二次函数压轴题平行四边形

二次函数与平行四边形存在问题

【知识要点】

1、平行四边形模型探究

如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。

A

B

C x

y

图1 图2

如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。

一、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）

例1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.

练习.已知抛物线2

2y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线1

2

y x a =

-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .

(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ；

(2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；

(3)在抛物线2

2y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.

二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形

①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）

例2．已知，如图抛物线2

3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B ． (1)求抛物线的解析式；

第（2）题

备用图

(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值：

(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

练习.已知抛物线：x x y 22

12

1+-

= （1）求抛物线1y 的顶点坐标.

（2）将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式. （3）如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.

②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形得边或对角线

例3．如图，抛物线2

23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；

（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

练习．已知：如图所示，关于x 的抛物线2

(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点(20)A -，

、点(60)B ，，与y 轴交于点C ．

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式； （3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A M P Q 、、、

由.