2018西城初三二模数学试题及答案
2018年北京市初三数学二模分类汇编-第13讲：几何压轴题
第13讲几何压轴题【2018·西城二模】1. 如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）.（1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.图1 备用图【答案】解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．……………1分∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵CD为等边三角形的中线，Q为线段CD上的点，图9由等边三角形的对称性得QA=QB．∵∠DAQ=α，∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．∵线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，∴QE = QA．∴QB=QE．可得 1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分 ②．……………………………………………………… 3分证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC 于点H ． ∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上，∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α， ∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC ． 又∵ AF =CE ，QA=QE ， ∴ △QAF ≌△QEC ． ∴ QF=QC ． ∵ QH ⊥AC 于点H ， ∴ FH=CH ，CF=2CH ．∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点Q 在CD 上，∴ ∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形． ∴ 3cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=． ∴ CE AC AF AC CF +=+=23CH CQ =． 即． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一 同理可得CE AC BG BC CG +=+=3CQ =．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．…………图10图1……………… 7分【2018·石景山二模】2．在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点M 是线段BC 的中点，点N 在射线MB 上，连接AN ，平移△ABN ，使点N 移动到点M ，得到△DEM （点D 与点A 对应，点E 与点B 对应），DM 交AC 于点P ．（1）若点N 是线段MB 的中点，如图1．① 依题意补全图1； ② 求DP 的长；（2）若点N 在线段MB 的延长线上，射线DM 与射线AB 交于点Q ，若MQ =DP ，求解：（1）①如图1，补全图形. ………………… 1分② 连接AD ，如图2.在Rt △ABN 中,∵∠B =90°，AB =4，BN =1， ∴17=AN .∵线段AN 平移得到线段DM ， ∴DM =AN =17， AD =NM =1，AD ∥MC ，∴△ADP ∽△CMP . ∴21==MC AD MP DP . ∴317=DP .………………… 3分 （2）连接NQ ，如图3.由平移知：AN ∥DM ，且AN =DM . ∵MQ DP =， ∴PQ DM =.∴AN ∥PQ ，且AN =PQ . ∴四边形ANQP 是平行四边形. ∴NQ ∥AP .∴45BQN BAC ∠=∠=︒.图1PNDEMA C B图2又∵90NBQ ABC ∠=∠=︒， ∴BN BQ =. ∵AN ∥MQ ， ∴AB NBBQ BM=. 又∵M 是BC 的中点，且4AB BC ==， ∴42NB NB =. ∴22NB =舍负). ∴22ME BN ==∴222CE =.………………… 7分（2）法二，连接AD ，如图4. 设CE 长为x ，∵线段AB 移动到得到线段DE ， ∴4+==x BE AD ，AD ∥BM . ∴△ADP ∽△CMP . ∴24xMC AD MP DP +==. ∵MQ =DP ， ∴x xMP DP DP QD MQ 21042++=+=. ∵△QBM ∽△QAD ， ∴xAD BM QD MQ +==42. 解得222-=x .∴222-=CE . ………………… 7分【2018·海淀二模】3．如图，在等边ABC △中， ,D E 分别是边,AC BC 上的点，且CD CE = ,30DBC ∠<︒ ，点C 与点F 关于BD 对称，连接,AF FE ，FE 交BD 于G .（1）连接,DE DF ，则,DE DF 之间的数量关系是 ；（2）若D B C α∠=，求FEC ∠的大小; （用α的式子表示）（2）用等式表示线段,BG GF 和FA 之间的数量关系，并证明. 【答案】PNQDEMAC B图4GFEDCBA（1）DE DF =； （2）解：连接DE ，DF ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴60C ∠=︒. ∵DBC α∠=， ∴120BDC α∠=︒-. ∵点C 与点F 关于BD 对称，∴120BDF BDC α∠=∠=︒-，DF DC =. ∴1202FDC α∠=︒+. 由（1）知DE DF =.∴F ，E ，C 在以D 为圆心，DC 为半径的圆上. ∴1602FEC FDC ∠=∠=︒+α. （3）BG GF FA =+.理由如下： 连接BF ，延长AF ，BD 交于点H ， ∵△ABC 是等边三角形，∴60ABC BAC ∠=∠=︒，AB BC CA ==. ∵点C 与点F 关于BD 对称， ∴BF BC =，FBD CBD ∠=∠. ∴BF BA =. ∴BAF BFA ∠=∠. 设CBD α∠=， 则602ABF α∠=︒-. ∴60BAF α∠=︒+. ∴FAD α∠=.∴FAD DBC ∠=∠. 由（2）知60FEC α∠=︒+. ∴60BGE FEC DBC ∠=∠-∠=︒. ∴120FGB ∠=︒，60FGD ∠=︒. 四边形AFGB 中，360120AFE FAB ABG FGB ∠=︒-∠-∠-∠=︒.∴60HFG ∠=︒.∴△FGH 是等边三角形. ∴FH FG =，60H ∠=︒. ∵CD CE =，GFED CBAHGFEDCBA∴DA EB =.在△AHD 与△BGE 中，,,.AHD BGE HAD GBE AD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△△AHD BGE ≅. ∴BG AH =.∵AH HF FA GF FA =+=+，∴BG GF FA =+．【2018·丰台二模】4．如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，连接EF ，交对角线BD 于点G ，连接AG ． （1）根据题意补全图形；（2）判定AG 与EF 的位置关系并证明；（3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG 的长． A BC ED【答案】解：（1）图形补全后如图…………………1分GFDC（2）结论：AG ⊥EF ． …………………2分证明：连接FD ，过F 点FM ∥BC ，交BD 的延长线于点M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=DA=DC=BC ，∠DAB =∠ABE =∠ADC =90°， ∠ADB =∠5=45°．∵线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ， ∴AE=AF ，∠FAE =90°． ∴∠1=∠2．∴△FDA ≌△EBA ． …………………3分 ∴∠FDA =∠EBA =90°，FD=BE ． ∵∠ADC =90°，∴∠FDA+∠ADC=180°。
2018西城区初三二模数学试卷及答案
北京市西城区2018年初三二模试卷数 学 2018. 6下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的倒数是A ．3B ．13-C ．3-D ．132．2018年，我国国内生产总值（GDP ）为58 786亿美元，超过日本，成为世界第二大经济体．58 786用科学记数法表示为 A ．45.878610⨯ B ．55.878610⨯ C ．358.78610⨯ D ．50.5878610⨯ 3．⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，若圆心距O 1O 2=2 cm ，则这两圆的位置关系是 A ．内含 B ．外切 C ．相交 D ．内切 4．若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是 A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．八边形 5．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示：鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是A ．平均数B ．众数C ．中位数 D．方差6．小明的爷爷每天坚持体育锻炼，一天他步行到离家较远的公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面的四个函数图象中，能大致反映当天小明的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的是7．下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线3+-=x y ，直线4y =和直线1x =所围成的 区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为(2,2)R ，则QP QR +的最小值为A B ．25+ C ． D ．4 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式 m 3 – 4m = . 10．函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 11．如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 与小圆相切，切点为P ．若两圆的半径分别为2和1，则弦长AB =；若用阴影部分围成一个圆锥（OA 与OB 重合），则该圆锥的底面半径长为 . 12．对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n ，B n 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；11222011A B A B A B +++ 的值为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2273181---⎪⎭⎫ ⎝⎛--- ．14．已知：如图，直线AB 同侧两点C ，D 满足CAD DBC ∠=∠， AC =BD ，BC 与AD 相交于点E ．求证：AE =BE ．15．已知：关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 取最大整数值时，用公式法求该方程的解.16．已知 122=+xy x ，215xy y +=，求代数式()22()x y y x y +-+的值．17．如图，一次函数y kx b =+()0≠k 的图象与反比例函数my x=()0≠m 的图象交于(3,1)A -，(2,)B n 两点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．18．今年3月12日，某校九年级部分学生参加植树节活动，以下是根据本次植树活动的有关数据制作的统计图的一部分．请根据统计图所提供的有关信息，完成下列问题：（1）参加植树的学生共有 人； （2）请将该条形统计图补充完整；（3）参加植树的学生平均每人植树 棵．（保留整数）四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购车总费用为y （万元）． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求 出该方案所需费用．20．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ．（1）求tan ABD ∠的值； （2）求AF 的长．21．已知：如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是劣弧BC 的中点， AD 交BC 于点E ，连结AB . （1）求证：2AB AE AD =⋅； （2）过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线交于点F ， 若AE =2，ED =4，求EF 的长．22．如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△AOB与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC 是锐角三角形且AC ＞AB ， E 为AC 的中点，F 为BC 上一点且BF ≠FC （F 不与B ，C 重合），沿EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图3中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；（2）在图4中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形；（3）在图5中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中 的一块为钝角三角形．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=()0≠a 的两个实数根分别为x 1，x 2，则12bx x a +=-，12c x x a⋅=． 解决下列问题：已知：a ，b ，c 均为非零实数，且a ＞b ＞c ，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，其中一根为2．（1）填空：42a b c ++ 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”）（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程20ax bx c ++=的另一个实数根（用含a ，c 的代数式表示）； （3）若实数m 使代数式2am bm c ++的值小于0，问：当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．24．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF 和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．（1）当t＝2时，PH= cm，DG = cm；（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，以y 轴正半轴上一点(0,)A m （m 为非零常数）为端点，作与y 轴正方向夹角为60°的射线l ，在l 上取点B ，使AB =4k (k 为正整数)，并在l 下方作∠ABC =120°，BC=2OA ，线段AB ，OC 的中点分别为D ，E ． （1）当m =4，k =1时，直接写出B ，C 两点的坐标；（2）若抛物线212y x m k =-++的顶点恰好为D 点，且DE=及此时cos ∠ODE 的值；（3）当k =1时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 1，E 1；当k =3时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 3，E 3，求直线13E E 的解析式及四边形1331D D E E 的面积（用含m 的代数式表示）．北京市西城区2018年初三二模试卷数学答案及评分标准 2018.6二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=112- ……………………………………………………………4分 =32． ……………………………………………………………………5分 14．证明： 如图1． 在△ACE 和△BDE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,BD AC BED AEC DBE CAE ………………………………3分∴ △ACE ≌△BDE ． ……………………………………………………………4分 ∴ AE =BE ．………………………………………………………………………5分 15．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根，∴ 16420k ∆=-⨯>． ………………………………………………………1分解得2k <． ……………………………………………………………………2分（2）∵2k<，∴ 符合条件的最大整数1k =，此时方程为2420x x ++=． ……………3分∴ 142a b c ===，，． ∴ 22444128b ac -=-⨯⨯=．………………………………………………4分代入求根公式x =，得2x ==-±．…………5分 ∴ 1222x x =-+=-16．解：原式=222222x xy y xy y ++--=22x y -．………………………………………2分 ∵ 122=+xy x ①，152=+y xy ②，∴ ①-②，得223x y -=-． ………………………………………………………4分 ∴ 原式=3-． ………………………………………………………………………5分17．解：（1）∵ 反比例数my x=()0≠m 的图象经过(3,1)A -，(2,)B n 两点，（如图2） ∴ 313m =-⨯=-，322m n ==-．∴ 反比例函数解析式为3y x=-．………………………1分 点B 的坐标为3(2)2B -，．……………………………2分∵ 一次函数y kx b =+()0≠k 的图象经过(3,1)A -，3(2)2B -，两点，∴ 31,32.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得 1,21.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 一次函数的解析式为1122y x =--．……………………………………3分（2）设一次函数1122y x =--的图象与x 轴的交点为C ，则点C 的坐标为(1,0)C -．∴ =AOB ACO COB S S S ∆∆∆+113=11+1222⨯⨯⨯⨯5=4． …………………………5分18．解：（1）50；………………………………………………………………………………1分（2）………………………………………………………………………………3分 （3）3．………………………………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）因为购买大型客车x 辆，所以购买中型客车(20)x -辆． ()62402022800y x x x =+-=+．…………………………………………2分 （2）依题意得x -20< x .解得x >10．……………………………………………………………………3分 ∵ 22800y x =+，y 随着x 的增大而增大，x 为整数，∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． …………4分 此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．……………………………5分 答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元． 20．解：（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．（如图3） ∵ AB ∥DC ，DM ⊥AB ，CN ⊥AB ， ∴ ∠DMN =∠CNM =∠MDC =90︒． ∴ 四边形MNCD 是矩形.∵4CD =，∴ MN =CD = 4．∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，∴ ∠DAB =∠CBA ，DM=CN ．∴ △ADM ≌△BCN ．又∵10AB =，∴ AM =BN =()11(104)322AB MN -=⨯-=． ∴ MB =BN +MN =7．……………………………………………………………2分∵ 在Rt △AMD 中，∠AMD =90︒，AD =5，AM =3，∴4DM =．∴ 4tan 7DM ABD BM ∠==．……………………………………………………3分 （2）∵ EF AB ⊥，∴ ∠F =90︒．∵∠DMN =90︒，∴ ∠F =∠DMN .∴ DM ∥EF ．∴ △BDM ∽△BEF ．∵ DE BD =，∴ 12BM BD BF BE ==． ∴ BF =2BM =14． ……………………………………………………………4分∴ AF =BF -AB =14-10=4． …………………………………………………5分21．（1）证明：如图4．∵ 点A 是劣弧BC 的中点，∴ ∠ABC ＝∠ADB ．………………………1分又∵ ∠BAD ＝∠EAB ，∴ △ABE ∽△ADB ．………………………2分 ∴ AB AD AE AB=． ∴ 2AB AE AD =⋅．………………………………………………………3分（2）解：∵ AE =2，ED =4，∴()22612AB AE AD AE AE ED =⋅=+=⨯=．∴AB =．………………………………………………………4分∵ BD 为⊙O 的直径，∴ ∠A =90︒．又∵ DF 是⊙O 的切线，∴ DF ⊥BD.∴ ∠BDF =90︒．在Rt △ABD 中，tan AB ADB AD ∠===， ∴ ∠ADB =30︒．∴ ∠ABC =∠ADB =30︒.∴∠DEF=∠AEB=60︒，903060EDF BDF ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∴ ∠F =18060DEF EDF ︒-∠-∠=︒．∴ △DEF 是等边三角形．∴ EF = DE 5分22．解：（1）……………………………………………………1分（2）……………………………………………………3分（3）……………………………………………………5分23．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分（2）2c a．……………………………………………………………………………4分 （3）答：当x =5m +时，代数式2y ax bx c =++的值是正数．理由如下：设抛物线2y ax bx c =++（a ≠0），则由题意可知，它经过A (,0)2c a ，B (2,0) 两点． ∵ a ＞0，c ＜0，∴ 抛物线2y ax bx c =++开口向上，且2c a＜0＜2，即点A 在点B 左侧．………………………5分 设点M 的坐标为2(,)M m am bm c ++，点N 的坐标为(5,)N m y +．∵ 代数式2am bm c ++的值小于0，∴ 点M 在抛物线2y ax bx c =++上，且点M 的纵坐标为负数．∴ 点M 在x 轴下方的抛物线上．（如图5）∴ A M B x x x <<，即22c m a <<．∴5572c m a +<+<，即572N c x a+<<． 以下判断52c a +与B x 的大小关系： ∵ 42a b c ++＝0，a ＞b ，a ＞0，∴ 66(42)(5)(5)202222B c c a c a a b a b x a a a a a +-+-+-=+-===>． ∴B x ac >+52． ∴ 52N B c x x a>+>．…………………………………………………………6分 ∵ B ，N 两点都在抛物线的对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∴B N y y >，即0y >.∴ 当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是正数． ………………………7分24．解：（1）52，265．………………………………………………………………………2分 （2）只有点P 在DF 边上运动时，△PDE 才能成为等腰三角形，且PD=PE ．（如图6）……………3分 ∵ BF=t ，PF=2t ，DF ＝8，∴ 82PD DF PF t =-=-．在Rt △PEF 中，2222436PE PF EF t =+=+=2PD ．即()2228364t t -=+．解得 78t =．…………………………………4分 ∴ t 为78时△PDE 为等腰三角形． （3）设当△DEF 和点P 运动的时间是t 时，点P 与点G 重合，此时点P 一定在DE 边上，DP= DG ． 由已知可得93tan 124AC B BC ===，63tan 84EF D DF ===． ∴.D B ∠=∠∴.90︒=∠=∠BFH DGH∴ 3tan 4FH BF B t =⋅=，384D H D F F H t =-=-， .5325354438cos +-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=t t D DH DG ∵ 2DP DF t +=，∴ 28DP t =-．由DP=DG 得3322855t t -=-+． 解得 7213t =． …………………………………………………………………5分 检验：724613<<，此时点P 在DE 边上.∴ t 的值为7213时，点P 与点G 重合． （4）当0＜t ≤4时，点P 在DF 边上运动（如图6），t a n 2PF PBF BF∠==． …………………………………………………………………………………6分 当4< t ≤6时，点P 在DE 边上运动（如图7），作PS ⊥BC 于S ，则tan PS PBF BS ∠=． 可得10(28)182PE DE DP t t =-=--=-．此时()5725821854cos cos +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE PS ， ()5545621853sin sin +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE ES ． 524511554566-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=-+=t t t ES EF BF BS ． ∴ 728tan 1124PS t PBF BS t -∠==-．………………………………………………7分 综上所述， 2 (04),tan 728 (46).1124t PBF t t t <≤⎧⎪∠=-⎨<≤⎪-⎩ （以上时间单位均为s ，线段长度单位均为cm ）25．解：（1）B，………………………………………………………1分 C．………………………………………………………3分（2）当AB =4k ，(0,)A m 时，OA =m ，与（1）同理可得B点的坐标为,2)B k m +， C点的坐标为,2)C k ．如图8，过点B 作y 轴的垂线，垂足为F ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为G ，两条垂线的交点为H ，作DM ⊥FH 于点M ，EN ⊥OG 于点N ．由三角形中位线的性质可得点D的坐标为,)D k m +，点E的坐标为)E k ．由勾股定理得DE ． ∵DE= ∴ m=4． ……………………………4分∵ D恰为抛物线212y x m k =-++的顶点， 它的顶点横坐标为， ∴=．解得k=1．此时抛物线的解析式2143y x x =-+． …………………………………5分 此时D ，E两点的坐标分别为D，E ． ∴OD =OE =∴ OD=OE=DE ．∴ 此时△ODE 为等边三角形，cos ∠ODE= cos60°=12．……………………6分 （3）E 1，E 3点的坐标分别为1E ，E3． 设直线13E E 的解析式为y ax b =+（a ≠0）．则1,3.a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得.2a m b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 直线13E E的解析式为2m y =-． ……………………………………7分 可得直线13E E 与y 轴正方向的夹角为60°.∵ 直线13D D ，13E E 与y 轴正方向的夹角都等于60°， ∴ 13D D ∥13E E ．∵ D 1，D 3两点的坐标分别为11)D m +，33)D m +， 由勾股定理得13D D =4，13E E =4．∴ 1313D D E E =．∴ 四边形1331D D E E 为平行四边形．设直线13E E 与y 轴的交点为P ，作AQ ⊥13E E 于Q ．（如图9）可得点P 的坐标为.23,2,0m AP m P =⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴.43360sin sin m AP OPQ AP AQ =︒⋅=∠⋅= ∴1331134D D E E S D D AQ =⨯==四边形．…………………………8分。
20180530-西城初三数学二模试题及答案 (1)
∙∙５. 考试结束ꎬ将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回ꎮ４. 在答题卡上ꎬ选择题、作图题用 ２Ｂ 铅笔作答ꎬ其他试题用黑色字迹签字笔作答ꎮ３. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上ꎬ在试卷上作答无效ꎮ ２. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和学号ꎮ １. 本试卷共 ８ 页ꎬ共三道大题ꎬ２８ 道小题ꎬ满分 １００ 分ꎬ考试时间 １２０ 分钟ꎮ考生须知北京市西城区 ２０１８ 年九年级模拟测试数学试卷２０１８.５一、 选择题( 本题共 １６ 分ꎬ每小题 ２ 分)第 １－８ 题均有四个选项ꎬ符合题意的选项只有一个.１. 如图所示ꎬａ ∥ ｂꎬ直线 ａ 与直线 ｂ 之间的距离是 Ａ. 线段 ＰＡ 的长度 Ｂ. 线段 ＰＢ 的长度 Ｃ. 线段 ＰＣ 的长度Ｄ. 线段 ＣＤ 的长度２. 将某不等式组的解集 － １ ≤ ｘ < ３ 表示在数轴上ꎬ下列表示正确的是３. 下列运算中ꎬ正确的是 Ａ. ｘ２ ＋ ５ｘ２ ＝ ６ｘ４Ｂ. ｘ３ ｘ２ ＝ ｘ６Ｃ. ( ｘ２ )３＝ ｘ６ Ｄ. ( ｘｙ)３＝ ｘｙ３ ４. 下列实数中ꎬ在 ２ 和 ３ 之间的是 Ａ. πＢ. π － ２Ｃ. ３２５Ｄ. ３２８５. 一副直角三角板如图放置ꎬ其中 ∠Ｃ ＝ ∠ＤＦＥ ＝ ９０°ꎬ∠Ａ ＝ ４５°ꎬ ∠Ｅ ＝ ６０°ꎬ点 Ｆ 在 ＣＢ 的延长线上.若 ＤＥ ∥ ＣＦꎬ则 ∠ＢＤＦ 等于 Ａ. ３５°Ｂ. ３０°６. Ｃ中. 国２５古° 代在利用“ 计里画方” ( 比例缩放和直Ｄ角. １５°坐标网格体系) 的方法制作地图时ꎬ会利用测杆、水准仪和照板来测量距离. 在如图所示的测量距离 ＡＢ 的示意图中ꎬ记照板“ 内芯” 的高度为 ＥＦ. 观测者的眼睛( 图中用点 Ｃ 表示) 与 ＢＦ 在同一水平线上ꎬ则下列结论中ꎬ正确的是 Ａ.ＥＦ ＝ ＣＦＢ. ＥＦ ＝ＣＦＡＢＦＢＡＢＣＢＣ. ＣＥ＝ＣＦＤ. ＣＥ＝ＣＦＣＡＦＢＥＡＣＢ∙∙∙７. 在一次男子马拉松长跑比赛中ꎬ随机抽取了１０名选手ꎬ记录他们的成绩(所用的时间)如下:选手１２３４５６７８９１０时间( ｍｉｎ) １２９１３６１４０１４５１４６１４８１５４１５８１６５１７５由此所得的以下推断不正确的是Ａ. 这组样本数据的平均数超过１３０Ｂ. 这组样本数据的中位数是１４７Ｃ.在这次比赛中ꎬ估计成绩为１３０ｍｉｎ的选手的成绩会比平均成绩差Ｄ.在这次比赛中ꎬ估计成绩为１４２ｍｉｎ的选手ꎬ会比一半以上的选手成绩要好８. 如图１所示ꎬ甲、乙两车沿直路同向行驶ꎬ车速分别为２０ｍ/ｓ和ｖ( ｍ/ｓ) ꎬ起初甲车在乙车前ａ( ｍ) 处ꎬ两车同时出发ꎬ当乙车追上甲车时ꎬ两车都停止行驶.设ｘ( ｓ)后两车相距ｙ( ｍ) ꎬｙ与ｘ的函数关系如图２所示.有以下结论:①图１中ａ的值为５００ꎻ②乙车的速度为３５ｍ/ ｓꎻ③图１中线段ＥＦ应表示为５００＋５ｘꎻ④图２中函数图象与ｘ轴交点的横坐标为１００.其中所有的正确结论是Ａ. ①④Ｂ. ②③Ｃ. ①②④Ｄ. ①③④二、填空题( 本题共１６分ꎬ每小题２分)９.如果２－ｘ有意义ꎬ那么ｘ的取值范围是.１０.不透明袋子中装有５个红色球和３个蓝色球ꎬ这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球ꎬ摸出蓝色球的概率为.１１.如图ꎬ等边三角形ＡＢＣ内接于☉Ｏꎬ若☉Ｏ的半径为２ꎬ则图中阴影部分的面积等于.１２.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛ꎬ准备购买ＡꎬＢ两款魔方.社长发现若购买２个Ａ款魔方和６个Ｂ款魔方共需１７０元ꎬ购买３个Ａ款魔方和购买８个Ｂ款魔方所需费用相同.求每款魔方的单价.设Ａ款魔方的单价为ｘ元ꎬＢ款魔方的单价为ｙ元ꎬ依题意可列方程组为.１３. 如图ꎬ在矩形ＡＢＣＤ 中ꎬ顺次连接矩形四边的中点得到四边形ＥＦＧＨ. 若ＡＢ ＝ ８ꎬＡＤ ＝ ６ꎬ则四边形 ＥＦＧＨ的周长等于.１４. 在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中ꎬ将抛物线 ｙ ＝ ３( ｘ ＋ ２) ２－ １ 平移后得到抛物线ｙ ＝ ３ｘ２ ＋ ２.请你写出一种平移方法. 答:.１５. 如图ꎬＡＢ 为 ☉Ｏ 的直径ꎬＡＣ 与 ☉Ｏ 相切于点 Ａꎬ弦 ＢＤ ∥ ＯＣ.若 ∠Ｃ ＝３６°ꎬ则 ∠ＤＯＣ ＝°.１６. 我们知道:四边形具有不稳定性.如图ꎬ在平面直角坐标系ｘＯｙ 中ꎬ矩形 ＡＢＣＤ 的边 ＡＢ 在 ｘ 轴上ꎬＡ( － ３ꎬ０) ꎬＢ(４ꎬ０) ꎬ边 ＡＤ 长为 ５. 现固定边 ＡＢꎬ“ 推” 矩形使点 Ｄ 落在 ｙ 轴的正半轴上( 落点记为 Ｄ′) ꎬ相应地ꎬ点 Ｃ 的对应点 Ｃ′ 的坐标为.三、 解答题( 本题共 ６８ 分ꎬ第 １７ ~ ２１ 题每小题 ５ 分ꎬ第 ２２、２３ 题每小题 ６ 分ꎬ第 ２４ 题 ５ 分ꎬ第２５、２６ 题每小题 ６ 分ꎬ第 ２７、２８ 题每小题 ７ 分) １７. 计算: ６ｃｏｓ６０° － ２７ ＋ ( π － ２)０ － １８. 解方程: ｘ ＋ １＝ ３. － ２ .ｘ － ２２ － ｘ１９. 如图ꎬ在四边形 ＡＢＣＤ 中ꎬＥ 为 ＡＢ 的中点ꎬＤＥ ⊥ ＡＢ 于点 Ｅꎬ∠Ａ ＝ ６６°ꎬ∠ＡＢＣ ＝ ９０°ꎬＢＣ ＝ ＡＤꎬ求 ∠Ｃ 的度数.２０. 先化简ꎬ再求值:⎛１ － ５ ⎫ ÷ ｘ２－ ６ｘ ＋ ９ꎬ其中 ｘ ＝ － ５.ｘ ＋ ２÷ｘ ＋ ２２１. 如图ꎬ在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬＣＤ ⊥ ＡＢ 于点 ＤꎬＢＥ ⊥ ＡＢ 于点⎭ ⎝ ３ＢꎬＢＥ＝ＣＤꎬ连接ＣＥꎬＤＥ.(１) 求证:四边形ＣＤＢＥ为矩形ꎻ(２) 若ＡＣ＝２ꎬｔａｎ∠ＡＣＤ＝１ꎬ求ＤＥ的长.２２２.阅读下列材料:材料一:早在２０１１年９月２５日ꎬ北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票ꎬ２０１１年全年网络售票仅占１.６８％.２０１２年至２０１４年ꎬ全年网络售票占比都在２％左右.２０１５年全年网络售票占１７３３％ꎬ２０１６年全年网络售票占比增长至４１.１４％.２０１７年８月实现网络售票占比７７％.２０１７年１０月２日ꎬ首次实现全部网上售票.与此同时ꎬ网络购票也采用了“人性化”的服务方式ꎬ为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后ꎬ在北京故宫博物院的精细化管理下ꎬ观众可以更自主地安排自己的行程计划ꎬ获得更美好的文化空间和参观体验.材料二:以下是某同学根据网上搜集的数据制作的２０１３－２０１７年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.年度２０１３２０１４２０１５２０１６２０１７参观人数( 人次)７４５００００７６３００００７２９００００７５５００００８０６００００年增长率( ％) ３８.７２.４－４.５３.６６.８他还注意到了如下的一则新闻:２０１８年３月８日ꎬ中国国家博物馆官方微博发文ꎬ宣布取消纸质门票ꎬ观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆ꎬ同时馆方工作人员担心的是:“虽然有故宫免(纸质) 票的经验在前ꎬ但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票ꎬ他遵守预约的程度是不一样的. 但(国博) 免费就有可能约了不来ꎬ挤占资源ꎬ所以难度其实不一样.”尽管如此ꎬ国博仍将积极采取技术和服务升级ꎬ希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题:(１) 补全以下两个统计图ꎻ(２) 请你预估２０１８年中国国家博物馆的参观人数ꎬ并说明你的预估理由.２３.如图ꎬ在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ函数ｙ＝ｍ( ｘ<０) 的图象经过点Ａ( －４ꎬｎ) ꎬＡＢ⊥ｘ轴于点ｘＢꎬ点Ｃ与点Ａ关于原点Ｏ对称ꎬＣＤ⊥ｘ轴于点Ｄꎬ△ＡＢＤ的面积为８.(１) 求ｍꎬｎ的值ꎻ(２) 若直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ( ｋ≠０) 经过点Ｃꎬ且与ｘ轴ꎬｙ轴的交点分别为点ＥꎬＦꎬ当ＣＦ＝２ＣＥ时ꎬ求点Ｆ的坐标.２４.如图ꎬＡＢ是☉Ｏ的直径ꎬＣ是圆上一点ꎬ弦ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅꎬ且ＤＣ＝ＡＤ.过点Ａ作☉Ｏ的切线ꎬ过点Ｃ作ＤＡ的平行线ꎬ两直线交于点ＦꎬＦＣ的延长线交ＡＢ的延长线于点Ｇ.(１) 求证:ＦＧ与☉Ｏ相切ꎻ(２) 连接ＥＦꎬ求ｔａｎ∠ＥＦＣ的值.２５. 阅读下面材料:已知:如图ꎬ在正方形 ＡＢＣＤ 中ꎬ边 ＡＢ ＝ ａ１ .按照以下操作步骤ꎬ可以从该正方形开始ꎬ构造一系列的正方形ꎬ它们之间的边满足一定的关系ꎬ并且一个比一个小.操作步骤作法由操作步骤推断( 仅选取部分结论)第一步在第一个正方形ＡＢＣＤ 的对角线ＡＣ 上截取 ＡＥ ＝ ａ１ꎬ再作 ＥＦ ⊥ ＡＣ 于点 Ｅꎬ ＥＦ 与边 ＢＣ 交于点 Ｆꎬ记 ＣＥ ＝ ａ２ꎻ( ⅰ) △ＥＡＦ ≌ △ＢＡＦ( 判定依据是 ①) ꎻ ( ⅱ) △ＣＥＦ 是等腰直角三角形ꎻ ( ⅲ) 用含 ａ１ 的式子表示 ａ２ 为 ②ꎻ第二步以 ＣＥ 为边构造第二个正方形 ＣＥＦＧꎻ第三步在第二个正方形的对角线 ＣＦ 上截取ＦＨ ＝ ａ２ ꎬ再作ＩＨ ⊥ ＣＦ 于点ＨꎬＩＨ 与边 ＣＥ 交于点 Ｉꎬ记 ＣＨ ＝ ａ３ ꎻ( ⅳ) 用只含 ａ１ 的式子表示 ａ３ 为 ③ꎻ第四步以 ＣＨ 为边构造第三个正方形 ＣＨＩＪꎻ这个过程可以不断进行下去.若第 ｎ 个正方形的边长为 ａｎ ꎬ用只含 ａ１ 的式子表示 ａｎ 为 ④.请解决以下问题: (１) 完成表格中的填空:① ꎻ② ꎻ ③ꎻ④ꎻ根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形 ＣＨＩＪ( 不要求尺规作图) .(２)２６.抛物线Ｍ:ｙ＝ａｘ２－４ａｘ＋ａ－１ ( ａ≠０) 与ｘ轴交于ＡꎬＢ两点( 点Ａ在点Ｂ左侧) ꎬ抛物线的顶点为Ｄ.(１) 抛物线Ｍ的对称轴是直线ꎻ(２) 当ＡＢ＝２时ꎬ求抛物线Ｍ的函数表达式ꎻ(３) 在(２) 的条件下ꎬ直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｂ( ｋ≠０) 经过抛物线的顶点Ｄꎬ直线ｙ＝ｎ与抛物线Ｍ有两个公共点ꎬ它们的横坐标分别记为ｘ１ꎬｘ２ꎬ直线ｙ＝ｎ与直线ｌ的交点的横坐标记为ｘ３( ｘ３>０) ꎬ若当－２≤ｎ≤－１时ꎬ总有ｘ１－ｘ３>ｘ３－ｘ２>０ꎬ请结合函数的图象ꎬ直接写出ｋ的取值范围.２７.如图１ꎬ在等边三角形ＡＢＣ中ꎬＣＤ为中线ꎬ点Ｑ在线段ＣＤ上运动ꎬ将线段ＱＡ绕点Ｑ顺时针旋转ꎬ使得点Ａ的对应点Ｅ落在射线ＢＣ上ꎬ连接ＢＱꎬ设∠ＤＡＱ＝α(０°<α<６０°且α≠３０°) .(１) 当０°<α<３０°时ꎬ①在图１中依题意画出图形ꎬ并求∠ＢＱＥ( 用含α 的式子表示) ꎻ②探究线段ＣＥꎬＡＣꎬＣＱ之间的数量关系ꎬ并加以证明ꎻ当３０°<α<６０°时ꎬ直接写出线段ＣＥꎬＡＣꎬＣＱ之间的数量关系.图１备用图(２)ｘ３２８.对于平面直角坐标系ｘＯｙ中的点Ｑ( ｘꎬｙ) (ｘ≠０) ꎬ将它的纵坐标ｙ与横坐标ｘ的比ｙ称为点Ｑ的“理想值”ꎬ记作ＬＱ.如Ｑ( －１ꎬ２) 的“理想值”ＬＱ＝－２１＝－２.(１) ①若点Ｑ(１ꎬａ) 在直线ｙ＝ｘ－４上ꎬ则点Ｑ的“理想值”ＬＱ等于ꎻ②如图ꎬＣ( ３ꎬ１) ꎬ☉Ｃ的半径为１.若点Ｑ在☉Ｃ上ꎬ则点Ｑ的“理想值”ＬＱ的取值范围是.(２) 点Ｄ在直线ｙ＝－３ｘ＋３上ꎬ☉Ｄ的半径为１ꎬ点Ｑ在☉Ｄ上运动时都有０≤ＬＱ≤３ꎬ求点Ｄ的横坐标ｘＤ的取值范围ꎻ(３) Ｍ(２ꎬｍ)(ｍ > ０)ꎬＱ是以ｒ为半径的☉Ｍ上任意一点ꎬ当０≤ＬＱ≤２２时ꎬ画出满足条件的最大圆ꎬ并直接写出相应的半径ｒ的值.(要求画图位置准确ꎬ但不必尺规作图)１５. ２北京市西城区 ２０１８ 年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准２０１８.５一二２ｘ ６ｙ １７０ ꎬ ９. ｘ ≤ ２. １０. ３ . １１. ４π. １２. ３ｘ ＝ ８ｙ. １３. ２０.１４. 答案不唯一ꎬ例８如ꎬ将抛物线３ｙ ＝ ３( ｘ ＋ ２) ２－ １ 先向右平移 ２ 个单位长度ꎬ再向上平移 ３ 个单位长度得到抛物线 ｙ ＝ ３ｘ２ ＋ ２. ５４.１６. (７ꎬ４) .三、 解答题( 本题共 ６８ 分ꎬ第 １７ ~ ２１ 题每小题 ５ 分ꎬ第 ２２、２３ 题每小题 ６ 分ꎬ第 ２４ 题 ５ 分ꎬ第２５、２６ 题每小题 ６ 分ꎬ第 ２７、２８ 题每小题 ７ 分)１７. 解: ６ｃｏｓ６０° － ２７ ＋ ( π － ２) ０ － ３ － ２＝ ６ ×１－ ３ ３ ＋ １ － (２ － ３ ) ４ 分 ＝ ３ － ３ ３ ＋ １ － ２ ＋ ３ ＝ ２ － ２ｘ３ . ５ 分１８. 解方程:ｘ － ２ ＋ ２ １－ ｘ＝ ３. 解:去分母ꎬ得 ｘ － １ ＝ ３( ｘ － ２) . １ 分去括号ꎬ得 ｘ － １ ＝ ３ｘ － ６. ２ 分移项ꎬ得 ３ｘ － ｘ ＝ ６＝－ １. 合并同类项ꎬ得 ２ｘ ５５. ３ 分系数化为 １ꎬ得 ｘ ＝ ２. ４ 分经检验ꎬ原方程的解为 ｘ ＝ ５. ５ 分１９. 解:如图 １ꎬ连接 ＢＤ. ２∵ Ｅ 为 ＡＢ 的中点ꎬＤＥ ⊥ ＡＢ 于点 Ｅꎬ∴ ＡＤ ＝ ＢＤ. １ 分 ∴ ∠１ ＝ ∠Ａ. ∵ ∠Ａ ＝ ６６°ꎬ ∴ ∠１ ＝ ６６°. ２ 分 ∵ ∠ＡＢＣ ＝ ９０°ꎬ∴ ∠２ ＝ ∠ＡＢＣ － ∠１ ＝ ２４°. ∵ ＡＤ ＝ ＢＣ ꎬ ３ 分∴ ＢＤ ＝ ＢＣ. ４ 分 ∴ ∠Ｃ ＝ ∠３. ° － ∠２题号 １２３４５６７８答案Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ１８０∴∠Ｃ＝２＝７８°.５分: ２０⎛－ ５ ⎫ ÷ｘ２ － ６ｘ ＋ ９. 解⎝ｘ ＋ ２÷ｘ ＋ ２ ＝ ｘ － ３ ×ｘ ＋ ２ ３ 分 ｘ ＋ ２ ＝ ｘ －１ ３.( ｘ － ３) ２４ 分当 ｘ ＝ － ５ 时ꎬ原式 ＝ － １. ５ 分２１. (１) 证明:如图 ２. ８∵ ＣＤ ⊥ ＡＢ 于点 ＤꎬＢＥ ⊥ ＡＢ 于点 Ｂꎬ∴ ∠ＣＤＡ ＝ ∠ＤＢＥ ＝ ９０°. ∴ ＣＤ ∥ ＢＥ. １ 分(２) 又 ∵ ＢＥ ＝ ＣＤ ꎬ∴ 四边形 ＣＤＢＥ 为平行四边形. ２ 分 又 ∵ ∠ＤＢＥ ＝ ９０°ꎬ图 ２∴ 四边形 ＣＤＢＥ 为矩形. ３ 分解:∵ 四边形 ＣＤＢＥ 为矩形ꎬ∴ ＤＥ ＝ ＢＣ. ＝ ４ 分 ∵ 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠ＡＣＢ可得 ∠ＡＣＤ ＝ ∠１.∵ ｔａｎ∠ＡＣＤ ＝ １ꎬ９０°ꎬＣＤ ⊥ ＡＢꎬ２ ＝ＡＣＤ ＝ １ .∴ ｔａｎ∠１ｔａｎ∠２１∵ 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬＡＣ ＝ ２ꎬｔａｎ∠１ ＝ ２ꎬ∴ ＢＣ ＝ ＡＣ＝ ４. ∴ ＤＥ ＝ ｔＢａＣｎ∠＝１ . ５ 分２２. 解:(１) 补全统计图如４图 ３.２３.⎭ １(２) 答案不唯一 预估理由合理 支撑预估数据即可.分图 ３４ 分解:(１) 如图 ４.ꎬꎬ６∵ 点 Ａ 的坐标为 Ａ( － ４ꎬｎ)ꎬ点 Ｃ 与点 Ａ 关于原点 Ｏ 对称ꎬｘＯＦ２ ２４ １ ２ ∴ 点 Ｃ 的坐标为 Ｃ(４ꎬ － ｎ) .∵ ＡＢ ⊥ ｘ 轴于点 ＢꎬＣＤ ⊥ ｘ 轴于点 Ｄꎬ ∴ ＢꎬＤ 两点的坐标分别为 Ｂ( － ４ꎬ０) ꎬＤ(４ꎬ０) .∵ △ＡＢＤ 的面积为 ８ꎬＳ△＝ １ ＡＢ × ＢＤ ＝ １× ( － ｎ) × ８ ＝ － ４ｎ ꎬ∴－ ４ｎ ＝ ８. ２２解得 ｎ ＝ － ２. ２ 分∵ 函数 ｙ ＝ ｍ( ｘ < ０) 的图象经过点 Ａ( － ４ꎬｎ) ꎬ(２) ∴ ｍ ＝ － ４ｎ ＝ ８. ３ 分 由(１) 得点 Ｃ 的坐标为 Ｃ(４ꎬ２) .① 如图 ４ꎬ当 ｋ < ０ 时ꎬ设直线 ｙ ｙ 轴的交点分别为点 Ｅ１ ꎬＦ１ .ｋｘ ＋ ｂ 与 ｘ 轴 ꎬ由 ＣＤ ⊥ ｘ 轴于点 Ｄ 可得 ＣＤ ∥ ＯＦ１ . ∴ △Ｅ１ ＣＤ ∽ △Ｅ１ Ｆ１ Ｏ. ＤＣ ＯＦ１ ＝ Ｅ１ Ｃ. Ｅ１ Ｆ１ ∵ ＣＦ１ ＝ ２ＣＥ１ ꎬ∴ ＤＣ ＝ １ . 图 ４ＯＦ１ ∴ ＯＦ１ ∴３３ＤＣ ＝ ６.点 Ｆ１ 的坐标为 Ｆ１(０ꎬ６) . ② 如图 ５ꎬ当 ｋ > ０ 时ꎬ设直线 ｙ 的交点分别为点 Ｅ２ ꎬＦ２ .＝ ｋｘ ＋ ｂ 与 ｘ 轴 ꎬｙ 轴同理可得 ＣＤ ∥ ＯＦ２ ꎬ ＤＣ ＝ Ｅ２ Ｃ .Ｅ２Ｆ２ ∵ ＣＦ２ ＝ ２ＣＥ２ ꎬ ∴ Ｅ２ 为线段 ＣＦ２ 的中点 ꎬＥ２ Ｃ ＝ Ｅ２ Ｆ２ . ∴ ＯＦ２ ＝ ＤＣ ＝ ２.∴ 点 Ｆ２ 的坐标为 Ｆ２(０ꎬ － ２) . ６ 分综上所述ꎬ点 Ｆ 的坐标为 Ｆ (０ꎬ６) ꎬＦ (０ꎬ － ２) . 图 ５. (１) 证明:如图 ６ꎬ连接 ＯＣꎬＡＣ.∵ ＡＢ 是 ☉Ｏ 的直径ꎬ弦 ＣＤ ⊥ ＡＢ 于点 Ｅꎬ ∴ ＣＥ ＝ ＤＥ ꎬ ＡＤ ＝ ＡＣ. ∵ ＤＣ ＝ ＡＤ ꎬ ∴ ＤＣ ＝ ＡＤ ＝ ＡＣ.ＡＢＤ ＝ ∴＝∴△ＡＣＤ为等边三角形.∴∠Ｄ＝∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ＝６０°.∴∠１＝１∠ＤＣＡ＝３０°.图６２２(２)∵ＦＧ∥ＤＡꎬ∴∠ＤＣＦ＋∠Ｄ＝１８０°.∴∠ＤＣＦ＝１８０°－∠Ｄ＝１２０°.∴∠ＯＣＦ＝∠ＤＣＦ－∠１＝９０°.∴ＦＧ⊥ＯＣ.∴ＦＧ与☉Ｏ相切. ３分解: 如图６ꎬ作ＥＨ⊥ＦＧ于点Ｈ.设ＣＥ＝ａꎬ则ＤＥ＝ａꎬＡＤ＝２ａ.∵ＡＦ与☉Ｏ相切ꎬ∴ＡＦ⊥ＡＧ.又∵ＤＣ⊥ＡＧꎬ可得ＡＦ∥ＤＣ. 又∵ＦＧ∥ＤＡꎬ∴四边形ＡＦＣＤ为平行四边形.∵ＤＣ＝ＡＤꎬＡＤ＝２ａꎬ∴四边形ＡＦＣＤ为菱形.∴ＡＦ＝ＦＣ＝ＡＤ＝２ａꎬ∠ＡＦＣ＝∠Ｄ＝６０°.由(１) 得∠ＤＣＧ＝６０°ꎬＥＨ＝ＣＥｓｉｎ６０°＝３ａꎬＣＨ＝ＣＥｃｏｓ６０°＝１ａ.２２∴ＦＨ＝ＣＨ＋ＣＦ＝５ａ.∵在Ｒｔ△ＥＦＨ中ꎬ∠ＥＨＦ＝９０°ꎬ３ａ∴ｔａｎ∠ＥＦＣ＝ＥＨ＝＝３. ５２５.解:(１) ①２ＦＨ５ａ５２分. １分斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等②( ２－１) ａ１.２分③( ２－１) ２ａ１.３分④( ２－１) ｎ－１ａ１.４分(２) 所画正方形ＣＨＩＪ见图７.６分图７４２６.解:如图８.(１) ｘ＝２.１分(２) ∵抛物线ｙ＝ａｘ２－４ａｘ＋ａ－１的对称轴为直线ｘ＝２ꎬ抛物线Ｍ与ｘ轴的交点为点ＡꎬＢ(点Ａ在点Ｂ左侧)ꎬＡＢ＝２ꎬ∴ＡꎬＢ两点的坐标分别为Ａ(１ꎬ０) ꎬＢ(３ꎬ０) . ２分∵点Ａ在抛物线Ｍ上ꎬ∴将Ａ(１ꎬ０) 的坐标代入抛物线的函数表达式ꎬ得ａ－４ａ＋ａ－１＝０.解得ａ＝－１. ３分２∴ｙ＝－１ｘ２＋２ｘ－３.４抛物线Ｍ的函数表达式为２２分(３) ｋ> ５. ６分图８２７.解:(１) 当０°<α<３０°时ꎬ①画出的图形如图９所示. １分∵△ＡＢＣ为等边三角形ꎬ∴∠ＡＢＣ＝６０°.∵ＣＤ为等边△ＡＢＣ的中线ꎬＱ为线段ＣＤ上的点ꎬ由等边三角形的对称性得ＱＡ＝ＱＢ.∵∠ＤＡＱ＝α ꎬ∴∠ＡＢＱ＝∠ＤＡＱ＝αꎬ∠ＱＢＥ＝６０°－α.∵线段ＱＥ为线段ＱＡ绕点Ｑ顺时针旋转所得ꎬ∴ＱＥ＝ＱＡ. 图９∴ＱＢ＝ＱＥ.可得∠ＢＱＥ＝１８０°－２∠ＱＢＥ＝１８０°－２(６０°－α) ＝６０°＋２α.２分②ＣＥ＋ＡＣ＝３ＣＱ. ３分证法一:如图１０ꎬ延长ＣＡ到点Ｆꎬ使得ＡＦ＝ＣＥꎬ连接ＱＦꎬ作ＱＨ⊥ＡＣ于点Ｈ.∵∠ＢＱＥ＝６０°＋２αꎬ点Ｅ在ＢＣ上ꎬ∴∠ＱＥＣ＝∠ＢＱＥ＋∠ＱＢＥ＝(６０°＋２α) ＋( ６０°－α) ＝１２０°＋α.２２３. 解:(１) ①３.１分∵点Ｆ在ＣＡ的延长线上ꎬ∠ＤＡＱ＝αꎬ∴∠ＱＡＦ＝∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＱ＝１２０°＋α.∴∠ＱＡＦ＝∠ＱＥＣ.又∵ＡＦ＝ＣＥꎬＱＡ＝ＱＥꎬ∴△ＱＡＦ≌△ＱＥＣ.∴ＱＦ＝ＱＣ.∵ＱＨ⊥ＡＣ于点Ｈꎬ∴ＦＨ＝ＣＨꎬＣＦ＝２ＣＨ.∵在等边三角形ＡＢＣ中ꎬＣＤ为中线ꎬ点Ｑ在ＣＤ上ꎬ图１０∴∠ＡＣＱ＝１∠ＡＣＢ＝３０°ꎬ即△ＱＣＦ为底角为３０°的等腰三角形.∴ＣＨ＝ＣＱｃｏｓ∠ＨＣＱ＝ＣＱｃｏｓ３０°＝３ＣＱ.∴ＣＥ＋ＡＣ＝ＡＦ＋ＡＣ＝ＣＦ＝２ＣＨ＝３ＣＱ.即ＣＥ＋ＡＣ＝３ＣＱ. ６分思路二: 如图１１ꎬ延长ＣＢ到点Ｇꎬ使得ＢＧ＝ＣＥꎬ连接ＱＧꎬ可得△ＱＢＧ≌△ＱＥＣꎬ△ＱＣＧ为底角为３０°的等腰三角形ꎬ与证法一同理可得ＣＥ＋ＡＣ＝ＢＧ＋ＢＣ＝ＣＧ＝３ＣＱ.图１１图１２２８(２)－如图１２ꎬ当３０°<α<６０°时ꎬＡＣ－ＣＥ＝３ＣＱ.７分②０≤ＬＱ≤３.２分(２) 设直线ｙ＝－３ｘ＋３与ｘ轴ꎬｙ轴的交点分别为点Ａꎬ点Ｂꎬ可得Ａ(３３ꎬ０) ꎬＢ(０ꎬ３) .∴ＯＡ＝３３ꎬＯＢ＝３ꎬ∠ＯＡＢ＝３０°.由０≤ＬＱ≤３ꎬ作直线ｙ＝３ｘ.①如图１３ꎬ当☉Ｄ与ｘ轴相切时ꎬ相应的圆心Ｄ１满足题意ꎬ其横坐标取到最大值. 作Ｄ１Ｅ１⊥ｘ轴于点Ｅ１ꎬ可得Ｄ１Ｅ１∥ＯＢꎬＤ１Ｅ１＝ＡＥ１.ＢＯＡＯ３２４４∵ ☉Ｄ 的半径为 １ꎬ ∴ Ｄ１ Ｅ１ ＝ １.∴ ＡＥ１ ＝ ３ ꎬＯＥ１ ＝ ＯＡ － ＡＥ１ ＝ ２ ３ . ∴ ｘＤ１ ＝ ２ ３ .② 如图１４ꎬ当☉Ｄ 与直线ｙ ＝ ３ ｘ 相切时ꎬ相应的圆心 Ｄ２ 满足题意ꎬ其横坐标取到最小值. 作 Ｄ２ Ｅ２ ⊥ ｘ 轴于点 Ｅ２ ꎬ则 Ｄ２ Ｅ２ ⊥ ＯＡ.设直线 ｙ ＝ ３ ｘ 与直线 ｙ ＝ － ３ｘ ＋ ３ 的图 １３交点为 Ｆ.可得 ∠ＡＯＦ ＝ ６０°ꎬＯＦ ⊥ ＡＢ. 则 ＡＦ ＝ ＯＡｃｏｓ∠ＯＡＦ ＝ ３ ３ ×３＝ ９ .∵ ☉Ｄ 的半径为 １ꎬ ∴ Ｄ２ Ｆ ＝ １.∴ ＡＤ２ ＝ ＡＦ － Ｄ２ Ｆ ＝２２７ . ２∴ ＡＥ２ ＝ ＡＤ２ ｃｏｓ∠ＯＡＦ ＝ ７×３ ２ ＝ ７ ３ ꎬＯＥ２ ＝ ＯＡ － ＡＥ２ ５ ３ ＝ ５ ３ .图 １４∴ ｘＤ２ ＝４ 由 ①② 可得ꎬｘＤ 的取值范围是５ ３≤ ｘＤ ≤ ２ ３ .(３) ５ 分 画图见图 １５.２ . ７ 分图 １５。
2018年北京市西城区中考二模数学试卷含参考答案
数学试卷 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1. 如图所示，a ∥b ，直线a 与直线b 之间的距离是 A ．线段P A 的长度 B ．线段PB 的长度C ．线段PC 的长度D ．线段CD 的长度2. 将某不等式组的解集1-≤x <3表示在数轴上，下列表示正确的是3. 下列运算中，正确的是A ．22456x x x +=B ．326x x x ⋅=C ． 236()x x =D ．33()xy xy = 4.下列实数中，在2和3之间的是A ． πB ．π2-C ．D ．5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90︒，∠A = 45︒， ∠E = 60︒，点F 在CB 的延长线上.若DE ∥CF ， 则∠BDF 等于A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．15︒ 6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距 离AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF . 观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水 平线上，则下列结论中，正确的是A ．EF CF AB FB = B ．EF CFAB CB=C ．CE CFCA FB = D ．CE CF EA CB=7. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：A ．这组样本数据的平均数超过130B ．这组样本数据的中位数是147C ．在这次比赛中，估计成绩为130 min 的选手的成绩会比平均成绩差D ．在这次比赛中，估计成绩为142 min 的选手，会比一半以上的选手成绩要好 8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶， 车速分别为20 m/s 和v (m/s)，起初甲车在乙 车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲 车时，两车都停止行驶．设x (s)后两车相距y (m)，y 与x 的函数关系如图2所示．有以下 结论：①图1中a 的值为500； ②乙车的速度为35 m/s ；③图1中线段EF 应表示为5005x +；④图2中函数图象与x 轴交点的横坐标为100．其中所有的正确结论是A ．①④B．②③ C．①②④ D ．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. x 的取值范围是 ．10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为 ．11. 如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的 “最强大脑”大赛，准备购买A ，B 两款魔方.社长发现 若购买2个A 款魔方和6个B 款魔方共需170元，购买 3个A 款魔方和购买8个B 款魔方所需费用相同. 求每款魔方的单价.设A款魔方的单价为x元，B 款魔方的单 价为y 元，依题意可列方程组为 .抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .15. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，(3,0)A -，(4,0)B ，边AD 长为5. 现固定边AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为D '），相应地，点C 的对应点C '的坐标为 .三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：06cos60(π2)2︒-．18．解方程：1322x x x+=--.19. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，66A ∠=︒，90ABC ∠=︒，BC= AD ，求∠C 的度数．20.先化简，再求值：2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中5x =-．21.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ． （1）求证：四边形CDBE 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．22.阅读下列材料： 材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数myx=（0x<）的图象经过点(4,)A n-，AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8. （1）求m，n的值；（2）若直线y kx b =+（k ≠0）经过点C ，且与x 轴，y 轴的交点分别为点E ，F ，当2CF CE =时，求点F 的坐标．24．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC=AD ．过点A 作⊙O 的切线，过点C 作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G . （1）求证：FG 与⊙O 相切； （2）连接EF ，求tan EFC ∠的值.25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD 中，边1AB a =.按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：① ；② ； ③ ；④ ；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）.26. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为3x （30x >），若当2-≤n ≤1-时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.27. 如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明； （2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”QL 的取值范围是.0≤L Q D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9. x ≤2． 10.38． 11. 4π3. 12.26170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩13. 20. 14.答案不唯一，例如，将抛物线23(2)1y x =+-先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+. 15. 54． 16. (7,4)．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17.解： 06cos60(π2)2︒--161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分313=-+-2=-． ……………………………………………………………………………5分18．解方程：1322x x x+=--. 解：去分母，得13(2)x x -=-．……………………………………………………… 1分去括号，得136x x -=-． ……………………………………………………… 2分 移项，得 361x x -=-．合并同类项，得 25x =．………………………………………………………… 3分系数化为1，得52x =．…………………………………………………………… 4分 经检验，原方程的解为52x =．……………………………………………………5分19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， …………………………………………… 1分∴ 1A ∠=∠． ∵ 66A ∠=︒，∴ 166∠=︒．………………………………………………2分 ∵ 90ABC ∠=︒，∴ 2124ABC ∠=∠-∠=︒． …………………………… 3分∵ AD=BC ，∴ BD=BC ．…………………………………………………………………………4分 ∴ 3C ∠=∠．∴1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………………………………… 5分20.解： 2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+- ………………………………………………………………… 3分 13x =-．……………………………………………………………………………… 4分 当5x =-时，原式18=-．……………………………………………………………5分21. （1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，图1 图2∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，∴ DE=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ， 可得 1ACD ∠=∠．∵ 1tan 2ACD ∠=， ∴ 1tan 1tan 2ACD ∠=∠=． ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =2，1tan 12∠=， ∴ 4tan 1ACBC ==∠． ∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分 23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为(4,)A n -，点C 与点A 关于原点O 对称， ∴ 点C 的坐标为(4,)C n -．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为(4,0)B -，(4,0)D ． ∵ △ABD 的面积为8，11()8422ABDSAB BD n n =⨯=⨯-⨯=-， ∴ 48n -=．解得 2n =-． …………………………………………………………… 2分∵ 函数my x=（0x <）的图象经过点(4,)A n -， ∴ 48m n =-=．…………………………………………………………… 3分 （2）由（1）得点C 的坐标为(4,2)C ．① 如图4，当0k <时，设直线y kx b =+与x 轴， y 轴的交点分别为点1E ，1F ． 由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥1OF ．图3∴ △1E CD ∽△1E 1F O ． ∴1111E CDC OF E F =． ∵ 112CF CE =， ∴113DC OF =． ∴ 136OF DC ==．∴ 点1F 的坐标为1(0,6)F ．②如图5，当0k >时，设直线y kx b =+与x 轴，y 轴的交点分别为 点2E ，2F ． 同理可得CD ∥2OF ，2222E CDC OF E F =． ∵ 222CF CE =，∴ 2E 为线段2CF 的中点，222E C E F =． ∴ 22OF DC ==．∴ 点2F 的坐标为2(0,2)F -．…………6分综上所述，点F 的坐标为1(0,6)F ，2(0,2)F -．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形． ∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒．∴ 11302DCA ∠=∠=︒．∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ 180120DCF D ∠=︒-∠=︒． ∴ 190OCF DCF ∠=∠-∠=︒． ∴ FG ⊥OC ．图4图6图5∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形． ∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．由（1）得∠DCG= 60︒，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a=⋅︒=． ∴52FH CH CF a=+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF= 90︒，∴2tan 52EH EFC FH a ∠===． …………………………………… 5分25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②11)a ．………………… 2分③211)a ．…………………3分 ④111)n a -．……………… 4分 （2）所画正方形CHIJ 见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）2x =.…………………………… 1分（2）∵ 抛物线241y ax ax a =-+-的对称轴为直线2x =，抛物线M 与x 轴的 交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为(1,0)A ，(3,0)B .……………………………… 2分 ∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将(1,0)A 的坐标代入抛物线的函数表达式，得410a a a -+-=. 解得 12a =-. ………………………………………………………………… 3分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分（3）54k >. …………………… 6分27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ． ∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得， ∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802BQE QBE ∠=︒-∠1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分②CE AC +=．……………………………………………………… 3分 证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC于点H ．∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上， ∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α， ∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC ． 又∵ AF =CE ，QA=QE ， ∴ △QAF ≌△QEC ． ∴ QF=QC ．∵ QH ⊥AC 于点H ， ∴ FH=CH ，CF=2CH ．∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点Q 在CD 上，图9图8∴ ∠ACQ=12ACB∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形．∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH =．即CE AC +=． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，AC CE -．.............................. 7分 28.解：（1）①3-． (1)分② 0≤QL……………………………………………………………… 2分（2）设直线+3y x =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B，可得A ，(0,3)B ．∴OA =3OB =，30OAB ∠=︒． 由0≤QLy ．①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大图10图11 图12值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO =． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴1AE11OE OA AE =-= ∴1D x =②如图14，当⊙D与直线y 相切时， 相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到 最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y与直线+3y x =的交点为F ．可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos 2AF OA OAF =⋅∠==．∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 21D F =．∴2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF=⋅∠72==，22OE OA AE =-=．∴2D x =．由①②可得，D x的取值范围是≤D x≤．图13…………………………………………5分（3）画图见图15．图15。
2018年北京市西城区初三数学二模试题及答案
北京市西城区2018年九年级模拟测试数 学 试 卷 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1. 如图所示，a ∥b ，直线a 与直线b 之间的距离是 A ．线段P A 的长度 B ．线段PB 的长度 C ．线段PC 的长度 D ．线段CD 的长度2. 将某不等式组的解集≤x 3表示在数轴上，下列表示正确的是3. 下列运算中，正确的是A ．B ．C ．D ．4.下列实数中，在2和3之间的是A ．B ．C ．D ．5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90︒， ∠A = 45︒， ∠E = 60︒，点F 在CB 的延长线上. 若DE ∥CF ，则∠BDF 等于A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．15︒ 6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐 标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距 离AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF . 观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水 平线上，则下列结论中，正确的是A ．EF CF AB FB = B ．EF CFAB CB=C ．CE CFCA FB = D ．CE CF EA CB=1-<22456x x x +=326x x x ⋅=236()x x =33()xy xy =π π2-7. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：A ．这组样本数据的平均数超过130B ．这组样本数据的中位数是147C ．在这次比赛中，估计成绩为130 min 的选手的成绩会比平均成绩差D ．在这次比赛中，估计成绩为142 min 的选手，会比一半以上的选手成绩要好8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s 和v (m/s)，起初甲车在乙 车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲 车时，两车都停止行驶．设x (s)后两车相距y (m)，y 与x 的函数关系如图2所示．有以下 结论：①图1中a 的值为500； ②乙车的速度为35 m/s ； ③图1中线段EF 应表示为5005x +；④图2中函数图象与x 轴交点的横坐标为100． 其中所有的正确结论是A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 有意义，那么x 的取值范围是 ．10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为 ．11. 如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的 “最强大脑”大赛，准备购买A ，B 两款魔方.社长发现 若购买2个A 款魔方和6个B 款魔方共需170元，购买 3个A 款魔方和购买8个B 款魔方所需费用相同. 求每 款魔方的单价.设A款魔方的单价为x 元，B款魔方的单价为y 元，依题意可列方程组为 .13. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH . 若AB=8，AD=6，则四边形EFGH 的周长等于 ．14.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23(2)1y x =+-平移后得到抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .15. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，，，边AD 长为5. 现固定边AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C 的对应点的坐标为 .三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：06cos60(π2)2︒-．18．解方程：1322x x x+=--.19. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，66A ∠=︒，90ABC ∠=︒，BC= AD ，求∠C 的度数．20.先化简，再求值：2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中5x =-．21.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ． （1）求证：四边形CDBE 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．(3,0)A -(4,0)B D 'C'22.阅读下列材料：材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.”尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数myx=（0x<）的图象经过点(4,)A n-，AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8.（1）求m，n的值；（2）若直线y kx b=+（k≠0）经过点C，且与x轴，y轴的交点分别为点E，F，当2CF CE=时，求点F的坐标．24．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G.（1）求证：FG与⊙O相切；（2）连接EF，求tan EFC∠的值.25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD 中，边1AB a .按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：① ；② ； ③ ；④ ；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）.26. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为（），若当≤n ≤时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.27. 如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明； （2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.3x 30x >2-1-28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”QL 的取值范围是 .（2）点D 在直线+3y =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有0≤L Q D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9. x ≤2． 10.． 11. .12.13. 20. 14.答案不唯一，例如，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+. 15. 54． 16. ．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17.解：161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分313=-+-2=-． ……………………………………………………………………………5分18．解方程：. 解：去分母，得．……………………………………………………… 1分去括号，得．……………………………………………………… 2分 移项，得．合并同类项，得 ．………………………………………………………… 3分系数化为1，得．…………………………………………………………… 4分 经检验，原方程的解为．……………………………………………………5分19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， ……………… ………… 1分∴ ． ∵ ，∴ ．………………………… ……2分 ∵ ，384π326170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩23(2)1y x =+-(7,4)06cos60(π2)2︒-1322x x x+=--13(2)x x -=-136x x -=-361x x -=-25x =52x =52x =1A ∠=∠66A ∠=︒166∠=︒90ABC ∠=︒∴ ． …………………………… 3分 ∵ AD=BC ，∴ BD=BC ．…………………………………………………………………………4分 ∴ ．∴1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………………………………… 5分20.解： ………………………………………………………………… 3分 ．……………………………………………………………………………… 4分 当时，原式．……………………………………………………………5分21. （1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，∴ DE=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，，CD ⊥AB ， 可得 ．∵ ， ∴ ． ∵ 在Rt △ABC 中，，AC =2，， ∴ ． ∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.2124ABC ∠=∠-∠=︒3C ∠=∠2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+-13x =-5x =-18=-90ACB ∠=︒1ACD ∠=∠1tan 2ACD ∠=1tan 1tan 2ACD ∠=∠=90ACB ∠=︒1tan 12∠=4tan 1ACBC ==∠图2………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为，点C 与点A 关于原点O 对称，∴ 点C 的坐标为．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为，．∵ △ABD 的面积为8，， ∴ ．解得 ． …………………………………………………………… 2分 ∵ 函数（）的图象经过点， ∴ ． …………… 3分（2）由（1）得点C 的坐标为． ① 如图4，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为点，．由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥．∴ △CD ∽△O ．∴ ． ∵ ，∴．∴ ． ∴ 点的坐标为．②如图5，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为(4,)A n -(4,)C n -(4,0)B -(4,0)D 11()8422ABD S AB BD n n =⨯=⨯-⨯=- 48n -=2n =-m y x=0x <(4,)A n -48m n =-=(4,2)C 0k <y kx b =+1E 1F 1OF 1E 1E 1F 1111E C DC OF E F =112CF CE =113DC OF =136OF DC ==1F 1(0,6)F 0k >y kx b =+图4点，．同理可得CD ∥，． ∵ ，∴ 为线段的中点，．∴ 22OF DC ==．∴ 点的坐标为．…………6分综上所述，点F 的坐标为，．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形．∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒．∴ ． ∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ ．∴ ．∴ FG ⊥OC ．∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ．∵ AF 与⊙O 相切，∴ AF ⊥AG ．又∵ DC ⊥AG ，可得AF ∥DC ．又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形．∵ DC =AD ，AD=2a ，∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．由（1）得∠DCG= 60︒，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a =⋅︒=． ∴52FH CH CF a =+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF= 90︒，∴2tan 52EH EFC FH a ∠===． …………………………………… 5分2E 2F 2OF 2222E C DC OF E F =222CF CE =2E 2CF 222E C E F =2F 2(0,2)F -1(0,6)F 2(0,2)F -11302DCA ∠=∠=︒180120DCF D ∠=︒-∠=︒190OCF DCF ∠=∠-∠=︒图6图525．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②11)a ．………………… 2分③211)a ．…………………3分④111)n a -．……………… 4分（2）所画正方形CHIJ 见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）.…………………………… 1分 （2）∵ 抛物线241y ax ax a =-+-的对称轴为直线，抛物线M 与x 轴的 交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为，.……………………………… 2分∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将的坐标代入抛物线的函数表达式，得.解得 . ………………………………………………………………… 3分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分 （3）54k >. …………………… 6分27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ．∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．2x =2x =(1,0)A (3,0)B (1,0)A 410a a a -+-=12a =-∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分②．……………………………………………………… 3分证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC于点H ．∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上，∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α，∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α．∴ ∠QAF=∠QEC ．又∵ AF =CE ，QA=QE ，∴ △QAF ≌△QEC ．∴ QF=QC ．∵ QH ⊥AC 于点H ，∴ FH=CH ，CF=2CH ．∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在CD 上，∴ ∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形． ∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH =．即． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=．1802BQE QBE ∠=︒-∠CE AC +=CE AC +=图10（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．………………………… 7分28.解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤Q L ……………………………………………………………… 2分（2）设直线+3y =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B ，可得A ，(0,3)B ．∴OA =，3OB =，30OAB ∠=︒．由0≤Q L ，作直线y ．①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO =． ∵ ⊙D 的半径为1，∴ 111D E=．∴ 1AE11OE OA AE =-=∴ 1D x =②如图14，当⊙D 与直线y 相切时，相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到最小值．AC CE -=3-图11 图12作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y =与直线+3y =的 交点为F ．可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos 2AF OA OAF =⋅∠==． ∵ ⊙D 的半径为1，∴ 21D F =．∴ 2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF =⋅∠72==，22OE OA AE =-=．∴2D x =．由①②可得，D x的取值范围是≤D x≤．………………………………………… 5分（3）画图见图15．7分。
2018年北京市初三数学二模分类汇编-第5讲：四边形
第5讲 四边形【2018·西城二模】1. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH .若AB=8，AD=6，则四边形EFGH 的周长等于 ．【答案】20【2018·昌平二模】2.如图，已知△ACB 中，∠ACB =90°，CE 是△ACB 的中线，分别过点A 、点C 作CE 和AB 的平行线，交于点D ． （1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若CE=4，且∠DAE =60°，求△ACB 的面积．【答案】(1)证明：∵AD //CE ，CD //AE∴四边形AECD 为平行四边形 ……………………… 1分 ∵∠ACB =90°，CE 是△ACB 的中线∴CE=AE ………………………………… 2分 ∴四边形ADCE 是菱形 （2）解：∵CE=4，AE= CE=EB ∴AB =8，AE=4∵四边形ADCE 是菱形,∠DAE =60°∴∠CAE =30°………………………………… 3分 ∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB =30°， AB =8cos AC CAB AB ∠==，142CB AB == DECBADECBA∴AC = 4分∴12ABC S AC BC ∆=⋅= 5分 【2018·朝阳二模】3.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD到E ，使DE =CD ，连接AE ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）连接OE ，若∠ABC =60°，且AD =DE =4，求OE 的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD . ∵DE ＝CD ， ∴AB ＝DE .∴四边形ABDE 是平行四边形. ………………………………2分（2）解：∵AD ＝DE ＝4，∴AD ＝AB ＝4.∴□ABCD 是菱形. ………………………………3分 ∴AB ＝BC ，AC ⊥BD ，BO ＝BD 21，∠ABO ＝ABC ∠21.又∵∠ABC ＝60°， ∴∠ABO ＝30°. 在Rt △ABO 中，2sin =∠⋅=ABO AB AO ，32cos =∠⋅=ABO AB BO .∴BD ＝34.∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ∥BD ，34==BD AE .又∵AC ⊥BD ， ∴AC ⊥AE .在Rt △AOE 中，13222=+=AO AE OE . ……………………………5分【2018·东城二模】4．如图，在菱形ABCD 中，BAD α∠=，点E 在对角线BD 上. 将线段CE 绕点C 顺时针旋转α，得到CF ，连接DF . （1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ， 若EB =EC ，求证：AC CF ⊥. 【答案】(1) 证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴=BC DC ，BAD BCD α==∠∠. ∵ECF α=∠， ∴ BCD ECF ∠=∠. ∴=BCE DCF ∠∠.∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到， ∴=CE CF .在BEC △和DFC △中，BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BEC △≌()SAS DFC △.∴=.BE DF ----------------------------------------------------------------------2分 (2) 解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ACB ACD ∠=∠，AC BD ⊥. ∴+90ACB EBC ∠=︒∠. ∵=EB EC ， ∴=EBC BCE ∠∠.由（1）可知， ∵=EBC DCF ∠∠，∴+90DCF ACD EBC ACB ∠=∠+∠=︒∠. ∴90ACF =︒∠.∴AC CF ⊥. ---------------------------------------------------------------------5分【2018·房山二模】5. 已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =CD ，E 是对角线BD上一点，且EA =EC ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果∠BDC =30°，DE =2，EC =3，求CD 的长．【答案】解：（1）∵AD =CD ,EA =EC ,DE =DE ∴△ADE ≌△CDE ∴∠ADE =∠CDE ∵AD ∥BC ∴∠ADB =∠DBC ∴∠DBC =∠BDC ∴BC =CD ∴AD =BC 又∵AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形…………………………………………………2′ ∵AD =CD∴四边形ABCD 是菱形…………………………………………………………3′（2）作EF ⊥CD 于F ∵∠BDC =30°，DE =2∴EF =1,DF = 3 ……………………………………………………………………4′ ∵CE =3B∴CF =2 2∴CD =2 2 + 3 …………………………………………………………………5′ 【2018·丰台二模】6．如图，BD 是△ABC 的角平分线，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交BC 于点F ．（1）求证：四边形BEDF 为菱形； （2）如果∠A = 90°，∠C = 30°，BD = 12，求菱形BEDF 的面积．【答案】（1）证明：∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形BEDF 为平行四边形………………1分∴∠1=∠3.∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠1=∠2. ∴∠2=∠3. ∴BF =DF .∴四边形BEDF 为菱形.………………………2分（2）解：过点D 作DG ⊥BC 于点G ，则∠BGD =90°.∵∠A =90°，∠C =30°，∴∠ABC =60°. 由（1）知，BF =DF ，∠2=30°，DF ∥AB ，∴∠DFG =∠ABC =60°. ∵BD =12，∴在Rt △BDG 中，DG=6.∴在Rt △FDG 中，DF= ………………………4分 ∴BF =DF=∴S 菱形BEDFBF DG =⋅=. ………………………5分 （其他证法相应给分）【2018·海淀二模】7．如图，在四边形ABCD 中，ABCD ，BD 交AC 于G ，E 是BD 的中点，连接AE 并延长，交CD 于点F ，F 恰好是CD 的中点. （1）求BGGD的值； （2）若CE EB =，求证：四边形ABCF 是矩形.DEA EGF ABCDG 321A CEDF【答案】（1）解：∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABE =∠EDC . ∵ ∠BEA =∠DEF ， ∴ △ABE ∽△FDE . ∴AB BEDF DE=. ∵ E 是BD 的中点， ∴ BE =DE .∴ AB =DF . ∵ F 是CD 的中点， ∴ CF =FD . ∴ CD =2AB .∵ ∠ABE =∠EDC ，∠AGB =∠CGD ， ∴ △ABG ∽△CDG . ∴12BG AB GD CD ==. （2）证明：∵ AB ∥CF ，AB =CF ，∴ 四边形ABCF 是平行四边形. ∵ CE =BE ，BE =DE ， ∴ CE =ED . ∵ CF =FD ，∴ EF 垂直平分CD . ∴ ∠CF A =90°.∴ 四边形ABCF 是矩形. 【2018·石景山二模】8．如图，在四边形ABCD 中，45A ∠=︒，CD BC =， DE 是AB 边的垂直平分线，连接CE ． （1）求证：DEC BEC ∠=∠；（2）若8AB =，BC =CE 的长．EGF ABCD【答案】（1）证明：∵DE 是AB 边的垂直平分线， ∴DE AB ⊥，4AE EB ==， ………… 1分 ∵45A ∠=︒， ∴DE AE EB ==， 又∵DC CB =，CE CE =， ∴△EDC ≌△EBC .∴45DEC BEC ∠=∠=︒. ………… 2分 （2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ， 可得，CH EH =，设EH x =，则4BH x =-， 在Rt △CHB 中， 222CH BH BC +=， ……… 3分即22(4)10x x +-=，解之，13x =，21x =（不合题意，舍），………… 4分 即3EH =.∴CE ==. ………… 5分【2018·西城二模】9. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ．（1）求证：四边形CDBE 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．【答案】（1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分A又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分 （2）解：DE=BC=4【2018·海淀二模】10．如图，四边形ABCD 中，90C ∠=°，BD 平分ABC ∠，3AD =，E 为AB 上一点， 4AE =，5ED =，求CD 的长．【答案】 证明：∵3AD =，4AE =，5ED =， ∴222AD AE ED +=. ∴90A ∠=︒. ∴DA AB ⊥. ∵90C ∠=︒. ∴DC BC ⊥. ∵BD 平分ABC ∠， ∴DC AD =. ∵3AD =， ∴3CD =.E DCBA图2。
2、2018西城初三二模数学试题及标准答案
北京市西城区２０１8年九年级模拟测试ﻩ数学试卷 ２01８.５一、选择题（本题共16分,每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． １. 如图所示,ａ∥b ，直线ａ与直线ｂ之间的距离是 A ．线段P Ａ的长度 B ．线段ＰB 的长度 C ．线段PC 的长度 D.线段ＣＤ的长度２． 将某不等式组的解集≤ｘ３表示在数轴上,下列表示正确的是3. 下列运算中,正确的是A. B ． Ｃ． D ．4.下列实数中，在２和3之间的是A ． Ｂ． C ． Ｄ．５． 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DF Ｅ ＝ 90︒,∠A= 45︒， ∠E = ６0︒,点Ｆ在CB 的延长线上．若D Ｅ∥CF , 则∠B ＤＦ等于1-<22456x x x +=326x x x ⋅=236()x x =33()xy xy =π π2-A．35︒Ｂ．30︒C.2５︒Ｄ．１５︒6. 中国古代在利用“计里画方”(比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时,会利用测杆、水准仪和照板来测量距离.在如图所示的测量距离AＢ的示意图中，记照板“内芯”的高度为ＥF．观测者的眼睛(图中用点C表示）与ＢF在同一水平线上,则下列结论中，正确的是A．EF CFAB FB=Ｂ.EF CFAB CB=C.CE CFCA FB=D．CE CFEA CB=7．在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了１0名选手,记录他们的成绩(所用的时间）如下:选手１ 2 3 4 5 6 ７8 9 1０时间(min) 129 6 148 1５4 158 165 １75由此所得的以下推断不正确．．．的是A.这组样本数据的平均数超过１30Ｂ．这组样本数据的中位数是１4７Ｃ．在这次比赛中，估计成绩为130 min的选手的成绩会比平均成绩差D.在这次比赛中，估计成绩为1４2ｍｉn的选手，会比一半以上的选手成绩要好。
北京市西城区2018年中考二模数学试卷含答案
北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1. 如图所示，a ∥b ，直线a 与直线b 之间的距离是 A ．线段P A 的长度 B ．线段PB 的长度C ．线段PC 的长度D ．线段CD 的长度2. 将某不等式组的解集≤x 3表示在数轴上，下列表示正确的是3. 下列运算中，正确的是A ．B ．C ．D ．4.下列实数中，在2和3之间的是A ．B ．C ．D ．5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90︒，∠A = 45︒， ∠E = 60︒，点F 在CB 的延长线上.若DE ∥CF ， 则∠BDF 等于A ．35︒B ．30︒ C ．25︒D ．15︒ 6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、 水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距 离AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF . 观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水 平线上，则下列结论中，正确的是A ．EF CF AB FB = B ．EF CFAB CB=C ．CE CFCA FB = D ．CE CF EA CB=1-<22456x x x +=326x x x ⋅=236()x x =33()xy xy =π π2-7. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：A ．这组样本数据的平均数超过130B ．这组样本数据的中位数是147C ．在这次比赛中，估计成绩为130 min 的选手的成绩会比平均成绩差D ．在这次比赛中，估计成绩为142 min 的选手，会比一半以上的选手成绩要好 8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s 和v (m/s)，起初甲车在乙 车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲 车时，两车都停止行驶．设x (s)后两车相距y (m)，y 与x 的函数关系如图2所示．有以下 结论：①图1中a 的值为500； ②乙车的速度为35 m/s ；③图1中线段EF 应表示为5005x +；④图2中函数图象与x 轴交点的横坐标为100． 其中所有的正确结论是A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 有意义，那么x 的取值范围是 ．10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为 ．11. 如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的 “最强大脑”大赛，准备购买A ，B 两款魔方.社长发现 若购买2个A 款魔方和6个B 款魔方共需170元，购买 3个A 款魔方和购买8个B 款魔方所需费用相同. 求每 款魔方的单价.设A 款魔方的单价为x 元，B 款魔方的单 价为y 元，依题意可列方程组为 .13. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH . 若AB=8，AD=6，则四边形EFGH 的周长等于 ． 14.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23(2)1y x =+-平移后得到抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .15. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，，，边AD 长为5. 现固定边），相应地，点AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为C 的对应点的坐标为 .三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：06cos6027(π2)32︒-．18．解方程：1322x x x+=--.19. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，66A ∠=︒，90ABC ∠=︒，BC= AD ，求∠C 的度数．20.先化简，再求值：2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中5x =-．21.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ． （1）求证：四边形CDBE 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．22.阅读下列材料： 材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012(3,0)A -(4,0)B D 'C'年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验. 材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题： （1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数my x=（0x <）的图象经过点(4,)A n -，AB ⊥x 轴于点B ，点C 与点A 关于原点O 对称， CD ⊥x 轴于点D ，△ABD 的面积为8.（1）求m ，n 的值；（2）若直线y kx b =+（k ≠0）经过点C ，且与x 轴，y 轴的交点分别为点E ，F ，当2CF CE =时，求点F 的坐标．24．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC=AD ．过点A 作⊙O 的切线，过点C作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G . （1）求证：FG 与⊙O 相切； （2）连接EF ，求tan EFC ∠的值.25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD 中，边1AB a =.按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：① ；② ； ③ ；④ ；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）.26. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________；（2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为（），若当≤n ≤时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.3x 30x >2-1-27. 如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线B C 上，连接B Q ，设∠D A Q =α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明； （2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是 . （2）点D在直线+3y x =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有 0≤L QD 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q≤画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）图1 备用图北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5一、二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9. x ≤2． 10.． 11. . 12.13. 20. 14.答案不唯一，例如，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+.15. 54． 16. ．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17.解：161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分313=-+-2=- ……………………………………………………………………………5分18．解方程：. 解：去分母，得．……………………………………………………… 1分去括号，得． ……………………………………………………… 2分 移项，得 ．合并同类项，得 ．………………………………………………………… 3分384π326170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩23(2)1y x =+-(7,4)06cos60(π2)2︒-1322x x x+=--13(2)x x -=-136x x -=-361x x -=-25x =系数化为1，得．…………………………………………………………… 4分 经检验，原方程的解为．……………………………………………………5分19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， …………………………………………… 1分∴ ． ∵ ，∴ ．………………………………………………2分 ∵ ，∴ ． …………………………… 3分∵ AD=BC ，∴ BD=BC ．…………………………………………………………………………4分 ∴ ．∴1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………………………………… 5分20.解： ………………………………………………………………… 3分 ．……………………………………………………………………………… 4分 当时，原式．……………………………………………………………5分21. （1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，∴ DE=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，，CD ⊥AB ， 可得 ．∵ ， 52x =52x =1A ∠=∠66A ∠=︒166∠=︒90ABC ∠=︒2124ABC ∠=∠-∠=︒3C ∠=∠2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+-13x =-5x =-18=-90ACB ∠=︒1ACD ∠=∠1tan 2ACD ∠=图1 图2∴ ． ∵ 在Rt △ABC 中，，AC =2，， ∴ ． ∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分 23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为，点C 与点A 关于原点O 对称， ∴ 点C 的坐标为．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为，． ∵ △ABD 的面积为8，， ∴ ．解得 ． …………………………………………………………… 2分∵ 函数（）的图象经过点， ∴ ．…………………………………………………………… 3分 （2）由（1）得点C 的坐标为．① 如图4，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为点，． 由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥． ∴ △CD ∽△O ． ∴． 1tan 1tan 2ACD ∠=∠=90ACB ∠=︒1tan 12∠=4tan 1ACBC ==∠(4,)A n -(4,)C n -(4,0)B -(4,0)D 11()8422ABDSAB BD n n =⨯=⨯-⨯=-48n -=2n =-my x=0x <(4,)A n -48m n =-=(4,2)C 0k <y kx b =+1E 1F 1OF 1E 1E 1F 1111E CDC OF E F =图3∵ ， ∴． ∴ ．∴ 点的坐标为．②如图5，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为 点，． 同理可得CD ∥，． ∵ ，∴ 为线段的中点，． ∴ 22OF DC ==．∴ 点的坐标为．…………6分综上所述，点F 的坐标为，．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形． ∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒．∴ ． ∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒．∴ ． ∴ ． ∴ FG ⊥OC ．∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ．112CF CE =113DC OF =136OF DC ==1F 1(0,6)F 0k >y kx b =+2E 2F 2OF 2222E CDC OF E F =222CF CE =2E 2CF 222E C E F =2F 2(0,2)F -1(0,6)F 2(0,2)F -11302DCA ∠=∠=︒180120DCF D ∠=︒-∠=︒190OCF DCF ∠=∠-∠=︒图4图6图5又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形． ∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．由（1）得∠DCG= 60︒，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a =⋅︒=．∴52FH CH CF a=+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF= 90︒，∴ 2tan 52EH EFC FH a ∠===． …………………………………… 5分25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②1(21)a -．………………… 2分③2121)a ．…………………3分 ④11(21)n a -．……………… 4分 （2）所画正方形CHIJ 见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）.…………………………… 1分（2）∵ 抛物线241y ax ax a =-+-的对称轴为直线，抛物线M 与x 轴的 交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为，.……………………………… 2分 ∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将的坐标代入抛物线的函数表达式，得. 解得 . ………………………………………………………………… 3分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分 （3）54k >. …………………… 6分2x =2x =(1,0)A (3,0)B (1,0)A 410a a a -+-=12a =-27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ． ∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得， ∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分 ②．……………………………………………………… 3分 证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC 于点H ． ∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上， ∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α， ∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC ． 又∵ AF =CE ，QA=QE ， ∴ △QAF ≌△QEC ． ∴ QF=QC ．∵ QH ⊥AC 于点H ， ∴ FH=CH ，CF=2CH ． ∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点Q 在CD 上，∴ ∠ACQ=12ACB∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形．1802BQE QBE ∠=︒-∠CE AC +=图10图9图8∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH =．即． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+==．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．………………………… 7分28.解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤QL2分（2）设直线3+3y =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B ，可得A ， (0,3)B ．∴ OA =，3OB =，30OAB ∠=︒． 由0≤QL ，作直线y =．圆心1D 满足题①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO =． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴1AE =11OE OA AE =-=．CE AC +=AC CE -=3-3图1图13∴1D x =②如图14，当⊙D与直线y =相切时，相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到 最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y =与直线+3y =的交点为F ．可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos 2AF OA OAF =⋅∠==．∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 21D F =．∴2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF=⋅∠73732==，22OE OA AE =-=．∴2D x =．由①②可得，D x的取值范围是≤D x≤．………………………………………… 5分 （3）画图见图15．．…………………………………………… 7分图15。
20180530-西城初三数学二模答案
北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5一、 选择题（本题共16分，每小题2分）二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9. x ≤2． 10.38． 11. 4π3. 12.26170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩13. 20. 14.答案不唯一，例如，将抛物线23(2)1y x =+-先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+. 15. 54． 16. (7,4)．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17.解： 06cos60(π2)2︒-161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分312=--2=- ……………………………………………………………………………5分18．解方程：1322x x x+=--. 解：去分母，得13(2)x x -=-．……………………………………………………… 1分去括号，得136x x -=-． ……………………………………………………… 2分 移项，得 361x x -=-．合并同类项，得 25x =．………………………………………………………… 3分系数化为1，得52x =．…………………………………………………………… 4分经检验，原方程的解为52x =．……………………………………………………5分19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， …………………………………………… 1分∴ 1A ∠=∠． ∵ 66A ∠=︒，∴ 166∠=︒．………………………………………………2分 ∵ 90ABC ∠=︒，∴ 2124ABC ∠=∠-∠=︒． …………………………… 3分 ∵ AD=BC ，图1∴ BD=BC ．…………………………………………………………………………4分 ∴ 3C ∠=∠． ∴ 1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………………………………… 5分 20.解： 2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+- ………………………………………………………………… 3分 13x =-．……………………………………………………………………………… 4分 当5x =-时，原式18=-．……………………………………………………………5分21. （1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，∴ DE=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ， 可得 1ACD ∠=∠．∵ 1tan 2ACD ∠=， ∴ 1tan 1tan 2ACD ∠=∠=． ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =2，1tan 12∠=， ∴ 4tan 1ACBC ==∠． ∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分 23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为(4,)A n -，点C 与点A 关于原点O 对称， ∴ 点C 的坐标为(4,)C n -．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为(4,0)B -，(4,0)D ． ∵ △ABD 的面积为8，11()8422ABDSAB BD n n =⨯=⨯-⨯=-， ∴ 48n -=．解得 2n =-． …………………………………………………………… 2分∵ 函数my x=（0x <）的图象经过点(4,)A n -， ∴ 48m n =-=．…………………………………………………………… 3分 （2）由（1）得点C 的坐标为(4,2)C ．① 如图4，当0k <时，设直线y kx b =+与x 轴， y 轴的交点分别为点1E ，1F ． 由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥1OF ． ∴ △1E CD ∽△1E 1F O ． ∴1111E CDC OF E F =． ∵ 112CF CE =， ∴113DC OF =． ∴ 136OF DC ==．∴ 点1F 的坐标为1(0,6)F ．图4图3②如图5，当0k >时，设直线y kx b =+与x 轴，y 轴的交点分别为 点2E ，2F ． 同理可得CD ∥2OF ，2222E CDC OF E F =． ∵ 222CF CE =，∴ 2E 为线段2CF 的中点，222E C E F =． ∴ 22OF DC ==．∴ 点2F 的坐标为2(0,2)F -．…………6分综上所述，点F 的坐标为1(0,6)F ，2(0,2)F -．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形．∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒．∴ 11302DCA ∠=∠=︒． ∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ 180120DCF D ∠=︒-∠=︒． ∴ 190OCF DCF ∠=∠-∠=︒． ∴ FG ⊥OC ．∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形． ∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．图6 图5由（1）得∠DCG= 60︒，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a =⋅︒=．∴ 52FH CH CF a =+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF= 90︒，∴2tan 52EH EFC FH a ∠=== …………………………………… 5分25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②11)a ．………………… 2分③211)a ．…………………3分 ④111)n a -．……………… 4分（2）所画正方形CHIJ 见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）2x =.…………………………… 1分（2）∵ 抛物线 241y ax ax a =-+-的对称轴为直线2x =，抛物线M 与x 轴的交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为(1,0)A ，(3,0)B .……………………………… 2分 ∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将(1,0)A 的坐标代入抛物线的函数表达式，得410a a a -+-=.解得 12a =-. ………………………………………………………………… 3分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分（3）54k >. ………………………………………………………………………… 6分27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ． ∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802BQE QBE ∠=︒-∠1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分②CE AC +=．……………………………………………………… 3分 证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC于点H ．∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上， ∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α， ∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC ． 又∵ AF =CE ，QA=QE ， ∴ △QAF ≌△QEC ． ∴ QF=QC ．∵ QH ⊥AC 于点H ， ∴ FH=CH ，CF=2CH ．∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点Q 在CD 上，∴ ∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形． ∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=． ∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH ==．即CE AC +=． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+==．图10图9（2）如图12，当30°＜α＜60°时，AC CE -=．………………………… 7分 28.解：（1）①3-． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤Q L……………………………………………………………… 2分 （2）设直线+3y x =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B，可得A ， (0,3)B ．∴OA =3OB =，30OAB ∠=︒． 由0≤Q L，作直线y =． ①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ， 可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO=． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴1AE =11OE OA AE =-=． ∴1D x =②如图14，当⊙D与直线y =相切时， 相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到 最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y =与直线+3y =的 图11 图12 图13交点为F ．可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos 22AF OA OAF =⋅∠==． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 21D F =． ∴ 2272AD AF D F =-=． ∴ 22cos AE AD OAF =⋅∠72==，22OE OA AE =-=∴2D x ． 由①②可得，D x≤D x≤ ………………………………………… 5分（3）画图见图15．．…………………………………………… 7分。
2018北京各区初中数学二模分类汇编27号题和答案
2018北京各区初中数学二模分类汇编27号题及答案门头沟 27. 如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点E 为CB 边的延长线上一点，点F 是线段AE 的中点，过点F 作AE 的垂线交BD 于点M ,连接ME 、MC . （1）根据题意补全图形，猜想MEC ∠与MCE ∠的数量关系并证明； （2）连接FB ，判断FB 、FM 之间的数量关系并证明.西城27. 如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.平谷27．正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，作∠CBD 的角平分线BE ，分别交CD ，OC 于点E ，F ．（1）依据题意，补全图形（用尺规作图，保留作图痕迹）；（2）求证：CE=CF ； （3）求证：DE =2OF ．顺义27．在等边ABC △外侧作直线AM ，点C 关于AM 的对称点为D ，连接BD 交AM于点E ,连接CE ，CD ，AD ．（1）依题意补全图1，并求BEC ∠的度数； （2）如图2 ，当30MAC ∠=︒时，判断线段BE 与DE 之间的数量关系，并加以证明； （3）若0120MAC ︒<∠<︒，当线段2DE BE =时，直接写出MAC ∠的度数．图1MCBA东城27. 如图所示，点P 位于等边ABC △的内部，且∠ACP =∠图2MEDCBACBP ．(1) ∠BPC 的度数为________°；(2) 延长BP 至点D ，使得PD =PC ，连接AD ，CD ．①依题意，补全图形； ②证明：AD +CD =BD ；(3) 在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．房山27. 已知AC =DC ，AC ⊥DC ，直线MN 经过点A ，作DB ⊥MN ，垂足为B ，连接CB . （1）直接写出∠D 与∠MAC 之间的数量关系;（2）① 如图1，猜想AB ，BD 与BC 之间的数量关系，并说明理由；② 如图2，直接写出AB ，BD 与BC 之间的数量关系；（3）在MN 绕点A 旋转的过程中，当∠BCD =30°，BC 的值.昌平27.如图，在△ABC 中，AB =AC >BC ，BD 是AC 边上的高，点C 关于直线BD 的对称点为点E ，连接BE .图1图2（1） ①依题意补全图形；②若∠BAC =α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）； （2） 若DE =2AE ，点F 是BE 中点，连接AF ，BD =4，求AF 的长.（备用图）海淀27．如图，在等边ABC △中， ,D E 分别是边,AC BC 上的点，且C D C E= ,30DBC ∠<︒ ，点C 与点F 关于BD 对称，连接,AF FE ，FE 交BD 于G .（1）连接,DE DF ，则,D ED F之间的数量关系是 ；（2）若DBC α∠=，求FEC ∠的大小; （用α的式子表示） （2）用等式表示线段,BG GF 和FA 之间的数量关系，并证明.石景山27．在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点M 是线段BC 的中点，点N 在射线MB 上，连接AN ，平移△ABN ，使点N 移动到点M ，得到△DEM （点D 与点A 对应，点E 与点B 对应），DM 交AC 于点P ．（1）若点N 是线段MB 的中点，如图1．① 依题意补全图1；② 求DP 的长；（2）若点N 在线段MB 的延长线上，射线DM 与射线AB 交于点Q ，若MQ =DP ，求D CB A DCB AGFEDCBA怀柔27.在△ABC 中，AB=BC =AC ，点M 为直线BC 上一个动点（不与B ，C 重合），连结AM ，将线段AM 绕点M 顺时针旋转60°，得到线段MN ，连结NC .(1)如果点M 在线段BC 上运动. ①依题意补全图1；②点M 在线段BC 上运动的过程中，∠MCN 的度数是否确定？如果确定，求出∠MCN 的度数；如果不确定，说明理由；(2)如果点M 在线段CB 的延长线上运动，依题意补全图2，在这个过程中，∠MCN 的度数是否确定？如果确定，直接写出∠MCN 的度数；如果不确定，说明理由.朝阳27.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，M 是BC 的中点，延长AM 到点D ，AE = AD ，∠EAD =90°，CE 交AB 于点F ，CD =DF . （1）∠CAD = 度； （2）求∠CDF 的度数；（3）用等式表示线段CD 和CE 之间的数量关系，并证明.BA AB丰台27．如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，连接EF ，交对角线BD 于点G ，连接AG ． （1）根据题意补全图形；（2）判定AG 与EF 的位置关系并证明；（3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG 的长．答案门头沟 27．（本小题满分7分）（1）补全图形正确 ……………………………………………1分 MEC ∠=MCE ∠ ………………………………………2分 证明：连接AM∵点F 是AE 的中点，FM AE ⊥A B CE D∴MA ME =∵点A 、点C 是关于正方形ABCD 对角线BD 所在直线的对称点 ∴MA MC =………………………………………3分 ∴ME MC =∴MEC ∠=MCE ∠………………………………………4分 （2）数量关系：FB FM = ……………………5分 ∵点M 在正方形对角线上，可得MAD MCD △≌△∴MAD ∠=MCD ∠ ∵MEC ∠=MCE ∠∴90MEC MAD DCM MCE ∠+∠=∠+∠=︒ ∵AD CE ∥∴180DAE CEA ∠+∠=︒ ∴90MAE MEA ∠+∠=︒ ∴90AME ∠=︒∴EMA △是等腰直角三角形……………………6分 ∴12FM AE = ∵12FB AE =∴FB FM = ……………………7分西城27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ． ∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得， ∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802BQE QBE ∠=︒-∠1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分②CE AC +=．……………………………………………………… 3分图9证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC 于点H ． ∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上，∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α， ∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC ． 又∵ AF =CE ，QA=QE ， ∴ △QAF ≌△QEC ． ∴ QF=QC ．∵ QH ⊥AC 于点H ， ∴ FH=CH ，CF=2CH ．∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点Q 在CD 上，∴ ∠ACQ=12ACB∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形．∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH ==．即CE AC +=． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，AC CE -=．………………………… 7分平谷27．（1）如图 (1)图10图11 图12y yxx E DMCBA（2）证明：∵BE 平分∠CBD ，∴∠CBE =∠DBE ． ························ 2 ∵正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴∠BOC =∠BCD =90°．∵∠CBE +∠CEB =90°， ∠DBE +∠BFO =90°，∴∠CEB =∠BFO ． ························ 3 ∵∠EFC =∠BFO ， ∴∠EFC =∠CEB ．∴CF=CE ． ··························· 4 （3）证明：取BE 的中点M ，连接OM ． ···················· 5 ∵O 为AC 的中点，∴OM ∥DE ， DE =2OM ． ...................... 6 ∴∠OMF =∠CEF ．∵∠OFM =∠EFC =∠CEF ， ∴∠OMF =∠OFM ．∴OF=OM ． ∴DE =2OF ． (7)顺义27．解：（1）补全图形如右图： …………………………………………………… 1分依题意显然可以得出AD =AC ,∠=∠=DAE CAE x ,∠=∠DEM CEM ． ∵等边ABC △，∴AB =AC ，60∠=︒BAC ．∴AB =AD ．∴∠=∠=ABD ADB y ．在△ABD 中，2260180++︒=︒x y ， ∴60+=︒x y ．∴60∠=∠=+=︒DEM CEM x y ．∴60∠=︒BEC ．………………………………………………………… 4分（2）判断：2=BE DE ．证明：∵30MAC ∠=︒，结合（1）中证明过程，显然可以得出30∠=︒ABD , 又∵等边ABC △, ∴60∠=︒ABC ． ∴30∠=︒DBC ． 又∵60∠=︒BEC , ∴90∠=︒ECB ． ∴2=BE CE ．∵=CE DE , ∴2=BE DE ．（3）90∠=︒MAC ．………………………………………………………… 7分 4东城 27. 解：(1)120°. ---------------------------------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边ABC △中，60ACB ∠=︒， ∴60.ACP BCP ∠+∠=︒ ∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=︒∴()180120.BPC CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒ ∴18060.CPD BPC ∠=︒-∠=︒ ∵=PD PC ，∴CDP △为等边三角形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒， ∴.ACD BCP ∠=∠ 在ACD △和BCP △中，AC BC ACD BCP CD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴()SAS ACD BCP △≌△. ∴.AD BP = ∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------------------------------4分（3）如图2，作BM AD ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N .∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒， ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒ ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒∴=2BM BN BD == 又由（2）得，=2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BMCD BN =+()2AD CD =+22==----------------------------------------------------------7分房山27. 解：（1）相等或互补；………………………………………………2分 （注：每个1分）（2）① 猜想：BD +AB =2BC …………………………………………………………3分如图1，在射线AM 上截取AE =BD ，连接CE .又∵∠D =∠EAC ，CD =AC ∴△BCD ≌△ECA ∴BC =EC ,∠BCD =∠ECA ∵AC ⊥CD ∴∠ACD =90° 即∠ACB +∠BCD =90° ∴∠ACB +∠ECA =90° 即∠ECB =90° ∴BE =2BC ∵AE +AB =BE =2BC∴BD +AB =2BC ……………………………………………………………4分 ② AB －BD =2BC ……………………………………………………………5分 （3）BC =3+1 或3－1 ……………………………………………………………7分 昌平27．如图，在△ABC 中，AB =AC >BC ，BD 是AC 边上的高，点C 关于直线BD 的对称点为点E ，连接BE . （1）①补全图形；②若∠BAC =α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）； （2）若DE =2AE ，点F 是BE 中点，连接AF ，BD =4，求AF 的长. （1）解：①如图． ……………………… 1分 ②∵ AB =AC ，∠BAC =α，M图1DBAE∴ ∠ABC =∠ACB =90°-12α．∵点C 关于直线BD 的对称点为点E ，BD 是AC 边上的高.∴ BD ⊥CE ，CD =DE ． ∴ BE =BC ．∴ ∠BEC =∠ACB =90°-12α． …………………… 2分 ∴∠DBE =12α．……………… 3分（2）解：作FG ⊥AC 于G ， ∵BD ⊥CE ，∴FG ∥BD∵点F 是BE 中点，∴EG =DG ．∴1FG=BD 2…………4分 ∵DE =2AE ，∴AE =EG =DG ．……………… 5分 设AE =EG =DG=x ，则CD =DE=2x ，AC =5x ，∴AB=AC =5x ．∴BD =4x ． ∵BD =4，∴x =1．……………… 6分 ∴AG =2．∵1FG=BD 2=2， ∴AF= 7分海淀 27．（1）DE DF =；（2）解：连接DE ，DF ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴60C ∠=︒. ∵DBC α∠=， ∴120BDC α∠=︒-. ∵点C 与点F 关于BD 对称，∴120BDF BDC α∠=∠=︒-，DF DC =. ∴1202FDC α∠=︒+. 由（1）知DE DF =.∴F ，E ，C 在以D 为圆心，DC 为半径的圆上.EABCDFG GFED CBA∴1602FEC FDC ∠=∠=︒+α.（3）BG GF FA =+.理由如下： 连接BF ，延长AF ，BD 交于点H ， ∵△ABC 是等边三角形，∴60ABC BAC ∠=∠=︒，AB BC CA ==. ∵点C 与点F 关于BD 对称， ∴BF BC =，FBD CBD ∠=∠. ∴BF BA =. ∴BAF BFA ∠=∠. 设CBD α∠=， 则602ABF α∠=︒-. ∴60BAF α∠=︒+. ∴FAD α∠=.∴FAD DBC ∠=∠. 由（2）知60FEC α∠=︒+. ∴60BGE FEC DBC ∠=∠-∠=︒.∴120FGB ∠=︒，60FGD ∠=︒.四边形AFGB 中，360120AFE FAB ABG FGB ∠=︒-∠-∠-∠=︒. ∴60HFG ∠=︒.∴△FGH 是等边三角形. ∴FH FG =，60H ∠=︒. ∵CD CE =， ∴DA EB =.在△AHD 与△BGE 中，,,.AHD BGE HAD GBE AD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△△AHD BGE ≅.HGFEDCBA∴BG AH=.∵AH HF FA GF FA=+=+，∴BG GF FA=+．石景山27．解：（1）①如图1，补全图形. ………………… 1分②连接AD，如图2.在Rt△ABN中,∵∠B=90°，AB=4，BN=1，∴17=AN.∵线段AN平移得到线段DM，∴DM=AN=17，AD=NM=1，AD∥MC，∴△ADP∽△CMP.∴21==MCADMPDP.∴317=DP.………………… 3分（2）连接NQ，如图3.由平移知：AN∥DM，且AN=DM.∵MQ DP=，∴PQ DM=.∴AN∥PQ，且AN=PQ.∴四边形ANQP是平行四边形.∴NQ∥AP.∴45BQN BAC∠=∠=︒.又∵90NBQ ABC∠=∠=︒，∴BN BQ=.∵AN∥MQ，∴AB NBBQ BM=.又∵M是BC的中点，且4AB BC==∴42NBNB=.∴NB=舍负).∴ME BN==∴2CE= (7)（2）法二，连接AD，如图4.图1图2A B 设CE 长为x ，∵线段AB 移动到得到线段DE ， ∴4+==x BE AD ，AD ∥BM . ∴△ADP ∽△CMP . ∴24xMC AD MP DP +==. ∵MQ =DP ， ∴x xMP DP DP QD MQ 21042++=+=. ∵△QBM ∽△QAD ， ∴xAD BM QD MQ +==42. 解得222-=x .∴222-=CE . ………………… 7分27. (1)①补全图形，如图：…………………………………………….………………….…………………………………1分②点M 在线段BC 上运动的过程中，∠MCN 的度数确定，为120°理由如下：在AB 上取点P ，使得BP=BM ，连结PM ……………………………………………………2分∵BP =BM ，∠B =60º，∴△BPM 是等边三角形. ∴∠BPM =∠BMP =60º. ∴∠APM =120º.∴∠PAM +∠AMP =60º.∴∠PAM +∠AMP +∠BMP =120º.即∠PAM +∠AMB =120º. ∵AB=BC ， ∴AP=MC .∵∠AMN =60º， ∴∠AMB +∠NMC =120º. ∴∠PAM =∠NMC .又∵AM=MN ，∴△APM ≌△NMC .∴∠MCN =∠APM =120º………………5分 (2) 补全图形，如图……………………………………………………………….………………………6分B∠MCN =60º……………………………………………………………….……………………7分 朝阳27. 解：（1）45 ……………………………………………………………………………………1分（2）解：如图，连接DB.∵90 AB AC BAC =∠=，°，M 是BC 的中点， ∴∠BAD=∠CAD=45°.∴△BAD ≌△CAD . ………………………………2分 ∴∠DBA =∠DCA ，BD = CD . ∵CD =DF ,∴B D =DF . ………………………………………3分 ∴∠DBA =∠DFB =∠DCA . ∵∠DFB +∠DFA =180°, ∴∠DCA +∠DFA =180°. ∴∠BAC +∠CDF=180°.∠CDF =90°. …………………………………………………………………………4分 （3）CE =)1CD . ………………………………………………………………………5分证明：∵90 EAD ∠=°，∴∠EAF =∠DAF =45°. ∵AD =AE ，∴△EAF ≌△DAF . ……………………………………………………………………6分 ∴DF =EF .由②可知，CF . ∴CE =)1C D . ………………………………………………………………7分丰台27．解：（1）图形补全后如图…………………1分（2）结论：AG ⊥EF ． …………………2分证明：连接FD ，过F 点FM ∥BC ，交BD 的延长线于点M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=DA=DC=BC ，∠DAB =∠ABE =∠ADC =90°， ∠ADB =∠5=45°．∵线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ， ∴AE=AF ，∠FAE =90°．∴∠1=∠2．∴△FDA ≌△EBA ． …………………3分∴∠FDA =∠EBA =90°，FD=BE ．∵∠ADC =90°， ∴∠FDA +∠ADC =180°。
北京市西城区2018年6月九年级统一测试数学试卷((含答案))
北京市西城区2018年九年级统一测试数学试卷（6月份）一．选择题（共8小题，满分16分）1．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（）A．12cm B．12cm C．24cm D．24cm2．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．2a﹣a=1B．2a+b=2abC．（a4）3=a7D．（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a54．估计+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间5．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（）A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠1+∠3=180°D．∠3+∠4=180°6．如图，左、右并排的两棵树AB和CD，小树的高AB=6m，大树的高CD=9m，小明估计自己眼睛距地面EF=1.5m，当他站在F点时恰好看到大树顶端C点．已知此时他与小树的距离BF=2m，则两棵树之间的距离BD是（）A．1m B．m C．3m D．m7．某学校举行一场知识竞赛活动，竞赛共有4小题，每小题5分，答对给5分，答错或不答给0分，在该学校随机抽取若干同学参加比赛，成绩被制成不完整的统计表如下．成绩人数（频数）百分比（频率）50.2105150.42050.1根据表中已有的信息，下列结论正确的是（）A．共有40名同学参加知识竞赛B．抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为10分C．已知该校共有800名学生，若都参加竞赛，得0分的估计有100人D．抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为15分8．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．若x，y为实数，y=，则4y﹣3x的平方根是．10．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有个．11．如图，边长为6cm的正三角形内接于⊙O，则阴影部分的面积为（结果保留π）．12．5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为．13．若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是．14．抛物线y=2x2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为．15．如图，△ABC内接于⊙O，DA、DC分别切⊙O于A、C两点，∠A BC=114°，则∠ADC的度数为．16．我们知道，四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为．三．解答题（共12小题，满分68分）17．（5分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣|18．（5分）解方程：+﹣=1．19．（5分）如图，已知点D、E为△ABC的边BC上两点．AD=AE，BD=CE，为了判断∠B与∠C的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据．解：过点A作AH⊥BC，垂足为H．∵在△ADE中，AD=AE（已知）AH⊥BC（所作）∴DH=EH（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）又∵BD=CE（已知）∴BD+DH=CE+EH（等式的性质）即：BH=又∵（所作）∴AH为线段的垂直平分线∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）∴（等边对等角）20．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣2x﹣2=0．21．（5分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求tan∠BAF的值．22．（6分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．治理杨絮一一您选哪一项？（单选）A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树C．选育无絮杨品种，并推广种植D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮E．其他根据以上统计图，解答下列问题：（1）本次接受调查的市民共有人；（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是；（3）请补全条形统计图；（4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数．（x＞0）的图象上，23．（6分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．24．（5分）如图，⊙O中，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC=BC，连接BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）⊙O的半径为5，tanA=，求FD的长．25．（6分）【操作与发现】如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；【借鉴与应用】参考你画图构造全等三角形的方法解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，求证：CD=AB．26．（6分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣），顶点为P．（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．27．（7分）阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则BD=CE．（1）在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：（2）如图2，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求证：AD+CD=BD；（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC=∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．28．（7分）【定义】如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．【运用】如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）两点．（1）C（4，），D（4，），E（4，）三点中，点是点A，B关于直线x=4的等角点；（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan=；（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：如图，过A作AD⊥BF于D，∵∠ABD=45°，AD=12，∴AB===12，又∵Rt△ABC中，∠C=30°，∴AC=2AB=24，故选：D．2．【解答】解：不等式组的解集为x＜﹣1．故选：C．3．【解答】解：A、2a﹣a=a，故本选项错误；B、2a与b不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、（a4）3=a12，故本选项错误；D、（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5，故本选项正确．故选：D．4．【解答】解：∵2＜＜3，∴3＜+1＜4，故选：B．5．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，又∵∠5=∠4，∴∠3+∠4=180°，故选：D．6．【解答】解：由题意得：FB=EG=2m，AG=AB﹣BG=6﹣1.5=4.5m，CH=CD﹣DH=9﹣1.5=7.5m，∵AG⊥EH，CH⊥EH，∴∠AGE=∠CHE=90°，∵∠AEG=∠CEH，∴△AEG∽△CEH，∴==，即=，解得：GH=，则BD=GH=m，故选：B．7．【解答】解：∵5÷0.1=50（名），有50名同学参加知识竞赛，故选项A错误；∵成绩5分、15分、0分的同学分别有：50×0.2=10（名），50×0.4=20（名），50﹣10﹣5﹣20﹣5=10（名）∴抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为：=10，故选项B正确；∵0分同学10人，其频率为0.2，∴800名学生，得0分的估计有800×0.2=160（人），故选项C错误；∵第25、26名同学的成绩为10分、15分，∴抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为12.5分，故选项D错误．故选：B．8．【解答】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误．故选：B．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．【解答】解：∵与同时成立，∴故只有x2﹣4=0，即x=±2，又∵x﹣2≠0，∴x=﹣2，y==﹣，4y﹣3x=﹣1﹣（﹣6）=5，故4y﹣3x的平方根是±．故答案：±．10．【解答】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个，∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，∴=，解得：n=2．故答案为：2．11．【解答】解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H，则BH=HC=BC=3，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=30°，∴OB==2，OH=，∴阴影部分的面积=﹣×6×=4π﹣3，故答案为：（4π﹣3）cm2．12．【解答】解：设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意得：．故答案为：．13．【解答】解：如图所示：点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点；∵在△DAC中，根据三角形中位线定理知，HG∥AC且HG=AC，同理，在△ABC中，EF∥AC且EF=AC，∴HG∥EF∥AC，且HG=EF，∴四边形EFGH是平行四边形；同理，HE∥DB；当AC⊥BD时，HE⊥HG，∴▱EFGH是矩形；故答案为：AC⊥BD．14．【解答】解：∵y=2x2+4=2（x+0）2+4，∴抛物线y=2x2+4的顶点坐标是（0，4），∴将抛物线y=2x2+4向左平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，4），则平移后新抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+4．故答案是：y=2（x+2）2+415．【解答】解：如图，在⊙O上取一点K，连接AK、KC、OA、OC．∵∠AKC+∠ABC=180°，∵∠ABC=114°，∴∠AKC=66°，∴∠AOC=2∠AKC=132°，∵DA、DC分别切⊙O于A、C两点，∴∠OAD=∠OCB=90°，∴∠ADC+∠AOC=180°，∴∠ADC=48°故答案为48°．16．【解答】解：∵AD′=AD=2，AO=AB=1，∴OD′==，∵C′D′=2，C′D′∥AB，∴C′（2，），故答案为（2，）．三．解答题（共12小题，满分68分）17．【解答】解：原式=1﹣2×+1+=1﹣+1+=2．18．【解答】解：方程两边同乘（x+2）（x﹣2）得x﹣2+4x﹣2（x+2）=x2﹣4，整理，得x2﹣3x+2=0，解这个方程得x1=1，x2=2，经检验，x2=2是增根，舍去，所以，原方程的根是x=1．19．【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为H．∵在△ADE中，AD=AE（已知），AH⊥BC（所作），∴DH=EH（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）．又∵BD=CE（已知），∴BD+DH=CE+EH（等式的性质），即：BH=CH．又∵AH⊥BC（所作），∴AH为线段BC的垂直平分线．∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）．∴∠B=∠C（等边对等角）．20．【解答】解：原式=[﹣]÷=•=，∵x2﹣2x﹣2=0，∴x2=2x+2=2（x+1），则原式==．21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．AB=CD，∵AE=CF，∴BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：在Rt△BCF中，由勾股定理，得AD==5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠FAB，∴∠DAF=∠DFA，∴DF=AD=5，∴AB=8，∴tan∠BAF===．22．【解答】解：（1）本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人，故答案为：2000；（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是360°×=28.8°，故答案为：28.8°；（3）D选项的人数为2000×25%=500，补全条形图如下：（4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为90×40%=36（万人）．（x＞0）的图象上23．【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═∴k=8∴y1=∵a=2∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n解得∴y2=x﹣2②当y1＞y2＞0时，y1=图象在y2=x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方∴由图象得：2＜x＜4（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO∵O为AA′中点S△AOB =S△ABA′=8∵点A、B在双曲线上∴S△AOC=S△BOD∴S△AOB=S四边形ACDB=8由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）∴解得k=6（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）把A′代入到y=﹣∴n=∴A′D解析式为y=当x=a时，点D纵坐标为∴AD=∵AD=AF，∴点F和点P横坐标为∴点P纵坐标为∴点P在y1═（x＞0）的图象上24．【解答】解：（1）∵点G是AE的中点，∴OD⊥AE，∵FC=BC，∴∠CBF=∠CFB，∵∠CFB=∠DFG，∴∠CBF=∠DFG∵OB=OD，∴∠D=∠OBD，∵∠D+∠DFG=90°，∴∠OBD+∠CBF=90°即∠ABC=90°∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）连接AD，∵OA=5，tanA=，∴OG=3，AG=4，∴DG=OD﹣OG=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADF=90°，∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠FDG=90°∴∠DAG=∠FDG，∴△DAG∽△FDG∴，∴DG2=AG•FG，∴4=4FG，∴FG=1∴由勾股定理可知：FD=25．【解答】【操作与发现】如图1，作MNP=∠NMQ，截取NP=MN，连接PM，则△PMN为所作．【借鉴与应用】证明：构建△EAC≌△DCA，如图2，∴∠ECA=∠DAC，AE=CD，∠E=∠D，∵∠ACB+∠CAD=180°，∴∠ACB+∠ECA=180°，∴E点在BC的延长线上，∵∠B=∠D，∴∠E=∠B，∴AE=AB，∴AB=CD．26．【解答】解：（1）将（﹣3，0），（1，0），（0，﹣）代入抛物线解析式得∴解得：a=，b=1，c=﹣∴抛物线解析式：y=x2+x﹣（2）存在．∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2∴P点坐标为（﹣1，﹣2）∵△ABP的面积等于△ABE的面积，∴点E到AB的距离等于2，设E（a，2），∴a2+a﹣=2解得a 1=﹣1﹣2，a2=﹣1+2∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）（3）∵点A（﹣3，0），点B（1，0），∴AB=4若AB为边，且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB∥PF，AB=PF=4∵点P坐标（﹣1，﹣2）∴点F坐标为（3，﹣2），（﹣5，﹣2）∴平行四边形的面积=4×2=8若AB为对角线，以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB与PF互相平分设点F（x，y）且点A（﹣3，0），点B（1，0），点P（﹣1，﹣2）∴∴x=﹣1，y=2∴点F（﹣1，2）∴平行四边形的面积=×4×4=8综上所述：点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为8．27．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC，∴BD=EC．（2）证明：如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．∵DB=DE，∠BDC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE，∵AB=BC，∴△ABD≌△CBE，∴AD=EC，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．∴AD+CD=BD．（3）解：如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=m°．28．【解答】解：（1）点B关于直线x=4的对称点为B′（10，﹣）∴直线AB′解析式为：y=﹣当x=4时，y=故答案为：C（2）如图，过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P 作BH⊥l于点H∵点A和A′关于直线l对称∴∠APG=∠A′PG∵∠BPH=∠A′PG∴∠AGP=∠BPH∵∠AGP=∠BHP=90°∴△AGP∽△BHP∴，即∴mn=2，即m=∵∠APB=α，AP=AP′∴∠A=∠A′=在Rt△AGP中，tan（3）如图，当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q 由对称性可知：∠APQ=∠A′PQ，又∠APB=60°∴∠APQ=∠A′PQ=60°∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ∴△ABQ是等边三角形∵线段AB为定线段∴点Q为定点若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合∴直线y=ax+b（a≠0）过定点Q连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N∵A（2，），B（﹣2，﹣）∴OA=OB=∵△ABQ是等边三角形∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=∴∠AOM+∠NOD=90°又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO∵∠AMO=∠ONQ=90°∴△AMO∽△ONQ∴∴∴ON=2，NQ=3，∴Q点坐标为（3，﹣2）设直线BQ解析式为y=kx+b将B、Q坐标代入得解得∴直线BQ的解析式为：y=﹣设直线AQ的解析式为：y=mx+n将A、Q两点代入解得∴直线AQ的解析式为：y=﹣3若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时，b=﹣若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，b=7又∵y=ax+b（a≠0），且点P位于AB右下方∴b＜﹣且b≠﹣2或b＞。
2018.6北京市西城区中考数学模拟试卷及解析
西城区2018年6月中考统一测试数学试卷一．选择题（共8小题，满分16分）1．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（）A．12cm B．12cm C．24cm D．24cm2．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．2a﹣a=1B．2a+b=2abC．（a4）3=a7D．（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a54．估计+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间5．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（）A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠1+∠3=180°D．∠3+∠4=180°6．如图，左、右并排的两棵树AB和CD，小树的高AB=6m，大树的高CD=9m，小明估计自己眼睛距地面EF=1.5m，当他站在F点时恰好看到大树顶端C点．已知此时他与小树的距离BF=2m，则两棵树之间的距离BD是（）A．1m B．m C．3m D．m7．某学校举行一场知识竞赛活动，竞赛共有4小题，每小题5分，答对给5分，答错或不答给0分，在该学校随机抽取若干同学参加比赛，成绩被制成不完整的统计表如下．成绩人数（频数）百分比（频率）50.2105150.42050.1根据表中已有的信息，下列结论正确的是（）A．共有40名同学参加知识竞赛B．抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为10分C．已知该校共有800名学生，若都参加竞赛，得0分的估计有100人D．抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为15分8．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m=160；③点H的坐标是（7，80）；④n=7.5．其中说法正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．若x，y为实数，y=，则4y﹣3x的平方根是．10．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有个．11．如图，边长为6cm的正三角形内接于⊙O，则阴影部分的面积为（结果保留π）．12．5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为．13．若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是．14．抛物线y=2x2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为．15．如图，△ABC内接于⊙O，DA、DC分别切⊙O于A、C两点，∠A BC=114°，则∠ADC的度数为．16．我们知道，四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB 在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为．三．解答题（共12小题，满分68分）17．（5分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣|18．（5分）解方程：+﹣=1．19．（5分）如图，已知点D、E为△ABC的边BC上两点．AD=AE，BD=CE，为了判断∠B与∠C的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据．解：过点A作AH⊥BC，垂足为H．∵在△ADE中，AD=AE（已知）AH⊥BC（所作）∴DH=EH（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）又∵BD=CE（已知）∴BD+DH=CE+EH（等式的性质）即：BH=又∵（所作）∴AH为线段的垂直平分线∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）∴（等边对等角）20．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣2x﹣2=0．21．（5分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求tan∠BAF的值．22．（6分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．治理杨絮一一您选哪一项？（单选）A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树C．选育无絮杨品种，并推广种植D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮E．其他根据以上统计图，解答下列问题：（1）本次接受调查的市民共有人；（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是；（3）请补全条形统计图；（4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数．23．（6分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．①分别求函数y1、y2的表达式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；（3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．24．（5分）如图，⊙O中，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交⊙O于点D，连接BD 交AE于点F，延长AE至点C，使得FC=BC，连接BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）⊙O的半径为5，tanA=，求FD的长．25．（6分）【操作与发现】如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；【借鉴与应用】参考你画图构造全等三角形的方法解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，求证：CD=AB．26．（6分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣），顶点为P．（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．27．（7分）阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则BD=CE．（1）在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：（2）如图2，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求证：AD+CD=BD；（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC=∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．28．（7分）【定义】如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．【运用】如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）两点．（1）C（4，），D（4，），E（4，）三点中，点是点A，B关于直线x=4的等角点；（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan=；（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：如图，过A作AD⊥BF于D，∵∠ABD=45°，AD=12，∴AB===12，又∵Rt△ABC中，∠C=30°，∴AC=2AB=24，故选：D．2．【解答】解：不等式组的解集为x＜﹣1．故选：C．3．【解答】解：A、2a﹣a=a，故本选项错误；B、2a与b不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、（a4）3=a12，故本选项错误；D、（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5，故本选项正确．故选：D．4．【解答】解：∵2＜＜3，∴3＜+1＜4，故选：B．5．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，又∵∠5=∠4，∴∠3+∠4=180°，故选：D．6．【解答】解：由题意得：FB=EG=2m，AG=AB﹣BG=6﹣1.5=4.5m，CH=CD﹣DH=9﹣1.5=7.5m，∵AG⊥EH，CH⊥EH，∴∠AGE=∠CHE=90°，∵∠AEG=∠CEH，∴△AEG∽△CEH，∴==，即=解得：GH=，则BD=GH=m，故选：B．7．【解答】解：∵5÷0.1=50（名），有50名同学参加知识竞赛，故选项A错误；∵成绩5分、15分、0分的同学分别有：50×0.2=10（名），50×0.4=20（名），50﹣10﹣5﹣20﹣5=10（名）∴抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为：=10，故选项B正确；∵0分同学10人，其频率为0.2，∴800名学生，得0分的估计有800×0.2=160（人），故选项C错误；∵第25、26名同学的成绩为10分、15分，∴抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为12.5分，故选项D错误．故选：B．8．【解答】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误．故选：B．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．【解答】解：∵与同时成立，∴故只有x2﹣4=0，即x=±2，又∵x﹣2≠0，∴x=﹣2，y==﹣，4y﹣3x=﹣1﹣（﹣6）=5，故4y﹣3x的平方根是±．故答案：±．10．【解答】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个，∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，∴=，解得：n=2．故答案为：2．11．【解答】解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H，则BH=HC=BC=3，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=30°，∴OB==2，OH=，∴阴影部分的面积=﹣×6×=4π﹣3，故答案为：（4π﹣3）cm2．12．【解答】解：设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意得：．故答案为：．13．【解答】解：如图所示：点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点；∵在△DAC中，根据三角形中位线定理知，HG∥AC且HG=AC，同理，在△ABC中，EF∥AC且EF=AC，∴HG∥EF∥AC，且HG=EF，∴四边形EFGH是平行四边形；同理，HE∥DB；当AC⊥BD时，HE⊥HG，∴▱EFGH是矩形；故答案为：AC⊥BD．14．【解答】解：∵y=2x2+4=2（x+0）2+4，∴抛物线y=2x2+4的顶点坐标是（0，4），∴将抛物线y=2x2+4向左平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，4），则平移后新抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+4．故答案是：y=2（x+2）2+415．【解答】解：如图，在⊙O上取一点K，连接AK、KC、OA、OC．∵∠AKC+∠ABC=180°，∵∠ABC=114°，∴∠AKC=66°，∴∠AOC=2∠AKC=132°，∵DA、DC分别切⊙O于A、C两点，∴∠OAD=∠OCB=90°，∴∠ADC+∠AOC=180°，∴∠ADC=48°故答案为48°．16．【解答】解：∵AD′=AD=2，AO=AB=1，∴OD′==，∵C′D′=2，C′D′∥AB，∴C′（2，），故答案为（2，）．三．解答题（共12小题，满分68分）17．【解答】解：原式=1﹣2×+1+=1﹣+1+=2．18．【解答】解：方程两边同乘（x+2）（x﹣2）得x﹣2+4x﹣2（x+2）=x2﹣4，整理，得x2﹣3x+2=0，解这个方程得x1=1，x2=2，经检验，x=2是增根，舍去，2所以，原方程的根是x=1．19．【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为H．∵在△ADE中，AD=AE（已知），AH⊥BC（所作）∴DH=EH（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）．又∵BD=CE（已知），∴BD+DH=CE+EH（等式的性质），即：BH=CH．又∵AH⊥BC（所作），∴AH为线段BC的垂直平分线．∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）．∴∠B=∠C（等边对等角）．20．【解答】解：原式=[﹣]÷=•=，∵x2﹣2x﹣2=0，∴x2=2x+2=2（x+1），则原式==．21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．AB=CD，∵AE=CF，∴BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：在Rt△BCF中，由勾股定理，得AD==5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠FAB，∴∠DAF=∠DFA，∴DF=AD=5，∴AB=8，∴tan∠BAF===．22．【解答】解：（1）本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人，故答案为：2000；（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是360°×=28.8°，故答案为：28.8°；（3）D选项的人数为2000×25%=500，补全条形图如下：（4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为90×40%=36（万人）．23．【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上∴k=8∴y1=∵a=2∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n解得∴y2=x﹣2②当y1＞y2＞0时，y1=图象在y2=x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方∴由图象得：2＜x＜4（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO∵O为AA′中点S △AOB =S △ABA′=8∵点A、B 在双曲线上∴S △AOC =S △BOD∴S △AOB =S 四边形ACDB =8由已知点A、B 坐标都表示为（a，）（3a，）∴解得k=6（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）把A′代入到y=﹣∴n=∴A′D 解析式为y=当x=a 时，点D 纵坐标为∴AD=∵AD=AF，∴点F 和点P 横坐标为∴点P 纵坐标为∴点P 在y 1═（x＞0）的图象上24．【解答】解：（1）∵点G是AE的中点，∴OD⊥AE，∵FC=BC，∴∠CBF=∠CFB，∵∠CFB=∠DFG，∴∠CBF=∠DFG∵OB=OD，∴∠D=∠OBD，∵∠D+∠DFG=90°，∴∠OBD+∠CBF=90°即∠ABC=90°∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）连接AD，∵OA=5，tanA=，∴OG=3，AG=4，∴DG=OD﹣OG=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADF=90°，∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠FDG=90°∴∠DAG=∠FDG，∴△DAG∽△FDG∴，∴DG2=AG•FG，∴4=4FG，∴FG=1∴由勾股定理可知：FD=25．【解答】【操作与发现】如图1，作MNP=∠NMQ，截取NP=MN，连接PM，则△PMN为所作．【借鉴与应用】证明：构建△EAC≌△DCA，如图2，∴∠ECA=∠DAC，AE=CD，∠E=∠D，∵∠ACB+∠CAD=180°，∴∠ACB+∠ECA=180°，∴E点在BC的延长线上，∵∠B=∠D，∴∠E=∠B，∴AE=AB，∴AB=CD．26．【解答】解：（1）将（﹣3，0），（1，0），（0，﹣）代入抛物线解析式得∴解得：a=，b=1，c=﹣∴抛物线解析式：y=x2+x﹣（2）存在．∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2∴P点坐标为（﹣1，﹣2）∵△ABP的面积等于△ABE的面积，∴点E到AB的距离等于2，设E（a，2），∴a2+a﹣=2解得a1=﹣1﹣2，a2=﹣1+2∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）（3）∵点A（﹣3，0），点B（1，0），∴AB=4若AB为边，且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB∥PF，AB=PF=4∵点P坐标（﹣1，﹣2）∴点F坐标为（3，﹣2），（﹣5，﹣2）∴平行四边形的面积=4×2=8若AB为对角线，以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB与PF互相平分设点F（x，y）且点A（﹣3，0），点B（1，0），点P（﹣1，﹣2）∴∴x=﹣1，y=2∴点F（﹣1，2）∴平行四边形的面积=×4×4=8综上所述：点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为8．27．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC，∴BD=EC．（2）证明：如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．∵DB=DE，∠BDC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE，∵AB=BC，∴△ABD≌△CBE，∴AD=EC，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．∴AD+CD=BD．（3）解：如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=m°．28．【解答】解：（1）点B关于直线x=4的对称点为B′（10，﹣）∴直线AB′解析式为：y=﹣当x=4时，y=故答案为：C（2）如图，过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P 作BH⊥l于点H∵点A和A′关于直线l对称∴∠APG=∠A′PG∵∠BPH=∠A′PG∴∠AGP=∠BPH∵∠AGP=∠BHP=90°∴△AGP∽△BHP∴，即∴mn=2，即m=∵∠APB=α，AP=AP′∴∠A=∠A′=在Rt△AGP中，tan（3）如图，当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q 由对称性可知：∠APQ=∠A′PQ，又∠APB=60°∴∠APQ=∠A′PQ=60°∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ∴△ABQ是等边三角形∵线段AB为定线段∴点Q为定点若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合∴直线y=ax+b（a≠0）过定点Q连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N ∵A（2，），B（﹣2，﹣）∴OA=OB=∵△ABQ是等边三角形∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=∴∠AOM+∠NOD=90°又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO∵∠AMO=∠ONQ=90°∴△AMO∽△ONQ∴∴∴ON=2，NQ=3，∴Q点坐标为（3，﹣2）设直线BQ解析式为y=kx+b将B、Q坐标代入得解得∴直线BQ的解析式为：y=﹣设直线AQ的解析式为：y=mx+n将A、Q两点代入解得∴直线AQ的解析式为：y=﹣3若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时，b=﹣若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，b=7又∵y=ax+b（a≠0），且点P位于AB右下方∴b＜﹣且b≠﹣2或b＞。
2018-2019学年北京市西城区2019届九年级二模数学试题(WORD版含答案)
北京市西城区九年级模拟测试数学试卷2019.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项．．只有一个. 1．如图所示，用量角器度量∠AOB 和∠AOC 的度数. 下列说法中，正确的是A ．∠AOB =110° B ．∠AOB =∠AOC C ．∠AOB +∠AOC =90°D ．∠AOB +∠AOC =180°2．改革开放四十年来，北京市民的收入随着经济水平的发展而显著提高. 从储蓄数据来看，2017年北京市民的人民币储蓄存款余额约为2 980 000 000 000元，大致为1978年的3200倍. 将2 980 000 000 000用科学记数法表示应为A ．130.29810⨯B ．122.9810⨯C ．1129.810⨯D ．102.9810⨯3．下列图案中，可以看作是轴对称图形又是中心对称图形的是A.B.C.D.4．实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，则实数a 可能是A ．3 B ．23 C ．22D ．105．某个几何体的三视图如右图所示，该几何体是A. B. C. D.6．5G 网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶. 据预测，2020年到2030O A B C年中国5G 直接经济产出和间接经济产出的情况如下图所示.根据上图提供的信息，下列推断不合理的是A ．2030年5G 间接经济产出比5G 直接经济产出多4.2万亿元B ．2020年到2030年，5G 直接经济产出和5G 间接经济产出都是逐年增长C ．2030年5G 直接经济产出约为2020年5G 直接经济产出的13倍D ．2022年到2023年与2023年到2024年5G 间接经济产出的增长率相同7．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题. 例如：如果a ＞2，那么a 2＞4. 下列命题中，具有以上特征的命题是 A ．两直线平行，同位角相等 B ．如果1a =，那么1a =C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x y ＞，那么mx my ＞8.平面直角坐标系x O y 中，点P （a ，b ）经过某种变换后得到的对应点为11'1,122P a b +-（）. 已知A ，B ，C 是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A ',B ',C '. 若△ABC 的面积为S 1，△A 'B 'C '的面积为S 2，则用等式表示S 1与S 2的关系为 A ．1212S S =B ．1214S S =C ．122S S =D ．124S S =二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若代数式2x +5在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 . 10. 若正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数是 .11. 有大小两种货车，1辆大货车与3辆小货车额定载重量的总和为23吨，2辆大货车与5辆小货车额定载重量的总和为41吨. 1辆大货车、1辆小货车的额定载重量分 别为多少吨？设1辆大货车的额定载重量为x 吨，1辆小货车的额定载重量为y 吨， 依题意，可以列方程组为 . 12. 已知y 是x 的函数，其函数图象经过（1，2），并且当x >0时，y 随x 的增大而减小.请写出一个满足上述条件的函数表达式： .13. 如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，C 是»BD 的中点，AB=CD . 若∠ODC =50°，则∠ABC 的度数为°.ABOD （第13题图）14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A)3,0(，B（-1，0），菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，其对角线BD的长为.15. 某水果公司新购进10000千克柑橘，每千克柑橘的成本为9元. 柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下：柑橘总重量n/千克50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘重量m/千克5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 柑橘损坏的频率mn0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103根据以上数据，估计柑橘损坏的概率为（结果保留小数点后一位）橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为元.16. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设正实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc（a，b，c，d都为正整数），即ba<x<dc，则b+da+c是x的更精确的不足近似值或过剩近似值. 已知π=3.14159···，且3110<p<165，则第一次使用“调日法”后得到π的近似分数是4715，它是π的更为精确的不足近似值，即4715<p<165. 那么第三次使用“调日法”后得到π的近似分数是.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：-(-5)-2cos45°+-+14æèçöø÷-1.18. 解方程：xx+1=1+1x.19.下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程.已知：平行四边形ABCD.求作：点M，使点M为边AD的中点.作法：如图，①作射线BA；②以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；③连接EC交AD于点M．所以点M就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，ED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//CD．∵AE= ，∴四边形EACD是平行四边形（）（填推理的依据）．∴AM=MD（）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边AD的中点．20. 已知关于x的一元二次方程x2-k+5()x+3k+6=0.（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于-2且小于0，k为整数，求k的值.21. 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，AD⊥CD. 点E在对角线CA的延长线上，连接BD，BE．（1）求证：AC=BD；（2）若BC=2，BE=13，tanÐABE=23，求EC的长.22.在平面直角坐标系x O y中,直线l：y=a x＋b与双曲线y=kx交于点A1,m()和B-2,-1()．点A关于x轴的对称点为点C．（1）①求k的值和点C的坐标；②求直线l的表达式；（2）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E．若30°£ÐCED£45°,直接写出点E的横坐标t的取值范围．23. 如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，且CA=BA．连接OC，过点A作AD⊥OC于点E，交⊙O于点D，连接DB．（1）求证：△ACE≌△BAD；（2）连接CB交⊙O于点M，交AD于点N．若AD=4，求MN的长．24.某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）与服药后的时间t（单位：小时）之间近似满足某种函数关系，下表是t0 1 2 3 4 6 8 10 …y0 2 4 2.83 2 1 0.5 0.25 …（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t，y），并补全该函数的图象；（2）结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为_______微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约_______小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为_______微克．25.某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.0 7.0≤x＜7.4 7.4≤x＜7.8 7.8≤x＜8.2 8.2≤x＜8.6 频数 2 m10 6 2 1b . 实心球成绩在7.0≤x ＜7.4这一组的是：7.0 7.0 7.0 7.1 7.1 7.1 7.2 7.2 7.3 7.3c . 一分钟仰卧起坐成绩如下图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1） ①表中m 的值为__________；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为__________； （2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如下：其中有名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这名女生中恰好有人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E 的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．26. 在平面直角坐标系xOy 中. 已知抛物线y =ax 2+bx +a -2的对称轴是直线x =1.（1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标； （2）已知点A 0,-4()，B 2,-3()，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是m ≤y ≤6，结合函女生代码 A B C D E F G H 实心球 8.1 7.7 7.5 7.5 7.3 7.2 7.0 6.5 一分钟仰卧起坐*4247*4752*49数图象，直接写出满足条件的m，n的值.27. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF=AE，连接DE，DF，EF. FH平分∠EFB交BD于点H.（1）求证：DE⊥DF；（2）求证：DH=DF：（3）过点H作HM⊥EF于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.28. 对于平面内的∠M A N 及其内部的一点P ，设点P 到直线A M ，A N 的距离分别为 d 1，d 2，称12d d 和21d d 这两个数中较大的一个为点P 关于∠MAN 的“偏率” .在平面直角坐标系xOy 中，（1）点M ，N 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点.①若点P 的坐标为（1，5），则点P 关于∠MON 的“偏率”为____________；②若第一象限内点Q（a，b）关于∠MON的“偏率”为1，则a，b满足的关系为____________；（2）已知点A（4，0），B（2，，连接OB，AB，点C是线段AB上一动点（点C不与点A，B重合）. 若点C关于∠AOB的“偏率”为2，求点C的坐标；（3）点E，F分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点，动点T的坐标为（t，4），⊙T是以点T为圆心，半径为1的圆. 若⊙T上的所有点都在第一象限，且关于∠EOF的“偏率”都大于t的取值范围.。
2018年北京市初三数学二模分类汇编-第5讲：四边形
第5讲 四边形【2018·西城二模】1. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH . 若AB=8，AD=6，则四边形EFGH 的周长等于 ．【答案】20【2018·昌平二模】2.如图，已知△ACB 中，∠ACB =90°，CE 是△ACB 的中线，分别过点A 、点C 作CE 和AB 的平行线，交于点D ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若CE=4，且∠DAE =60°，求△ACB 的面积．【答案】(1)证明：∵AD //CE ，CD //AE∴四边形AECD 为平行四边形 ……………………… 1分 ∵∠ACB =90°，CE 是△ACB 的中线∴CE=AE ………………………………… 2分 ∴四边形ADCE 是菱形 （2）解：∵CE=4，AE= CE=EB ∴AB =8，AE=4∵四边形ADCE 是菱形,∠DAE =60°∴∠CAE =30°………………………………… 3分 ∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB =30°， AB =83cos AC CAB AB ∠==142CB AB == ∴AC = 43 4分DECBADCBA∴1832ABC S AC BC ∆=⋅= 5分 【2018·朝阳二模】3.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 到E ，使DE =CD ，连接AE ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）连接OE ，若∠ABC =60°，且AD =DE =4，求OE 的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD . ∵DE ＝CD ， ∴AB ＝DE .∴四边形ABDE 是平行四边形. ………………………………2分（2）解：∵AD ＝DE ＝4，∴AD ＝AB ＝4.∴□ABCD 是菱形. ………………………………3分 ∴AB ＝BC ，AC ⊥BD ，BO ＝BD 21，∠ABO ＝ABC ∠21.又∵∠ABC ＝60°， ∴∠ABO ＝30°. 在Rt △ABO 中，2sin =∠⋅=ABO AB AO ，32cos =∠⋅=ABO AB BO .∴BD ＝34.∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ∥BD ，34==BD AE . 又∵AC ⊥BD ， ∴AC ⊥AE .在Rt △AOE 中，13222=+=AO AE OE . ……………………………5分【2018·东城二模】4．如图，在菱形ABCD 中，BAD α∠=，点E 在对角线BD 上. 将线段CE 绕点C 顺时针旋转α，得到CF ，连接DF . （1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ， 若EB =EC ，求证：AC CF ⊥. 【答案】(1) 证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴=BC DC ，BAD BCD α==∠∠. ∵ECF α=∠， ∴ BCD ECF ∠=∠. ∴=BCE DCF ∠∠.∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到， ∴=CE CF .在BEC △和DFC △中，BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BEC △≌()SAS DFC △.∴=.BE DF ----------------------------------------------------------------------2分 (2) 解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ACB ACD ∠=∠，AC BD ⊥. ∴+90ACB EBC ∠=︒∠. ∵=EB EC ， ∴=EBC BCE ∠∠. 由（1）可知， ∵=EBC DCF ∠∠，∴+90DCF ACD EBC ACB ∠=∠+∠=︒∠. ∴90ACF =︒∠.∴AC CF . ---------------------------------------------------------------------5分【2018·房山二模】5. 已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA =EC ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果∠BDC =30°，DE =2，EC =3，求CD 的长．【答案】解：（1）∵AD =CD ,EA =EC ,DE =DE ∴△ADE ≌△CDE ∴∠ADE =∠CDE ∵AD ∥BC ∴∠ADB =∠DBC ∴∠DBC =∠BDC ∴BC =CD ∴AD =BC 又∵AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形…………………………………………………2′ ∵AD =CD∴四边形ABCD 是菱形…………………………………………………………3′（2）作EF ⊥CD 于F ∵∠BDC =30°，DE =2∴EF =1,DF = 3 ……………………………………………………………………4′ ∵CE =3 ∴CF =2 2∴CD =2 2 + 3 …………………………………………………………………5′【2018·丰台二模】6．如图，BD 是△ABC 的角平分线，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交BC 于点F ．（1）求证：四边形BEDF 为菱形； （2）如果∠A = 90°，∠C = 30°，BD = 12，求菱形BEDF 的面积．B【答案】（1）证明：∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形BEDF 为平行四边形………………1分∴∠1=∠3.∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠1=∠2. ∴∠2=∠3. ∴BF =DF .∴四边形BEDF 为菱形.………………………2分（2）解：过点D 作DG ⊥BC 于点G ，则∠BGD =90°.∵∠A =90°，∠C =30°，∴∠ABC =60°. 由（1）知，BF =DF ，∠2=30°，DF ∥AB ，∴∠DFG =∠ABC =60°. ∵BD =12，∴在Rt △BDG 中，DG=6.∴在Rt △FDG 中，DF=43 ………………………4分 ∴BF = DF=43∴S 菱形BEDF 243BF DG =⋅= ………………………5分 （其他证法相应给分）【2018·海淀二模】7．如图，在四边形ABCD 中，ABCD ， BD 交AC 于G ，E 是BD 的中点，连接AE 并延长，交CD 于点F ，F 恰好是CD 的中点.（1）求BGGD的值； （2）若CE EB =，求证：四边形ABCF 是矩形.【答案】（1）解：∵ AB ∥CD ，DEA EGF ABCDG 321A B CEDF∴ ∠ABE =∠EDC . ∵ ∠BEA =∠DEF ， ∴ △ABE ∽△FDE . ∴AB BEDF DE=. ∵ E 是BD 的中点， ∴ BE =DE .∴ AB =DF . ∵ F 是CD 的中点， ∴ CF =FD . ∴ CD =2AB .∵ ∠ABE =∠EDC ，∠AGB =∠CGD ， ∴ △ABG ∽△CDG . ∴12BG AB GD CD ==. （2）证明：∵ AB ∥CF ，AB =CF ，∴ 四边形ABCF 是平行四边形. ∵ CE =BE ，BE =DE ， ∴ CE =ED . ∵ CF =FD ，∴ EF 垂直平分CD . ∴ ∠CF A =90°.∴ 四边形ABCF 是矩形.【2018·石景山二模】8．如图，在四边形ABCD 中，45A ∠=︒，CD BC =， DE 是AB 边的垂直平分线，连接CE ．（1）求证：DEC BEC ∠=∠；（2）若8AB =，10BC =CE 的长．EGF ABCDA【答案】（1）证明：∵DE 是AB 边的垂直平分线， ∴DE AB ⊥，4AE EB ==， ………… 1分 ∵45A ∠=︒， ∴DE AE EB ==， 又∵DC CB =，CE CE =， ∴△EDC ≌△EBC .∴45DEC BEC ∠=∠=︒. ………… 2分 （2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ， 可得，CH EH =，设EH x =，则4BH x =-， 在Rt △CHB 中， 222CH BH BC +=， ……… 3分即22(4)10x x +-=，解之，13x =，21x =（不合题意，舍），………… 4分 即3EH =.∴232CE EH == ………… 5分【2018·西城二模】9. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ．（1）求证：四边形CDBE 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．【答案】（1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分 （2）解：DE=BC=4HCDE 图2【2018·海淀二模】10．如图，四边形ABCD 中，90C ∠=°，BD 平分ABC ∠，3AD =，E 为AB 上一点， 4AE =，5ED =，求CD 的长．【答案】 证明：∵3AD =，4AE =，5ED =，∴222AD AE ED +=.∴90A ∠=︒. ∴DA AB ⊥. ∵90C ∠=︒. ∴DC BC ⊥. ∵BD 平分ABC ∠， ∴DC AD =. ∵3AD =， ∴3CD =.E DCBA。
2018年西城区中考二模数学试题
2018年西城区中考二模数学试题2018.6一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1． -2019的倒数是A. 2018B. 20101-C. 20101D. -2019 2．在722，5，π和9四个实数中，其中的无理数是 A . 722和5 B. 722和π C . 9和5 D . 5 和π3．如图，⊙O 的半径为2，直线PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，若PA⊥PB ，则OP 的长为A ． 24B ． 4C ．22D ． 24．在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，把矩形OABC 绕着原点顺时针旋转90得到矩形OA B C '''，若OA =2，OC =4，则点B '的坐标为A ．(24)，B ．(24)-，C ．(42)，D ．(24)-，5．某班在开展 “节约每一滴水”的活动中，从全班40名同学中选出10名同学汇报了各自家庭一用所学的统计知识估计40名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是 A ．20 m3B ．52 m 3C ．60 m 3D ．100m36．有9张背面相同的卡片，正面分别印有下列几种几何图形．其中等腰三角形4张、平行四边形3张、圆形2张，现将9张卡片正面朝下洗匀任意摆放，从中任意抽取一张，抽到正面图形属于中心对称图形的卡片的概率是A ．95B ．92 C ．91 D ．17．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的侧面积为（ ） A ．π6B ．π12 C ．4π2D ．8π48．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是A ．222+ B ．52C 。
62D ． 6二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．在函数51-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 10．在□ABCD 中，E 为BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，若AB =7，CF =3，则CEAD = ．11．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分面积为 ．12．一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解分式方程：xxx -+=-3331. 14．已知关于x 的一元二次方程x 2―m x ―2=0．（1）对于任意实数m ，判断此方程根的情况，并说明理由； （2）当m =2时，求些方程的根．15．已知：如图，在正方形ABCD 中， 点E 在CD 边上，点F 在CB 的延长线上，且FA ⊥EA ．求证：DE =BF ．.16．已知1582=+x x ，求2)12()1(4)2)(2(++---+x x x x x 的值.17．如图，二次函数321++=bx ax y 的图象与x 轴相交于点A （－3，0）、B （1，0），交y 轴点C ，C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数n mx y +=2的图象经过B 、D 两点．（1）求二次函数的解析式及点D 的坐标； （2）根据图象写出12y y >时，x 的取值范围．18． 如图，在矩形ABCD 中， AB ＝6，∠BAC =30°，点E 在CD 边上．（1）若AE =4，求梯形ABCE 的面积；（2）若点F 在AC 上，且CEA BFA ∠=∠，求AEBF 的值．四、解答题（本题共20分，第19题6分，第20、21题每小题5分，第22题4分）A D CF BE19．为了积极应对全球金融危机，某地区采取宏观经济政策，启动了新一轮投资计划，该计划分为民生工程、基础建设、企业技改、重点工程等四个项目．图1表示这个投资计划的分项目统计图，图2表示该地区民生工程项目分类情况统计图．请你根据图1、图2所给信息，回答下列问题：（1） 在图1中，企业技改项目投资占总投资的百分比是多少？（2） 在图2中，如果“交通设施”投资且比“食品卫生”投资多850万元，且占“民生工程”的投资的25%，那么“交通设施”投资及“民生工程”投资各是多少万元？并补全图2；（3） 求该地区投资计划的总额约为多少万元？（精确到万元）20．《喜羊羊与灰太狼》是一部中、小学生都喜欢看的动画片，某企业获得了羊公仔和狼公仔的生产专利．该企业每天生产两种公仔共450只，两种公仔的成本和售价如下表所示．如果设每天生产羊公仔x 只，每天共获利y 元．（1）求出y 与x 之间的函数关系及自变量x 的取值范围；（2）如果该企业每天投入的成本不超过10000元，那么要每天获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？21．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ，连结EB 交OD 于点F ． （1）求证：OD ⊥BE ； （2）若DE =25，AB =25，求AE 的长．22. 如图，在△ABC 中，∠B =∠C =30°.请你设计两种不同的分法，将△ABC 分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．三角形，而另外两个是相似．．但不全等．．．的直角三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．已知：关于x 的一元二次方程04)4(2=-++-m x m x ，其中40<<m ． （1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）；（2）设抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），若点D 的坐标为（0，-2），且AD ·BD =10，求抛物线的解析式；（3）已知点E （a ，1y ）、F （2a ，y 2）、G （3a ，y 3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．24．在△ABC 中，点P 为BC 的中点．（1）如图1，求证：AP ＜21（AB +BC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ．①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥21DE ．25． 在平面直角坐标系中，将直线l ：2343--=x y 沿x 轴翻折，得到一条新直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将抛物线1C ：232x y =沿x 轴平移，得到一条新抛物线2C 与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F ． （1）求直线AB 的解析式；（2）若线段DF ∥x 轴，求抛物线2C 的解析式；（3）在（2）的条件下，若点F 在y 轴右侧，过F 作FH ⊥x 轴于点G ，与直线l 交于点H ，一条直线m （m 不过△AFH 的顶点）与AF 交于点M ，与FH 交于点N ，如果直线m 既平分△AFH 的面积，求直线m 的解析式．。
北京市西城区2018届中考数学复习模拟试卷及答案解析
初三下学期中考模拟数学测试卷20180320初三班学号姓名成绩一、选择题（每题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的．1．中共中央、国务院近日印发的《国家创新驱动发展战略纲要》强调，要增强企业创新能力，发展壮大创新型企业家群体，推动创新创业，激发全社会创造活力．据悉，2015年全社会研发资金达14000多亿元．将14000用科学计数法表示应为A．0.14×105B．1.4×104C．1.4×105D．0.14×1062．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下面结论正确的是c a bA．c＞a B．1＞0cC．a＜b D．a c＜03．在下列运算中，正确的是A．a2⋅a3=a5B．(a2)3=a5C．a6÷a2=a3D．a5+a5=2a104．如图，是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图为主视左视俯视A．B．C．D．5.如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是A.两点确定一条直线B AB.两点之间线段最短C.垂线段最短D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直6.已知，关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是A．m＜3B．m≤3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠27.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.6环，方差分别是S2=0.96，S2=1.12，S2=0.56，S2=1.58.在本次射击测试中，成绩最稳定的是甲乙丙丁A.甲B.乙C.丙D.丁8.一个观察员要到如图1所示的A，B，C，D四个观测点进行观测，行进路线由在同一平面上的AB，BC，CD，DA，AC，BD组成.为记录观察员的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设观察员行进的路程为x，观察员与定位仪器之间的距离为y，若观察员匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员的行进路线可能为图1图2A.A→D→C→BB.A→B→C→DC.A→C→B→DD.A→C→D→B二、填空题（本题共24分，每小题3分）9.分解因式：2x3-4x2+2x=.610.已知点A（2，y1）、B（m，y2）是反比例函数y= 的图象上的两点，且xy1<y2，写出满足条件的m的一个值，m可以是.11.已知正六边形ABCDEF的边心距为3cm，那么正六边形的半径为cm.12.如图是根据某班50名同学一周的体育锻练情况绘制的条形统计图，那么这个班50名同学一周参加体育锻炼时间的众数是（小时），中位数是（小时）.学生人数/人25191720951578910锻炼时间/小时13.我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完.如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设大和尚x 人，小和尚y 人，可列方程组为.14.如图，在ABCD 中，∠1=∠2，∠3=∠4，EF //AD ，请直接写出与AE 相等的线（两条即可），写出满足勾股定理的等D F2314GH ABCDAA EBBC小明的作法如下：如图：（1）以点C为圆心，AB长为半径孤弧；A D（2）以点A为圆心，BC长为半径面弧；（3）两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，B C四边形ABCD为所求作平行四边形老师说：“小明的作法正确。
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北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个.1. 如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是A．线段P A的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段CD的长度2. 将某不等式组的解集≤x3表示在数轴上，下列表示正确的是3.下列运算中，正确的是A．B．C．D．4.下列实数中，在2和3之间的是A．B．C．D．5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90︒，∠A= 45︒，∠E = 60︒，点F在CB的延长线上.若DE∥CF，则∠BDF等于A．35︒B．30︒C．25︒D．15︒6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF.观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是A．EF CFAB FB=B．EF CFAB CB=C．CE CFCA FB=D．CE CFEA CB=1-<22456x x x+=326x x x⋅=236()x x=33()xy xy=ππ2-3253281.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。
考 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和学号。
生 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
须 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
知 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
7.在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：选手 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(min) 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175由此所得的以下推断不正确．．．的是A．这组样本数据的平均数超过130B．这组样本数据的中位数是147C．在这次比赛中，估计成绩为130 min的选手的成绩会比平均成绩差D．在这次比赛中，估计成绩为142 min的选手，会比一半以上的选手成绩要好8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s和v(m/s)，起初甲车在乙车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x(s)后两车相距y(m)，y与x的函数关系如图2所示．有以下结论：①图1中a的值为500；②乙车的速度为35 m/s；+；③图1中线段EF应表示为5005x④图2中函数图象与x轴交点的横坐标为100．其中所有的正确结论是A．①④B．②③C．①②④D．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）-有意义，那么x的取值范围是．9.如果2x10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为．11.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A，B两款魔方.社长发现若购买2个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同. 求每A款B款款魔方的单价.设A款魔方的单价为x元，B款魔方的单价为y元，依题意可列方程组为.13. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH . 若AB=8，AD=6，则四边形EFGH 的周长等于 ． 14.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23(2)1y x =+-平移后得到抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .15. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，，，边AD 长为5. 现固定边AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C 的对应点的坐标为 .三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：06cos60(π2)2︒-．18．解方程：1322x x x+=--.19. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，66A ∠=︒，90ABC ∠=︒，BC= AD ，求∠C 的度数．20.先化简，再求值：2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中5x =-．21.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，C D ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，B E=C D ，连接CE ，D E ． （1）求证：四边形C DB E 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求D E 的长．(3,0)A -(4,0)B D 'C'22.阅读下列材料：材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.年度2013 2014 2015 2016 2017 参观人数（人次）7 450 000 7 630 000 7 290 000 7 550 000 8 060 000年增长率（%）38.7 2.4 -4.5 3.6 6.8 他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数myx=（0x<）的图象经过点(4,)A n-，AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8.（1）求m，n的值；（2）若直线y kx b=+（k≠0）经过点C，且与x轴，y轴的交点分别为点E，F，当2CF CE=时，求点F的坐标．24．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G.（1）求证：FG与⊙O相切；（2）连接EF，求tan EFC∠的值.25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD 中，边1AB a .按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：① ；② ； ③ ；④ ；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）.26. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为（），若当≤n ≤时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.27. 如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.3x 30x >2-1-28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”QL 的取值范围是 .（2）点D 在直线+3y x =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有0≤L Q ，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9. x ≤2． 10.． 11. .12.13. 20. 14.答案不唯一，例如，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+.15. 54． 16. ．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17.解：161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分312=--2=-． (5)分18．解方程：. 解：去分母，得．……………………………………………………… 1分去括号，得． ……………………………………………………… 2分 移项，得 ．合并同类项，得 ．………………………………………………………… 3分系数化为1，得．…………………………………………………………… 4分经检验，原方程的解为．……………………………………………………5分19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， …………………………………………… 1分∴ ． ∵ ，384π326170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩23(2)1y x =+-(7,4)06cos60(π2)2︒-1322x x x+=--13(2)x x -=-136x x -=-361x x -=-25x =52x =52x =1A ∠=∠66A ∠=︒∴ ．………………………………………………2分 ∵ ，∴ ． …………………………… 3分 ∵ AD=BC ，∴ BD=BC ．…………………………………………………4分 ∴ ．∴1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………… 5分20.解： ……………………………………… 3分 ．……………………………………………………4分 当时，原式．…………………………………5分21. （1）证明：如图2.∵ C D ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ C D ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ B E=C D ，∴ 四边形C DB E 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形C DB E 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形C DB E 为矩形，∴ D E=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，，C D ⊥AB ， 可得 ．∵ ， ∴ ． ∵ 在Rt △ABC 中，，AC =2，， ∴ ． ∴ D E=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.166∠=︒90ABC ∠=︒2124ABC ∠=∠-∠=︒3C ∠=∠2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+-13x =-5x =-18=-90ACB ∠=︒1ACD ∠=∠1tan 2ACD ∠=1tan 1tan 2ACD ∠=∠=90ACB ∠=︒1tan 12∠=4tan 1ACBC ==∠图1图2………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为，点C 与点A 关于原点O 对称，∴ 点C 的坐标为．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为，．∵ △ABD 的面积为8，， ∴ ．解得 ． …………………………………………………………… 2分 ∵ 函数（）的图象经过点， ∴ ．…………………………………………………………… 3分（2）由（1）得点C 的坐标为． ① 如图4，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为点，．由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥．∴ △CD ∽△O ．∴． ∵ ，∴ ． ∴ ．∴ 点的坐标为．(4,)A n -(4,)C n -(4,0)B -(4,0)D 11()8422ABD S AB BD n n =⨯=⨯-⨯=-48n -=2n =-m y x=0x <(4,)A n -48m n =-=(4,2)C 0k <y kx b =+1E 1F 1OF 1E 1E 1F 1111E C DC OF E F =112CF CE =113DC OF =136OF DC ==1F 1(0,6)F 图4 图3②如图5，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为点，．同理可得CD ∥，． ∵ ，∴ 为线段的中点，．∴ 22OF DC ==．∴ 点的坐标为．…………6分综上所述，点F 的坐标为，．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形．∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒．∴ ． ∵ FG ∥DA ， ∴ 180DCF D ∠+∠=︒．∴ ．∴ ．∴ FG ⊥OC ．∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设C E = a ，则D E = a ，AD=2a ．∵ AF 与⊙O 相切，∴ AF ⊥AG ．又∵ DC ⊥AG ，可得AF ∥DC ．又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形．∵ DC =AD ，AD=2a ，∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC =∠D = 60︒．0k >y kx b =+2E 2F 2OF 2222E C DC OF E F =222CF CE =2E 2CF 222E C E F =2F 2(0,2)F -1(0,6)F 2(0,2)F -11302DCA ∠=∠=︒180120DCF D ∠=︒-∠=︒190OCF DCF ∠=∠-∠=︒图6 图5由（1）得∠DCG= 60︒，sin60EH CE=⋅︒=，1 cos602CH CE a=⋅︒=．∴52FH CH CF a=+=．∵在Rt△EFH中，∠EHF= 90︒，∴2tan52EHEFCFH a∠===．……………………………………5分25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．…………………1分②11)a．…………………2分③211)a．…………………3分④111)n a-．………………4分（2）所画正方形CHIJ见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）.……………………………1分（2）∵抛物线241y ax ax a=-+-的对称轴为直线，抛物线M与x轴的交点为点A，B（点A在点B左侧），AB=2，∴A，B两点的坐标分别为，.………………………………2分∵点A在抛物线M上，∴将的坐标代入抛物线的函数表达式，得.解得. …………………………………………………………………3分∴抛物线M的函数表达式为213222y x x=-+-. …………………………4分（3）54k>. ……………………6分2x=2x=(1,0)A(3,0)B(1,0)A410a a a-+-= 12a=-27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ．∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，∴ QE = QA ．∴ QB=QE ． 可得 1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分②．……………………………………………………… 3分证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC于点H ．∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上，∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α，∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α．∴ ∠QAF=∠QEC ．又∵ AF =CE ，QA=QE ，∴ △QAF ≌△QEC ．∴ QF=QC ．∵ QH ⊥AC 于点H ，∴ FH=CH ，CF=2CH ．∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在CD 上，∴ ∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形． ∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH ==．即． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一1802BQE QBE ∠=︒-∠CE AC +=CE AC +=图10图9同理可得CE AC BG BC CG +=+=．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．………………………… 7分28.解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤Q L． (2)分（2）设直线+3y =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B ，可得A ，(0,3)B ．∴ OA =3OB =，30OAB ∠=︒．由0≤Q L y =． ①如图13，当⊙D 与x轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO =． ∵ ⊙D 的半径为1，∴ 111D E =．∴1AE =11OE OA AE =-=． ∴1D x =②如图14，当⊙D与直线y =相切时， AC CE -=3-图11 图12 图13相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y =与直线+3y =的交点为F 可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos 2AF OA OAF =⋅∠==．∵ ⊙D 的半径为1，∴ 21D F =． ∴ 2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF=⋅∠72==， 22OE OA AE =-=． ∴ 2D x =． 由①②可得，D x 的取值范围是≤D x ≤．………………………………………… 5分（3）画图见图15． ．……………………………… 7分图15。