高斯函数讲义-----学生用

高斯函数

一、 知识概要

1， 定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数。则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分。 2，性质

1，函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤； 2，[][]n x n x +=+，其中n Z ∈； 3，[][]11x x x x -<≤<+；

4，若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<； 5，对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+； 6，若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥； 7，[][][]1

x x x ⎧--⎪-=⎨

-⎪⎩

8，若n N +

∈，则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤

=⎢

⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦；当1n =时，[][]x x ⎡⎤=⎣⎦； 9，若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b

⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

；

（x 不是整数时） （x 是整数时）

10，x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

个；

11，设p 为任一素数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!p n ，则有：

()()12!m m m n n n p n p n p p p p +⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=+++≤<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

。

证明：由于p 是素数，所有!n 中所含p 的方次数等于!n 的各个因数1,2,,n 所含p 的方次数

之总和。由性质10可知，在1,2,,n 中，有n p ⎡⎤⎢

⎥

⎣⎦

个p 的倍数，有2n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个2

p 的倍数，有3n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个3p 的倍数， ，当1

m m p n p

+≤<时，120m m n n p p ++⎡⎤⎡⎤

===⎢

⎥

⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，所以命题成立。 高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。

解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。 二、 解题示例

例1， 若实数r 使得192091546100100100r r r ⎡

⎤⎡⎤⎡

⎤+

+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

，求[]100r 。 例2，计算：

100

1

23101n n =⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

∑的值。 例3，对自然数n 及一切实数x ，求证： [][]121n x x x x nx n n n -⎡

⎤⎡⎤⎡⎤++

+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

例4，对任意的n N +∈，证明：===。

例5，解方程56157

85x x +-⎡⎤=⎢

⎥⎣⎦

。 例6，解方程1142x x +-⎡⎤⎡⎤=⎢

⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

。 例7，解方程[]3

33x x -=。

例8，证明：若p 是大于2的质数，则(122p

p +⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦

被p 整除。

三、 巩固练习

1．如果x 为任意实数，用[x]表示不大于x 的最大整数，例如：[-7] = 7，[-3.1] = -4，[3]=1，则满足等式[x]-3=0的x 的范围是____________。

2．若[x]=5，[y]= -3，[z]=-1,mj [x – y – z ]可以取值的个数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6

3．设[x]表示不超过x 的最大整数，若M=][

,][x N x =，其中x ≥1，则一定有（ ）

A ．M>N

B ．M=N

C ．M

D ．以上答案都不对。

4．给出下面三个命题：

（1）[x + 1] = [x] + 1;（2）[x + y] = [x] + [y]（3）[x ·y] = [x] · [y] 其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．3C ．1D ．2

5．[x]表示取数x 的整数部分，若)4

]

[4][(

u x u x y +-+= 且当x = 1,8,11,14时，y = 1； x = 2,5,12,15时，y=2；

x = 3,5,9,16时，y=3； x = 4,7,10,13时，y=0，则表达式中u 等于（ ） A ．

42+x B ．41+x C ．4x

D ．4

1-x

6．实数a,b 满足关系式b =[a] + [a-2] – 1和b = [a] + 1的值一定是（ ）

A ．大于9而小于10

B ．大于或等于9而小于10

C ．大于9而小于或等于10

D ．整数 7．设x 表示不超过x 的最大整数，对任意实数x ，下面式子正确的是（ ） A ．[x] = |x|B ．[x]≥2

x C ．[x]>-xD ．[x] > x – 1

8．记号[x]表示不超过x 的最大整数，设n 是自然数，且2

22]1)1([)1(+++-++n n n n I

A ．I>0

B ．I<0

C ．I=0

D ．当n 取不同的值时，以上三种情况都可能出现。 9．设x ≥0，求证：][

]][[x x =

10．记[a]为不大于a 的最大整数，{a} = a – [a]，求证：如果{x} + {y} = 1，

则[x + y] = [x] + [y] + 1

11．如果a 为任意实数，用[a]表示不大于a 的最大整数，例如[-5] = -5，[-2,3] = -3，[3]=1，设x 、y 满足方程⎩⎨

⎧=+--=-16

]2[32

][2y x y x 则[x+y]=__________。

12．若x = 29 + 173,则2

x - x[x]=________。

13．已知方程[

14

3

-x ]=x – 3，那么满足方程的x 是__________。 14．方程2

x - 8[x] + 7 = 0的所有解的平方和等于_____________。 15．[a]表示不大于a 的最大整数，那么方程[3x + 1] = 2x -

2

1

的所有根的和是____________。 16．方程1}{][][][2

3

-=++x x x x 的解是_____________。 17．设,}7

31{

,]7

31[

b a =-=-求ab a )171(2++的值。

18．求证：[zx]≥[x] +

.2

]

2[x 19．解方程：3][3

=-x x 。