断裂力学基本概念(优.选)

r
2
1
a2 r2
2
1
3a 4 r4
4a2 r2
cos
2
2
1
a2 r2
2
1
3a 4 r4
cos 2
3-1
r
2
1
3a 4 r4
4a2 r2
sin 2
如图3—1中y＝0截面上的应力如图3—2所示，在 孔边的m点和n点有最大应力。我们定义为弹性应 力集中系数。在所述之圆孔条件下，Kt＝3。
第一节 缺口的应力应变集中
在拉伸试验中，取σ（应力）＝P（载荷） ÷A（试样截面积）。实际上这只是一种标称应 力，因为实际的应力并非任何时候都在整个截 面上均匀分布。
生产和生活实践均证明，缺口的存在会带来 更大的危险。这就是应力应变集中的结果。
若一块单向（y方向）受均匀拉应力口的大薄板 中心有一个半径为a的圆孔（图3－1），按弹性力 学可求得板中某点的径向应力、切向应力和剪应 力分别为：
设如图3—5所示，一块两端刚性固定，承受 着均匀拉应力σ的大板，或者说有一块远边界应力 为σ的无限大板．若在此单位厚度板的中心产生出 一条垂直于应力σ的穿透裂纹，其长度为2a，则体 系增加了表面能
U s 4a
为单位表面能，即表面张力.
而根据弹性力学，此时体系释放出的弹性能为
Ue
2
2E
2a 2
r
K
2 I
2
2 s
K
2 I
4
2 s
cos
2
2
1
3sin
2
2
（平面应力）
（ 3－14）
21
2 2
cos 2
2
3 2
sin
2
（ 平面应变）
按（3－14）式，裂纹尖端塑性区的形状和大小如 图3—8所示。θ＝0的面上，塑性区大小r0为
r0
1
2
KI
s
2
（平面应力）
1 2 2
在考虑有塑性变形的断裂时，如同（3—3）式，应有能量平衡 式：
U U sp Ue 4a c p
a 2 2 1 2
E
（3－6）
U a
U sp a
Ue a
4
c
p
2 a 2 1 2
E
（3－7）
我们现从裂纹扩展前的体系考虑，定义
GIc
U sp
2a
2
c p
为扩展单位长度裂纹所需之能量，是裂纹扩展的阻力项；
一个裂纹体的受力状态及裂纹的扩展方式可有图 3—4所示的三种典型情况，或者它们的组合。其中I 型叫张开型，II型叫做滑开型，III型叫做撕开型。 由于张开型是最危险的状态，因而最具代表性。我 们下面仅以I型受力状态来讨论。
在二十年代，Griffith在研究玻璃、陶瓷 等的脆性断裂时，认为这些材料之所以易于开 裂是由于使裂纹扩展所需的能量小；他在考虑 该断裂过程的能量平衡时，把物体看成一个热 力学体系。在受到外力时，体系吸收了外力作 的功，转变成为体系的（物体的）弹性能。当 裂纹扩展时（或萌生时），裂纹体的弹性能释 放（即降低）部分；而产生出裂纹的两个新表 面，即增加了表面能。
对脆断事故分析表明：①要求材料中不存在任 何缺陷，是不现实的；②工程中对塑性、韧性的要 求，几乎完全是经验性的，从理论上只能认为是一 种安全储备，是相当模糊的概念。
为此，人们开始着力研究带裂纹体的力学 状态，其表征参量及材料的相应性能指标。 进而在工程中能够从理论上计算出具体带裂 纹零件能安全地承受多大载荷；或者在确定 载荷条件下的缺陷容限；或者通过计算裂纹 的扩展速率而预计零件的安全寿命。
a 2 2
E
所以体系的能量变化为
U
Us
Ue
4a
a 2
E
2
（3－3）
随着裂纹长度2a的变化，各项能量的变化情况如图3－6 所示。
不难看出，在σ一定时，当 a a * 时有 U max ,当
U 0 则裂纹会自动扩展。即裂纹自动扩展的条件是 a
U 4 2a2 2 0 （3－4a）
a
E
即
2E a
二、脆断判据及GI与Kl之关系 由（3—9）式，同上节所述之GI相似，KI
是标称应力（远边界应力）和裂纹尺寸a的函
数．由 K1 a 和 GI a 2 /E' 可得
GI
K
2 I
E'
平面应力, E' E ; 平面应变，E' E / 1 2
同样，KIc GIc E' 是材料性能参数，叫做断 裂韧性或断裂韧度。于是裂纹发生脆性失稳扩展 的临界条件是：
（3－4b）
在平面应变条件下，E' E / 1 2 ，于是
2E
1 2 a
实际上，由于金属不是绝对脆性物质，在断裂时 断口两面的金属都要发生程度不同的塑性变形。故体
系所增加的能量（ U sp 以代表）还应包括塑性变形能 po
以 c 表示单纯的表面能（表面张力），则
U sp c p c
对于其它形状的裂纹，如单边缺口拉伸，三点
Байду номын сангаас
弯 曲 …… 等 情 况 ， 可 以 有 类 似 的 结
果 KI a 。其中φ为裂纹组态、试样几何 的函数。在图3—7条件下， 。对于Ⅱ、Ⅲ 型裂纹的KⅡ、KⅢ 也有类似的结果。
由（3—9）式可知，属于 xy 0 的面θ=0处:
y x
KI
2r
故是最易发生正断之处。
于是发生裂纹扩展的条件（3－46）式变为
2E c p 1 2 a
2E c p 1 2 a
此式说明，当板中已有裂纹长度为2a时。一旦标称 应力达到(3—5)式所示水平，裂纹即会失稳扩展．或者 说：在应力为σ的条件下，允许板中心垂直于σ方向存 在的裂纹长度不得达到或超过2a，否则将发生裂纹的自 动扩展。
2
2r 2
（平面应变）
2
KI
2r
cos
2
1
sin
2
（ 平面应力）（3－16）
根据（3－9）式， 0 处 xy 0（在 处， ij 0
无意义）。所以 0 的面即属于主平面，σy即
主应力。根据前面的计算， 0
面上 y 1
KI
2r
将如图3—9中之虚线DBC所示。
可见在 r r0 范围中将发生屈服。设为理想塑性材料，
2
K
I s
2
（ 平面应变）
由此可见，平面应变条件下 的塑性区较平面应力条件下 小得多。
然而无论如何，其大小均正比于 KI / s 2 。
在裂纹扩展的临界条 件下讨论，即说明塑 性区的最大尺寸rm正 比于材料特性
K Ic / s 2
四、塑性区尺寸的修正
由（3—12）可求得
max
1
1
2
2 KI 1 sin
2r 2
2 2
3-9
z 0 x y （ （平平面面应应变力状状态态））
xy
K I sin cos cos 3 2r 2 2 2
式中 K1 a
G
E
21
μ
G ——切变摸量， E——杨式模量
x
1
2G1
'
KI
2r
cos
1
'
1
'sin
2
cos
3
2
y
1
2G1
'
KI
2r
cos
1
'
1
'sin
2
cos
3
2
z
E
x
y
（平面应力）
0
（平面应变）
xy
1 2G
K I sin cos cos 3 2r 2 2 2
（平面应力）－－波桑比
' /1 （平面应变）
u
KI
G1
'
KI
G1
'
r
2
cos
2
1 ' 1 'sin 2
屈服的结果将是在 r r0 区中 y ys 。在该区中松 弛掉的积分应力（图中ABD面积）必然转嫁于 r r0
区域。于是屈服区扩大到 R0 ，其大小可由下式去求：
r0 0
KI
2r
ys
dr
R0
r0 y
得
R0
2KI
2
r0
ys
以（3—15）式代入，求得 R0 2r0 。即由于 裂纹尖端区的屈服，屈服区应为：
' y
K
' I
2r'
式中
r' r ry
。若考虑
' y
应力分布与屈服后的应力
之分布一致，在E点有
（3－18）
ys
K
' I
/
2 R0 ry
R0
ry
K
' I
ys
2
/ 2
2
ry
R0
1
2
K
' I
ys
1
2
2 ys
2 K I
2
K
'2 I
若认为
K
' I
KI
，则
2
ry
1
2
K
同时定义
GI
U e
2a
a2 1 2
2
/E
为裂纹扩展单位长度时，体系可释放的能量。
这样，Ue就是定义为体系内能的减少量。GI的大小是应 力σ和裂纹长度a的函数，是使裂纹扩展的力。而
GIc