泊松流、指数分布、爱尔朗分布
排队论方法讲解
排
队 论 方 法
1. 基本概念
1.排队过程的一般模型 顾客服务过程分为四个步骤：
进入排队系统（输入） 等候服务 接受服务 离开系统（输出）
顾客接受服务后立即离开系统，因此输出 过程可以不用考虑，则
讲
解
输入过程 排队系统排队规则 服务机构
排
队 论
①输入过程： I.顾客总体 （顾客源）
排
队 论
1.5.2 指数分布
当顾客流为泊松流时,用T表示两顾客相 继到达的时间间隔,则T是一个随机变量, 其分布函数为
FT (t ) P{T t} 1 P(T t ) 1 P0 (t )
t t 又P ( t ) e , 则 F ( t ) 1 e , 0 T
k 0 n
讲
解
(全概公式、独立性 ) Pn k (t ) Pk (t , t t )
k 0 n
Pn (t )(1 t ) Pn 1 (t )t o(t )
排 队 论
Pn (t , t t ) Pn (t ) o(t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) t t
讲
解
排
队 论
(1) 无后效性：在不相交的时间区 间内,顾客到达数相互独立，即在 [t,t+△t]时段内到达的顾客数，与 时刻t之前到达的顾客数无关； (2)平稳性：对于充分小的△t，在 [t,t+△t]内有１个顾客到达的概率， 只与△t有关，而与ｔ无关，且 P1 (t , t t ) t o(t ),
t
实际中，多数问题都属于稳态情 况，且通常在经过某一时段后即可 到达稳态，而不需要t→∞
排
队 论
交通流理论
交通流理论离散型分布在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的路段上分布的车辆数，是所谓的随机变数，描述这类随机变数的统计规律用的是离散型分布。
1、泊松分布适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基本上不存在，即车流是随机的。
基本公式：()!Kt K t P e k λλ-=式中：K P —在计数间隔t 内到达k 辆车的概率；λ—平均到车率；t —每个计数间隔持续的时间；e —自然对数的底，可取2.718280。
若令m t λ=—在计数间隔t 内到达的平均车辆数，则m 又称为泊松分布的参数。
则有递推公式：0m P e -=，11k K m P P k +=+；分布的均值M 和方差D 都等于t λ。
2、二项分布适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。
基本公式：()(1)k k n k k n t t P C n n λλ-=-式中各参数代表意义同上。
通常记t P nλ=，则二项分布可写成：(1)k k n k k n P C P P -=-，式中：01P <<，n,p 称为分布的参数。
递推公式为：111k k n k P P P k P+-=∙∙+-，分布的均值M 和方差D 分别是：n (1)M nP D P P ==-，。
显然M D >，这是二项分布与泊松分布的显著区别，它表征二项分布到达的均匀程度高于泊松分布。
如果通过观测数据计算出样本均值m 和方差s 2，则可分别代替M 和D ，用下面两式求出P 和n 的估计值：222n m s m P m m s -==-，，其中m 和s 2可按下面两式计算：221111s ()1N N i i i i m m N N χχ====--∑∑，式中：N —观测的计数间隔数；i χ—第i 个计数间隔内的车辆到达数。
连续型分布车流到达的统计规律除了可用计数分布来描述外，还可以用车头时距分布来描述，这种分布属于连续型分布。
1、负指数分布适用条件：用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布，它常与计数的泊松分布相对应。
运筹学 第8章 排队论
第八章 排队论排队是日常生活和经济管理经常遇到的问题，如医院等待看病的病人、加油站等待加油的汽车、工厂等待维修的机器、港口等待停泊的船只等。
在排队论中把服务系统中这些服务的客体称为顾客。
由于系统中顾客的到来以及顾客在系统中接受服务的时间等均是随机的，因此排队现象是不可避免的。
对于随机服务系统，若扩大系统设备，会提高服务质量，但会增加系统费用。
若减少系统设备，能节约系统费用，但可能使顾客在系统中等待的时间加长，从而降低了服务质量，甚至会失去顾客而增加机会成本。
因此，对于管理人员来说，解决排队系统中的问题是：在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。
排队论是优化理论的重要分支。
排队论是1909年由丹麦工程师爱尔郎（A.K.Erlang ）在研究电话系统时首先提出，之后被广泛应用于各种随机服务系统。
第一节 排队论的基本概念及所研究的问题一、基本概念（一）排队系统的组成一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图8—1所示。
1．输入过程输入过程指顾客按什么样的规律到达。
包括如下三个方面的内容：（1）顾客总体（顾客源） 指可能到达服务机构的顾客总数。
顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。
如工厂内出现故障而等待修理的机器数是有限的，而到达某储蓄所的顾客源相当多，可近似看成是无限的。
（2）顾客到达的类型 指顾客的到达是单个的还是成批的；（3）顾客相继到达的时间间隔分布 即该时间间隔分布是确定的（定期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的，顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负指数分布）；2．排队规则排队规则指顾客接受服务的规则（先后次序），有以下几种情况。
（1）即时制（损失制） 当顾客来到时，服务台全被占用，顾客随即离去，不排队等候。
这种排队规则会损失许多顾客，因此又称为损失制。
（2）等待制 当顾客来到时，若服务台全被占用，则顾客排队等候服务。
在等待制中，又可按顾客顾客达到排队系统 图8—1服务的先后次序的规则分为：先到先服务（FCFS，如自由卖票窗口等待卖票的顾客）、先到后服务（FCLS，如仓库存放物品）、随机服务（SIRO，电话交换台服务对话务的接通处理）和优先权服务（PR，如加急信件的处理）。
泊松分布和指数分布
泊松分布和指数分布⼀、先摆出泊松分布表达式：P (x =k ;λ)=λkk !e−λ泊松分布的意义： ⾸先，泊松分布的描述对象是“离散随机变量”; 泊松分布是描述特定时间或者空间中事件的分布情况。
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位⾯积)内随机事件的平均发⽣率。
泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发⽣的次数。
1.⼀本书⾥，印刷错误的字的个数： 其中参数λ由⼆项分布的期望np 决定，λ=np ，表⽰该时间(空间)段内的事件发⽣的频率。
这个例⼦中，表⽰⼀般情况下，书内(空间)的出错的频率(期望)，n 代表所有的字数，p 代表印刷错误的概率，k 表⽰印刷错的字数。
刚好这个例⼦包含了，当n 很⼤，p 很⼩的时候，⼆项分布的极限是泊松分布。
因为这个例⼦同样可以⽤⼆项分布的⾓度来解释：每印刷⼀个字，表⽰⼀次伯努利实验（n 代表所有的字数，p 代表印刷错误的概率，k 表⽰印刷错的字数。
当n 继续变⼤，为连续变量的时候，⼆项分布的极限⼜成了正态分布（正态分布是所有分布趋于极限⼤样本的分布）。
2.⼀段时间内的次品率；3.某医院平均每⼩时出⽣的婴⼉数；4.某⽹站每分钟的访问次数； 注意这⾥的λ为⼀段时间内的期望，如果待研究的时间段变化了，λ也要跟着变。
⽐如医院平均每⼩时出⽣的婴⼉数的参数为λ，则“医院平均每两个⼩时出⽣的婴⼉数”的参数为2λ，则每两个⼩时医院出⾝的婴⼉个数为k 的概率为：P (x =k ;λ)=(2λ)kk !e −2λ泊松分布的柱状图类似正太分布的形状，在 k = λ 的时候概率最⼤。
⼆、指数分布概率密度函数：f (x )=1θe −x /θ,x >0分布函数：P (X ≤x )=F (x )=1−e −x /θ,x ≥0其中θ>0为常数，则称X 服从参数θ的指数分布。
指数分布的意义： ⾸先，指数分布的描述对象是“连续型随机变量”； 指数分布是泊松过程的事件间隔的分布：泊松分布表⽰的是事件发⽣的次数，“次数”这个是离散变量，所以泊松分布是离散随机变量的分布；指数分布是两件事情发⽣的平均间隔时间，“时间”是连续变量，所以指数分布是⼀种连续随机变量的分布。
二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布
二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分
布
二项分布是离散概率分布的一种，适用于只有两种可能结果（成功和失败）的独立重复试验。
每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
试验的次数为n。
二项分布表示了在n次独立重复试验中，成功次数为k的概率分布。
泊松分布：
泊松分布是在一段固定时间或空间中，随机事件发生的次数的概率分布。
它适用于事件发生率较低，但时间或空间较大的情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间中事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数是离散的，表示了事件发生次数为k的概率。
均匀分布：
均匀分布是连续概率分布的一种，也称为矩形分布。
在一个定义在[a, b]区间上的随机变量的情况下，均匀分布概率密度函数使得[a, b]区间上每个区间的长度相等，且概率密度函数在该区间上是常数。
均匀分布的概率密度函数是恒定的，且在[a, b]区间外为零。
指数分布：
指数分布是连续概率分布的一种。
它适用于描述独立随机事件的等待时间，当事件发生的概率是恒定的。
指数分布的概率密度函数呈指数形式下降，并且在x 轴上永不为零。
指数分布的参数λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
正态分布：
正态分布是连续概率分布的一种，也称为高斯分布。
它是最常见的概率分布之一，常被用于描述自然界中许多现象的分布情况，如身高、体重等。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，均值和标准差是正态分布的参数。
正态分布具有许多重要的性质，如对称性、中心极限定理等。
第四章 交通流理论
各种类型的“顾客”按怎样的规律到达
定长输入：顾客等时距到达； 泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布； 爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布；
（2）排队规则
排 队 论 基 本 原 理
到达的“顾客”按怎样的次序接受服务
损失制：顾客到达时，若所有服务台被占，该顾
客就自动消失，永不再来；
第三节 排队论的应用
The Application of Queuing Theory
排 队 论 概 述
排队论也称随机服务系统理论，是研究“服务” 系统因“需求”拥挤而产生的等待行列或排队的 现象，以及合理协调“需求”与“服务”关系的 一种数学理论。是运筹学中以概率论为基础的一 个重要分支。 在交通工程中，排队论在研究车辆延误、通行能 力、信号配时以及停车场、收费厅、加油站等交 通设施的设计与管理诸方面得到广泛的应用。
Poisson distribution belongs to discrete function with only one parameter. In traffic engineering Poisson distribution equation is used to describe the arrivals of vehicles at intersections or toll booth, as well as number of accident (crash) Poisson distribution is appropriate to describe vehicle’s arrival when traffic volume is not high. When field data shows that the mean and variance have significant difference, we can no longer apply Poisson distribution.
泊松分布 指数分布
泊松分布指数分布文章正文：随着数学和统计学发展，研究人员正在越来越发现各种不同的概率分布。
这些分布被广泛用于经济学和社会科学研究领域，以更好地描述实际生活中的概率分布情况。
其中，两个最常用的分布是泊松分布和指数分布。
本文旨在介绍这两个分布的概念，以及它们在实践中的应用。
首先，让我们来介绍泊松分布。
泊松分布是一种随机过程，它可以描述某种事件在一个定长的时间段内发生的次数。
具体地说，泊松分布可以衡量抛物体落入一个区域中所需要的抛掷次数，以及信号系统中一次发射信号所必需的正确反应次数。
为了计算这个分布，需要注意它拥有两个参数：平均和方差。
它的概率密度函数可以表示为： f (x) = (e ^ (-λ)^x) / x!在这里，λ是平均值，也称为泊松参数或泊松分布的发射率，它决定了事件发生的平均次数。
方差为λ。
这个分布的形状特点是，它的峰值值将位于λ的位置，并且在λ的两侧具有负斜率。
泊松分布最常用于描述瞬变事件，比如介质发射的数量、服务中断的概率、报纸的发行量，甚至是疾病的发病率等。
一般来说，当发生次数小于一定数量时，我们往往使用泊松分布来描述结果。
接下来，让我们来介绍指数分布。
指数分布也是一种随机过程，它可以描述事件在一段时间内发生的次数。
不同于泊松分布，指数分布的发射率和方差的值是相同的。
它的概率密度函数可以表示为：f (x) =e-λx在这里，λ是指数参数，它指定了事件发生的概率，并决定了分布的形状特征。
它具有正斜率，其峰值位置由λ决定。
指数分布通常用于模拟持续时间，其中可以连续地发生事件。
这些事件可以是设备故障、服务中断、交通事故等。
因此，它也被用于故障分析，以便更好地评估设备的可靠性。
总而言之，泊松分布和指数分布是两种常见的概率分布，它们的概念及其应用在经济学和社会科学研究中都得到了广泛的应用。
泊松分布用于模拟瞬变事件，而指数分布用于模拟持续时间。
希望本文能够帮助读者更好地理解这两种分布，并在实践应用中得到广泛运用。
交通工程学 交通流理论
S 2
1 N 1
N i 1
( xi
m)2
1 N 1
n
(x j m)2 f j
j 1
•
1
N
（
N 1 i1
xi2
Nm2 )
• n: 观测数据分组数
•
数f i的:频在率全（部即的对观应测的时计间数内间,在隔计的数次间数隔）t内事件K发生次
•
N: 观测的总周期（观测的间隔总数），此时观测的
总时间为T＝Nt
第八章 交通流理论
• 由于泊松分布的均值 M 和方差 D均等于λt；
而观测数据的均值 m和 S2均为无偏估计，因此， 当观测数据表明S2/m显著不等于1时，就是泊 松分布不合适的表征，所以，应选择其他分布 形式。
第八章 交通流理论
例1 设60辆车随机分布在4km长的道路上，求任意400m路 段上有4辆及4辆车以上的概率
解：行人横过单向行车道所需要的时间：
t =7.5/1=7.5s
因此，只有当h≥7.5s时，行人才能安全穿越，由 于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指 数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大 于7.5s的概率为：
Qt
3607.5
P(h7.5) e 3600 e 3600 0.4724
车头时距分布的概率密度曲线一般总是 先升后降。
2020/2/1
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二、排队论的基本概念
• “排队”与“排队系统”
➢ 当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的车 辆和正在被服务（收费）的车辆与收费站构成一 个“排队系统”。
➢ 等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，这 个队列则称为“排队”。
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三种常用的理论分布：
（1） 泊松流与泊松分布
｛N （t ）,t>0｝是计数过程，有
,2,1,0,!
)()(==-n e n t t P t n n λλ 且E[N （t ）]=λt，Var[N(t)]=λt.
(2) 指数分布
当输入过程是一个泊松过程｛N(t),t>0｝时，设T 是两位顾客相继到达的时间间隔，有
F T （t ）=P ｛T ≤t ｝=1－P ｛T ＞t ｝ =1－P 0（t ）=1－t e
λ-，t>0, F T （t ）=0, t ≤0。
从而
⎩⎨⎧≤>='=-.0,00,)()(t t e t F t f t T T λλ（λ＞
0），
且 E （T ）=1/λ，
λ—单位时间到达的平均顾客数； 1/λ— 相继到达的平均间隔时间。
定理.输入过程｛N(t), t>0｝是参数为λ的泊松过程的充分必要条件是相继到达的时间间隔：T 1，T 2，…T n ,…相互独立，同服从参数为指数分布。
为一位顾客服务的时间V 一般也服从指数分布，有
⎩
⎨⎧<>-=-.0,0,0,1)(t t e t F t V μ, ⎩⎨⎧<>-=-.0,
0,0,)(t t e t f t V μμ 其中 μ— 平均服务率；
E （V ）= 1/μ—一位顾客的平均服务时间。
ρ=λ/μ—服务强度，刻画服务效率和服务机构利用程度的重要指标。
（3）爱尔朗（Erlang ）分布
设V 1，V 2，…，V k 相互独立，V i ～E(0 ，k μ)，则，T=V 1+V 2+…+V k 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧<>-=-.
0,0,0,)!1()()(1
t t k kt k t f k k μμ
称T 服从k 阶爱尔朗分布。
例：串列的k 个服务台，每个服务台的服务时间相互独立，服从相同的指数分布，则k 个服务台的总服务时间服从k 阶爱尔朗分布。
有：1）E （T ）=μμ11)(1=⋅=∑=k k V E k
i i ； 2）k=1时，T ～E （0，μ）；
3）k ≥30时，T 近似服从正态分布；
4）
.01)(2lim lim ==∞→∞→μ
k T Var t k （化为确定型分布）。