材料力学 杆件横截面上的应力1

思考：
1. 拉压杆横截面上有没有切应力？ 没有 2. 拉压杆斜截面上有没有切应力？ 有， =？1
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
横截面上的应力 任意截面上的应力 特殊面上的应力 一般面上的应力 特殊
一般
F
p
F
F

FN
变形假设：平面假设仍 成立。 推论：斜截面上各点处 轴向分布内力的集度相 同。
s0
2
sin2
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
• 由上述分析可以看到：在α=+45º和α=-45º斜截面上 的剪应力满足如下关系：
t
s0
2
sin 2
t 45
=
t 45
正、负45º两个截面互相垂直的。那么，在任意两个互 相垂直的截面上，是否一定存在剪应力的数值相等而 符号相反的规律呢？
t sin 2 s sin 2( 90） t
2 2
s
90
•
通过受力物体内一点处所作的互相垂直的两截 面上，垂直于两截面交线的剪应力在数值上必 相等，而方向均指向交线或背离交线。这个规 律就称为剪应力互等定律。
剪应力（切向应力）符号规定： 剪应力以对所研究的脱离体内任何一点均有顺 时针转动趋势的为正，反之为负。

2
FN 1 28.3kN FN 2 20kN
A 1
45°
2、计算各杆件的应力。
B
C
2
FN 1 28.3 103 s1 90MPa A1 20 2 4
FN 1
y
F
FN 2 45° B
F
x
FN 2 20 10 s2 89MPa 2 A2 15
3
例3-3：试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上 的拉应力。已知：d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。
例3-2：图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。 解：1、计算各杆件的轴力。
FN 1
45°

y
B F
A 1
F
B F
45°
0 FN 2 FN 1 cos 45 FN 2 0 Fy 0
x
x
C
FN 1 sin 45 F 0
根据胡克定律
1 2 3 ......
s E 横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀
3-2-1横截面上正应力公式的推导
F F
得到横截面上 正应力公式为:
F
s
截面积A
FN
横截面上的各点正应 力亦相等，且分布均 匀 有
s A FN
式中：σ——横截面上的法向应力， 称为正应力； FN——轴力，用截面法得到； A——杆件横截面面积。 适用条件： A、弹性体，符合胡克定律； B、轴向拉压（短粗杆）； C、离杆件受力区域较远处的横截 面。
分布内力
A
F3
ΔF p lim pm lim ΔA0 ΔA 0 ΔA
p称为该点的应力，它反映内力系在该点的强弱程度，p是一 个矢量。
1、正应力和切应力
F1 p F2
p一般来说既不与截面垂直， 也不与截面相切，对其进行分 解 垂直于截面的应力分量: σ
相切于截面的应力分量: τ
τ
σ
σ 正应力（normal stress） τ 切应力（shearing stress） 应力特征：必须明确截面及点的位置，是个矢量。 应力单位: 牛顿/米2 帕斯卡（Pa）
• •
附录A 平面图形的几何性质 （截面设计的几何学基础）
杆件的横截面是由平面几何图形组成的。杆件的强度、刚 度、稳定性都与横截面的几何性质有关，如横截面面积、形心 的位置等，本部分主要讨论:
• 实际杆件的横截面
• 抽象为
• 特殊
• 一般
•静矩与形心； 平行移轴定理; 惯性矩与惯性积； 惯性矩和惯性积的转轴定理*；截面的主惯性轴和主惯性矩
1、静矩与形心
y
遍及整个图形面积A的积分:
dA
S z ydA
A
图形对z轴的静矩 图形对y轴的静矩
S y zdA
A
O z
y
z
平面图形的静矩（面积矩、一次矩） 不仅与图形的大小、形状有关，还 与坐标轴的位置有关。 静矩的数值可以 >0 <0 =0 静矩的量纲 [L]3 m3 mm3
1、静矩与形心
①全应力：
F F F p cos s 0 cos Aa A / cos A

s p
②正应力（垂直于斜截面）
s p cos s 0 cos2 s 0 (1 cos 2 )
③切应力（与斜截面相切）
t
t p sin s 0 cos sin
应力集中对塑性材料无影响相对于静载荷，而对交变应力 作用下的构件，应力集中也将影响构件强度，因为破坏点 在σmax处开始； 应力集中对脆性材料有影响是相对于组织均匀而言的，对 组织不均匀的脆性材料，如铸铁，在它内部有许多片状石 墨（不能承担载荷），这相当于材料内部有许多小孔穴， 材料本身就具有严重的应力集中，因此由于截面尺寸改变 引起的应力集中，对这种材料的构件的承载能力没有明显 的影响。
应力集中
应力集中 应力集中系数
s max K sm
孔边部分的σmax，与未开孔横截面上的平均 应力σm
截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小， 应力集中的程度就越严重。
所谓应力集中系数，就是应力集中处的最大应力σmax与杆横截 面上的平均应力σ之比。 应力集中系数的物理意义：反映杆在静载荷作用下应力集中的 程度。 应力集中系数k只是一个应力比值，与材料无关，而与切槽深度、 孔径大小有关，变截面的过渡圆弧坦、陡有关。
1KPa=1000Pa
1MPa=1000KPa
1GPa=1000MPa
2、应变（strain）的概念-正（线）应变和切应变
一般情况下，受力构件内各个点都受应力作用， 各个点处均要发生变形。构件各点或各部分的变 形累积成构件整体变形。
xm
u x
点 a在 x 方向 的平均 线应变 点 a在x 方向的 线应变 （或正 应变）
Sz yC A
Ay
i 1 i
n
iC
A
i 1
n
zC
Sy A

Az
i 1 n
n
i iC
i
A
i 1
i
例A-1
y2 如图所示，抛物线方程为: z h(1 2 ) 计算由抛物线、y 轴 b
和 z轴所围成的平面图形对 y 轴和 z 轴的静矩，并确定图形形心 C 的坐标。 z
1、正应力和切应力
F F
两个拉杆任意截面上的内 力相同，但是常识告诉我们， 直径细的拉杆更容易破坏。 同样材料，同等内力条件 下，横截面积较大的拉杆能承 受的轴向拉力越大。
F
F
内力集度 应力（STRESS）
1、正应力和切应力F 1
截面
F
△A上的内力平均集度为:
F2
ΔF pm ΔA
当△A趋于零时，pm 的 大小和方向都将趋于某一 极限值。
C
D 2F A
3、计算应力
FN
3F 2F
+ +
O
－
1F
最大应力位于CD段
s max
FNOB 3F s OB (拉) 2A 2A FNBC F s BC (压) 2A 2A FNCD 2 F x s CD (拉) A A 2F s CD (拉) A
最大轴力的位置并不一定是最大应力的位置。 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。
FN s A
3-2-1 横截面上正应力公式的推导
FN s A
s
正应力，拉应力为“+”，压应力为 “－” FN 轴力 A 横截面面积
* 公式同样适用于杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆。
1N 1Pa 2 1m
1N 1MPa 2 1mm
FN ( x) s ( x) A( x)
第三章 杆件横截面上的应力、 应变分析
3-1应力应变的概念及其相互关系
• 何为应力？ • 内力在横截面上的分布集度，称为应力。 • （密集程度）
• 为什么要讨论应力？
• 判断构件破坏的依据不是内力的大小，而 是应力的大小。即要判断构件在外力作用 下是否会破坏，不仅要知道内力的情况， 还要知道横截面的情况，并要研究内力在 横截面上的分布集度（即应力）。
解：
FR FN 2
d FR ( pb d )sin pbd 0 2
π
1 pbd pd s ( ) b 2 2 2 200 40 MPa 25
• 3-2-2应力集中的概念
等直杆受轴向拉伸或压缩时，在离开外力作用处较远的 横截面上的正应力是均匀分布的。但是，如果杆截面尺寸有 突然变化，比如杆上有孔洞、沟槽或者制成阶梯时，截面突 变处局部区域的应力将急剧增大，这种现象称为应力集中。
t

t

( 直角改变量 )

3、胡克定律(Hooke’s law)
Robert Hooke 英国杰出科学家 (1635-1703）
σx
s x E x ,
O
x
sx
E
εx
E-材料的弹性(杨氏)模量
试验表明，对于工程中常用 材料制成的杆件，在弹性范 围内加载时（构件只发生弹 性变形），若所取单元体只 承受单方向正应力或只承受 切应力，则正应力与线应变 以及切应力与切应变之间存 在线性关系。
x 0 y 0
称为点 a 在x-y 平面内的切应变 或角应变。
2、正应变和切应变
线变形与剪切变形，这两种变形程度的度量分别称为“正应变” ( Normal Strain ) 和 “切应变”(Shearing Strain), 分别用 和 表示。
sx
dx
sx
sx
u
sx
u+du
du x dx
x 是横截面的位置。 若杆件横截面尺寸沿轴线变化剧烈，上述式子是否适用？ 为什么？
3-2-1横截面上正应力公式的推导
3-2-1横截面上正应力公式的推导 圣维南(Saint-Venant)原理: 将原力系用静力等 效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的 应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略 远处，该影响就非常小。
O 4F
B 3F 2A
C
D 2F A
O
Fox
B 4F 3F 2A
C
D 2F A
1、求反力
易知 O处反力 仅有水平方向的分量 FOx
FN
3F 2F
+ +
FOx 4F 3F 2F 0 FOx 3F
2、画出轴力图
x
O
－
1F
因此 FNmax=3F 在OB段， 性质为拉力
O
Fox
B 4F 3F 2A
1、静矩与形心 当一个平面图形是由若干个简单图形（矩形、三角形、圆形） 组成时，根据静矩的定义，组合图形对某轴的静矩等于其各个 组成部分对该轴静矩之和。
S y S yi Ai ziC
i 1 i 1
n
n
S z S zi Ai yiC
i 1 i 1
n
n
组合图形的形心坐标公式:
y
设该图形形心 ( yc , zc ) 与均质等厚薄板重心坐标相同
dA
C
yC

A
ydA A zC

A
z dA A
y
yC
O
zC
z
z
Sy Sz yC zC A A S y AzC S z A yC
yC
由以上可知，若S z= 0和S y=0， 则y c= 0和 z c =0。图形对某轴的静矩等 于零，则该轴必通过图形的形心。
法国力学家 圣维南
Saint-Venant (1797~1886 )
“力作用杆端方式的不同，只会使与杆在 不大于杆的横向尺寸的范围内受到影 响。”
有限元分析的圣维南原理
例题3-1： 阶梯杆OD, 左端固定，受力如图所示， OC 段的横截面面 积是 CD 段横截面面积 A 的两倍,求杆内最大的轴力和最大正 应力的大小及其位置。
点 a在 描述了该点处在 x 这个线度方向变形的程度。
u x lim x 0 x x 方向的线应变或称为正应变。它
单元体除发生棱边长度改变的变形外，还可能发生角度的 改变，即发生角变形。例如，下图所示，变形前棱边ae 和 af 两微小线段的夹角为π/2，变形后夹角减少了α+β。
xy lim ( )
τ
t G ,
O

t
G
γ
G-材料的切变模量
• 3-2直杆轴向拉伸压缩时横截面上的正应力
3-2-1横截面上正应力公式的推 导
刚性板
观察中间部分，拉伸变形后， 竖线仍然垂直于轴线，只是发 生了平移
FF
1
2
变形前 变形后
F F
平面假设: 变形前为平面的横 截面变形后仍保持平面且垂直 于轴线
由上述假设，拉杆的所有纵向纤维的伸长都是相同的
h
O b
y