蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第20章 最优控制理论)【圣才出品】

第20章 最优控制理论

练习20.2

找出下面问题的控制变量、状态变量和协状态变量的最优路径：

1．，且y （0）＝2，y （1）自由。

解：这个问题的哈密尔顿函数为H ＝y －u 2＋λu，对于u 是凹的，并且u 没有任何限制，所以应用一阶条件使H 最大化：∂H/∂u ＝－2u ＋λ＝0，从而

u （t ）＝λ/2或y ′＝λ/2①

λ的运动方程是λ′＝－∂H/∂y ＝－1，对其积分可解出λ＝c 1－t 。又横截性条件为λ（1）＝0，从而c 1＝0，最优协状态变量的路径是λ*（t ）＝1－t 。由①式，得到y′＝（1/2）（1－t ），通过积分得到y （t ）＝（1/2）t －（1/4）t 2＋c 2，通过初始条件y （0）＝2可确定c 2＝2。这样状态变量的最优路径为y *（t ）＝（1/2）t －（1/4）t 2＋2。对应的最优控制路径是u *（t ）＝（1/2）（1－t ）。

2．，且y （0）＝10，y （8）自由，u （t ）∈[0，2]。 解：哈密尔顿函数为H ＝6y ＋λ（y ＋u ）＝（6＋λ）y ＋λu ，是关于u 的线性函数，斜率为λ。为使H 最大化，当λ＞0时，取u ＝2；当λ＜0时，取u ＝0。

λ的运动方程是λ′＝－∂H/∂y ＝－6－λ，该方程的通解是λ（t ）＝Ae －t －6。通过横截性条

()1

20Max d ..y u t s t y u -' =⎰8

0Max 6d ..

y t s t y y u ' =+⎰

件λ（T ）＝λ（8）＝0可以确定A ＝6e 8，从而协状态变量的最优路径是λ*（t ）＝6e 8－t －6。这是一个关于t 的单减函数，且λ*（8）＝0，从而对于t ∈[0，8]，λ*（t ）≥0。所以取控制变量u 的最优路径为u *＝2。

由运动方程有y ′＝y ＋u ＝y ＋2，该方程的通解为y （t ）＝ce t －2。由初始条件y （0）＝10可确定出c ＝12，从而状态变量的最优路径为y *（t ）＝12e t －2。

3．，且y （0）＝y 0，y （t ）自由。

解：哈密尔顿函数为

本题中u 没有任何限制，若b ＜0，则H 的最大值为无穷，舍去这种情况，取b ＞0，则H 对于u 是凹的，应用一阶条件使H 最大化：∂H/∂u＝－2bu －（a ＋λ）＝0，从而：u （t ）＝－（a ＋λ）/（2b ）。

λ的运动方程是λ′＝－∂H/∂y ＝－λ，该方程的通解是λ（t ）＝Ae －t 。通过横截性条件λ（T ）＝0可以确定A ＝0，从而协状态变量的最优路径是λ*（t ）＝0。所以控制变量u 的最优路径为u *（t ）＝－a/（2b ）。

由运动方程有y′＝y ＋a/（2b ），该方程的通解为y （t ）＝ce t －a/（2b ）。由初始条件y （0）＝y 0可确定c ＝y 0＋a/（2b ），从而状态变量的最优路径为y *（t ）＝[y 0＋a/（2b ）]e t －a/（2b ）。

4．，且y （0）＝y 0，y （t ）自由。

()20Max d ..

T

au bu t s t y y u -+' =-⎰()()()22H au bu y u bu a u y λλλ=-++-=--++()220Max d ..T

yu u y t s t y u ---' =⎰

解：哈密尔顿函数为H ＝－yu －u 2－y 2＋λu ，对于u 是凹的，并且u 没有任何限制，所以应用一阶条件使H 最大化：∂H/∂u＝－y －2u ＋λ＝0，从而

u （t ）＝（λ－y ）/2①

由最大化原理，本问题的微分方程系统为：

λ′＝u ＋2y ＝（λ＋3y ）/2

y′＝（λ－y ）/2

用矩阵形式改写为：

下面求解这个齐次微分方程组：

特征方程为

从而特征根为r 1＝1，r 2＝－1。分别将两个特征根代入

可相应解得：m 1＝3A 1，n 1＝A 1，m 2＝A 2，n 2＝－A 2。从而齐次微分方程组的通解为：

将初始条件y （0）＝0及横截性条件λ（T ）＝0代入齐次微分方程组的通解，可以确定出A 1＝y 0/（1＋3e 2T ），A 2＝－3y 0e 2T /（1＋3e 2T ）。从而齐次微分方程组的定解也即协状态变量及状态变量的最优路径为：

()()202313t T t T y t e e e λ*

-=-+ 123201212y y λλ'--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()12

32110

1212r r r r --=-+=-+()123201212r m r n --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣

⎦()()12123t t t t t A e A e y t A e A e λ--⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

()20231133t T t T y y t e e e *-⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭

由①式，控制变量的最优路径为

5．，且y （0）＝10，y （20）＝0。 解：哈密尔顿函数为H ＝－u 2/2＋λu ，对于u 是凹的，并且u 没有任何限制，所以应用一阶条件使H 最大化：∂H/∂u＝－u ＋λ＝0，从而u （t ）＝λ。

λ的运动方程是λ′＝－∂H/∂y＝0，从而λ的解为常数λ（t ）＝c 0。

由运动方程有y′＝u ＝λ＝c 0，该方程的通解为y （t ）＝c 0t ＋c 1。由y （0）＝10，y （20）＝0可以确定c 0＝－1/2，c 1＝10，从而状态变量的最优路径为y *（t ）＝（－1/2）t ＋10。协状态变量和控制变量的最优路径为λ*（t ）＝－1/2，u *（t ）＝－1/2。

6．，y （0）＝5，y （4）≥300且0≤u （t ）≤2。 解：哈密尔顿函数为H ＝3y ＋λ（y ＋u ）＝（3＋λ）y ＋λu ，是关于u 的线性函数。为使H 最大化，若λ＞0，取u *（t ）＝2，若λ＜0，取u *（t ）＝0。

λ的运动方程是λ′＝－∂H/∂y＝－λ－3，该方程通解为λ（t ）＝Ae －t －3。由于本题中面临截短的垂直终止线，首先令λ（T ）＝λ（4）＝0，可确定出A ＝3e 4，从而λ*（t ）＝3e 4－t －3。此为t 的单减函数，又λ（T ）＝λ（4）＝0，从而对于t ∈[0，4]，λ*（t ）≥0。所以

()20231313t T t T y u t e e e *-⎛⎫=- ⎪+⎝⎭20

201Max d 2

..u t s t y u -' =⎰4

0Max 3d ..

y t s t y y u ' =+⎰