最新人教版高中数学必修5第三章《不等关系与不等式》教案2

3.1 不等关系与不等式

（第2课时）

【教学目标】

1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；

2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；

3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.

【教学重点】

掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；

【教学难点】

利用不等式的性质证明简单的不等式。

【教学过程】

1.课题导入

在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。

请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；

即若a b a c b c >⇒±>±

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；

即若,0a b c ac bc >>⇒>

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

即若,0a b c ac bc ><⇒<

2.讲授新课

1、不等式的基本性质：

师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？

证明：

1）∵(a＋c)－(b ＋c)

＝a －b ＞0，

∴a＋c ＞b ＋c

2）()()0a c b c a b +-+=-> ，

∴a c b c +>+．

实际上，我们还有,a b b c a c >>⇒>，（证明：∵a＞b ，b ＞c ，

∴a－b ＞0，b －c ＞0．

根据两个正数的和仍是正数，得

(a －b)＋(b －c)＞0，

即a －c ＞0，

∴a＞c ．

于是，我们就得到了不等式的基本性质：

（1）,a b b c a c >>⇒>

（2）a b a c b c >⇒+>+

（3）,0a b c ac bc >>⇒>

（4）,0a b c ac bc ><⇒<

2、探索研究

思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：

（1）,a b c d a c b d >>⇒+>+；

（2）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；

（3

）0,,1n n a b n N n a b >>∈>⇒>>

证明：

1）∵a＞b ，

∴a＋c ＞b ＋

c ．

① ∵c＞d ，

∴b＋c ＞b ＋

d ．

② 由①、②得 a ＋c ＞b ＋d ．

2）bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫

>⇒>>>⇒>>0,0,

3）反证法）假设n n b a ≤，

则：若a b a b <⇒<=⇒=这都与b a >矛盾，

∴n n b a >．

[范例讲解]：

例1、已知0,0,a b c >><求证

c c a b

>。 证明：以为0a b >>，所以ab>0,10ab

>。 于是 11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a

> 由c<0 ，得c c a b > 3.随堂练习1

1、课本P74的练习3

2、在以下各题的横线处适当的不等号：

(1)（3＋2）2 ６＋26；

（2）（3－2）2 （6－1）2；

（3）

2

51-； (4)当a ＞b ＞0时，log 21a log 21b

答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜

[补充例题]

例2、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。

解：由题意可知：

（a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4）

＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８）

＝－７＜0

∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4）

随堂练习2

1、 比较大小：

（1）（x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2

（2）22

56259x x x x ++++与 4.课时小结

本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；

第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；

第三步：得出结论

5.评价设计

课本P75习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题

【板书设计】

【授后记】