ．分析：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．【答案】D【解析】如图（2），为该四棱锥的正视图，由图（1）可知，，且．由为等腰直角三角形，可知，．设中点为，则，∴，∴(2111833P ABCD V -=⨯=⨯=D ．【规律方法】1、画三视图的基本原则是：长对正，宽相等，高平齐.在做题时也要根据这个原则来画直观图.要根据这个原则来验证所画直观图是否正确.2、三视图问题关键是搞清楚三视图中的每条轮廓线代表的意义，三视图中给出的尺寸在几何体中对应哪些线段的尺寸，三视图中的角度在几何体对应的角度是多少.尤其要注意图中的直角，这是一个很重要的信息.必须结合三视图弄清几何体的直观图的构成，根据三视图的信息确定直观图中相关的量，然后才能进行相关计算.3、求几何体体积问题，可以多角度、多方位地考虑问题．在求三棱锥体积的过程中，等体积转化法是常用的方法，转换底面的原则是使其高易求，常把底面放在已知几何体的某一面上．4、求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体变为规则几何体，易于求解．【举一反三】【xx 黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A考点2 ：球与多面体【例3】已知正四棱锥的底面边长为，体积为，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A.1:2B.4:5C.1:3D.2:5分析:本题考查的是正四棱锥的内切球与外接球的半径的计算的综合运用问题,解答时先准确的画出示意图,搞清该几何体的内切球与外接球的半径所在的几何图形,再运用所学知识进行求解.求解时先借助体积公式构建含四棱锥高的方程,求出,再依据图形建立方程214222+-=r r和,求出与,使得问题获解.【答案】D【例4】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，若该三棱锥的体积为，==∠=，则球的表面积为（）4,90BC BD CBDA． B． C． D．【分析】本题主要考查了球与棱锥的组合体问题、棱锥的体积和球的体积表面积等基础知识，考查考生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.解答本题的关键是根据棱锥的体积公式求出点到平面的距离，再由球的截面性质求出球的半径，解答时要注意根据判断截面圆的直径，最后根据球的表面积公式得到答案. 【答案】A【规律方法】1、涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．2、求与球有关的“切”或者“接”球半径时，往往用到的方法有构造法或者直接确定球心．3、球体中常常用到以下结论：设球的半径为，球的截面圆的半径为，则球心到截面的距离为4、求三棱锥的体积要注意如何选取底面和顶点.因为三棱锥的每一个面都可以作为底面，每一个顶点都可以作为顶点.【举一反三】【xx 河北衡水武邑中学三调】在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑中, 平面, ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____．【答案】【解析】由题意，MC 为球O 的直径，MC=2，∴球O 的半径为，∴球O 的表面积为4π•3=12π，内切球的半径设为ｒ， ()11*22**2*233r +=，得到内切球的体积为，故结果为. 考点3 ：线面位置关系的命题真假判断【例5】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，，，则．其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4分析：本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系,属于易错题. 易错的地方: 对于②,要注意除了结论外另一种特殊情况:. 其余三个都是正确的.本题综合性强,方法灵活,考查了学生的空间想象能力,要注意直线、平面之间的判定定理和性质定理以及课本例题结论的应用.【答案】C【解析】对于①,假设，因为,所以,又,所以,而,所以,正确；对于②,若，，则或,故错误；对于③,若，，则,又,所以在平面内一定存在一条直线,使,而,所以,,则,正确；对于④,由面面平行的判定定理,可以判断出是正确的.故真命题有个.选C.【规律方法】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中．【举一反三】【xx 广东德清中学一模】设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法： ①若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； ②若l ∥α，α∥β，则l ∥β；③若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β ； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β.其中说法正确的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C考点4 ：空间中的线、面位置关系的判定与性质【例6】如图，四棱锥的底面为矩形，底面，分别为的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：.分析：（1）欲证平面，只要在平面内找到一条直线与平行即可，记中点为，连接，通过构造平行四边形，证之即可；（2）欲证，只要证平面即可，由已知可知，，在平面内，通过三角形相似证即可证明平面.【例7】在多面体中，四边形与是边长均为的正方形，四边形是直角梯形，，且．（1）求证：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明往往利用线面垂直判定定理给予证明，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直，往往需要从两方面进行寻找与论证，一是结合平几知识，本题利用勾股定理证得，二是利用线面垂直性质定理，即先由线线垂直得线面垂直平面，而，则平面，因此可得，最后根据线面垂直判定定理得平面，（2）求四棱锥的体积，关键是求高，而高的寻找依赖于线面垂直：过作于，则易证过作，即为高，最后根据体积公式得体积【规律方法】1、证明线面垂直，就考虑证明直线垂直平面内的两条相交直线；而证明异面的线线垂直，很多题都要通过线面垂直来证明；对相交直线垂直的证明，一般考虑用平面几何里的方法.常见的有以下几种，若是等腰三角形，则底边上的中线与底边垂直；若是锥形、菱形（正方形），则对角线互相垂直；若是矩形，则邻边互相垂直；有时还用到以下结论：如下图，在矩形中，若，则；。