第3.3节 谓词逻辑的归结原理

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求mgu的步骤
① 令W={F1, F2}，k=0，W0=W，σ0={ }； ② 若Wk已合一，停止，σk就是mgu；否则找不一
致集Dk；
③ 若Dk存在vk和tk，且vk不出现于tk，转④；否则
不可合一；
④ 令σk+1= σk· {tk/vk}，Wk+1=Wk{tk/vk} ⑤ k=k+1，转②。


记为θ、γ、σ、…
例：{a/x, c/y, f(b)/z} 不能循环置换，如{g(y)/x, f(x)/y}。
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置换的合成

θ＝{t1/x1, t2/x2, …, tn/xn} ，γ＝{u1/y1, u2/y2, …, un/yn}， 则 θ· γ＝{t1· γ/x1, t2· γ/x2, …, tn· γ/xn, u1/y1, u2/y2, …, un/yn} 称为θ和γ的合成。
的文字。
L1和L2是合一后“互补”的文字。

例：P(x)∨Q(x, y) 和 ～P(a)∨R(b, z)的归结式
为Q(a, y)∨R(b, z)
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归结式的合理性

∵{C1, C2} ∴{C1, C2}
R {C1, C2, R}


基本原理一样；
但对量词、变量、函数应先有恰当处理，才能归结。

归结原理

又称消解原理（Resolution principle） 1965年，J.A. Robinson提出。
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J. A. Robinson与归结原理




1930年出生在Yorkshire, 52年从剑桥大学去美国oregon 大学，而后去princeton大学，并在那儿获博士学位。 61年去Rice大学，之后去Argonne国家实验室应用数学 分部访问，他的主任F. Miller指示他从事定理证明的研究 工作。 Miller给Robinson一篇60年的关于谓词演算证明过程的 论文，当时没有计算机程序实现，让他在IBM704上实现 该演算。 Robinson很快发现这个过程的效率很低。当他对60年 Dag Prawitz提出的演算过程实现时，认为这两种思路可 结合起来，用于一阶谓词逻辑的自动证明过程，这就是他 提出的归结原理。(J.A. Robinson. A Machine-Oriented Logic Based on the Resolution Principle, Journal of the ACM (JACM), 1965. 12(1)23-41)
方法二
① ②
③
④
W2 = {P(x, x, B), P(x, x, x)}，σ2 = {x/y, x/z}
W3 = {P(B, B, B), P(B, B, B)}，σ3 = {B/y, B/z, B/x}
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5. 归结式

若C1和C2是两个子句，L1和L2分别是C1和C2中的 文字， L1和～L2有mgu σ，则 R = (C1· σ﹣ L1· σ) ∪ (C2· σ﹣ L2· σ) 称为C1和C2的归结式，L1和L2为被归结（消融）
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归结原理的基本思想

证明（用谓词公式表Leabharlann Baidu的）定理


就是要证明“前提→结论”是永真式；
即对任一种解释，谓词公式都为真； 直接对每个解释，求证谓词公式为真，然后归纳，这是 很麻烦的，甚至是不可能的；

要证明“前提→结论”是永真式，等同于证明； 若“前提∧～结论”真的是永假式，则寻找合适算法， 就可在有限步内判定。归结方法就是这样的算法。
第3.3节
谓词逻辑归结原理
王庆江
中国海洋大学计算机科学与技术系
qjwang@ouc.edu.cn
教材3.3节勘误表
位置 P100,14行 P100,倒数第2行
原文/原因 “第2步”错误地使用摩根律 z
修改 （不改） x
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概述

谓词逻辑和命题逻辑的归结法比较
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换名 辖域扩展 辖域扩展
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子句集

文字

不含联结词（ ～除外 ）的谓词公式。 文字的析取，即简单析取式。 所有子句的集合。

子句


子句集


求谓词公式G的子句集
① 求G的前束范式；
② 化为skolem标准型； ③ 求skolem型的合取范式，提取所有子句。
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置换的合成

对ti先做γ置换，结果再用于θ置换。

当 t i· γ=xi时，删除ti· γ/xi 当yi∈{x1,x2,…,xn}时，删除ui/yi θ· γ＝{f(b)/x, y/y, a/x, b/y, y/z} ＝{f(b)/x, y/z}
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1936年，图灵（Turing）和邱吉（Church）相互 独立地证明了

没有一般的方法可在有限步内判定一阶逻辑的公式是永 真的（或永假的）。但是，如果公式的确是永真的（或
永假的），则能在有限步内判定。如果公式不是永真
（或永假），则不一定在有限步内得到结论，判定过程 可能是无限长。
例：F = {P(x, y, f(y), P(a, g(x), z)}的合一置换θ为
{a/x, g(a)/y, f(g(a))/z}

最一般合一（most general unifier, mgu）
–
若σ是公式集F的一个合一，对于其他任意合一θ，都 存在一个置换λ，使得θ = σ · λ，则σ称为F的最一般 合一。
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习题3.19④：W = {P(y, y, B), P(z, x, z)}
① ② ③ ④
W0 = {P(y, y, B), P(z, x, z)}，σ0 = { } W1 = {P(y, y, B), P(y, x, y)}，σ1 = {y/z} W2 = {P(y, y, B), P(y, y, y)}，σ2 = {y/z, y/x} W3 = {P(B, B, B), P(B, B, B)}，σ3 = {B/z, B/x, B/y} W0 = {P(y, y, B), P(z, x, z)}，σ0 = { } W1 = {P(z, z, B), P(z, x, z)}，σ1 = {z/y}
xP( x )的skolem 型：P(a )

直接略去任意量词。
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例:3.12
xyP ( a , x , y ) x ( yQ( y , b ) R( x )) xyP ( a , x , y ) x ( yQ( y , b ) R( x ))
③
④
D2={g(y), u}，{g(y)/u}
σ3 = σ2 ·{g(y)/u}={a/z, f(a)/x, g(y)/u}
W3 = W2 σ3 = {P(a, f(a), f(g(y))), P(a, f(a), f(g(y)))}
⑤
mgu = σ3 = {a/z, f(a)/x, g(y)/u}
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由前束范式得到skolem标准型

当存在量词位于某任意量词的辖域内，用skolem函数 代替，从而消去存在量词。例：
xyP( x, y )的skolem 型：xP( x, f ( x ))

当存在量词不位于任何任意量词的辖域内，用不带变量 的skolem函数代替，消去存在量词。例：
定理3.1的推广：若G＝G1∧G2∧…∧Gn，Gi的子句集为Si，G
的子句集为S，则S不可满足，当且仅当S1 ∪ S2 ∪ … ∪ Sn不 可满足。

复杂的谓词公式可以分而治之，化整为零。
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4. 置换与合一

置换

{t1/x1, t2/x2, …, tn/xn}称为对谓词公式的一个置换，表示 将谓词公式中的xi替换为ti。 xi为个体变量， ti为不同于xi的置换项（常量、变量或 函数）。
逐一比较，找出不一致，并做合一置换
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例3.16：W = {P(a, x, f(g(y))), P(z, f(a), f(u))}
① ②
W0 = {P(a, x, f(g(y))), P(z, f(a), f(u))}，σ0 = { } D0={a, z}，t0=a，v0=z，{a/z} ，σ1 =σ0· {a/z}= {a/z} W1 = {P(a, x, f(g(y))), P(a, f(a), f(u))} D1={x, f(a)}，t1=f(a)，v1=x，{f(a)/x} σ2 = σ1 ·{f(a)/x}= {a/z, f(a)/x} W2 = W1 σ2 = {P(a, f(a), f(g(y))), P(a, f(a), f(u))}
但是，若R＝□，则意味着C1和C2是互否定的，{C1, C2} 是不可满足的。

归结使子句集不断增大，一旦归结出“□”，则子句集
中有互否定的单元子句存在，从而整个子句集是不可满 足的。
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求归结式时的注意事项

不同谓词，不可消融。

例：P(x)和～Q(x)。
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定理3.1：谓词公式G不可满足，当且仅当其子句集S不可满足



谓词公式
前束范式 ≠
skolem型
前束范式
skolem型
子句集
(个体域缩小)
∴ 谓词公式 ≠ 子句集

子句集
谓词公式，谓词公式
子句集


但是，谓词公式和子句集的不可满足性是一致的！
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Skolem标准型

前束范式

公式中的所有量词都在最左边，且每个量词的辖域都 延伸到公式末端。

形如：Q1x1Q2x2…QnxnM(x1, x2, …, xn)

例：
wxyz(P ( w ) Q( x, y, z ) R( x, y, z , u))
1） 消 去 ， 得 ： 2）深 入 到 量 词 后 ， 得 ： xyP ( a , x , y ) x (yQ( y , b ) R( x )) 3） 求 前 束 范 式 ， 得 ： xyP ( a , x , y ) z (wQ ( w , b ) R( z )) xyP ( a , x , y ) zw (Q ( w , b ) R( z )) xyzw ( P ( a , x , y ) Q ( w , b ) R( z )) 4） 求sk ol e m 标准型 xyzw ( P ( a , x , y ) Q ( w , b ) R( z )) xzw ( P ( a , x , f ( x )) Q ( w , b ) R( z )) xw ( P ( a , x , f ( x )) Q ( w , b ) R( g ( x ))) P ( a , x , f ( x )) Q ( w , b ) R( g ( x ))

例：θ＝{f(y)/x, z/y} ，γ＝{a/x, b/y, y/z}，则

置换合成的性质

结合律： (θ· γ)· λ=θ· (γ· λ)

不满足交换律： θ· γ≠ γ· θ
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合一

对于公式集F={F1, F2, …, Fn}，若有置换θ，使得 F1· θ = F2· θ = … = Fn· θ，则称F1、F2、…和Fn是可合 一的，θ称为合一置换，简称合一。