椭圆(教学设计)

2.1椭圆(2)(教学设计)

2. 1.1椭圆及其标准方程

教学目标：

知识与技能目标

(1) 进一步理解椭圆的概念，会用椭圆的定义解决实际问题；

了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法

(2) 掌握求轨迹方程的一般方法

过程与方法目标

通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法。

情感、态度与价值观目标：

通过让学生进一步用坐标法掌握求轨迹方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识，培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。

教学重点：进一步理解椭圆标准方程，会求轨迹方程

教学难点：求轨迹方程的方法。教学过程：

一、复习回顾：

(1)椭圆定义

MF1MF22a

2 2 2

(2)标准方程x- + 笃=1 禾口笃+―y=1( a b 0)

a b a b

(3)求曲线方程的一般步骤是什么？

建系：建立适当的直角坐标系；

设点：设M (x,y )是曲线上任意一点；

列式：建立关于x,y的方程f(x,y) =0 ；

化简：化简方程f(x,y)=O.

检验：说明曲线上的点都符合条件；符合条件的点都在曲线上

二、创设情境、新课引入：

求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法等。

三、师生互动、新课讲解：

例1.已知B,C是两个定点，BC 8，且ABC的周长等于18,求这个三角形顶点A的轨迹方程。

解：以过B,C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴, 由BC 8，可知B(-4,0),C(4,0). 由周长等于18得,

AB AC 10，因此，点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆，且

2a=10,c=4，所以, 2 2 2

b=a-c =25-16=9.又点A不在x轴上，所以,

点A的轨迹方程为

2 2

x y

25 9

1(y 0)

例2 （课本P34例2）在圆x 2 y 2 4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD , D 为垂足.当点P 在圆上运 动时，线段

PD 的中点M 的轨迹是什么？

分析：点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点P 移动引起点M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点 M 为线 段PD 的中点，则点 M 的坐标可由点 P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.

总结：相关点法：寻求点 M 的坐标x, y 与中间x o ,y 。的关系，然后消去X o ,y 。，得到点M 的轨迹方程. 例3 （课本P35例3）如图，设A , B 的坐标分别为

5,0 , 5,0 •直线AM , BM 相交于点M ，且它们的斜

4

率之积为

，求点M 的轨迹方程.

9

分析：若设点M x, y ，则直线AM , BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示, 即可得点M 的轨迹方程.

例4: 一动圆与圆x 2+ y 2+ 6x + 5= 0外切，同时与圆 解： 设动圆圆心为 P （x , y ），半径为R,两已知圆圆心

分别为 O , Q . 由 x 2+y 2+6x +5=0 得：（x +3）2+y 2=4 ;由 x 2+y 2 6x 9仁0 得：（x 3）

2

+y 2=100 故Q （ 3,0）, Q （3,0）, 且圆Q 在圆O 内部.

圆P 与圆Q 外切知：| QP |= F +-2,由圆P 与圆Q 内切知：| QP =10 R 所以|QP |+|

QP |=12，而|QQ |=6，可知P 点轨迹为椭圆，且 2a =12, a =6;

2 2

2c =6, c =3;所以 b 2=a 2 c 2=36 9=27 P 点的轨迹方程为：x - 1

36

27

课堂练习（课本 P36练习NQ 3; 4） 四、课堂小结、巩固反思： 求轨迹方程的方法： 1. 直接法

由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出 ）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简

得曲线的方程，这种方法叫直接法.

2. 定义法：

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.这种方法要求题设 中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件.

3. 相关点法：

若动点P （x , y ）随已知曲线上的点 Q （x 0, y 0）的变动而变动，且 x 0、y 0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入 已知曲线方程，即得点 P 的轨迹方程.这种方法称为相关点法

（或代换法）.

4. 待定系数法：

由于直线AM ,

点M 的轨迹方程.

BM 的斜率之积是

-，因此，可以求出

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x,y 之间的关系式，即得到

解：设点M

x, y ，则 k

AM

y x 5

， k BM

—y

x 5 ；

x 5

x 5

代入点M 的集合有

y

y

4 (x 5)

x 5x5

9

2

2

化简，得：X

y 1(x 5)

25 100

9

x 2+寸一6x — 91 = 0内切，求动圆圆心的轨迹方程

■*

x