材力第4章弹性杆件横截面上的切应力分析

第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析

4－1 扭转切应力公式p /)(I M x ρρτ=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。

（A ）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B ）等截面圆轴；

（C ）等截面圆轴与椭圆轴；

（D ）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 正确答案是 A 。

解：p )(I M x ρρτ=在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。

4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max 1τ和max 2τ，切变模量分别为G 1和G 2。试判断下列结论的正确性。

（A ）max 1τ＞max 2τ；

（B ）max 1τ＜max 2τ；

（C ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＞max 2τ；

（D ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＜max 2τ。 正确答案是 C 。

解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即γγγ==21由剪切胡克定律γτG =知21G G >时，max 2max 1ττ>。

4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为d 2、)/(222D d D =α的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W 1/W 2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A ）234)1(α-； （B ）)1()1(2234αα--； （C ）)1)(1(24αα--； （D ）)1/()1(2324αα--。 正确答案是 D 。 解：由max 2max 1ττ=得 )

1(π16π164

323

1

α-=

D M d M x x

即 314

2

1)1(α-=D d

（1）

)

1(2

2

22

1

2

12

1α-=

=

D d A A W W （2）

（1）代入（2），得

23

2

42

11)1(α

α--=

W W

4-4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G 1和G 2，且G 1 = 2G 2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。 正确答案是 C 。

解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等21γγ=，因212G G =，由剪切胡克定律得交界面上：212ττ=。

4-5 图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN ·m 。试求：

习题4-4图

习题4-5图

1．轴横截面上的最大切应力； 2．轴横截面上半径r = 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉r = 15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。

解：1．7

.7006

.0π1610316

π3

3

3

P

P

max 1=⨯⨯⨯=

=

=

=

d T W T W M

x

τMPa

2． 4

π2d π2d 4

p

p

1

r

I M I M A M x

x

r

A r

⋅

=

⋅⋅

=

⋅=

⎰

⎰

ρρρρτρ

∴

%

25.616

1)

60

15(

161632

π4π24π24

4

4

4

4p 4

==

⨯==

⋅

=

=

d

r d r I r M

M x

r

3． ⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=

=

43

p

max 2)21(116πd

T

W M

x

τ

4-6 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D 、壁厚均为δ，横截面上的扭矩均为T = M x 。试： 1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力

2

max π2D

M

x δτ≈

2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力

D

M

x

π32

max δτ≈

3．画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。 解：1．δττD D A D M A

x

π2

d 2

⋅⋅=

⋅=

⎰

∴ 2

π2D

M

x δτ=

即：2

max π2D M

x δτ=

2．由课本（8－18）式 D

M

D M

hb

M x

x x π3π332

2

2

max δδ

τ=

⋅=

=

4-7 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R 0，空心圆轴的内、外半径分别为R 1和R 2，且R 1/R 2 = n ，二者所承受的外扭转力偶矩分别为T s 和T h 。若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：

2

2h

s 11n

n T T +-=

解：由已知长度和质量相等得面积相等：

)(ππ2

12220R R R -=

（1）

2

π16

π30

s 3

s max R T d T ⋅=

=

τ

（2）

)

1(16

)

2(π4

3

2h

max n R T -=

τ

（3）

由（2）、（3）式

)

1(4

3

23

h

s n R R T T -=

（4）

习题4-7解图

习题4-6图

τ

(a-1)

(b-1) (a-2) max

max

τ (b-2)