工程力学第六章杆件的应力

m
m
T
T
27
dA
dA
r
r dA T
A
r dA T
A
r2rtT
T
2 r2t
• 根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式的 误差不超过4.52%,是足够精确的。 28
二 纯剪切与切应力应力互等定理
纯剪切：单元体上只有 剪应力而无正应力。
微元体 单元体
dy
(td y )d x (td x )d y
y
F1
F2
x
X 0
F 1co 3 s0 F 20
Q
Y 0
F1co6s 0Q0
F12Q20KN
1 F22 3F117.32KN
17
F12Q20KNF221 3F117.32KN
C
由作用力和反作用力可知：
BC杆的受力为拉力，大小等于 F1 AB杆的受力为压力，大 小等于 F2
最后可以计算的应力：
30 B
t dx
29
• 剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同 时指向或背离两平面的交线。
30
6-5 圆轴扭转时横截面上的应力
一、扭转切应力的一般公式
从三方面考虑：变形几何关系 物理关系 静力学关系
31
1.变形几何关系
观察到下列现象:
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有 变化
第六章 杆件的应力
6-1 应力的概念 应力：内力在截面上的聚集程度，以分布 在单位面积上的内力来衡量；
单位：帕斯卡（Pa），或 kPa, MPa, GPa
•1Pa=1N/m2, 1MPa=106Pa，1GPa=103MPa=10Baidu NhomakorabeaPa
正应力
垂直于截面的应力
切应力
平行于截面的应力
1
应力
F A F 4
即代表纵坐标y的任一“纤维”的正应变
51
2 物理关系
Ee
E
y
正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的 正应力为零
上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：
1）由于中性轴z的位置未确定，故y无法标定； 2）式中未知，（若已知M，与M有何关系？）
52
3 静力学关系
将梁的轴线取为 x 轴，横截 面的对称轴取为 y 轴，中性 轴取为 z 轴。
截面几何参数的定义，可得
55
横截面对Z轴的静矩
Sz 0
中性轴Z必过截面形心
这就确定了中性轴的位置。即过形心与 y 轴垂直。
C
Z
C
Z
中性轴
56
中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。
因为 y 是对称轴，所以 Iyz0 该式自动满足
截面对yz轴的惯性积
57
由式
可得
1M
ρ E Iz
Iz y2dA
A
22
6-4 切应力互等定理与剪切胡克定律
一 薄壁圆管的扭转应力 试验观察 平面假定 应变分布 物性关系 应力分布
加载前 画横向圆周线及纵向线
静力方程
应力表达式
23
加载后： T
T
24
加载后现象：
1、各纵向线倾斜同角度 2、各圆周线大小形状间距不变
T
T
25
g 管壁扭转时的应力变形特征
A
C
A
C
B
DB
N2P3 0
N2
P3
N2P36K 0 N
2
N2 A2
75MPa
压应力
15
例 图示为一悬臂吊车， BC为
C
实心圆管，横截面积A1 = 100mm2，
AB为矩形截面，横截面积 A2 = 200mm2，假设起吊物重为
30 B
A
Q = 10KN，求各杆的应力。
16
首先计算各杆的内力： 需要分析B点的受力
20
应力集中系数
平均应力
2 应力集中对构件强度的影响
对脆性材料而言，应力集中现象将一直保持到最大局部应力到达 强度极限，故在设计脆性材料构件时，应考虑应力集中的影响。
对塑性材料而言，应力集中对其在静载作用下的强度几乎没有影
响，故在研究塑性材料构件的静强度时，一般不考虑应力集中的
影响。
21
交变应力（或循环应力）：随时间循环变化的应力 在交变应力作用下的构件，虽然所受应力小于材料的静 强度极限，但经过应力的多次重复后，构件将产生可见 裂纹或完全断裂。 疲劳破坏：在交变应力作用下，构件产生可见裂纹或完 全断裂的现象。 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件的疲劳强 度影响很大
D
´
上述变形现象表明：微体ABCD既无轴向正应变，也无横 向正应变，只是相邻横截面ab与cd之间发生相对错动，即产生 剪切变形；而且，沿圆周方向所有的剪切变形相同。由于管壁 很薄，故可近似认为管的内外变形相同，则可认为仅存在的垂
直于半径方向的切应力沿圆周大小不变。
26
剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径 与周线相切
中性层与横截面的交线称为中性轴
48
中性层
中性轴
中性层
49
二 弯曲正应力一般公式 • 变形几何关系 • 从三方面考虑：• 物理关系 • 静力学关系
1 变形几何关系
中性轴
50
该式说明 ， e 和 y 成正比 ,而与z 无关 。因而，e 与这些纵
向线段沿 z 轴的位置无关 。
由于距中性层等远各“纤维”的变形相同，所以，上述正应变e
5
B A su
A s B
平均线应变：
e u
s
线应变:
e lim u
s0 s
6
dy
dx
角应变 g
7
练习
8
一 拉压胡克定律
实验表明，在比例极限范围内，正应力与 正应变成正比，即
引入比例系数E，则
胡克定律 比例系数E称为弹性模量
9
二 剪切胡克定律
g
在纯剪状态下，单元体 相对两侧面将发生微小 的相对错动，原来互相 垂直的两个棱边的夹角 改变了一个微量g。
4
32
Ip
d3
d
16
2
d
o
40
二、 空心圆截面
对 于 空 心 圆 ， 外 径 为 D ， 内 径 为 d =d / D
I p
D/2
2dA 2 2 d
(D4 d4)
32
A
d /2
D4(14)
32
Wt
Ip
max
Ip D
2
D3 (14)
41
16
已知：P1＝14kW, n1= n2= 120r/min, z1=36, z3=12; d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm.
截面对z轴的惯性矩
Z
O
x
y
53
在横截面上法向内力元素 dA 构成了空间平行力系。
因此，只可能组成三个内力分量
Nx dA 0
A
My zdA 0
A
Mz ydA M
A
通过截面法，根据梁上只有外力偶 m 这一条件可知，上式中
的 N 和 My均等于零， 而Mz就是横截面上的弯矩M。
54
将正应力 σ Eε Ey 代入以上三个条件，并根据有关的 ρ
p F4
C
F3
F3
•平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度
p
F A
•一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向
都将趋于一定极限，得到 plimFdF
应力总量P 可以分解成:
A0 A dA
垂直于截面的分量σ－－正应力
平行于截面的分量τ－－切应力
应力的国际单位为Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
一 拉压杆横截面上的应力
拉压杆的平面假设：在轴向载荷作用下，变形后，横
截面仍保持平面，且仍与杆轴垂直，只是横截面间沿杆轴
作了相对平移。
12
根据平面假设，我么可以得出结论，即横截面上每一点 存在相同的拉力
P
N
如果杆的横截面积为：A 在轴向载荷下，横截面上正应力计算式为：
N
A
正应力与轴力具有相同的正负符号，即拉应力为正，压 应力为负。
• 梁的平面假设：
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并 仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一 轴旋转了一个角度。
47
• 单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤 压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压 的状态。
由平面假设得到的推论：
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下 面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既 不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向 纤维层称为中性层。
所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 剪应力
44
弯曲切应力：梁弯曲时横截面上的切应力 弯曲正应力：梁弯曲时横截面上的正应力 基本变形：拉压；扭转；弯曲 组合变形：
对称弯曲：梁至少有一个纵向对称面，且外力作用在对称面 内，此时变形对称于纵向对称面，在这种情况下的变形形式 称为对称弯曲。
45
§11 -2 对称弯曲正应力
G d
dx
G
T G Ip
T Ip
二、 最大扭转切应力
当 ＝ max 时， ＝ max
max
T max
Ip
抗扭截面系数
38
max
max
39
6-6 极惯性矩和抗扭截面系数
一、 实心圆截面
d /2
d /2
I p 2dA 2 2 d 2 3d
A
0
0
d4
2 2
d4
13
例 图示矩形截面（b h）杆，已知b = 2cm ，h=4cm ，
P1 = 20 KN， P2 = 40 KN， P3 = 60 KN，求AB段和BC 段的应力
A P1
B P2
C P3
14
P1
N1 N1P10
N1P12K 0 N
1N A 1 1 2 2 0 4 0 1m 0 0 N 2m 0 2 0N 5 /m2 m 2M 5 P压a应力
求: 各轴横截面上的最大剪应力。
42
N1=14kW, N2=N3= N1/2=7 kW
n1=n2= 120r/min
n3=
n1
z1 z3
36 =120
12
=360r/min
T1=1114 N.m T2=557 N.m T3=185.7 N.m
max(E)=
T1 Wp1
= 16.54 MPa
max(H)=
• 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
Gg
G
d
dx
• 剪应力方向垂直于半径
36
• 3.静力学关系
dA T
A
AGddx dAT
dA
dA
o
Gd
dx
2dA
A
T
令Ip 2dA—截面的极惯性矩
A
则 d T
dx GIp
37
d T
dx G I p
于是再由物理关系得
A
F1
F2
BC杆： 1N A1 1F A1 1120m K 002 N m 20M 0Pa
Q
AB杆：2N A 2 2 A F 22 2 1.0 3 m 7K 0 2 2m N 8.6 6MPa
18
二 圣维南原理
当作用在杆端的轴向外力，沿横截面 非均匀分布时，外力作用点附近各截面的 应力，也是非均匀分布的。但圣维南原理 指出，力作用于杆端的分布方式，只影响 杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向 范围约离杆端1~2个杆的横向尺寸。
此原理已为大量试验与计算所证实。
用与外力系静力等效的合力代替原力系， 除在原力系作用区域内有明显差别外，在 离外力作用区域稍远处，上述代替影响非 常微小，可以略而不计。
19
三 应力集中
1.应力集中的概念 由于结构的需要，构件的截面尺寸往往会突然变化， 例如开孔、沟槽、肩台和螺纹等，局部的应力不再均 匀分布而急剧增大 应力集中：杆件外形突变，引起局部应力急剧增大的现象
T2 Wp2
= 22.69 MPa
max(C)=
T3
= 21.98 MPa
Wp3
43
§11 -1 引言
一、概述： 当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的 横截面上既有弯矩 M ， 又有剪力 Q 。
Q
M
只有与剪应力有关的切向内力元素 dQ = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 dN = dA 才能合成弯矩
两正交线段的直角 改变量——剪应变
g
10
• 薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之 间存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪 应力不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力 与剪应变成正比 即：当p时
引入比例系数G，则 Gg
• G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪 切胡克定律
11
6-3 拉压杆的正应力
(2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ
（3）表面方格变为菱形。
32
• 平面假设： • 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
g
33
g dx rd
g r d
dx
g
g
d
34
在外表面上
横截面上距形心为的任一点处应变 g
gdxd
g
d
dx
35
2. 物理关系
一 基本假设
用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:
纯弯曲：梁横截面上 只有弯矩而无剪力时 的弯曲。
46
• 观察到以下变形现象: • (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长
• (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变 为 弧线的aa，bb垂直
• (3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸 长。
目录
2
正负号规定： 正应力 拉为正，压为负。 切应力 顺时针为正，逆时针为负
>0
<0
>0
<0
3
6-2 应变的概念 (正应变和切应变), 胡克定律
拉伸 变细变长
压缩 变短变粗
正应变：微体在某一方向上长度的改变量与原长度的比值的极限值 称为微体在此方向上的正应变e。
4
切应变：当微体的棱长发生改变时，相邻棱边之夹角一般也发生 改变。微体相邻棱边所夹直角的改变量称为切应变g 切应变的单位为rad(弧度)