立体几何部分模型大全
立体几何专题：外接球问题中常见的8种模型(学生版)
立体几何专题：外接球问题中常见的8种模型1.知识梳理一、墙角模型适用范围：3组或3条棱两两垂直；可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合直接用公式(2R )2=a 2+b 2+c 2，即2R =a 2+b 2+c 2，求出R【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑二、麻花模型适用范围：对棱相等相等的三棱锥对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。
推导过程：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，AD =BC =x ，AB =CD =y ，AC =BD =z ，列方程组，a 2+b 2=x 2b 2+c 2=y 2c 2+a 2=z 2⇒(2R )2=a 2+b 2+c 2=x 2+y 2+z 22，补充：V A −BCD =abc −16abc ×4=13abc 第三步：根据墙角模型，2R =a 2+b 2+c 2=x 2+y 2+z 22，R 2=x 2+y 2+z 28，R =x 2+y 2+z 28，求出R .三、垂面模型适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。
推导过程：第一步：将ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ,连接PD ,则PD 必过球心O .第二步：O 1为ABC 的外心，所以OO 1⊥平面ABC ，算出小圆O 1的半径O 1D =r(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理a sin A =b sin B=csin C =2r ,OO 1=12PA .第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(1)(2R )2=PA 2+(2r )2⇔2R =PA 2+(2r )2；(2)R 2=r 2+OO 21⇔R =r 2+OO 21.公式：R 2=r 2+h 24四、切瓜模型适用范围：有两个平面互相垂直的棱锥推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心O 1、O 2过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心0，取B C 的中点为E ，连接OO 1、OO 2、O 2E 、O 1E 为矩形由勾股可得|OC |2=|O 2C |2+|OO 2|2=|O 2C |2+|O 1C |2-|CE |2∴R 2=r 21+r 22-l 24公式：R 2=r 21+r 22-l 24五、斗笠模型适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥推导过程：取底面的外心01，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h ，在h 上取一点作为球心0，根据勾股定理R 2=(h -R )2+r 2⇔R =r 2+h 22h公式：R =r 2+h 22h六、矩形模型适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径推导过程：图中两个直角三角形ΔPAB 和ΔQAB ，其中∠APB =∠AQB =90°，求外接圆半径取斜边AB 的中点O ，连接OP ,OQ ，则OP =12AB =OA =OB =OQ 所以O 点即为球心，然后在ΔPOQ 中解出半径R 公式：R 2=l22(l 为斜边长度)七、折叠模型适用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.推导过程：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角∠A EC =α,CE =A E =h .如图，作左图的二面角剖面图如右图：H 1和H 2分别为△BCD ,△A BD 外心，分别过这两个外心做这两个平面的垂线且垂线相交于球心O CH 1=r =BD 2sin ∠BCD,EH 1=h -r ,OH 1=(h -r )tanα2由勾股定理可得：R 2=OC 2=OH 21+CH 21=r 2+(h -r )2tan 2α2.公式：R 2=r 2+(h -r )2tan 2α2八、鳄鱼模型适用范围：所有二面角构成的棱锥，普通三棱锥方法：找两面外接圆圆心到交线的距离m ,n ，找二面角α，找面面交线长度l 推导过程：取二面角两平面的外心分别为O 1,O 2并过两外心作这两个面的垂线，两垂线相交于球心O ，取二面角两平面的交线中点为E ，则O ,O 1,E ,O 2四点共圆，由正弦定理得：OE =2r =O 1O 2sin α①在ΔO 1O 2E 中，由余弦定理得：O 1O 2 2=O 1E 2+O 2E 2-2O 1E O 2E cos α②由勾股定理得：OD 2=O 1O 2+O 1D 2③由①②③整理得：OD2=O 1O 2+O 1D 2=OE 2-O 1E 2+O 1D 2=O 1O 2sin α2-O 1E 2+O 1D 2=O 1E2+O 2E 2-2O 1E O 2E cos αsin 2α-O 1E 2+O 1D 2=O1E2+O2E2-2O1EO2Ecosαsin2α-O1E2+O1B2记O1E=m,O2E=n,AB=l,则R2=m2+n2-2mn cosαsin2α+l22公式：R2=m2+n2-2mn cosαsin2α+l222.常考题型3.题型精析题型一:墙角模型1(2023·高一单元测试)三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD，DC⊥BD，2AD=BD=DC=2，则该三棱锥的外接球表面积为()A.3π2B.9π2C.9πD.36π1.(2022秋·陕西西安·高一统考期末)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑A-BCD中，满足AB⊥平面BCD，且AB=BD=5，BC=3，CD=4，则此鳖臑外接球的表面积为()A.25πB.50πC.100πD.200π2.(2023·高一课时练习)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50πC.100πD.500π33.(2023·广西南宁·统考二模)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥AD ，AB =BD =2，已知动点E 从C 点出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B 的最短距离为10，则该棱锥的外接球的体积为.4.(2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习)已知四棱锥P -ABCD 的外接球O 的表面积为64π，PA ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，PA =4，设点M 在球O 的表面上运动，则四棱锥M -ABCD 体积的最大值为.题型二:麻花模型1(2023春·广东梅州·高二统考期中)已知三棱锥S -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，且SA =BC =2，SB =AC =7，SC =AB =5，则球O 的体积是()A.83π B.3223π C.423π D.823π1.(2022春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中)在△ABC 中，AB =AC =2，cos A =34，将△ABC 绕BC 旋转至△BCD 的位置，使得AD =2，如图所示，则三棱锥D -ABC 外接球的体积为．2.(2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =25,BC =210,AC =213，D ，E ，F 分别为三边中点，将△BDE ,△ADF ,△CEF 分别沿DE ,EF ,DF 向上折起，使A ，B ，C 重合为点P ，则三棱锥P -DEF 的外接球表面积为()A.72π B.7143π C.14π D.56π3.(2023·江西·统考模拟预测)在三棱锥P -ABC 中，已知PA =BC =213,AC =BP =41,CP =AB =61，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为()A.77πB.64πC.108πD.72π4.(2022·全国·高三专题练习)已知四面体ABCD 的棱长满足AB =AC =BD =CD =2，BC =AD =1，现将四面体ABCD 放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD 可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为．题型三:垂面模型1(2023·高一单元测试)在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =6，BC =3，∠CAB =π6，则三棱锥P -ABC 的外接球半径为()A.3B.23C.32D.61.(2023·全国·高一专题练习)已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，△ABC 为等边三角形且边长为3，AD ⊥平面ABC ，AD =2，则球O 的表面积为()A.4πB.8πC.16πD.32π2.(2020春·天津宁河·高一校考期末)在三棱锥P -ABC 中，AP =2,AB =3,PA ⊥面ABC ，且在△ABC 中，C =60°，则该三棱锥外接球的表面积为()A.20π3B.8πC.10πD.12π3.(2023·全国·高一专题练习)已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，△ABC 为等边三角形且其面积为334，AD ⊥平面ABC ，AD =2，则球O 的表面积为()A.πB.2πC.4πD.8π4.(2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，BC =2，PC 与平面PAB 所成的角为30o ，则该四棱锥外接球的体积为()A.433π B.43πC.823πD.833π题型四:切瓜模型1(2023·贵州贵阳·校联考模拟预测)在三棱锥A -BCD 中，已知AC ⊥BC ,AC =BC =2,AD =BD =6，且平面ABD ⊥平面ABC ，则三棱锥A -BCD 的外接球表面积为()A.8πB.9πC.10πD.12π1.(2023·四川达州·统考二模)三棱锥A -BCD 的所有顶点都在球O 的表面上，平面ABD ⊥平面BCD ，AB =AD =6，AB ⊥AD ，∠BDC =2∠DBC =60°，则球O 的体积为()A.43πB.32π3C.49π3D.323π2.(2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB =BC =AA 1=4，点P 为B 1C 1的中点，则四面体PABC 的外接球的体积为()A..41416π B.41413π C.41412π D.4141π3.(2022·高一单元测试)四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，△PAD 是等边三角形，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，若AB =2，BC =3，则球O 的表面积为()A.12πB.16πC.20πD.32π4.(2021·高一课时练习)在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，∠DPA =π2，AD =23，AB =2，PA =PD ，则四棱锥P -ABCD 的外接球的体积为()A.163π B.323π C.643π D.16π5.(2023春·全国·高一专题练习)在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，AP=PD=10，平面PAD⊥平面ABCD，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为()A.4πB.8πC.136π9D.68π3题型五:斗笠模型1(2023·全国·高一专题练习)正四面体S-ABC内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为()A.64B.33C.263D.31.(2022·高一专题练习)已知正四棱锥P-ABCD(底面四边形ABCD是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为50 3，则此球的体积为()A.18πB.86πC.36πD.323π2.(2022·全国·高一专题练习)某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是()A.16B.8C.32D.243.(2022春·安徽·高三校联考阶段练习)在三棱锥P-ABC中，侧棱PA=PB=PC=10，∠BAC=π4，BC=22，则此三棱锥外接球的表面积为．题型六:矩形模型1(2022春·全国·高一期末)已知三棱锥A-BCD中，CD=22，BC=AC=BD=AD=2，则此几何体外接球的表面积为()A.2π3B.2π C.82π3D.8π1.(2022春·广东惠州·高一校考期中)在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体DABC，则该四面体外接球的体积为()A.1963π B.10003π C.4003π D.5003π2.(2022春·河北沧州·高一校考阶段练习)矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A-BCD的体积的最大时，则此四面体外接球的表面积值为()A.25πB.30πC.36πD.100π3.(2022春·四川成都·高一统考期末)在矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，将△ABC 沿对角线AC 折起，则三棱锥B -ACD 的外接球的表面积为()A.36πB.64πC.100πD.与二面角B -AC -D 的大小有关题型七:折叠模型1(2022春·陕西西安·高一长安一中校考期末)已知菱形ABCD 的边长为3，∠ABC =60°，沿对角线AC 折成一个四面体，使平面ACD 垂直平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的体积为()．A.5152π B.6πC.515πD.12π1.已知等边△ABC 的边长为2，将其沿边AB 旋转到如图所示的位置，且二面角C -AB -C 为60°，则三棱锥C -ABC 外接球的半径为2.(2023·广西南宁·统考二模)蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点A ,B ,C ,D 满足AB =BC =CD =DA =DB =433cm ，AC =23cm ，则该“鞠”的表面积为cm 2.3.(2022秋·福建泉州·高三校考开学考试)在三棱锥S -ABC 中，SA =SB =AC =BC =2,SC =1，二面角S -AB -C 的大小为60°，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为.4.(2022秋·山东德州·高二统考期中)已知在三棱锥中，S -ABC 中，BA ⊥BC ，BA =BC =2，SA =SC =22，二面角B -AC -S 的大小为5π6，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为()A.56π3B.58π3C.105π4D.124π9题型八:鳄鱼模型1(2022春·四川成都·高一树德中学校考期末)已知在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA =SC=22，二面角B-AC-S的大小为2π3，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为()A.124π9B.105π4C.105π9D.104π91.(2023春·全国·高一专题练习)如图，在三棱锥P-ABC，△PAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且CB=22，AB=AC=6，二面角P-AC-B的大小为120°，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为()A.5103π B.10π C.9π D.4+23π2.(2023·陕西榆林·统考三模)在三棱锥A-BCD中，AB⊥BC,BC⊥CD,CD=2AB=2BC= 4，二面角A-BC-D为60°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为()A.16πB.24πC.18πD.20π3.(2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习)如图1，四边形ABCD中，AB=AD =2，CB=CD=2，AB⊥AD，将△ABD沿BD翻折至△PBD，使二面角P-BD-C的正切值等于2，如图2，四面体PBCD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A.4πB.6πC.8πD.9π4.(2023·江西南昌·校联考模拟预测)在平面四边形ABCD中，AD=CD=3，∠ADC=∠ACB =90°，∠ABC=60°，现将△ADC沿着AC折起，得到三棱锥D-ABC，若二面角D-AC-B的平面角为135°，则三棱锥D-ABC的外接球表面积为.5.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)在三棱锥P-ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2，△PAC为正三角形，且二面角P-AC-B的平面角为π6，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为．。
高中数学中的常用几何模型及构造方法大全
高中数学中的常用几何模型及构造方法大全一、全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转1、对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
2、对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
3、旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题4、旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
5、自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称6、共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
二、模型变换说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
1、中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
初二数学30个重点几何模型
初二数学30个重点几何模型初二数学重点几何模型一、直线与角直线是几何中最基本的概念之一。
直线无法直接测量，但可以通过两个点的连线得到一条直线。
直线没有宽度和长度，只有方向。
在几何中，直线通常用字母表示。
角是由两条直线共享一个公共端点而形成的图形。
角度用度数来衡量，通常用小圆圈表示。
角度可以分为钝角、直角、锐角和平角四种类型。
钝角大于90度，直角等于90度，锐角小于90度，平角等于180度。
二、三角形三角形是由三条线段相连而形成的多边形。
三角形有很多种类，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。
等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等，直角三角形则有一个角度等于90度。
三、四边形四边形是由四条线段相连而形成的多边形。
四边形有很多种类，包括正方形、矩形、平行四边形等。
正方形的四条边长度相等且四个角都是直角，矩形的四个角都是直角，平行四边形的对边平行且长度相等。
四、圆与圆周圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离都相等的图形。
圆周是圆的边界，也是圆的周长。
圆周上的任意两点与圆心相连，形成的线段称为弦。
圆周上的任意点与圆心相连，形成的线段称为半径。
圆周上的任意两点与圆心相连，形成的线段称为直径。
五、多边形多边形是由多条线段相连而形成的封闭图形。
多边形的边数可以是任意大于等于3的整数。
多边形根据边的长度或角的大小可以分为等边多边形、等角多边形和正多边形等。
等边多边形的所有边长度相等，等角多边形的所有角度相等，正多边形既是等边多边形又是等角多边形。
六、相似与全等相似是指两个图形的形状相似，但大小不同。
相似的图形具有对应角度相等和对应边成比例的特点。
全等是指两个图形的形状和大小完全相同。
全等的图形具有对应边相等和对应角度相等的特点。
七、平面镜与对称平面镜是一种可以反射光线的镜子。
平面镜的特点是光线入射角等于反射角，入射光线、反射光线和法线三者在同一平面上。
对称是指图形通过某个中心轴线或中心点对折后，两边或两部分完全重合。
立体几何四个重要模型
立体几何四个重要模型广州市第六十五中学朱星如模型1：在棱长为a 的正面体ABCD 中：1.求证它是一个正三棱锥。
证明：即证顶点A 在底面BCD 的中心H 的连线与底面垂直。
取BC 的中点E，BD 的中点F，连CF，DE 相交于点H，则H 是三角形BCD 的中心，且H 是CF，DE 的一个三等分点，连AH，由BC ⊥DE，BC ⊥AE，AE 交DE=E,AE,DE 的平面AED 内，得BC ⊥平面AED，由此得BC ⊥AH，即AH ⊥BC。
（1）同理：AH ⊥BD。
（2）由BC 交BD=B，BC，BD 在平面BCD 内及（1）（2）得：AH ⊥平面BCD。
所以四面体ABCD 是正三棱锥。
2.设E、F、S、T 分别是BC、BD、AD、AC 的中点，求证：四边形EFST 是正方形。
证明：由于E、F、S、T 分别是BC、BD、AD、AC 的中点，故有ST 12DC EF，ST EF，所四边形EFST 是平行四边形。
同理：SF 12AB TE ，DC=AB ，所以四边形EFST 是菱形。
仿题1可证DC ⊥平面ABH，故DC ⊥AB,故有四边形EFST 是正方形。
注;由此可得到相对的两棱所成角为90o 。
3.设E、S 分别是BC、AD 的中点，求证：ES ⊥BC，ES ⊥AD，并求ES 的长。
证明：可证BC ⊥平面AED，从而BC ⊥ES；可得AD ⊥平面BCS，从而AD ⊥ES。
在直角三角形SBE 中，SB=32a,BE=12a,从而，2222ES SB BE =-=4.求任何一条棱与它相交的面所成角的正弦值。
解：只要求AB 与平面BCD 所成的角。
AH ⊥平面BCD，∴AB 与平面BCD 所成的角是ABH ∠。
22333323BH DE ==⨯=，在直角三角形ABH 中，2263AH AB BH =-=，故6sin 3AH ABH AB ∠==。
5.求相邻两个面的夹角的余弦值。
解：只要求二面角A-BD-C 的平面的余弦值。
高中数学立体几何外接球7大模型
02
03
04
例题1
已知长方体的长为3，宽为4 ，高为5，求其外接球的半径
。
解法
根据长方体外接球半径计算方 法，可得出外接球的半径为 1/2*sqrt(3^2+4^2+5^2)=
3/2*sqrt(10)。
例题2
已知长方体的长为6，宽为8 ，高为10，求其外接球的半
径。
解法
根据长方体外接球半径计算方 法，可得出外接球的半径为 1/2*sqrt(6^2+8^2+10^2) =1/2*sqrt(100+64+100)=1 /2*sqrt(264)=sqrt(66)。
长方体的每个面都是 矩形或正方形，相对 的两个面完全相同。
长方体外接球半径计算方法
01
设长方体的长、宽、高分别为a、 b、c，则长方体的体对角线长度 为sqrt(a^2+b^2+c^2)。
02
外接球的半径为体对角线长度的 一半，即 R=1/2*sqrt(a^2+b^2+c^2)。
典型例题解析
01
外接球半径$R = frac{sqrt{3}a}{3}$
典型例题解析
题目
在正四面体$P-ABC$中，点$P,A,B,C$都在同一球面上，若$angle PAB = angle PBA = angle BPC = angle ACP = 90^{circ}$，则该球的表面积为____．
解析
首先根据正四面体的性质，我们可以计算出外接球的半径$R = frac{sqrt{3}a}{3}$。然后 根据球的表面积公式$S = 4pi R^{2}$，我们可以计算出球的表面积为$S = 4pi (frac{sqrt{3}a}{3})^{2} = frac{4pi a^{2}}{3}$。
立体几何外接内切球的八大模型
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球cab图1CP AB a bc图2PC BA a bc图3C BPAabc图4PCO2BA类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）c ab图1CPA Babc 图2PCBAabc 图3CBPAa bc 图4PCO 2BA方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）A ．π16B ．π20C ．π24D ．π32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （2）933342=++=R ，ππ942==R S类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=图5ADPO 1OCB2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点图6PADO 1OCB图7-1PAO 1O CB图7-2PAO 1OCB图8PAO 1OCB图8-1DPOO 2ABC图8-2POO 2ABC图8-3DPOO 2AB解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A ．π3 B ．π2 C ．316πD ．以上都不对 解：选C ，221)3(R R =+-,221323R R R =++-, 0324=-R ,32=R ,ππ31642==R S类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1ACBP图9-2AO 1OCBP图9-3PAO 1OCB图9-4AO 1OCBP1．题设：如图9-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R2．如图9-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径） 21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=3．如图9-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA+=⇒222)(r R h R +-=，解出R4．如图9-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R+=⇔212OO r R +=例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 。
初中几何46种模型大全
初中几何46种模型大全篇一：初中几何46种模型大全引言几何是初中数学的重要分支,其知识点涵盖了平面几何、立体几何、向量等多个方面。
在学习几何时,掌握各种几何模型是非常重要的,这些模型可以帮助我们理解和解决几何问题,提高解题能力。
本文将介绍初中几何中的46种常见的模型,包括它们的名称、定义、性质和应用。
正文1. 正方形模型正方形模型是几何中最基本的模型之一,它是一种边长相等的矩形。
正方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。
正方形模型的性质有:- 正方形的四条边相等;- 正方形的对角线相等;- 正方形的面积等于其边长的平方。
2. 长方形模型长方形模型是有两个相等的长和两个不相等的宽的英雄。
长方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和小于斜边的平方。
长方形模型的性质有:- 长方形的两条对角线相等;- 长方形的宽比长大,长比宽大;- 长方形的长和宽相等。
3. 平行线模型平行线模型是相互平行的直线。
平行线模型的定义如下:- 两直线平行,当且仅当它们的对应角相等且且它们的方向相同。
平行线模型的性质有:- 平行线之间有且仅有一个交点;- 平行线上的点的横坐标相等;- 平行线的方向相同。
4. 菱形模型菱形模型是具有四个相等的直角边的矩形。
菱形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方,且任意两条边的长度小于第三条边的长度。
菱形模型的性质有:- 菱形的四条边相等;- 菱形的对角线相等;- 菱形的面积等于其四条边长度的平方和。
5. 等腰三角形模型等腰三角形模型是有一个相等的腰部的两个三角形。
等腰三角形模型的定义如下:- 在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。
等腰三角形模型的性质有:- 等腰三角形的两条直角边相等;- 等腰三角形的底角相等;- 等腰三角形的顶角平分线相等。
6. 等边三角形模型等边三角形模型是具有三个相等的边长的三角形。
18个经典几何模型（word400多页）
18个经典几何模型（word400多页）1.分享：200个精美几何画板文件2.再分享：149个精美几何画板文件3.二次函数压轴题精选40道（word含答案）4.最全的“一线三等角”模型解析5.重磅：2G多初中数学赛课好资料（打包分享）6.中考满分之路—必刷的30个专题7.史上最全：初高中数学衔接教材（word分享)8.重磅分享：中考数学压轴题十大题型（word含详细答案）9.初中数学满分讲义重磅分享10.重磅分享：最新旋转中考题精粹11.精品分享：将军饮马六大模型12.破解中考数学压轴题12讲（上）13.破解中考数学压轴题12讲（下）14.中考必备的15个word好专题（上）15.中考必备的15个word好专题（下）16.重磅分享：1991-2018年初中数学联赛试题及答案17.重磅分享：各类型全等三角形专题78页125题18.燃炸分享：初中数学选择通关题19.重磅：中考数学压轴题12讲（word分享）20.初中数学选择题精选400题（含答案）21.九年级数学暑假专用资料22.八年级最实用讲义23.勾股定理及逆定理专题（电子版分享）24.必看：中考数学考前指导！25.初高中数学衔接——超好教材26.燃爆分享：初中数学综合复习资料27.相似三角形模型（word分享）28.旋转型相似三角形（word分享）29.收藏：一文搞定二次函数30.史上最全：初高中数学衔接教材（word分享)31.初中数学选择题精选400题（含答案）32.初中数学选择题精选300题（含答案）33.一张图读懂“代数几何”模型34.刚刚，第11届全国赛课一等奖获奖资料打包分享35.四边形通关题（word分享）36.将军饮马的六种常见模型37.重磅分享：初中数学几何模型38.初中数学解题技巧大全39.重磅分享：学霸必备的23讲word40.1991-2018年初中数学联赛试题及答案(打包分享)41.81套2019年全国各地中考真题（word含答案）42.分享：初中几何辅助线大全43.学霸拥有满分无忧44.收藏：常见的线段最值问题45.最新：二次函数压轴题及答案（word分享）46.最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总47.word分享:12个专题模型（word分享）48.特殊平行四边形专题（word含详细答案）49.最值问题和路径问题精选（word分享）50.初中好题难题总动员（word分享）51.最全：2018年全国中考数学真题汇编（word含答案）52.助力中考：旋转专题53.最短路径12个基本问题（PPT分享）54.平移和旋转专题含答案（word分享）55.助力中考：相似三角形56.助力中考：半角模型（word分享）57.助力中考：手拉手模型（word分享）58.初中数学模型解题策略59.截长补短模型（word分享）60.共顶点模型（word分享）61.费马点最值模型（word分享）62.胡不归最值模型（word分享）63.隐圆模型（word分享）64.收藏：初中经典几何模型大全65.阿氏圆最值模型（word分享）66.角含半角模型（word分享）67.轴对称最值模型（word分享）68.弦图模型（word分享）69.对角互补模型（word分享）70.中考数学考前指导！最后一课！（ppt分享）71.2019年全国各市中考真题111套（word含解析）72.中点模型（word分享）73.构造平行四边形解题（word分享）74.中考押题：等边三角形（word分享）75.主从联动模型（word分享）76.二次函数与几何综合（word分享）77.一题30问及解答78.中考二次函数压轴题汇总（163页word含详细解析）79.最全：2020年中考总复习知识点总结（word分享）80.函数“存在性”问题（word分享）81.初中数学培优资料1-10讲（word分享）82.探索性问题（74页word分享）83.折叠问题（word分享）84.初中数学培优资料11-20讲（word分享）85.初中数学培优资料21-26（word分享）86.初中数学常用几何模型及构造方法大全87.重磅：几何应用题（word分享）88.100多套2020年中考真题（word分享）89.章建跃教授：我们应该如何教几何（PPT分享）90.2020年中考数学试题分类汇编（word分享）91.一文搞定初中数学几何模型92.初中数学第一课：迷人的数学（PPT分享）93.对初中数学复习教学的思考（PPT分享）94.常见几何基本图形及结论95.三角形的中位线（ppt分享）96.大树理论和工匠精神（PPT分享）97.初三复习建议（PPT分享）98.初中第一课：走进数学世界（PPT分享）99.动找规律，静下结论（PPT分享）100.一文搞定瓜豆原理101.最全的将军饮马模型（word分享）102.图形变换背景下的轨迹思想的研究（ppt分享）103.相似三角形六大证明技巧（word分享）104.最全的辅助圆模型（word分享）。
初三数学几何模型大全
初三数学几何模型大全
1. 平面图形，包括三角形（等边三角形、等腰三角形、直角三
角形等）、四边形（矩形、正方形、菱形、梯形等）、多边形（五
边形、六边形等）等。
2. 立体图形，包括立方体、正方体、棱柱（三棱柱、四棱柱）、棱锥（三棱锥、四棱锥）、圆柱、圆锥等。
3. 几何变换，包括平移、旋转、镜像、相似等几何变换的模型。
4. 圆的相关模型，包括圆的性质、圆的面积、圆的周长等相关
模型。
5. 空间几何，包括点、直线、平面、空间中的位置关系、投影
等相关模型。
在初三数学几何模型大全中，以上列举的只是一部分常见的内容。
学生在学习几何模型时，除了掌握这些基本的几何形状和概念外，还需要理解它们的性质、计算方法以及在实际问题中的应用等。
希望以上内容能够帮助到你，如果你有其他问题，欢迎继续提问。
高中数学 立体几何 3.(第二次修订版)八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正.一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 四、与台体相关的，此略. 五、八大模型第一讲 柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1， 取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ， 则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，ΘBC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， ΘMN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥，ΘSB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥，ΘSA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36.(3)题-1(引理）AC(3)题-2（解答图）AC（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=， 补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-. 第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .(6)题图图2-1(1)题图B（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 . （3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .(4)题类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图3-1图3-2图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(hr R +=，解出R .例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为（2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 . （4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .第二讲 锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图4-1图4-2图4-31．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点. 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R . 例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 .（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 （3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ．43 D ．123（4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为ο60，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A ．π B.3π C. 4π D.43π （5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A．6 B．6 C．3 D．2类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直图5径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的 三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的 顶点.图5-1图5-2图5-3图5-4图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( ) A ．π3 B ．π2 C ．316πD．以上都不对侧视图正视图第三讲 二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ； 第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,； 第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+ 注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . （2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //，ο90=∠A ，ο45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为（4）在边长为32的菱形ABCD 中，ο60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为ο120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为（5）在四棱锥ABCD 中，ο120=∠BDA ，ο150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角C BD A --的平面角的大小为ο120，则此四面体的外接球的体积为类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图7题设：如图7，ο90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 21====，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3125（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 ．第四讲 多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高； 第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；图8-1A第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高； 第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABC O ABCP S S S S V r -----+++=3例8 （1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为（3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则该三棱锥的内切球半径为习题： 1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ） A.3 B.6 C.36 D.9 2． 三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等于 . 3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .5． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . 6． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .。
立体几何解答题常考模型归纳总结(九大题型)(原卷版)-高中数学
立体几何解答题常考模型归纳总结 高考立体几何解答题常考模型主要包括柱体、锥体、球体、旋转体、多面体等。
这些模型常涉及体积、表面积的计算，截面问题，以及与其他几何体的组合或相交问题。
此外，空间位置关系，如平行、垂直的判断与证明，也是常考内容。
空间角的计算，包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等，同样是高考立体几何的重要考点。
最后，空间距离的计算，如点到平面的距离、两平行平面间的距离等，也是解答题中常见的考查点。
掌握这些模型的基本性质和解题方法，对于提高高考立体几何的解题能力至关重要。
题型一：非常规空间几何体为载体【典例1-1】（2024·河南濮阳·模拟预测）如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==(1)求证：1AA ^平面11BCC B ；(2)求直线AB 和平面1ACB 所成角的正弦值．【典例1-2】（2024·云南昆明·三模）如图，在三棱台111ABC A B C -中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，1AA ^平面ABC ，设平面11AB C I 平面=ABC l ，点,E F 分别在直线l 和直线1BB 上，且满足EF l ^，1EF BB ^．(1)证明：^EF 平面11BCC B ；(2)若直线EF 和平面ABC 【变式1-1】（2024·天津和平·二模）如图，三棱台111ABC A B C -中，ABC V 为等边三角形，1124AB A B ==，1AA ^平面ABC ，点M ，N ，D 分别为AB ，AC ，BC 的中点，11A B AC ^．(1)证明：1CC ∥平面1A MN ；(2)求直线1A D 与平面1A MN 所成角的正弦值；(3)求点D 到平面1A MN 的距离．【变式1-2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 与平面11ABC D 都是边长为2的菱形，11120BCD BC D °Ð=Ð=，侧面11BCC B(1)求平行六面体1111ABCD A B C D -的体积；(2)求平面11BCC B 与平面11CDD C 的夹角的余弦值.题型二：立体几何存在与探索性问题【典例2-1】如图1，ABC V 是边长为3的等边三角形，点,D E 分别在线段,AC AB 上，且1,2AE AD ==，沿DE 将ADE V 翻折到PDE △的位置，使得PB 2.(1)求证：平面PDE ^平面BCDE ；(2)在线段PB 上是否存在点M ，使得//EM 平面PCD ，若存在，求出PM MB的值；若不存在，请说明理由.【典例2-2】（2024·广东·一模）如图所示，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，608AB AD BAD AC Ð===o ，，.(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为 2V ，求 12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，且存在一个正整数k ，使得PA kPF PC kCE ==，，若已知平面FCD 与平面PCDk 的值.【变式2-1】在ABC V 中，90ABC Ð=°，6AB BC ==，D 为边AB 上一点，2AD =，E 为AC 上一点，//DE BC ，将ADE V 沿DE 翻折，使A 到A ¢处，90DA B ¢Ð=°.(1)证明：A B ¢^平面A DE ¢；(2)若射线DE 上存在点M ，使l =uuuu r uuu r DM DE ，且MC 与平面A EC ¢所成角的正弦值为15，求λ.【变式2-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD为菱形，且60,DAB PAD Ð=o V 是边长为2的等边三角形，且平面PAD ^平面,ABCD O 为AD 中点.(1)求证：OB ^平面PAD ；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使二面角M BO C --的大小为60o ，若存在，求PM PC的值，若不存在，请说明理由.题型三：立体几何折叠问题【典例3-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =ABD △沿矩形的对角线BD 进行翻折，得到如图2所示的三棱锥A BCD -，且AB CD ^.(1)求翻折后线段AC 的长；(2)点M 满足2AM MD =uuuu r uuuu r ，求CM 与平面ABD 所成角的正弦值.【典例3-2】（2024·山东·模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，60BAD Ð=°，E 是AD 的中点，将ABE V沿直线BE 翻折使点A 到达点1A 的位置，F 为线段1AC 的中点.(1)求证：DF ∥平面1A BE ；(2)若平面1A BE ^平面BCDE ，求直线1A E 与平面1A BC 所成角的大小.【变式3-1】（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE 为菱形，现沿AC 进行翻折，使得AB ^平面ACDE ，过点E 作//EF AB ，且12EF AB =，连接,,FD FB BD ，所得图形如图②所示，其中G 为线段BD 的中点，连接FG .(1)求证：FG ^平面ABD ；(2)若2AC AD ==，直线FG 与平面BCD ，求AB 的值.【变式3-2】在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，2AD BC ==，60DAB Ð=°，M 为AB 中点，将AMD V ，BMC △沿MD ，MC 翻折，使A ，B 重合于点E ，得到三棱锥M CDE -．(1)求ME 与平面CDE 所成角的大小；(2)求二面角M DE C --的余弦值．题型四：立体几何作图问题【典例4-1】（2024·河南信阳·模拟预测）长方体1111ABCD A B C D -中，123,2AB AA AD CE ED ===uuu r uuu r .(1)过E 、B 作一个截面，使得该截面平分长方体的表面积和体积.写出作图过程及其理由.(2)记（1）中截面为a ，若a 与（1）中过D 点的长方体的三个表面成二面角分别为,,q j w ，求222cos cos cos q j w ++的值.【典例4-2】（2024·高三·河北承德·期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,,O E F 分别是,,BD PA BC 的中点．(1)证明：//OE 平面PBC ；(2)若平面a 经过点,,F D E ，且与棱PB 交于点H ．请作图画出H 在棱PB 上的位置，并求出PH HB的值．【变式4-1】（2024·辽宁大连·一模）如图多面体ABCDEF 中，面FAB ^面ABCD ，FAB V 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．(1)证明：BF AD ^；(2)求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；(3)作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出AP AD的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．【变式4-2】如图，已知底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，平面MNGH 与直线PB 和直线AC 平行，点E 为PD 的中点，点F 在CD 上，且:1:2DF FC =.(1)求证：四边形MNGH 是平行四边形；(2)求作过EF 作四棱锥P ABCD -的截面，使PB 与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定义：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.【变式4-3】（2024·北京·三模）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，23DAB p Ð=.AC BD O =I ,且^PO 平面ABCD ，PO =，点,F G 分别是线段.PB PD 上的中点，E 在PA 上.且3PA PE =.（Ⅰ）求证：//BD 平面EFG ；（Ⅱ）求直线AB 与平面EFG 的成角的正弦值；（Ⅲ）请画出平面EFG 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.题型五：立体几何建系繁琐问题【典例5-1】（2024·山东淄博·二模）已知直角梯形ABCD ，90ADC Ð=°，//AB CD ，2AB CD AD ===M 为对角线AC 与BD 的交点．现以AC 为折痕把ADC V 折起，使点D 到达点P 的位置，点Q 为PB 的中点，如图所示：(1)证明：AC ^平面PBM ；(2)求三棱锥P ACQ -体积的最大值；(3)当三棱锥P ACQ -的体积最大时，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．【典例5-2】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点，1111122AA A C C C AC ====.(1)证明：1//OC 平面11AA D D ；(2)若平面ABCD ^平面11ACC A ，AB BC ^，当四棱锥11B AA C C -的体积最大时，求1CC 与平面11AA B B 夹角的正弦值.【变式5-1】（2024·重庆·三模）如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体.11,BB CC 是半圆柱的母线,1,O O 分别是底面直径BC 和11B C 的中点,11114,2,BC B C BB CC A ====是半圆O 上一动点,1A 是半圆1O 上的动点,1AA 是圆柱的母线，延长1A A 至P 点使得A 为1A P 的中点,连接PB ,PC 构成三棱锥P ABC -.(1)证明:1AC BA ^;(2)当三棱锥P ABC -的体积最大时,求平面1ABA 与平面1BA C 的夹角.【变式5-2】已知平面四边形ABCD ，2AB AD ==，60BAD Ð=°，30BCD Ð=°，现将ABD D 沿BD 边折起，使得平面ABD ^平面BCD ，此时AD CD ^，点P 为线段AD 的中点．(1)求证：BP ^平面ACD ；(2)若M 为CD 的中点①求MP 与平面BPC 所成角的正弦值；②求二面角P BM D --的平面角的余弦值．题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题【典例6-1】（2024·河南·模拟预测）如图,在三棱锥A BCD -中,ABC V 是等边三角形,90BAD BCD Ð=Ð=°,点P 是AC 的中点,连接,BP DP ．（1）证明:平面ACD ^平面BDP ;（2）若BD =,且二面角A BD C --为120°,求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【典例6-2】（2024·广西桂林·二模）如图，四棱锥F ABCD -中，底面ABCD 为边长是2的正方形，E ，G 分别是CD ，AF 的中点，4AF =，FAE BAE Ð=Ð，且二面角F AE B --的大小为90°.(1) 求证：AE BG ^；(2) 求二面角B AF E --的余弦值.【变式6-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，45DAE BAE °Ð=Ð=，60DAB Ð=°.（1）证明：平面ADE ^平面ABE ；（2）当直线DE 与平面ABE 所成的角为30°时，求平面DCE 与平面ABE 所成锐二面角的余弦值.【变式6-2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形45DAE BAE Ð=Ð=°，60DAB Ð=°（1）证明：平面ADE ^平面ABE ；（2）当平面DCE 与平面ABE DE 与平面ABE 所成角正弦值.题型七：利用传统方法找几何关系建系【典例7-1】（2024·江苏南京·二模）如图，//AD BC ，AD AB ^，点E 、F 在平面ABCD 的同侧，//CF AE ，1AD =，2AB BC ==，平面ACFE ^平面ABCD ，EA EC ==(1)求证：//BF 平面ADE ；(2)若直线EC 与平面FBD ，求线段CF 的长.【典例7-2】斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1上，侧面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，侧面AA 1C 1C 是菱形，∠A 1AC ＝60°，A 1C ＝AC AB ＝2，为BB 1的中点．(1)求二面角C －A 1D －C 1的余弦值；(2)记△ABC 的外接圆上有一动点P ，若二面角P －AA 1－C 与二面角C －A 1D －C 1相等，求AP 的长．【变式7-1】如图，已知四棱锥P ABCE -中，PA ^平面ABCE ，平面PAB ^平面PBC ，且1AB =，2BC =，BE =，点A 在平面PCE 内的射影恰为PCE V 的重心G .（1）证明：BC AB ^；（2）求直线CG 与平面PBC 所成角的正弦值.【变式7-2】如图所示，圆锥的高2PO =，底面圆O 的半径为R ，延长直径AB 到点C ，使得BC R =，分别过点A ，C 作底面圆O 的切线，两切线相交于点E ，点D 是切线CE 与圆O 的切点．(1)证明：平面PDE ^平面POD ；(2)若直线PE 与平面PBD ，求点A 到平面PED 的距离．题型八：空间中的点不好求【典例8-1】（2024·山东日照·三模）在五面体ABCDEF 中，CD ADE ^平面，EF ADE ^平面.(1)求证：AB CD ∥；(2)若222AB AD EF ===，3CD =，90ADE Ð=°，点D 到平面ABFE A BC F --的余弦值.【典例8-2】（2024·全国·校联考模拟预测）已知三棱锥ABCD ，D 在面ABC 上的投影为O ，O 恰好为△ABC 的外心．4AC AB ==，2BC =.(1)证明：BC ⊥AD ；(2)E 为AD 上靠近A 的四等分点，若三棱锥A-BCD 的体积为1，求二面角E CO B --的余弦值．【变式8-1】（2024·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BC ==AD CD AC ===E ，F 分别为AC ，CD 的中点，点G 在PF 上，且G 为三角形PCD 的重心.(1)证明：//GE 平面PBC ；(2)若PA PC =，PA CD ^，四棱锥P ABCD -的体积为GE 与平面PCD 所成角的正弦值.【变式8-2】（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在对角线1BD 上，AC BD O =I ，平面ACP ∥平面11AC D ．(1)求证：O ，P ，1B 三点共线；(2)若四边形ABCD 是边长为2的菱形，11π3BAD BAA DAA =ÐÐ==Ð，13AA =，求二面角P AB C --大小的余弦值．【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知菱形ABCD 中，1AB BD ==，四边形BDEF 为正方形，满足2π3ABF Ð=，连接AE ，AF ，CE ，CF ．(1)证明：CF AE ^；(2)求直线AE 与平面BDEF 所成角的正弦值．题型九：数学文化与新定义问题【典例9-1】（2024·高三·山东青岛·期中）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E 、F 、G 分别是边长为4的正方形的三边AB CD AD 、、的中点，先沿着虚线段FG 将等腰直角三角形FDG 裁掉，再将剩下的五边形ABCFG 沿着线段EF 折起，连接AB CG 、就得到了一个“刍甍” (如图2)。
八年级下册数学几何模型归纳
八年级数学下册几何模型归纳
八年级数学下册几何模型归纳包括点、线、面、空间几何体的分类、棱、顶点、底面、侧面、高、体积定理、正方体、正四面体、正六面体、勾股锥体的特点和性质，以及旋转体与内锥体的特点和性质等内容。
在点、线、面的分类中，可以学习到点是没有大小和形状的，线是由无数个点连接而成的，面是由无数个线连接而成的。
这些基本概念为后续的几何模型打下了基础。
棱是三维图形中两个顶点之间的线段，顶点是三维图形的尖角或拐角处，底面是三维图形的最下方的面，侧面是除了底面以外的其他面。
通过理解这些概念，可以更好地描述和分析不同几何模型的特征。
对于体积定理，主要包括正方体、正四面体和正六面体的体积计算公式。
正方体的体积等于边长的立方，正四面体的体积等于底面积乘以高再除以3，正六面体的体积等于底面积乘以高。
勾股锥体是由一个直角三角形绕着直角边旋转一周形成的几何模型。
它的特点是具有一个尖顶和一个底面为圆形的特殊形状，可以通过勾股定理计算其各个部分的长度。
另外，旋转体是由一个平面图形绕着某条轴线旋转一周生成的几何模型，内锥体则是在旋转体内部的锥体。
旋转体和内锥体都有特定的性质和特点，如旋转体的体积计算公式为底面积乘以高，而内锥体与外锥体的体积之比等于底面积之比。
通过对这些几何模型的归纳和分析，可以帮助学生更好地理解和应用几何知识，提升解题能力和空间想象力。
高中数学立体几何之外接球与内切球问题常见模型归纳(完整版)
外接球问题江西省永丰中学陈保进若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
若一个定点到一个多面体的所有顶点的距离都相等，则这个定点就是该多面体外接球的球心。
以下为常见模型。
1、长方体模型结论：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，直径为体对角线。
公式：2222c b a R ++=（a ,b ,c 为长宽高）补充：以下情况可转化成长方体模型。
①若三棱锥的三条棱PA ,PB ,PC 两两互相垂直(墙角模型），则可在长方体中构造。
2222PC PB P A R ++=②正四面体P -ABC 可在正方体中构造，正方体棱长2=PA a ③若三棱锥的三组对棱两两相等，则可在长方体中构造。
设AC =BP =m ,AP =BC =n ,AB=PC =t ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222t c b n c a m b a ，三式相加,222222)(2t n m c b a ++=++2)2(2222222t n m c b a R ++=++=abc2、直三棱柱模型结论：直三棱柱外接球的球心是上、下底面外心连线的中点，222()2hR r =+r 为底面三角形外接圆的半径，可用正弦定理求，h 为直三棱柱的高。
补充：有一条侧棱垂直底面的三棱锥可补成直三棱柱，如图P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，则可补成直三棱柱PB 1C 1-ABC ,外接球半径公式同上。
提醒：底面具有外接圆的直棱柱才有外接球，比如正棱柱，且球心在上、下底面外心连线的中点，底面无外接圆的直棱柱，以及所有斜棱柱均无外接球。
3、共斜边模型四面体D-ABC 中，DC AD ⊥，BC AB ⊥，AC 为公共的斜边，O 为AC 的中点，则O 为四面体D-ABC 外接球的球心。
4、正棱锥模型外接球的球心在正棱锥的高所在直线上，如图正三棱锥A-BCD 中，作AO 1⊥平面BCD ，则易得BO 1=CO 1=DO 1，所以O 1为△BCD 的外心，设O 为其外接球球心，半径为R ，则BO =AO =R ,设AO 1=h ,BO 1=r ,则由BO 2=BO 12+OO 12,得R 2=r 2+(h-R )2。