泊松分布的应用

泊松分布的应用泊松分布的应用摘要泊松分布是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。

它是高等数学里的一个概念,属于概率论的范畴,是法国数学家泊松在推广伯努利形式下的大数定律时,研究得出的一种概率分布,因而命名为泊松分布。

作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。

服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。

在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。

并且在某些函数关系起着一种重要作用。

例如线性的、指数的、三角函数的等等。

本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍，研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。

关键词：泊松过程；泊松分布；定义；定理；应用；一、 计数过程为广义的泊松过程1．计数过程设)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为一随机过程, 如果 t)( N 是取非负整数值的随机变量,且满足s < t 时, t)( s) ( N ≤,则称)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为计数过程。

将增量 t t 0 , t), t ( N ) t ( N - t)( N 000<≤∆=,它表示时间间隔 t), t [ 0内出现的质点数。

“在 t), t [ 0内出现k 个质点”,即k} t), t ( {N 0=是一随机事件,其概率记为 2 0,1, k , k} t), t ( P{N t), t ( P 00K ===总之,对某种随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。

2．泊松过程计数过程0} t , t)( {N ∈称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件:(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;(2)0 (0) N =;(3)对于充分小的, t)( O t 1} t) t t,( P{N t) t t,( P 1∆+∆==∆+=∆+λ其中常数0>λ,称为过程)(t N 的强度。

(4)对于充分小的Δt(){}()t j t t t N P t t t P j j j∆==∆+=∆+∑∑∞=∞=ο22,),( 亦即对于充分小的t ∆,在()t t t ∆+,或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相对可以忽略不计。

了解泊松过程,就很容易去了解泊松分布的相关性质,其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔内出现质点数目的计数。

二、 泊松分布的概念：泊松分布常用于描述单位时间、单位平面或单位空间中罕见“质点”总数的随机分布规律。

定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且{}0,,2,1,0,!>===-λλ k e k x k X P k为常数。

则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ P (λ) 。

定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。

主要结论：定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D(X) =λ。

证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。

设X 服从泊松分布P(X) ,即有:0 , , ,2 ,1 0 k ,! k} X P{>===-λλλ e k k 则()()λλλλλλλλλ=⋅=-==-∞=--∞=-∑∑e e k e k e k X E k k k k 110!1!从而()()()λλλλλλλλ+=-+-==-∞=-∞=--∞=∑∑∑2122022!1!2!e k e k e k kX E k kk k k k 故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+==定理2 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为{}n k p p C k x P k n n k n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。

又设0>=λn np 是常数,则{}λλ-∞→==e k k x P k n n !lim 。

证明 由λ=n np 得:{}()()n n k n k kn k n n n k n n k n n k k n n n k x P ⋅--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==λλλλ11121111!1!11显然,当k = 0 时,故λ-n e k} x P{→=。

当k ≥1 且k → ∞时,有λλ-⋅-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯e n n k n n n n k n 1,11121111从而{}λλ-→=e k k x P kn 1，故{}λλ-∞→==e k k x P k n n !lim 。

定理3 设λp 是服从参数为λ的泊松分布的随机向量,则:dt e x p P x t ⎰∞--∞→=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-2221lim πλλλλ证明 已知ελ的特征函数为()()1-=Φit e e t λλ,故()λλεληλ-=的特征函数为:()1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=-λλλλλλit e t t e e t t g 对任意的t ,有()∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=λλολλλ1!212t it eit 。

于是()∞→-→⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλολλλλ212122t t t i e it 。

从而对任意的点列∞→n λ,有()22lim t e t g n n -∞→=λλ。

但是22t e -是N (0 ,1) 分布的特征函数,由于分布函数列(){}x F n 弱收敛于分布函数F( x)的充要条件是相应的特征函数列{Φn ( t) } 收敛于F( x) 的特征函数Φ( t)。

所以dt e x P x t n n n n ⎰∞--∞→-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-2221lim πλλελλ成立;又因为n λ是可以任意选取的,这就意味着dt e x p P x t ⎰∞--∞→=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-2221lim πλλλλ成立。

图一 泊松分布示意图三、 泊松分布及泊松分布增量1.泊松分布产生的一般条件在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件,我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流。

若事件流具有平稳性、无后效性、普通性,则称该事件流为泊松事件流(泊松流) 。

例如一放射性源放射出的α粒子数;某电话交换台收到的电话呼叫数;到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数;等这些事件都可以看作泊松流。

2.泊松分布及泊松分布增量的概率(1)泊松分布的概率:对泊松流,在任意时间间隔(0, t)内,事件出现的次数服从参数为λt 的泊松分布,λ称为泊松流的强度。

设随机变量X 所有可能取的值为0, 1, 2, ⋯,且概率分布为:2 1, 0, k ,!e k) (X P k-===k λλ其中0>λ是常数,则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～P (λ)。

(2)泊过分布增量的概率:2 1, 0, k , t t ,e !] ) t - t ([ }k t), t ( {N P t), t ( P 0) t - t (-k000k 0=>===λλk 由上式易知增量) t ( N - t)( N t), t ( N 00=的概率分布是参数=) t - t (0λ的泊松分布,且只与时间0t t -有关。

3.泊松分布的期望和方差：由泊松分布知) t - t ( ] ) t ( N - t)( [N D ] ) t ( N - t)( E[N 0 00λ==特别地,令00=t ,由于假设N (0) = 0,故可推知泊松过程的均值函数和方差函数分别为：t, ] t)( [N D ,t ] t)( E[N λλ==泊松过程的强度λ(常数)等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值。

即对泊松分布有:λ== (X) D (X) E四、泊松分布的特征1．泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。

要观察到这类事件,样本含量n必须很大。

2.λ是泊松分布所依赖的唯一参数。

λ值愈小,分布愈偏倚,随着λ的增大,分布趋于对称。

3.当λ= 20时分布泊松分布接近于正态分布;当λ= 50时,可以认为泊松分布呈正态分布。

在实际工作中,当λ≥20时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。

五、泊松分布与二项分布、正态分布之间的关系1.二项分布与泊松分布之间的关系定理(泊松定理)在n重伯努利试验中，事件A在每次实验中发生的概率为Pn，它与试验次数有关，，则对任意给定的m，有由该定理可知，当二项分布b(n,p)的参数n很大，p很小，而λ=np大小适中时，实际中n>100，p<0.1，np<10时，二项分布可用参数为λ=np的泊松分布来近似，即这就是二项分布的泊松逼近。

当然n应尽可能地大，否则近似效果往往不佳。

二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件(即每次试验中事件出现的概率p很小)，当伯努利试验的次数n很大时，事件发生的频数的分布。

实际表明，在一般情况下，当p<0.1时，这种近似是很好的，甚至n不必很大都可以，这点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表也可以看出。

例如，当p=0.01时，甚至n=2时，这种近似程度已经很好了。

表1说明了这一情况，其中np=0.02。

表一二项分布与泊松分布的比较2.泊松分布与正态分布之间的关系由定理1和定理2可知二项分布既可以用泊松分布近似，也可以用正态分布近似。

显然，泊松分布和正态分布在一定条件下也具有近似关系，下面的定理说明泊松分布的正态逼近。

定理对任意的a<b，有，其中如前文所述，二项分布的泊松近似和正态近似各自适用的条件是不同的。

当p很小时，即使n不是很大，用泊松分布近似二项分布，已经相当吻合。

但是在这种倩形下，用正态分布去近似二项分布，却会产生较大的误差。

直观上也可以想象得到，p很小，n又不大，则np=λ一定不会很大。

由上述定理可知，正态分布就不能很好地近似泊松分布，因而也就不能近似被泊松分布十分逼近的二项分布。

在n充分大，P既不接近于0也不接近于1时(实际上最好满足0.1<p<0.9)，用正态分布去近似二项分布，效果就较好。

表2是用泊松分布与正态分布去近似二项分布b(n,p)的比较，其中，n=2500，p=0.02，np=50, 7。