2、2018西城初三二模数学试题及答案
2018年北京市初三数学二模分类汇编-第13讲：几何压轴题
第13讲几何压轴题【2018·西城二模】1. 如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）.（1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.图1 备用图【答案】解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．……………1分∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵CD为等边三角形的中线，Q为线段CD上的点，图9由等边三角形的对称性得QA=QB．∵∠DAQ=α，∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．∵线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，∴QE = QA．∴QB=QE．可得 1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分 ②．……………………………………………………… 3分证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC 于点H ． ∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上，∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α， ∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC ． 又∵ AF =CE ，QA=QE ， ∴ △QAF ≌△QEC ． ∴ QF=QC ． ∵ QH ⊥AC 于点H ， ∴ FH=CH ，CF=2CH ．∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点Q 在CD 上，∴ ∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形． ∴ 3cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=． ∴ CE AC AF AC CF +=+=23CH CQ =． 即． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一 同理可得CE AC BG BC CG +=+=3CQ =．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．…………图10图1……………… 7分【2018·石景山二模】2．在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点M 是线段BC 的中点，点N 在射线MB 上，连接AN ，平移△ABN ，使点N 移动到点M ，得到△DEM （点D 与点A 对应，点E 与点B 对应），DM 交AC 于点P ．（1）若点N 是线段MB 的中点，如图1．① 依题意补全图1； ② 求DP 的长；（2）若点N 在线段MB 的延长线上，射线DM 与射线AB 交于点Q ，若MQ =DP ，求解：（1）①如图1，补全图形. ………………… 1分② 连接AD ，如图2.在Rt △ABN 中,∵∠B =90°，AB =4，BN =1， ∴17=AN .∵线段AN 平移得到线段DM ， ∴DM =AN =17， AD =NM =1，AD ∥MC ，∴△ADP ∽△CMP . ∴21==MC AD MP DP . ∴317=DP .………………… 3分 （2）连接NQ ，如图3.由平移知：AN ∥DM ，且AN =DM . ∵MQ DP =， ∴PQ DM =.∴AN ∥PQ ，且AN =PQ . ∴四边形ANQP 是平行四边形. ∴NQ ∥AP .∴45BQN BAC ∠=∠=︒.图1PNDEMA C B图2又∵90NBQ ABC ∠=∠=︒， ∴BN BQ =. ∵AN ∥MQ ， ∴AB NBBQ BM=. 又∵M 是BC 的中点，且4AB BC ==， ∴42NB NB =. ∴22NB =舍负). ∴22ME BN ==∴222CE =.………………… 7分（2）法二，连接AD ，如图4. 设CE 长为x ，∵线段AB 移动到得到线段DE ， ∴4+==x BE AD ，AD ∥BM . ∴△ADP ∽△CMP . ∴24xMC AD MP DP +==. ∵MQ =DP ， ∴x xMP DP DP QD MQ 21042++=+=. ∵△QBM ∽△QAD ， ∴xAD BM QD MQ +==42. 解得222-=x .∴222-=CE . ………………… 7分【2018·海淀二模】3．如图，在等边ABC △中， ,D E 分别是边,AC BC 上的点，且CD CE = ,30DBC ∠<︒ ，点C 与点F 关于BD 对称，连接,AF FE ，FE 交BD 于G .（1）连接,DE DF ，则,DE DF 之间的数量关系是 ；（2）若D B C α∠=，求FEC ∠的大小; （用α的式子表示）（2）用等式表示线段,BG GF 和FA 之间的数量关系，并证明. 【答案】PNQDEMAC B图4GFEDCBA（1）DE DF =； （2）解：连接DE ，DF ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴60C ∠=︒. ∵DBC α∠=， ∴120BDC α∠=︒-. ∵点C 与点F 关于BD 对称，∴120BDF BDC α∠=∠=︒-，DF DC =. ∴1202FDC α∠=︒+. 由（1）知DE DF =.∴F ，E ，C 在以D 为圆心，DC 为半径的圆上. ∴1602FEC FDC ∠=∠=︒+α. （3）BG GF FA =+.理由如下： 连接BF ，延长AF ，BD 交于点H ， ∵△ABC 是等边三角形，∴60ABC BAC ∠=∠=︒，AB BC CA ==. ∵点C 与点F 关于BD 对称， ∴BF BC =，FBD CBD ∠=∠. ∴BF BA =. ∴BAF BFA ∠=∠. 设CBD α∠=， 则602ABF α∠=︒-. ∴60BAF α∠=︒+. ∴FAD α∠=.∴FAD DBC ∠=∠. 由（2）知60FEC α∠=︒+. ∴60BGE FEC DBC ∠=∠-∠=︒. ∴120FGB ∠=︒，60FGD ∠=︒. 四边形AFGB 中，360120AFE FAB ABG FGB ∠=︒-∠-∠-∠=︒.∴60HFG ∠=︒.∴△FGH 是等边三角形. ∴FH FG =，60H ∠=︒. ∵CD CE =，GFED CBAHGFEDCBA∴DA EB =.在△AHD 与△BGE 中，,,.AHD BGE HAD GBE AD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△△AHD BGE ≅. ∴BG AH =.∵AH HF FA GF FA =+=+，∴BG GF FA =+．【2018·丰台二模】4．如图，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ，连接EF ，交对角线BD 于点G ，连接AG ． （1）根据题意补全图形；（2）判定AG 与EF 的位置关系并证明；（3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG 的长． A BC ED【答案】解：（1）图形补全后如图…………………1分GFDC（2）结论：AG ⊥EF ． …………………2分证明：连接FD ，过F 点FM ∥BC ，交BD 的延长线于点M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=DA=DC=BC ，∠DAB =∠ABE =∠ADC =90°， ∠ADB =∠5=45°．∵线段AE 绕点A 逆时针旋转90°，得到AF ， ∴AE=AF ，∠FAE =90°． ∴∠1=∠2．∴△FDA ≌△EBA ． …………………3分 ∴∠FDA =∠EBA =90°，FD=BE ． ∵∠ADC =90°，∴∠FDA+∠ADC=180°。
2018西城区初三二模数学试卷及答案
北京市西城区2018年初三二模试卷数 学 2018. 6下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的倒数是A ．3B ．13-C ．3-D ．132．2018年，我国国内生产总值（GDP ）为58 786亿美元，超过日本，成为世界第二大经济体．58 786用科学记数法表示为 A ．45.878610⨯ B ．55.878610⨯ C ．358.78610⨯ D ．50.5878610⨯ 3．⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，若圆心距O 1O 2=2 cm ，则这两圆的位置关系是 A ．内含 B ．外切 C ．相交 D ．内切 4．若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是 A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．八边形 5．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示：鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是A ．平均数B ．众数C ．中位数 D．方差6．小明的爷爷每天坚持体育锻炼，一天他步行到离家较远的公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面的四个函数图象中，能大致反映当天小明的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的是7．下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线3+-=x y ，直线4y =和直线1x =所围成的 区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为(2,2)R ，则QP QR +的最小值为A B ．25+ C ． D ．4 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式 m 3 – 4m = . 10．函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 11．如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 与小圆相切，切点为P ．若两圆的半径分别为2和1，则弦长AB =；若用阴影部分围成一个圆锥（OA 与OB 重合），则该圆锥的底面半径长为 . 12．对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n ，B n 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；11222011A B A B A B +++ 的值为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2273181---⎪⎭⎫ ⎝⎛--- ．14．已知：如图，直线AB 同侧两点C ，D 满足CAD DBC ∠=∠， AC =BD ，BC 与AD 相交于点E ．求证：AE =BE ．15．已知：关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 取最大整数值时，用公式法求该方程的解.16．已知 122=+xy x ，215xy y +=，求代数式()22()x y y x y +-+的值．17．如图，一次函数y kx b =+()0≠k 的图象与反比例函数my x=()0≠m 的图象交于(3,1)A -，(2,)B n 两点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．18．今年3月12日，某校九年级部分学生参加植树节活动，以下是根据本次植树活动的有关数据制作的统计图的一部分．请根据统计图所提供的有关信息，完成下列问题：（1）参加植树的学生共有 人； （2）请将该条形统计图补充完整；（3）参加植树的学生平均每人植树 棵．（保留整数）四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购车总费用为y （万元）． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求 出该方案所需费用．20．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ．（1）求tan ABD ∠的值； （2）求AF 的长．21．已知：如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是劣弧BC 的中点， AD 交BC 于点E ，连结AB . （1）求证：2AB AE AD =⋅； （2）过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线交于点F ， 若AE =2，ED =4，求EF 的长．22．如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△AOB与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC 是锐角三角形且AC ＞AB ， E 为AC 的中点，F 为BC 上一点且BF ≠FC （F 不与B ，C 重合），沿EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图3中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；（2）在图4中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形；（3）在图5中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中 的一块为钝角三角形．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=()0≠a 的两个实数根分别为x 1，x 2，则12bx x a +=-，12c x x a⋅=． 解决下列问题：已知：a ，b ，c 均为非零实数，且a ＞b ＞c ，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，其中一根为2．（1）填空：42a b c ++ 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”）（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程20ax bx c ++=的另一个实数根（用含a ，c 的代数式表示）； （3）若实数m 使代数式2am bm c ++的值小于0，问：当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．24．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF 和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．（1）当t＝2时，PH= cm，DG = cm；（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，以y 轴正半轴上一点(0,)A m （m 为非零常数）为端点，作与y 轴正方向夹角为60°的射线l ，在l 上取点B ，使AB =4k (k 为正整数)，并在l 下方作∠ABC =120°，BC=2OA ，线段AB ，OC 的中点分别为D ，E ． （1）当m =4，k =1时，直接写出B ，C 两点的坐标；（2）若抛物线212y x m k =-++的顶点恰好为D 点，且DE=及此时cos ∠ODE 的值；（3）当k =1时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 1，E 1；当k =3时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 3，E 3，求直线13E E 的解析式及四边形1331D D E E 的面积（用含m 的代数式表示）．北京市西城区2018年初三二模试卷数学答案及评分标准 2018.6二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=112- ……………………………………………………………4分 =32． ……………………………………………………………………5分 14．证明： 如图1． 在△ACE 和△BDE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,BD AC BED AEC DBE CAE ………………………………3分∴ △ACE ≌△BDE ． ……………………………………………………………4分 ∴ AE =BE ．………………………………………………………………………5分 15．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根，∴ 16420k ∆=-⨯>． ………………………………………………………1分解得2k <． ……………………………………………………………………2分（2）∵2k<，∴ 符合条件的最大整数1k =，此时方程为2420x x ++=． ……………3分∴ 142a b c ===，，． ∴ 22444128b ac -=-⨯⨯=．………………………………………………4分代入求根公式x =，得2x ==-±．…………5分 ∴ 1222x x =-+=-16．解：原式=222222x xy y xy y ++--=22x y -．………………………………………2分 ∵ 122=+xy x ①，152=+y xy ②，∴ ①-②，得223x y -=-． ………………………………………………………4分 ∴ 原式=3-． ………………………………………………………………………5分17．解：（1）∵ 反比例数my x=()0≠m 的图象经过(3,1)A -，(2,)B n 两点，（如图2） ∴ 313m =-⨯=-，322m n ==-．∴ 反比例函数解析式为3y x=-．………………………1分 点B 的坐标为3(2)2B -，．……………………………2分∵ 一次函数y kx b =+()0≠k 的图象经过(3,1)A -，3(2)2B -，两点，∴ 31,32.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得 1,21.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 一次函数的解析式为1122y x =--．……………………………………3分（2）设一次函数1122y x =--的图象与x 轴的交点为C ，则点C 的坐标为(1,0)C -．∴ =AOB ACO COB S S S ∆∆∆+113=11+1222⨯⨯⨯⨯5=4． …………………………5分18．解：（1）50；………………………………………………………………………………1分（2）………………………………………………………………………………3分 （3）3．………………………………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）因为购买大型客车x 辆，所以购买中型客车(20)x -辆． ()62402022800y x x x =+-=+．…………………………………………2分 （2）依题意得x -20< x .解得x >10．……………………………………………………………………3分 ∵ 22800y x =+，y 随着x 的增大而增大，x 为整数，∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． …………4分 此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．……………………………5分 答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元． 20．解：（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．（如图3） ∵ AB ∥DC ，DM ⊥AB ，CN ⊥AB ， ∴ ∠DMN =∠CNM =∠MDC =90︒． ∴ 四边形MNCD 是矩形.∵4CD =，∴ MN =CD = 4．∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，∴ ∠DAB =∠CBA ，DM=CN ．∴ △ADM ≌△BCN ．又∵10AB =，∴ AM =BN =()11(104)322AB MN -=⨯-=． ∴ MB =BN +MN =7．……………………………………………………………2分∵ 在Rt △AMD 中，∠AMD =90︒，AD =5，AM =3，∴4DM =．∴ 4tan 7DM ABD BM ∠==．……………………………………………………3分 （2）∵ EF AB ⊥，∴ ∠F =90︒．∵∠DMN =90︒，∴ ∠F =∠DMN .∴ DM ∥EF ．∴ △BDM ∽△BEF ．∵ DE BD =，∴ 12BM BD BF BE ==． ∴ BF =2BM =14． ……………………………………………………………4分∴ AF =BF -AB =14-10=4． …………………………………………………5分21．（1）证明：如图4．∵ 点A 是劣弧BC 的中点，∴ ∠ABC ＝∠ADB ．………………………1分又∵ ∠BAD ＝∠EAB ，∴ △ABE ∽△ADB ．………………………2分 ∴ AB AD AE AB=． ∴ 2AB AE AD =⋅．………………………………………………………3分（2）解：∵ AE =2，ED =4，∴()22612AB AE AD AE AE ED =⋅=+=⨯=．∴AB =．………………………………………………………4分∵ BD 为⊙O 的直径，∴ ∠A =90︒．又∵ DF 是⊙O 的切线，∴ DF ⊥BD.∴ ∠BDF =90︒．在Rt △ABD 中，tan AB ADB AD ∠===， ∴ ∠ADB =30︒．∴ ∠ABC =∠ADB =30︒.∴∠DEF=∠AEB=60︒，903060EDF BDF ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∴ ∠F =18060DEF EDF ︒-∠-∠=︒．∴ △DEF 是等边三角形．∴ EF = DE 5分22．解：（1）……………………………………………………1分（2）……………………………………………………3分（3）……………………………………………………5分23．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分（2）2c a．……………………………………………………………………………4分 （3）答：当x =5m +时，代数式2y ax bx c =++的值是正数．理由如下：设抛物线2y ax bx c =++（a ≠0），则由题意可知，它经过A (,0)2c a ，B (2,0) 两点． ∵ a ＞0，c ＜0，∴ 抛物线2y ax bx c =++开口向上，且2c a＜0＜2，即点A 在点B 左侧．………………………5分 设点M 的坐标为2(,)M m am bm c ++，点N 的坐标为(5,)N m y +．∵ 代数式2am bm c ++的值小于0，∴ 点M 在抛物线2y ax bx c =++上，且点M 的纵坐标为负数．∴ 点M 在x 轴下方的抛物线上．（如图5）∴ A M B x x x <<，即22c m a <<．∴5572c m a +<+<，即572N c x a+<<． 以下判断52c a +与B x 的大小关系： ∵ 42a b c ++＝0，a ＞b ，a ＞0，∴ 66(42)(5)(5)202222B c c a c a a b a b x a a a a a +-+-+-=+-===>． ∴B x ac >+52． ∴ 52N B c x x a>+>．…………………………………………………………6分 ∵ B ，N 两点都在抛物线的对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∴B N y y >，即0y >.∴ 当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是正数． ………………………7分24．解：（1）52，265．………………………………………………………………………2分 （2）只有点P 在DF 边上运动时，△PDE 才能成为等腰三角形，且PD=PE ．（如图6）……………3分 ∵ BF=t ，PF=2t ，DF ＝8，∴ 82PD DF PF t =-=-．在Rt △PEF 中，2222436PE PF EF t =+=+=2PD ．即()2228364t t -=+．解得 78t =．…………………………………4分 ∴ t 为78时△PDE 为等腰三角形． （3）设当△DEF 和点P 运动的时间是t 时，点P 与点G 重合，此时点P 一定在DE 边上，DP= DG ． 由已知可得93tan 124AC B BC ===，63tan 84EF D DF ===． ∴.D B ∠=∠∴.90︒=∠=∠BFH DGH∴ 3tan 4FH BF B t =⋅=，384D H D F F H t =-=-， .5325354438cos +-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=t t D DH DG ∵ 2DP DF t +=，∴ 28DP t =-．由DP=DG 得3322855t t -=-+． 解得 7213t =． …………………………………………………………………5分 检验：724613<<，此时点P 在DE 边上.∴ t 的值为7213时，点P 与点G 重合． （4）当0＜t ≤4时，点P 在DF 边上运动（如图6），t a n 2PF PBF BF∠==． …………………………………………………………………………………6分 当4< t ≤6时，点P 在DE 边上运动（如图7），作PS ⊥BC 于S ，则tan PS PBF BS ∠=． 可得10(28)182PE DE DP t t =-=--=-．此时()5725821854cos cos +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE PS ， ()5545621853sin sin +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE ES ． 524511554566-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=-+=t t t ES EF BF BS ． ∴ 728tan 1124PS t PBF BS t -∠==-．………………………………………………7分 综上所述， 2 (04),tan 728 (46).1124t PBF t t t <≤⎧⎪∠=-⎨<≤⎪-⎩ （以上时间单位均为s ，线段长度单位均为cm ）25．解：（1）B，………………………………………………………1分 C．………………………………………………………3分（2）当AB =4k ，(0,)A m 时，OA =m ，与（1）同理可得B点的坐标为,2)B k m +， C点的坐标为,2)C k ．如图8，过点B 作y 轴的垂线，垂足为F ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为G ，两条垂线的交点为H ，作DM ⊥FH 于点M ，EN ⊥OG 于点N ．由三角形中位线的性质可得点D的坐标为,)D k m +，点E的坐标为)E k ．由勾股定理得DE ． ∵DE= ∴ m=4． ……………………………4分∵ D恰为抛物线212y x m k =-++的顶点， 它的顶点横坐标为， ∴=．解得k=1．此时抛物线的解析式2143y x x =-+． …………………………………5分 此时D ，E两点的坐标分别为D，E ． ∴OD =OE =∴ OD=OE=DE ．∴ 此时△ODE 为等边三角形，cos ∠ODE= cos60°=12．……………………6分 （3）E 1，E 3点的坐标分别为1E ，E3． 设直线13E E 的解析式为y ax b =+（a ≠0）．则1,3.a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得.2a m b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 直线13E E的解析式为2m y =-． ……………………………………7分 可得直线13E E 与y 轴正方向的夹角为60°.∵ 直线13D D ，13E E 与y 轴正方向的夹角都等于60°， ∴ 13D D ∥13E E ．∵ D 1，D 3两点的坐标分别为11)D m +，33)D m +， 由勾股定理得13D D =4，13E E =4．∴ 1313D D E E =．∴ 四边形1331D D E E 为平行四边形．设直线13E E 与y 轴的交点为P ，作AQ ⊥13E E 于Q ．（如图9）可得点P 的坐标为.23,2,0m AP m P =⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴.43360sin sin m AP OPQ AP AQ =︒⋅=∠⋅= ∴1331134D D E E S D D AQ =⨯==四边形．…………………………8分。
2018年西城二模
北京市西城区2018年初三二模试卷数 学 2018. 6下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的倒数是A ．3B ．13-C ．3-D ．132．2018年，我国国内生产总值（GDP ）为58 786亿美元，超过日本，成为世界第二大经济体．58 786用科学记数法表示为 A ．45.878610⨯ B ．55.878610⨯ C ．358.78610⨯ D ．50.5878610⨯ 3．⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，若圆心距O 1O 2=2 cm ，则这两圆的位置关系是 A ．内含 B ．外切 C ．相交 D ．内切 4．若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是 A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．八边形 5．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示：鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是A ．平均数B ．众数C ．中位数 D．方差6．小明的爷爷每天坚持体育锻炼，一天他步行到离家较远的公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面的四个函数图象中，能大致反映当天小明的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的是7．下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线3+-=x y ，直线4y =和直线1x =所围成的 区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为(2,2)R ，则QP QR +的最小值为A B ．25+ C ． D ．4 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式 m 3 – 4m = . 10．函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 11．如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 与小圆相切，切点为P ．若两圆的半径分别为2和1，则弦长AB =；若用阴影部分围成一个圆锥（OA 与OB 重合），则该圆锥的底面半径长为 . 12．对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n ，B n 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；11222011A B A B A B +++的值为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2273181---⎪⎭⎫ ⎝⎛--- ．14．已知：如图，直线AB 同侧两点C ，D 满足CAD DBC ∠=∠， AC =BD ，BC 与AD 相交于点E ．求证：AE =BE ．15．已知：关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 取最大整数值时，用公式法求该方程的解.16．已知 122=+xy x ，215xy y +=，求代数式()22()x y y x y +-+的值．17．如图，一次函数y kx b =+()0≠k 的图象与反比例函数my x=()0≠m 的图象交于(3,1)A -，(2,)B n 两点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．18．今年3月12日，某校九年级部分学生参加植树节活动，以下是根据本次植树活动的有关数据制作的统计图的一部分．请根据统计图所提供的有关信息，完成下列问题：（1）参加植树的学生共有 人； （2）请将该条形统计图补充完整；四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购车总费用为y （万元）． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求 出该方案所需费用．20．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ．（1）求tan ABD ∠的值； （2）求AF 的长．21．已知：如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是劣弧BC 的中点， AD 交BC 于点E ，连结AB . （1）求证：2AB AE AD =⋅； （2）过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线交于点F ， 若AE =2，ED =4，求EF 的长．22．如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△AOB与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC 是锐角三角形且AC ＞AB ， E 为AC 的中点，F 为BC 上一点且BF ≠FC （F 不与B ，C 重合），沿EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图3中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；（2）在图4中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形；（3）在图5中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中 的一块为钝角三角形．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=()0≠a 的两个实数根分别为x 1，x 2，则12bx x a +=-，12c x x a⋅=． 解决下列问题：已知：a ，b ，c 均为非零实数，且a ＞b ＞c ，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，其中一根为2．（1）填空：42a b c ++ 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”）（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程20ax bx c ++=的另一个实数根（用含a ，c 的代数式表示）； （3）若实数m 使代数式2am bm c ++的值小于0，问：当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．24．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF 和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．（1）当t＝2时，PH= cm，DG = cm；（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，以y 轴正半轴上一点(0,)A m （m 为非零常数）为端点，作与y 轴正方向夹角为60°的射线l ，在l 上取点B ，使AB =4k (k 为正整数)，并在l 下方作∠ABC =120°，BC=2OA ，线段AB ，OC 的中点分别为D ，E ． （1）当m =4，k =1时，直接写出B ，C 两点的坐标；（2）若抛物线212y x m k =-++的顶点恰好为D 点，且DE=及此时cos ∠ODE 的值；（3）当k =1时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 1，E 1；当k =3时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 3，E 3，求直线13E E 的解析式及四边形1331D D E E 的面积（用含m 的代数式表示）．北京市西城区2018年初三二模试卷数学答案及评分标准 2018.6三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=112- ……………………………………………………………4分 =32． ……………………………………………………………………5分 14．证明： 如图1． 在△ACE 和△BDE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,BD AC BED AEC DBE CAE ………………………………3分∴ △ACE ≌△BDE ． ……………………………………………………………4分 ∴ AE =BE ．………………………………………………………………………5分 15．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根，∴ 16420k ∆=-⨯>． ………………………………………………………1分解得2k <． ……………………………………………………………………2分 （2）∵2k <，∴ 符合条件的最大整数1k =，此时方程为2420x x ++=． ……………3分∴ 142a b c ===，，． ∴ 22444128b ac -=-⨯⨯=．………………………………………………4分代入求根公式x =，得2x ==-±．…………5分 ∴ 1222x x =-+=-16．解：原式=222222x xy y xy y ++--=22x y -．………………………………………2分∵ 122=+xy x ①，152=+y xy ②，∴ ①-②，得223x y -=-． ………………………………………………………4分 ∴ 原式=3-． ………………………………………………………………………5分 17．解：（1）∵ 反比例数my x=()0≠m 的图象经过(3,1)A -，(2,)B n 两点，（如图2）∴ 313m =-⨯=-，322m n ==-． ∴ 反比例函数解析式为3y x=-．………………………1分 点B 的坐标为3(2)2B -，．……………………………2分∵ 一次函数y kx b =+()0≠k 的图象经过(3,1)A -，3(2)2B -，两点，∴ 31,32.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得 1,21.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 一次函数的解析式为1122y x =--．……………………………………3分（2）设一次函数1122y x =--的图象与x 轴的交点为C ，则点C 的坐标为(1,0)C -．∴ =AOB ACO COB S S S ∆∆∆+113=11+1222⨯⨯⨯⨯5=4． …………………………5分18．解：（1）50；………………………………………………………………………………1分（2）………………………………………………………………………………3分 （3）3．………………………………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）因为购买大型客车x 辆，所以购买中型客车(20)x -辆． ()62402022800y x x x =+-=+．…………………………………………2分 （2）依题意得x -20< x .解得x >10．……………………………………………………………………3分 ∵ 22800y x =+，y 随着x 的增大而增大，x 为整数，∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． …………4分 此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．……………………………5分 答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元． 20．解：（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．（如图3）∴ ∠DMN =∠CNM =∠MDC =90︒． ∴ 四边形MNCD 是矩形. ∵4CD =， ∴ MN =CD = 4．∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==， ∴ ∠DAB =∠CBA ，DM=CN ． ∴ △ADM ≌△BCN ． 又∵10AB =， ∴ AM =BN =()11(104)322AB MN -=⨯-=． ∴ MB =BN +MN =7．……………………………………………………………2分 ∵ 在Rt △AMD 中，∠AMD =90︒，AD =5，AM =3， ∴4DM =． ∴ 4tan 7DM ABD BM ∠==．……………………………………………………3分 （2）∵ EF AB ⊥， ∴ ∠F =90︒．∵∠DMN =90︒， ∴ ∠F =∠DMN . ∴ DM ∥EF ．∴ △BDM ∽△BEF ． ∵ DE BD =， ∴12BM BD BF BE ==． ∴ BF =2BM =14． ……………………………………………………………4分 ∴ AF =BF -AB =14-10=4． …………………………………………………5分 21．（1）证明：如图4．∵ 点A 是劣弧BC 的中点，∴ ∠ABC ＝∠ADB ．………………………1分 又∵ ∠BAD ＝∠EAB ，∴ △ABE ∽△ADB ．………………………2分∴ AB AD AE AB=． ∴ 2AB AE AD =⋅．………………………………………………………3分 （2）解：∵ AE =2，ED =4，∴()22612AB AE AD AE AE ED =⋅=+=⨯=．∴AB =．………………………………………………………4分 ∵ BD 为⊙O 的直径， ∴ ∠A =90︒．又∵ DF 是⊙O 的切线， ∴ DF ⊥BD.∴ ∠BDF =90︒．在Rt △ABD 中，tan AB ADB AD ∠===， ∴ ∠ADB =30︒．∴ ∠ABC =∠ADB =30︒. ∴∠DEF=∠AEB=60︒，903060EDF BDF ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒． ∴ ∠F =18060DEF EDF ︒-∠-∠=︒．∴ △DEF 是等边三角形．∴ EF = DE 5分22．解：（1）……………………………………………………1分（2）……………………………………………………3分（3）……………………………………………………5分 23．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分 （2）2ca．……………………………………………………………………………4分 （3）答：当x =5m +时，代数式2y ax bx c =++的值是正数． 理由如下：设抛物线2y ax bx c =++（a ≠0），则由题意可知，它经过A (,0)2ca，B (2,0) 两点． ∵ a ＞0，c ＜0，∴ 抛物线2y ax bx c =++开口向上，且2ca＜0＜2，即点A 在点B 左侧．………………………5分 设点M 的坐标为2(,)M m am bm c ++，点N 的坐标为(5,)N m y +．∵ 代数式2am bm c ++的值小于0，∴ 点M 在抛物线2y ax bx c =++上，且点M 的纵坐标为负数． ∴ 点M 在x 轴下方的抛物线上．（如图5） ∴ A M B x x x <<，即22cm a<<．∴5572c m a +<+<，即572N c x a+<<． 以下判断52ca+与B x 的大小关系：∵ 42a b c ++＝0，a ＞b ，a ＞0， ∴ 66(42)(5)(5)202222B c c a c a a b a b x a a a a a+-+-+-=+-===>． ∴B x ac>+52． ∴ 52N B cx x a>+>．…………………………………………………………6分 ∵ B ，N 两点都在抛物线的对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大， ∴B N y y >，即0y >.∴ 当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是正数． ………………………7分 24．解：（1）52，265．………………………………………………………………………2分 （2）只有点P 在DF 边上运动时，△PDE 才能成为等腰三角形，且PD=PE ．（如图6）……………3分∵ BF=t ，PF=2t ，DF ＝8， ∴ 82PD DF PF t =-=-．在Rt △PEF 中，2222436PE PF EF t =+=+=2PD ． 即()2228364t t -=+．解得 78t =．…………………………………4分 ∴ t 为78时△PDE 为等腰三角形．（3）设当△DEF 和点P 运动的时间是t 时，点P 与点G 重合，此时点P 一定在DE 边上，DP= DG ． 由已知可得93tan 124AC B BC ===，63tan 84EF D DF ===． ∴.D B ∠=∠∴.90︒=∠=∠BFH DGH∴ 3tan 4FH BF B t =⋅=， 384D H D F F H t=-=-， .5325354438cos +-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=t t D DH DG∵ 2DP DF t +=，∴ 28DP t =-．由DP=DG 得3322855t t -=-+． 解得 7213t =． …………………………………………………………………5分 检验：724613<<，此时点P 在DE 边上.∴ t 的值为7213时，点P 与点G 重合． （4）当0＜t ≤4时，点P 在DF 边上运动（如图6），ta n 2PFPBF BF∠==． …………………………………………………………………………………6分 当4< t ≤6时，点P 在DE 边上运动（如图7），作PS ⊥BC 于S ，则tan PS PBF BS∠=． 可得10(28)182PE DE DP t t =-=--=-． 此时()5725821854cos cos +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE PS ， ()5545621853sin sin +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE ES ． 524511554566-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=-+=t t t ES EF BF BS ．∴ 728tan 1124PS tPBF BS t -∠==-．………………………………………………7分 综上所述， 2 (04),tan 728 (46).1124t PBF t t t <≤⎧⎪∠=-⎨<≤⎪-⎩（以上时间单位均为s ，线段长度单位均为cm ）25．解：（1）B，………………………………………………………1分 C．………………………………………………………3分 （2）当AB =4k ，(0,)A m 时，OA =m ，与（1）同理可得B点的坐标为,2)B k m +， C点的坐标为,2)C k ．如图8，过点B 作y 轴的垂线，垂足为F ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为G ， 两条垂线的交点为H ，作DM ⊥FH 于点M ，EN ⊥OG 于点N ．由三角形中位线的性质可得点D的坐标为,)D k m +，点E的坐标为)E k ．由勾股定理得DE ． ∵DE=∴ m=4． ……………………………4分 ∵ D恰为抛物线212y x m k =-++的顶点， 它的顶点横坐标为， ∴=．解得k=1．此时抛物线的解析式2143y x x =-+． …………………………………5分 此时D ，E两点的坐标分别为D，E ． ∴OD =OE = ∴ OD=OE=DE ．∴ 此时△ODE 为等边三角形，cos ∠ODE= cos60°=12．……………………6分 （3）E 1，E 3点的坐标分别为1E ，E3． 设直线13E E 的解析式为y ax b =+（a ≠0）．则1,3.a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得.2a m b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 直线13E E的解析式为2my =-． ……………………………………7分 可得直线13E E 与y 轴正方向的夹角为60°.∵ 直线13D D ，13E E 与y 轴正方向的夹角都等于60°， ∴ 13D D ∥13E E ．∵ D 1，D 3两点的坐标分别为11)D m +，33)D m +， 由勾股定理得13D D =4，13E E =4． ∴ 1313D D E E =．∴ 四边形1331D D E E 为平行四边形．设直线13E E 与y 轴的交点为P ，作AQ ⊥13E E 于Q ．（如图9）可得点P 的坐标为.23,2,0m AP m P =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴.43360sin sin m AP OPQ AP AQ =︒⋅=∠⋅= ∴1331134D D E E S D D AQ =⨯==四边形．…………………………8分。
20180530-西城初三数学二模试题及答案 (1)
∙∙５. 考试结束ꎬ将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回ꎮ４. 在答题卡上ꎬ选择题、作图题用 ２Ｂ 铅笔作答ꎬ其他试题用黑色字迹签字笔作答ꎮ３. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上ꎬ在试卷上作答无效ꎮ ２. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和学号ꎮ １. 本试卷共 ８ 页ꎬ共三道大题ꎬ２８ 道小题ꎬ满分 １００ 分ꎬ考试时间 １２０ 分钟ꎮ考生须知北京市西城区 ２０１８ 年九年级模拟测试数学试卷２０１８.５一、 选择题( 本题共 １６ 分ꎬ每小题 ２ 分)第 １－８ 题均有四个选项ꎬ符合题意的选项只有一个.１. 如图所示ꎬａ ∥ ｂꎬ直线 ａ 与直线 ｂ 之间的距离是 Ａ. 线段 ＰＡ 的长度 Ｂ. 线段 ＰＢ 的长度 Ｃ. 线段 ＰＣ 的长度Ｄ. 线段 ＣＤ 的长度２. 将某不等式组的解集 － １ ≤ ｘ < ３ 表示在数轴上ꎬ下列表示正确的是３. 下列运算中ꎬ正确的是 Ａ. ｘ２ ＋ ５ｘ２ ＝ ６ｘ４Ｂ. ｘ３ ｘ２ ＝ ｘ６Ｃ. ( ｘ２ )３＝ ｘ６ Ｄ. ( ｘｙ)３＝ ｘｙ３ ４. 下列实数中ꎬ在 ２ 和 ３ 之间的是 Ａ. πＢ. π － ２Ｃ. ３２５Ｄ. ３２８５. 一副直角三角板如图放置ꎬ其中 ∠Ｃ ＝ ∠ＤＦＥ ＝ ９０°ꎬ∠Ａ ＝ ４５°ꎬ ∠Ｅ ＝ ６０°ꎬ点 Ｆ 在 ＣＢ 的延长线上.若 ＤＥ ∥ ＣＦꎬ则 ∠ＢＤＦ 等于 Ａ. ３５°Ｂ. ３０°６. Ｃ中. 国２５古° 代在利用“ 计里画方” ( 比例缩放和直Ｄ角. １５°坐标网格体系) 的方法制作地图时ꎬ会利用测杆、水准仪和照板来测量距离. 在如图所示的测量距离 ＡＢ 的示意图中ꎬ记照板“ 内芯” 的高度为 ＥＦ. 观测者的眼睛( 图中用点 Ｃ 表示) 与 ＢＦ 在同一水平线上ꎬ则下列结论中ꎬ正确的是 Ａ.ＥＦ ＝ ＣＦＢ. ＥＦ ＝ＣＦＡＢＦＢＡＢＣＢＣ. ＣＥ＝ＣＦＤ. ＣＥ＝ＣＦＣＡＦＢＥＡＣＢ∙∙∙７. 在一次男子马拉松长跑比赛中ꎬ随机抽取了１０名选手ꎬ记录他们的成绩(所用的时间)如下:选手１２３４５６７８９１０时间( ｍｉｎ) １２９１３６１４０１４５１４６１４８１５４１５８１６５１７５由此所得的以下推断不正确的是Ａ. 这组样本数据的平均数超过１３０Ｂ. 这组样本数据的中位数是１４７Ｃ.在这次比赛中ꎬ估计成绩为１３０ｍｉｎ的选手的成绩会比平均成绩差Ｄ.在这次比赛中ꎬ估计成绩为１４２ｍｉｎ的选手ꎬ会比一半以上的选手成绩要好８. 如图１所示ꎬ甲、乙两车沿直路同向行驶ꎬ车速分别为２０ｍ/ｓ和ｖ( ｍ/ｓ) ꎬ起初甲车在乙车前ａ( ｍ) 处ꎬ两车同时出发ꎬ当乙车追上甲车时ꎬ两车都停止行驶.设ｘ( ｓ)后两车相距ｙ( ｍ) ꎬｙ与ｘ的函数关系如图２所示.有以下结论:①图１中ａ的值为５００ꎻ②乙车的速度为３５ｍ/ ｓꎻ③图１中线段ＥＦ应表示为５００＋５ｘꎻ④图２中函数图象与ｘ轴交点的横坐标为１００.其中所有的正确结论是Ａ. ①④Ｂ. ②③Ｃ. ①②④Ｄ. ①③④二、填空题( 本题共１６分ꎬ每小题２分)９.如果２－ｘ有意义ꎬ那么ｘ的取值范围是.１０.不透明袋子中装有５个红色球和３个蓝色球ꎬ这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球ꎬ摸出蓝色球的概率为.１１.如图ꎬ等边三角形ＡＢＣ内接于☉Ｏꎬ若☉Ｏ的半径为２ꎬ则图中阴影部分的面积等于.１２.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛ꎬ准备购买ＡꎬＢ两款魔方.社长发现若购买２个Ａ款魔方和６个Ｂ款魔方共需１７０元ꎬ购买３个Ａ款魔方和购买８个Ｂ款魔方所需费用相同.求每款魔方的单价.设Ａ款魔方的单价为ｘ元ꎬＢ款魔方的单价为ｙ元ꎬ依题意可列方程组为.１３. 如图ꎬ在矩形ＡＢＣＤ 中ꎬ顺次连接矩形四边的中点得到四边形ＥＦＧＨ. 若ＡＢ ＝ ８ꎬＡＤ ＝ ６ꎬ则四边形 ＥＦＧＨ的周长等于.１４. 在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中ꎬ将抛物线 ｙ ＝ ３( ｘ ＋ ２) ２－ １ 平移后得到抛物线ｙ ＝ ３ｘ２ ＋ ２.请你写出一种平移方法. 答:.１５. 如图ꎬＡＢ 为 ☉Ｏ 的直径ꎬＡＣ 与 ☉Ｏ 相切于点 Ａꎬ弦 ＢＤ ∥ ＯＣ.若 ∠Ｃ ＝３６°ꎬ则 ∠ＤＯＣ ＝°.１６. 我们知道:四边形具有不稳定性.如图ꎬ在平面直角坐标系ｘＯｙ 中ꎬ矩形 ＡＢＣＤ 的边 ＡＢ 在 ｘ 轴上ꎬＡ( － ３ꎬ０) ꎬＢ(４ꎬ０) ꎬ边 ＡＤ 长为 ５. 现固定边 ＡＢꎬ“ 推” 矩形使点 Ｄ 落在 ｙ 轴的正半轴上( 落点记为 Ｄ′) ꎬ相应地ꎬ点 Ｃ 的对应点 Ｃ′ 的坐标为.三、 解答题( 本题共 ６８ 分ꎬ第 １７ ~ ２１ 题每小题 ５ 分ꎬ第 ２２、２３ 题每小题 ６ 分ꎬ第 ２４ 题 ５ 分ꎬ第２５、２６ 题每小题 ６ 分ꎬ第 ２７、２８ 题每小题 ７ 分) １７. 计算: ６ｃｏｓ６０° － ２７ ＋ ( π － ２)０ － １８. 解方程: ｘ ＋ １＝ ３. － ２ .ｘ － ２２ － ｘ１９. 如图ꎬ在四边形 ＡＢＣＤ 中ꎬＥ 为 ＡＢ 的中点ꎬＤＥ ⊥ ＡＢ 于点 Ｅꎬ∠Ａ ＝ ６６°ꎬ∠ＡＢＣ ＝ ９０°ꎬＢＣ ＝ ＡＤꎬ求 ∠Ｃ 的度数.２０. 先化简ꎬ再求值:⎛１ － ５ ⎫ ÷ ｘ２－ ６ｘ ＋ ９ꎬ其中 ｘ ＝ － ５.ｘ ＋ ２÷ｘ ＋ ２２１. 如图ꎬ在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬＣＤ ⊥ ＡＢ 于点 ＤꎬＢＥ ⊥ ＡＢ 于点⎭ ⎝ ３ＢꎬＢＥ＝ＣＤꎬ连接ＣＥꎬＤＥ.(１) 求证:四边形ＣＤＢＥ为矩形ꎻ(２) 若ＡＣ＝２ꎬｔａｎ∠ＡＣＤ＝１ꎬ求ＤＥ的长.２２２.阅读下列材料:材料一:早在２０１１年９月２５日ꎬ北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票ꎬ２０１１年全年网络售票仅占１.６８％.２０１２年至２０１４年ꎬ全年网络售票占比都在２％左右.２０１５年全年网络售票占１７３３％ꎬ２０１６年全年网络售票占比增长至４１.１４％.２０１７年８月实现网络售票占比７７％.２０１７年１０月２日ꎬ首次实现全部网上售票.与此同时ꎬ网络购票也采用了“人性化”的服务方式ꎬ为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后ꎬ在北京故宫博物院的精细化管理下ꎬ观众可以更自主地安排自己的行程计划ꎬ获得更美好的文化空间和参观体验.材料二:以下是某同学根据网上搜集的数据制作的２０１３－２０１７年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.年度２０１３２０１４２０１５２０１６２０１７参观人数( 人次)７４５００００７６３００００７２９００００７５５００００８０６００００年增长率( ％) ３８.７２.４－４.５３.６６.８他还注意到了如下的一则新闻:２０１８年３月８日ꎬ中国国家博物馆官方微博发文ꎬ宣布取消纸质门票ꎬ观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆ꎬ同时馆方工作人员担心的是:“虽然有故宫免(纸质) 票的经验在前ꎬ但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票ꎬ他遵守预约的程度是不一样的. 但(国博) 免费就有可能约了不来ꎬ挤占资源ꎬ所以难度其实不一样.”尽管如此ꎬ国博仍将积极采取技术和服务升级ꎬ希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题:(１) 补全以下两个统计图ꎻ(２) 请你预估２０１８年中国国家博物馆的参观人数ꎬ并说明你的预估理由.２３.如图ꎬ在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ函数ｙ＝ｍ( ｘ<０) 的图象经过点Ａ( －４ꎬｎ) ꎬＡＢ⊥ｘ轴于点ｘＢꎬ点Ｃ与点Ａ关于原点Ｏ对称ꎬＣＤ⊥ｘ轴于点Ｄꎬ△ＡＢＤ的面积为８.(１) 求ｍꎬｎ的值ꎻ(２) 若直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ( ｋ≠０) 经过点Ｃꎬ且与ｘ轴ꎬｙ轴的交点分别为点ＥꎬＦꎬ当ＣＦ＝２ＣＥ时ꎬ求点Ｆ的坐标.２４.如图ꎬＡＢ是☉Ｏ的直径ꎬＣ是圆上一点ꎬ弦ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅꎬ且ＤＣ＝ＡＤ.过点Ａ作☉Ｏ的切线ꎬ过点Ｃ作ＤＡ的平行线ꎬ两直线交于点ＦꎬＦＣ的延长线交ＡＢ的延长线于点Ｇ.(１) 求证:ＦＧ与☉Ｏ相切ꎻ(２) 连接ＥＦꎬ求ｔａｎ∠ＥＦＣ的值.２５. 阅读下面材料:已知:如图ꎬ在正方形 ＡＢＣＤ 中ꎬ边 ＡＢ ＝ ａ１ .按照以下操作步骤ꎬ可以从该正方形开始ꎬ构造一系列的正方形ꎬ它们之间的边满足一定的关系ꎬ并且一个比一个小.操作步骤作法由操作步骤推断( 仅选取部分结论)第一步在第一个正方形ＡＢＣＤ 的对角线ＡＣ 上截取 ＡＥ ＝ ａ１ꎬ再作 ＥＦ ⊥ ＡＣ 于点 Ｅꎬ ＥＦ 与边 ＢＣ 交于点 Ｆꎬ记 ＣＥ ＝ ａ２ꎻ( ⅰ) △ＥＡＦ ≌ △ＢＡＦ( 判定依据是 ①) ꎻ ( ⅱ) △ＣＥＦ 是等腰直角三角形ꎻ ( ⅲ) 用含 ａ１ 的式子表示 ａ２ 为 ②ꎻ第二步以 ＣＥ 为边构造第二个正方形 ＣＥＦＧꎻ第三步在第二个正方形的对角线 ＣＦ 上截取ＦＨ ＝ ａ２ ꎬ再作ＩＨ ⊥ ＣＦ 于点ＨꎬＩＨ 与边 ＣＥ 交于点 Ｉꎬ记 ＣＨ ＝ ａ３ ꎻ( ⅳ) 用只含 ａ１ 的式子表示 ａ３ 为 ③ꎻ第四步以 ＣＨ 为边构造第三个正方形 ＣＨＩＪꎻ这个过程可以不断进行下去.若第 ｎ 个正方形的边长为 ａｎ ꎬ用只含 ａ１ 的式子表示 ａｎ 为 ④.请解决以下问题: (１) 完成表格中的填空:① ꎻ② ꎻ ③ꎻ④ꎻ根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形 ＣＨＩＪ( 不要求尺规作图) .(２)２６.抛物线Ｍ:ｙ＝ａｘ２－４ａｘ＋ａ－１ ( ａ≠０) 与ｘ轴交于ＡꎬＢ两点( 点Ａ在点Ｂ左侧) ꎬ抛物线的顶点为Ｄ.(１) 抛物线Ｍ的对称轴是直线ꎻ(２) 当ＡＢ＝２时ꎬ求抛物线Ｍ的函数表达式ꎻ(３) 在(２) 的条件下ꎬ直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｂ( ｋ≠０) 经过抛物线的顶点Ｄꎬ直线ｙ＝ｎ与抛物线Ｍ有两个公共点ꎬ它们的横坐标分别记为ｘ１ꎬｘ２ꎬ直线ｙ＝ｎ与直线ｌ的交点的横坐标记为ｘ３( ｘ３>０) ꎬ若当－２≤ｎ≤－１时ꎬ总有ｘ１－ｘ３>ｘ３－ｘ２>０ꎬ请结合函数的图象ꎬ直接写出ｋ的取值范围.２７.如图１ꎬ在等边三角形ＡＢＣ中ꎬＣＤ为中线ꎬ点Ｑ在线段ＣＤ上运动ꎬ将线段ＱＡ绕点Ｑ顺时针旋转ꎬ使得点Ａ的对应点Ｅ落在射线ＢＣ上ꎬ连接ＢＱꎬ设∠ＤＡＱ＝α(０°<α<６０°且α≠３０°) .(１) 当０°<α<３０°时ꎬ①在图１中依题意画出图形ꎬ并求∠ＢＱＥ( 用含α 的式子表示) ꎻ②探究线段ＣＥꎬＡＣꎬＣＱ之间的数量关系ꎬ并加以证明ꎻ当３０°<α<６０°时ꎬ直接写出线段ＣＥꎬＡＣꎬＣＱ之间的数量关系.图１备用图(２)ｘ３２８.对于平面直角坐标系ｘＯｙ中的点Ｑ( ｘꎬｙ) (ｘ≠０) ꎬ将它的纵坐标ｙ与横坐标ｘ的比ｙ称为点Ｑ的“理想值”ꎬ记作ＬＱ.如Ｑ( －１ꎬ２) 的“理想值”ＬＱ＝－２１＝－２.(１) ①若点Ｑ(１ꎬａ) 在直线ｙ＝ｘ－４上ꎬ则点Ｑ的“理想值”ＬＱ等于ꎻ②如图ꎬＣ( ３ꎬ１) ꎬ☉Ｃ的半径为１.若点Ｑ在☉Ｃ上ꎬ则点Ｑ的“理想值”ＬＱ的取值范围是.(２) 点Ｄ在直线ｙ＝－３ｘ＋３上ꎬ☉Ｄ的半径为１ꎬ点Ｑ在☉Ｄ上运动时都有０≤ＬＱ≤３ꎬ求点Ｄ的横坐标ｘＤ的取值范围ꎻ(３) Ｍ(２ꎬｍ)(ｍ > ０)ꎬＱ是以ｒ为半径的☉Ｍ上任意一点ꎬ当０≤ＬＱ≤２２时ꎬ画出满足条件的最大圆ꎬ并直接写出相应的半径ｒ的值.(要求画图位置准确ꎬ但不必尺规作图)１５. ２北京市西城区 ２０１８ 年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准２０１８.５一二２ｘ ６ｙ １７０ ꎬ ９. ｘ ≤ ２. １０. ３ . １１. ４π. １２. ３ｘ ＝ ８ｙ. １３. ２０.１４. 答案不唯一ꎬ例８如ꎬ将抛物线３ｙ ＝ ３( ｘ ＋ ２) ２－ １ 先向右平移 ２ 个单位长度ꎬ再向上平移 ３ 个单位长度得到抛物线 ｙ ＝ ３ｘ２ ＋ ２. ５４.１６. (７ꎬ４) .三、 解答题( 本题共 ６８ 分ꎬ第 １７ ~ ２１ 题每小题 ５ 分ꎬ第 ２２、２３ 题每小题 ６ 分ꎬ第 ２４ 题 ５ 分ꎬ第２５、２６ 题每小题 ６ 分ꎬ第 ２７、２８ 题每小题 ７ 分)１７. 解: ６ｃｏｓ６０° － ２７ ＋ ( π － ２) ０ － ３ － ２＝ ６ ×１－ ３ ３ ＋ １ － (２ － ３ ) ４ 分 ＝ ３ － ３ ３ ＋ １ － ２ ＋ ３ ＝ ２ － ２ｘ３ . ５ 分１８. 解方程:ｘ － ２ ＋ ２ １－ ｘ＝ ３. 解:去分母ꎬ得 ｘ － １ ＝ ３( ｘ － ２) . １ 分去括号ꎬ得 ｘ － １ ＝ ３ｘ － ６. ２ 分移项ꎬ得 ３ｘ － ｘ ＝ ６＝－ １. 合并同类项ꎬ得 ２ｘ ５５. ３ 分系数化为 １ꎬ得 ｘ ＝ ２. ４ 分经检验ꎬ原方程的解为 ｘ ＝ ５. ５ 分１９. 解:如图 １ꎬ连接 ＢＤ. ２∵ Ｅ 为 ＡＢ 的中点ꎬＤＥ ⊥ ＡＢ 于点 Ｅꎬ∴ ＡＤ ＝ ＢＤ. １ 分 ∴ ∠１ ＝ ∠Ａ. ∵ ∠Ａ ＝ ６６°ꎬ ∴ ∠１ ＝ ６６°. ２ 分 ∵ ∠ＡＢＣ ＝ ９０°ꎬ∴ ∠２ ＝ ∠ＡＢＣ － ∠１ ＝ ２４°. ∵ ＡＤ ＝ ＢＣ ꎬ ３ 分∴ ＢＤ ＝ ＢＣ. ４ 分 ∴ ∠Ｃ ＝ ∠３. ° － ∠２题号 １２３４５６７８答案Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ１８０∴∠Ｃ＝２＝７８°.５分: ２０⎛－ ５ ⎫ ÷ｘ２ － ６ｘ ＋ ９. 解⎝ｘ ＋ ２÷ｘ ＋ ２ ＝ ｘ － ３ ×ｘ ＋ ２ ３ 分 ｘ ＋ ２ ＝ ｘ －１ ３.( ｘ － ３) ２４ 分当 ｘ ＝ － ５ 时ꎬ原式 ＝ － １. ５ 分２１. (１) 证明:如图 ２. ８∵ ＣＤ ⊥ ＡＢ 于点 ＤꎬＢＥ ⊥ ＡＢ 于点 Ｂꎬ∴ ∠ＣＤＡ ＝ ∠ＤＢＥ ＝ ９０°. ∴ ＣＤ ∥ ＢＥ. １ 分(２) 又 ∵ ＢＥ ＝ ＣＤ ꎬ∴ 四边形 ＣＤＢＥ 为平行四边形. ２ 分 又 ∵ ∠ＤＢＥ ＝ ９０°ꎬ图 ２∴ 四边形 ＣＤＢＥ 为矩形. ３ 分解:∵ 四边形 ＣＤＢＥ 为矩形ꎬ∴ ＤＥ ＝ ＢＣ. ＝ ４ 分 ∵ 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠ＡＣＢ可得 ∠ＡＣＤ ＝ ∠１.∵ ｔａｎ∠ＡＣＤ ＝ １ꎬ９０°ꎬＣＤ ⊥ ＡＢꎬ２ ＝ＡＣＤ ＝ １ .∴ ｔａｎ∠１ｔａｎ∠２１∵ 在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬＡＣ ＝ ２ꎬｔａｎ∠１ ＝ ２ꎬ∴ ＢＣ ＝ ＡＣ＝ ４. ∴ ＤＥ ＝ ｔＢａＣｎ∠＝１ . ５ 分２２. 解:(１) 补全统计图如４图 ３.２３.⎭ １(２) 答案不唯一 预估理由合理 支撑预估数据即可.分图 ３４ 分解:(１) 如图 ４.ꎬꎬ６∵ 点 Ａ 的坐标为 Ａ( － ４ꎬｎ)ꎬ点 Ｃ 与点 Ａ 关于原点 Ｏ 对称ꎬｘＯＦ２ ２４ １ ２ ∴ 点 Ｃ 的坐标为 Ｃ(４ꎬ － ｎ) .∵ ＡＢ ⊥ ｘ 轴于点 ＢꎬＣＤ ⊥ ｘ 轴于点 Ｄꎬ ∴ ＢꎬＤ 两点的坐标分别为 Ｂ( － ４ꎬ０) ꎬＤ(４ꎬ０) .∵ △ＡＢＤ 的面积为 ８ꎬＳ△＝ １ ＡＢ × ＢＤ ＝ １× ( － ｎ) × ８ ＝ － ４ｎ ꎬ∴－ ４ｎ ＝ ８. ２２解得 ｎ ＝ － ２. ２ 分∵ 函数 ｙ ＝ ｍ( ｘ < ０) 的图象经过点 Ａ( － ４ꎬｎ) ꎬ(２) ∴ ｍ ＝ － ４ｎ ＝ ８. ３ 分 由(１) 得点 Ｃ 的坐标为 Ｃ(４ꎬ２) .① 如图 ４ꎬ当 ｋ < ０ 时ꎬ设直线 ｙ ｙ 轴的交点分别为点 Ｅ１ ꎬＦ１ .ｋｘ ＋ ｂ 与 ｘ 轴 ꎬ由 ＣＤ ⊥ ｘ 轴于点 Ｄ 可得 ＣＤ ∥ ＯＦ１ . ∴ △Ｅ１ ＣＤ ∽ △Ｅ１ Ｆ１ Ｏ. ＤＣ ＯＦ１ ＝ Ｅ１ Ｃ. Ｅ１ Ｆ１ ∵ ＣＦ１ ＝ ２ＣＥ１ ꎬ∴ ＤＣ ＝ １ . 图 ４ＯＦ１ ∴ ＯＦ１ ∴３３ＤＣ ＝ ６.点 Ｆ１ 的坐标为 Ｆ１(０ꎬ６) . ② 如图 ５ꎬ当 ｋ > ０ 时ꎬ设直线 ｙ 的交点分别为点 Ｅ２ ꎬＦ２ .＝ ｋｘ ＋ ｂ 与 ｘ 轴 ꎬｙ 轴同理可得 ＣＤ ∥ ＯＦ２ ꎬ ＤＣ ＝ Ｅ２ Ｃ .Ｅ２Ｆ２ ∵ ＣＦ２ ＝ ２ＣＥ２ ꎬ ∴ Ｅ２ 为线段 ＣＦ２ 的中点 ꎬＥ２ Ｃ ＝ Ｅ２ Ｆ２ . ∴ ＯＦ２ ＝ ＤＣ ＝ ２.∴ 点 Ｆ２ 的坐标为 Ｆ２(０ꎬ － ２) . ６ 分综上所述ꎬ点 Ｆ 的坐标为 Ｆ (０ꎬ６) ꎬＦ (０ꎬ － ２) . 图 ５. (１) 证明:如图 ６ꎬ连接 ＯＣꎬＡＣ.∵ ＡＢ 是 ☉Ｏ 的直径ꎬ弦 ＣＤ ⊥ ＡＢ 于点 Ｅꎬ ∴ ＣＥ ＝ ＤＥ ꎬ ＡＤ ＝ ＡＣ. ∵ ＤＣ ＝ ＡＤ ꎬ ∴ ＤＣ ＝ ＡＤ ＝ ＡＣ.ＡＢＤ ＝ ∴＝∴△ＡＣＤ为等边三角形.∴∠Ｄ＝∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ＝６０°.∴∠１＝１∠ＤＣＡ＝３０°.图６２２(２)∵ＦＧ∥ＤＡꎬ∴∠ＤＣＦ＋∠Ｄ＝１８０°.∴∠ＤＣＦ＝１８０°－∠Ｄ＝１２０°.∴∠ＯＣＦ＝∠ＤＣＦ－∠１＝９０°.∴ＦＧ⊥ＯＣ.∴ＦＧ与☉Ｏ相切. ３分解: 如图６ꎬ作ＥＨ⊥ＦＧ于点Ｈ.设ＣＥ＝ａꎬ则ＤＥ＝ａꎬＡＤ＝２ａ.∵ＡＦ与☉Ｏ相切ꎬ∴ＡＦ⊥ＡＧ.又∵ＤＣ⊥ＡＧꎬ可得ＡＦ∥ＤＣ. 又∵ＦＧ∥ＤＡꎬ∴四边形ＡＦＣＤ为平行四边形.∵ＤＣ＝ＡＤꎬＡＤ＝２ａꎬ∴四边形ＡＦＣＤ为菱形.∴ＡＦ＝ＦＣ＝ＡＤ＝２ａꎬ∠ＡＦＣ＝∠Ｄ＝６０°.由(１) 得∠ＤＣＧ＝６０°ꎬＥＨ＝ＣＥｓｉｎ６０°＝３ａꎬＣＨ＝ＣＥｃｏｓ６０°＝１ａ.２２∴ＦＨ＝ＣＨ＋ＣＦ＝５ａ.∵在Ｒｔ△ＥＦＨ中ꎬ∠ＥＨＦ＝９０°ꎬ３ａ∴ｔａｎ∠ＥＦＣ＝ＥＨ＝＝３. ５２５.解:(１) ①２ＦＨ５ａ５２分. １分斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等②( ２－１) ａ１.２分③( ２－１) ２ａ１.３分④( ２－１) ｎ－１ａ１.４分(２) 所画正方形ＣＨＩＪ见图７.６分图７４２６.解:如图８.(１) ｘ＝２.１分(２) ∵抛物线ｙ＝ａｘ２－４ａｘ＋ａ－１的对称轴为直线ｘ＝２ꎬ抛物线Ｍ与ｘ轴的交点为点ＡꎬＢ(点Ａ在点Ｂ左侧)ꎬＡＢ＝２ꎬ∴ＡꎬＢ两点的坐标分别为Ａ(１ꎬ０) ꎬＢ(３ꎬ０) . ２分∵点Ａ在抛物线Ｍ上ꎬ∴将Ａ(１ꎬ０) 的坐标代入抛物线的函数表达式ꎬ得ａ－４ａ＋ａ－１＝０.解得ａ＝－１. ３分２∴ｙ＝－１ｘ２＋２ｘ－３.４抛物线Ｍ的函数表达式为２２分(３) ｋ> ５. ６分图８２７.解:(１) 当０°<α<３０°时ꎬ①画出的图形如图９所示. １分∵△ＡＢＣ为等边三角形ꎬ∴∠ＡＢＣ＝６０°.∵ＣＤ为等边△ＡＢＣ的中线ꎬＱ为线段ＣＤ上的点ꎬ由等边三角形的对称性得ＱＡ＝ＱＢ.∵∠ＤＡＱ＝α ꎬ∴∠ＡＢＱ＝∠ＤＡＱ＝αꎬ∠ＱＢＥ＝６０°－α.∵线段ＱＥ为线段ＱＡ绕点Ｑ顺时针旋转所得ꎬ∴ＱＥ＝ＱＡ. 图９∴ＱＢ＝ＱＥ.可得∠ＢＱＥ＝１８０°－２∠ＱＢＥ＝１８０°－２(６０°－α) ＝６０°＋２α.２分②ＣＥ＋ＡＣ＝３ＣＱ. ３分证法一:如图１０ꎬ延长ＣＡ到点Ｆꎬ使得ＡＦ＝ＣＥꎬ连接ＱＦꎬ作ＱＨ⊥ＡＣ于点Ｈ.∵∠ＢＱＥ＝６０°＋２αꎬ点Ｅ在ＢＣ上ꎬ∴∠ＱＥＣ＝∠ＢＱＥ＋∠ＱＢＥ＝(６０°＋２α) ＋( ６０°－α) ＝１２０°＋α.２２３. 解:(１) ①３.１分∵点Ｆ在ＣＡ的延长线上ꎬ∠ＤＡＱ＝αꎬ∴∠ＱＡＦ＝∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＱ＝１２０°＋α.∴∠ＱＡＦ＝∠ＱＥＣ.又∵ＡＦ＝ＣＥꎬＱＡ＝ＱＥꎬ∴△ＱＡＦ≌△ＱＥＣ.∴ＱＦ＝ＱＣ.∵ＱＨ⊥ＡＣ于点Ｈꎬ∴ＦＨ＝ＣＨꎬＣＦ＝２ＣＨ.∵在等边三角形ＡＢＣ中ꎬＣＤ为中线ꎬ点Ｑ在ＣＤ上ꎬ图１０∴∠ＡＣＱ＝１∠ＡＣＢ＝３０°ꎬ即△ＱＣＦ为底角为３０°的等腰三角形.∴ＣＨ＝ＣＱｃｏｓ∠ＨＣＱ＝ＣＱｃｏｓ３０°＝３ＣＱ.∴ＣＥ＋ＡＣ＝ＡＦ＋ＡＣ＝ＣＦ＝２ＣＨ＝３ＣＱ.即ＣＥ＋ＡＣ＝３ＣＱ. ６分思路二: 如图１１ꎬ延长ＣＢ到点Ｇꎬ使得ＢＧ＝ＣＥꎬ连接ＱＧꎬ可得△ＱＢＧ≌△ＱＥＣꎬ△ＱＣＧ为底角为３０°的等腰三角形ꎬ与证法一同理可得ＣＥ＋ＡＣ＝ＢＧ＋ＢＣ＝ＣＧ＝３ＣＱ.图１１图１２２８(２)－如图１２ꎬ当３０°<α<６０°时ꎬＡＣ－ＣＥ＝３ＣＱ.７分②０≤ＬＱ≤３.２分(２) 设直线ｙ＝－３ｘ＋３与ｘ轴ꎬｙ轴的交点分别为点Ａꎬ点Ｂꎬ可得Ａ(３３ꎬ０) ꎬＢ(０ꎬ３) .∴ＯＡ＝３３ꎬＯＢ＝３ꎬ∠ＯＡＢ＝３０°.由０≤ＬＱ≤３ꎬ作直线ｙ＝３ｘ.①如图１３ꎬ当☉Ｄ与ｘ轴相切时ꎬ相应的圆心Ｄ１满足题意ꎬ其横坐标取到最大值. 作Ｄ１Ｅ１⊥ｘ轴于点Ｅ１ꎬ可得Ｄ１Ｅ１∥ＯＢꎬＤ１Ｅ１＝ＡＥ１.ＢＯＡＯ３２４４∵ ☉Ｄ 的半径为 １ꎬ ∴ Ｄ１ Ｅ１ ＝ １.∴ ＡＥ１ ＝ ３ ꎬＯＥ１ ＝ ＯＡ － ＡＥ１ ＝ ２ ３ . ∴ ｘＤ１ ＝ ２ ３ .② 如图１４ꎬ当☉Ｄ 与直线ｙ ＝ ３ ｘ 相切时ꎬ相应的圆心 Ｄ２ 满足题意ꎬ其横坐标取到最小值. 作 Ｄ２ Ｅ２ ⊥ ｘ 轴于点 Ｅ２ ꎬ则 Ｄ２ Ｅ２ ⊥ ＯＡ.设直线 ｙ ＝ ３ ｘ 与直线 ｙ ＝ － ３ｘ ＋ ３ 的图 １３交点为 Ｆ.可得 ∠ＡＯＦ ＝ ６０°ꎬＯＦ ⊥ ＡＢ. 则 ＡＦ ＝ ＯＡｃｏｓ∠ＯＡＦ ＝ ３ ３ ×３＝ ９ .∵ ☉Ｄ 的半径为 １ꎬ ∴ Ｄ２ Ｆ ＝ １.∴ ＡＤ２ ＝ ＡＦ － Ｄ２ Ｆ ＝２２７ . ２∴ ＡＥ２ ＝ ＡＤ２ ｃｏｓ∠ＯＡＦ ＝ ７×３ ２ ＝ ７ ３ ꎬＯＥ２ ＝ ＯＡ － ＡＥ２ ５ ３ ＝ ５ ３ .图 １４∴ ｘＤ２ ＝４ 由 ①② 可得ꎬｘＤ 的取值范围是５ ３≤ ｘＤ ≤ ２ ３ .(３) ５ 分 画图见图 １５.２ . ７ 分图 １５。
北京市西城区2018届中考数学复习模拟试卷及答案解析
初三下学期中考模拟数学测试卷20180320初三班学号姓名成绩一、选择题（每题3 分，共24 分）下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的．1．中共中央、国务院近日印发的《国家创新驱动发展战略纲要》强调，要增强企业创新能力，发展壮大创新型企业家群体，推动创新创业，激发全社会创造活力．据悉，2015 年全社会研发资金达14 000 多亿元．将14 000 用科学计数法表示应为A．0.14×105 B．1.4×104 C．1.4×105 D．0.14×1062．有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，下面结论正确的是c a bA．c＞a B．1＞0 cC．a ＜b D．a c＜0 3．在下列运算中，正确的是A．a2 ⋅a3 =a5B．(a2 )3=a5 C．a6 ÷a2 =a3D．a5 +a5 = 2a104．如图，是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图为主视左视俯视A．B．C．D．5. 如图，经过刨平的木板上的A，B 两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是A. 两点确定一条直线 BB. 两点之间线段最短C. 垂线段最短D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直6. 已知，关于x 的一元二次方程(m - 2)x2 + 2x +1 = 0 有实数根，则m 的取值范围是A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3 且m≠2 D．m≤3 且m≠27. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10 次射击的平均成绩恰好都是9.6 环，方差分别是S2 =0.96，S2 =1.12，S2 =0.56，S2 =1.58. 在本次射击测试中，成绩最稳定的是甲乙丙丁A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8. 一个观察员要到如图1 所示的A，B，C，D 四个观测点进行观测，行进路线由在同一平面上的AB，BC，CD，DA，AC，BD 组成. 为记录观察员的行进路线，在AB 的中点M 处放置了一台定位仪器，设观察员行进的路程为x，观察员与定位仪器之间的距离为y，若观察员匀速行进，且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2 所示，则观察员的行进路线可能为图 1 图 2A. A→D→C →BB. A→B→C→DC. A→C→B→DD. A→C→D→B二、填空题（本题共24 分，每小题3 分）9. 分解因式：2x3 - 4x2 + 2x =.610. 已知点A（2，y1）、B（m，y2）是反比例函数y = 的图象上的两点，且xy1 <y2 ，写出满足条件的m 的一个值，m 可以是.11. 已知正六边形ABCDEF 的边心距为3 cm，那么正六边形的半径为cm.12. 如图是根据某班50 名同学一周的体育锻练情况绘制的条形统计图，那么这个班50名同学一周参加体育锻炼时间的众数是（小时），中位数是（小时）.学生人数/人25 1917 20 95157 8 9 10 锻炼时间/小时13. 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？如果译成白话文，其意思是：有100 个和尚分正好分完. 如果大和尚一人分3 个，小和尚3 人分一个，试问大、小和尚各有几人？设大和尚x 人，小和尚y14. 如图，在ABCD 中，∠1=∠2，∠3=∠4，AD，请直接写出与AE 相等的线段（两条即可），写出满足勾股定理的等D F C2 3式（一组即可）1 4G H15.在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，线段AB，BC，求作：平行四边形ABCDAA E BB C小明的作法如下：如图：（1）以点C 为圆心，AB 长为半径孤弧；A D（2）以点A 为圆心，BC 长为半径面弧；（3）两弧在BC 上方交于点D，连接AD，CD，B C四边形ABCD 为所求作平行四边形老师说：“小明的作法正确。
2018年北京市西城区中考二模数学试卷含参考答案
数学试卷 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1. 如图所示，a ∥b ，直线a 与直线b 之间的距离是 A ．线段P A 的长度 B ．线段PB 的长度C ．线段PC 的长度D ．线段CD 的长度2. 将某不等式组的解集1-≤x <3表示在数轴上，下列表示正确的是3. 下列运算中，正确的是A ．22456x x x +=B ．326x x x ⋅=C ． 236()x x =D ．33()xy xy = 4.下列实数中，在2和3之间的是A ． πB ．π2-C ．D ．5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90︒，∠A = 45︒， ∠E = 60︒，点F 在CB 的延长线上.若DE ∥CF ， 则∠BDF 等于A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．15︒ 6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距 离AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF . 观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水 平线上，则下列结论中，正确的是A ．EF CF AB FB = B ．EF CFAB CB=C ．CE CFCA FB = D ．CE CF EA CB=7. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：A ．这组样本数据的平均数超过130B ．这组样本数据的中位数是147C ．在这次比赛中，估计成绩为130 min 的选手的成绩会比平均成绩差D ．在这次比赛中，估计成绩为142 min 的选手，会比一半以上的选手成绩要好 8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶， 车速分别为20 m/s 和v (m/s)，起初甲车在乙 车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲 车时，两车都停止行驶．设x (s)后两车相距y (m)，y 与x 的函数关系如图2所示．有以下 结论：①图1中a 的值为500； ②乙车的速度为35 m/s ；③图1中线段EF 应表示为5005x +；④图2中函数图象与x 轴交点的横坐标为100．其中所有的正确结论是A ．①④B．②③ C．①②④ D ．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. x 的取值范围是 ．10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为 ．11. 如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的 “最强大脑”大赛，准备购买A ，B 两款魔方.社长发现 若购买2个A 款魔方和6个B 款魔方共需170元，购买 3个A 款魔方和购买8个B 款魔方所需费用相同. 求每款魔方的单价.设A款魔方的单价为x元，B 款魔方的单 价为y 元，依题意可列方程组为 .抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .15. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，(3,0)A -，(4,0)B ，边AD 长为5. 现固定边AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为D '），相应地，点C 的对应点C '的坐标为 .三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：06cos60(π2)2︒-．18．解方程：1322x x x+=--.19. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，66A ∠=︒，90ABC ∠=︒，BC= AD ，求∠C 的度数．20.先化简，再求值：2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中5x =-．21.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ． （1）求证：四边形CDBE 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．22.阅读下列材料： 材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数myx=（0x<）的图象经过点(4,)A n-，AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8. （1）求m，n的值；（2）若直线y kx b =+（k ≠0）经过点C ，且与x 轴，y 轴的交点分别为点E ，F ，当2CF CE =时，求点F 的坐标．24．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC=AD ．过点A 作⊙O 的切线，过点C 作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G . （1）求证：FG 与⊙O 相切； （2）连接EF ，求tan EFC ∠的值.25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD 中，边1AB a =.按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：① ；② ； ③ ；④ ；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）.26. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为3x （30x >），若当2-≤n ≤1-时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.27. 如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明； （2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”QL 的取值范围是.0≤L Q D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9. x ≤2． 10.38． 11. 4π3. 12.26170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩13. 20. 14.答案不唯一，例如，将抛物线23(2)1y x =+-先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+. 15. 54． 16. (7,4)．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17.解： 06cos60(π2)2︒--161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分313=-+-2=-． ……………………………………………………………………………5分18．解方程：1322x x x+=--. 解：去分母，得13(2)x x -=-．……………………………………………………… 1分去括号，得136x x -=-． ……………………………………………………… 2分 移项，得 361x x -=-．合并同类项，得 25x =．………………………………………………………… 3分系数化为1，得52x =．…………………………………………………………… 4分 经检验，原方程的解为52x =．……………………………………………………5分19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， …………………………………………… 1分∴ 1A ∠=∠． ∵ 66A ∠=︒，∴ 166∠=︒．………………………………………………2分 ∵ 90ABC ∠=︒，∴ 2124ABC ∠=∠-∠=︒． …………………………… 3分∵ AD=BC ，∴ BD=BC ．…………………………………………………………………………4分 ∴ 3C ∠=∠．∴1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………………………………… 5分20.解： 2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+- ………………………………………………………………… 3分 13x =-．……………………………………………………………………………… 4分 当5x =-时，原式18=-．……………………………………………………………5分21. （1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，图1 图2∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，∴ DE=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ， 可得 1ACD ∠=∠．∵ 1tan 2ACD ∠=， ∴ 1tan 1tan 2ACD ∠=∠=． ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =2，1tan 12∠=， ∴ 4tan 1ACBC ==∠． ∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分 23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为(4,)A n -，点C 与点A 关于原点O 对称， ∴ 点C 的坐标为(4,)C n -．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为(4,0)B -，(4,0)D ． ∵ △ABD 的面积为8，11()8422ABDSAB BD n n =⨯=⨯-⨯=-， ∴ 48n -=．解得 2n =-． …………………………………………………………… 2分∵ 函数my x=（0x <）的图象经过点(4,)A n -， ∴ 48m n =-=．…………………………………………………………… 3分 （2）由（1）得点C 的坐标为(4,2)C ．① 如图4，当0k <时，设直线y kx b =+与x 轴， y 轴的交点分别为点1E ，1F ． 由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥1OF ．图3∴ △1E CD ∽△1E 1F O ． ∴1111E CDC OF E F =． ∵ 112CF CE =， ∴113DC OF =． ∴ 136OF DC ==．∴ 点1F 的坐标为1(0,6)F ．②如图5，当0k >时，设直线y kx b =+与x 轴，y 轴的交点分别为 点2E ，2F ． 同理可得CD ∥2OF ，2222E CDC OF E F =． ∵ 222CF CE =，∴ 2E 为线段2CF 的中点，222E C E F =． ∴ 22OF DC ==．∴ 点2F 的坐标为2(0,2)F -．…………6分综上所述，点F 的坐标为1(0,6)F ，2(0,2)F -．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形． ∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒．∴ 11302DCA ∠=∠=︒．∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ 180120DCF D ∠=︒-∠=︒． ∴ 190OCF DCF ∠=∠-∠=︒． ∴ FG ⊥OC ．图4图6图5∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形． ∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．由（1）得∠DCG= 60︒，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a=⋅︒=． ∴52FH CH CF a=+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF= 90︒，∴2tan 52EH EFC FH a ∠===． …………………………………… 5分25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②11)a ．………………… 2分③211)a ．…………………3分 ④111)n a -．……………… 4分 （2）所画正方形CHIJ 见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）2x =.…………………………… 1分（2）∵ 抛物线241y ax ax a =-+-的对称轴为直线2x =，抛物线M 与x 轴的 交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为(1,0)A ，(3,0)B .……………………………… 2分 ∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将(1,0)A 的坐标代入抛物线的函数表达式，得410a a a -+-=. 解得 12a =-. ………………………………………………………………… 3分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分（3）54k >. …………………… 6分27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ． ∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得， ∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802BQE QBE ∠=︒-∠1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分②CE AC +=．……………………………………………………… 3分 证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC于点H ．∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上， ∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α， ∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC ． 又∵ AF =CE ，QA=QE ， ∴ △QAF ≌△QEC ． ∴ QF=QC ．∵ QH ⊥AC 于点H ， ∴ FH=CH ，CF=2CH ．∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点Q 在CD 上，图9图8∴ ∠ACQ=12ACB∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形．∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH =．即CE AC +=． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，AC CE -．.............................. 7分 28.解：（1）①3-． (1)分② 0≤QL……………………………………………………………… 2分（2）设直线+3y x =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B，可得A ，(0,3)B ．∴OA =3OB =，30OAB ∠=︒． 由0≤QLy ．①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大图10图11 图12值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO =． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴1AE11OE OA AE =-= ∴1D x =②如图14，当⊙D与直线y 相切时， 相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到 最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y与直线+3y x =的交点为F ．可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos 2AF OA OAF =⋅∠==．∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 21D F =．∴2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF=⋅∠72==，22OE OA AE =-=．∴2D x =．由①②可得，D x的取值范围是≤D x≤．图13…………………………………………5分（3）画图见图15．图15。
2018年北京市西城区初三数学二模试题及答案
北京市西城区2018年九年级模拟测试数 学 试 卷 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1. 如图所示，a ∥b ，直线a 与直线b 之间的距离是 A ．线段P A 的长度 B ．线段PB 的长度 C ．线段PC 的长度 D ．线段CD 的长度2. 将某不等式组的解集≤x 3表示在数轴上，下列表示正确的是3. 下列运算中，正确的是A ．B ．C ．D ．4.下列实数中，在2和3之间的是A ．B ．C ．D ．5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90︒， ∠A = 45︒， ∠E = 60︒，点F 在CB 的延长线上. 若DE ∥CF ，则∠BDF 等于A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．15︒ 6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐 标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距 离AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF . 观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水 平线上，则下列结论中，正确的是A ．EF CF AB FB = B ．EF CFAB CB=C ．CE CFCA FB = D ．CE CF EA CB=1-<22456x x x +=326x x x ⋅=236()x x =33()xy xy =π π2-7. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：A ．这组样本数据的平均数超过130B ．这组样本数据的中位数是147C ．在这次比赛中，估计成绩为130 min 的选手的成绩会比平均成绩差D ．在这次比赛中，估计成绩为142 min 的选手，会比一半以上的选手成绩要好8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s 和v (m/s)，起初甲车在乙 车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲 车时，两车都停止行驶．设x (s)后两车相距y (m)，y 与x 的函数关系如图2所示．有以下 结论：①图1中a 的值为500； ②乙车的速度为35 m/s ； ③图1中线段EF 应表示为5005x +；④图2中函数图象与x 轴交点的横坐标为100． 其中所有的正确结论是A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 有意义，那么x 的取值范围是 ．10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为 ．11. 如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于 ．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的 “最强大脑”大赛，准备购买A ，B 两款魔方.社长发现 若购买2个A 款魔方和6个B 款魔方共需170元，购买 3个A 款魔方和购买8个B 款魔方所需费用相同. 求每 款魔方的单价.设A款魔方的单价为x 元，B款魔方的单价为y 元，依题意可列方程组为 .13. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH . 若AB=8，AD=6，则四边形EFGH 的周长等于 ．14.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23(2)1y x =+-平移后得到抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .15. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，，，边AD 长为5. 现固定边AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C 的对应点的坐标为 .三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：06cos60(π2)2︒-．18．解方程：1322x x x+=--.19. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，66A ∠=︒，90ABC ∠=︒，BC= AD ，求∠C 的度数．20.先化简，再求值：2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中5x =-．21.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ． （1）求证：四边形CDBE 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．(3,0)A -(4,0)B D 'C'22.阅读下列材料：材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.”尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数myx=（0x<）的图象经过点(4,)A n-，AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8.（1）求m，n的值；（2）若直线y kx b=+（k≠0）经过点C，且与x轴，y轴的交点分别为点E，F，当2CF CE=时，求点F的坐标．24．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G.（1）求证：FG与⊙O相切；（2）连接EF，求tan EFC∠的值.25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD 中，边1AB a .按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：① ；② ； ③ ；④ ；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）.26. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为（），若当≤n ≤时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.27. 如图1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在线段CD 上运动，将线段QA 绕点Q 顺时针旋转，使得点A 的对应点E 落在射线BC 上，连接BQ ，设∠DAQ =α （0°＜α＜60°且α≠30°）. （1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE （用含α的式子表示）； ②探究线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明； （2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.3x 30x >2-1-28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”QL 的取值范围是 .（2）点D 在直线+3y =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有0≤L Q D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9. x ≤2． 10.． 11. .12.13. 20. 14.答案不唯一，例如，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+. 15. 54． 16. ．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17.解：161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分313=-+-2=-． ……………………………………………………………………………5分18．解方程：. 解：去分母，得．……………………………………………………… 1分去括号，得．……………………………………………………… 2分 移项，得．合并同类项，得 ．………………………………………………………… 3分系数化为1，得．…………………………………………………………… 4分 经检验，原方程的解为．……………………………………………………5分19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， ……………… ………… 1分∴ ． ∵ ，∴ ．………………………… ……2分 ∵ ，384π326170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩23(2)1y x =+-(7,4)06cos60(π2)2︒-1322x x x+=--13(2)x x -=-136x x -=-361x x -=-25x =52x =52x =1A ∠=∠66A ∠=︒166∠=︒90ABC ∠=︒∴ ． …………………………… 3分 ∵ AD=BC ，∴ BD=BC ．…………………………………………………………………………4分 ∴ ．∴1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………………………………… 5分20.解： ………………………………………………………………… 3分 ．……………………………………………………………………………… 4分 当时，原式．……………………………………………………………5分21. （1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，∴ DE=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，，CD ⊥AB ， 可得 ．∵ ， ∴ ． ∵ 在Rt △ABC 中，，AC =2，， ∴ ． ∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.2124ABC ∠=∠-∠=︒3C ∠=∠2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+-13x =-5x =-18=-90ACB ∠=︒1ACD ∠=∠1tan 2ACD ∠=1tan 1tan 2ACD ∠=∠=90ACB ∠=︒1tan 12∠=4tan 1ACBC ==∠图2………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为，点C 与点A 关于原点O 对称，∴ 点C 的坐标为．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为，．∵ △ABD 的面积为8，， ∴ ．解得 ． …………………………………………………………… 2分 ∵ 函数（）的图象经过点， ∴ ． …………… 3分（2）由（1）得点C 的坐标为． ① 如图4，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为点，．由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥．∴ △CD ∽△O ．∴ ． ∵ ，∴．∴ ． ∴ 点的坐标为．②如图5，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为(4,)A n -(4,)C n -(4,0)B -(4,0)D 11()8422ABD S AB BD n n =⨯=⨯-⨯=- 48n -=2n =-m y x=0x <(4,)A n -48m n =-=(4,2)C 0k <y kx b =+1E 1F 1OF 1E 1E 1F 1111E C DC OF E F =112CF CE =113DC OF =136OF DC ==1F 1(0,6)F 0k >y kx b =+图4点，．同理可得CD ∥，． ∵ ，∴ 为线段的中点，．∴ 22OF DC ==．∴ 点的坐标为．…………6分综上所述，点F 的坐标为，．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形．∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒．∴ ． ∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ ．∴ ．∴ FG ⊥OC ．∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ．∵ AF 与⊙O 相切，∴ AF ⊥AG ．又∵ DC ⊥AG ，可得AF ∥DC ．又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形．∵ DC =AD ，AD=2a ，∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．由（1）得∠DCG= 60︒，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a =⋅︒=． ∴52FH CH CF a =+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF= 90︒，∴2tan 52EH EFC FH a ∠===． …………………………………… 5分2E 2F 2OF 2222E C DC OF E F =222CF CE =2E 2CF 222E C E F =2F 2(0,2)F -1(0,6)F 2(0,2)F -11302DCA ∠=∠=︒180120DCF D ∠=︒-∠=︒190OCF DCF ∠=∠-∠=︒图6图525．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②11)a ．………………… 2分③211)a ．…………………3分④111)n a -．……………… 4分（2）所画正方形CHIJ 见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）.…………………………… 1分 （2）∵ 抛物线241y ax ax a =-+-的对称轴为直线，抛物线M 与x 轴的 交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为，.……………………………… 2分∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将的坐标代入抛物线的函数表达式，得.解得 . ………………………………………………………………… 3分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分 （3）54k >. …………………… 6分27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ．∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．2x =2x =(1,0)A (3,0)B (1,0)A 410a a a -+-=12a =-∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分②．……………………………………………………… 3分证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC于点H ．∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上，∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α，∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α．∴ ∠QAF=∠QEC ．又∵ AF =CE ，QA=QE ，∴ △QAF ≌△QEC ．∴ QF=QC ．∵ QH ⊥AC 于点H ，∴ FH=CH ，CF=2CH ．∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在CD 上，∴ ∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形． ∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH =．即． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=．1802BQE QBE ∠=︒-∠CE AC +=CE AC +=图10（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．………………………… 7分28.解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤Q L ……………………………………………………………… 2分（2）设直线+3y =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B ，可得A ，(0,3)B ．∴OA =，3OB =，30OAB ∠=︒．由0≤Q L ，作直线y ．①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO =． ∵ ⊙D 的半径为1，∴ 111D E=．∴ 1AE11OE OA AE =-=∴ 1D x =②如图14，当⊙D 与直线y 相切时，相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到最小值．AC CE -=3-图11 图12作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y =与直线+3y =的 交点为F ．可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos 2AF OA OAF =⋅∠==． ∵ ⊙D 的半径为1，∴ 21D F =．∴ 2272AD AF D F =-=．∴ 22cos AE AD OAF =⋅∠72==，22OE OA AE =-=．∴2D x =．由①②可得，D x的取值范围是≤D x≤．………………………………………… 5分（3）画图见图15．7分。
2、2018西城初三二模数学试题及标准答案
北京市西城区２０１8年九年级模拟测试ﻩ数学试卷 ２01８.５一、选择题（本题共16分,每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． １. 如图所示,ａ∥b ，直线ａ与直线ｂ之间的距离是 A ．线段P Ａ的长度 B ．线段ＰB 的长度 C ．线段PC 的长度 D.线段ＣＤ的长度２． 将某不等式组的解集≤ｘ３表示在数轴上,下列表示正确的是3. 下列运算中,正确的是A. B ． Ｃ． D ．4.下列实数中，在２和3之间的是A ． Ｂ． C ． Ｄ．５． 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DF Ｅ ＝ 90︒,∠A= 45︒， ∠E = ６0︒,点Ｆ在CB 的延长线上．若D Ｅ∥CF , 则∠B ＤＦ等于1-<22456x x x +=326x x x ⋅=236()x x =33()xy xy =π π2-A．35︒Ｂ．30︒C.2５︒Ｄ．１５︒6. 中国古代在利用“计里画方”(比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时,会利用测杆、水准仪和照板来测量距离.在如图所示的测量距离AＢ的示意图中，记照板“内芯”的高度为ＥF．观测者的眼睛(图中用点C表示）与ＢF在同一水平线上,则下列结论中，正确的是A．EF CFAB FB=Ｂ.EF CFAB CB=C.CE CFCA FB=D．CE CFEA CB=7．在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了１0名选手,记录他们的成绩(所用的时间）如下:选手１ 2 3 4 5 6 ７8 9 1０时间(min) 129 6 148 1５4 158 165 １75由此所得的以下推断不正确．．．的是A.这组样本数据的平均数超过１30Ｂ．这组样本数据的中位数是１4７Ｃ．在这次比赛中，估计成绩为130 min的选手的成绩会比平均成绩差D.在这次比赛中，估计成绩为1４2ｍｉn的选手，会比一半以上的选手成绩要好。
2018年北京市各区中考数学二模试卷分类汇编5【四边形】含解析
2018年高考文科数学各地二模试题分类汇编专题5【四边形】【2018·西城二模】1.如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH.若AB=8，AD=6，则四边形EFGH的周长等于．【答案】20【2018·昌平二模】2.如图，已知△ACB中，∠ACB=90°，CE是△ACB的中线，分别过点A、点C作CE和AB的平行线，交于点D．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若CE=4，且∠DAE=60°，求△ACB的面积．【答案】(1)证明：∵AD//CE，CD//AE∴四边形AECD为平行四边形………………………1分∵∠ACB=90°，CE是△ACB的中线∴CE=AE…………………………………2分∴四边形ADCE是菱形（2）解：∵CE=4，AE=CE=EB∴AB =8，AE=4∵四边形ADCE 是菱形,∠DAE =60°∴∠CAE =30°…………………………………3分∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB =30°，AB =83cos 2AC CAB AB ∠==，142CB AB ==∴AC =43…………………………………4分∴1832ABC S AC BC ∆=⋅=…………………………………………………5分【2018·朝阳二模】3.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 到E ，使DE =CD ，连接AE ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）连接OE ，若∠ABC =60°，且AD =DE =4，求OE 的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD .∵DE ＝CD ，∴AB ＝DE .∴四边形ABDE 是平行四边形.………………………………2分（2）解：∵AD ＝DE ＝4，∴AD ＝AB ＝4.∴□ABCD 是菱形.………………………………3分∴AB ＝BC ，AC ⊥BD ，BO ＝BD 21，∠ABO ＝ABC ∠21.又∵∠ABC ＝60°，∴∠ABO ＝30°.在Rt △ABO 中，2sin =∠⋅=ABO AB AO ，32cos =∠⋅=ABO AB BO .∴BD ＝34.∵四边形ABDE 是平行四边形，∴AE ∥BD ，34==BD AE .又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥AE .在Rt △AOE 中，13222=+=AO AE OE .……………………………5分【2018·东城二模】4．如图，在菱形ABCD 中，BAD α∠=，点E 在对角线BD 上.将线段CE 绕点C 顺时针旋转α，得到CF ，连接DF .（1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ，若EB =EC ，求证：AC CF ⊥.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴=BC DC ，BAD BCD α==∠∠.∵ECF α=∠，∴BCD ECF ∠=∠.∴=BCE DCF ∠∠.∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到，∴=CE CF .在BEC △和DFC △中，BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴BEC △≌()SAS DFC △.∴=.BE DF ----------------------------------------------------------------------2分(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴ACB ACD ∠=∠，AC BD ⊥.∴+90ACB EBC ∠=︒∠.∵=EB EC ，∴=EBC BCE ∠∠.由（1）可知，∵=EBC DCF ∠∠，∴+90DCF ACD EBC ACB ∠=∠+∠=︒∠.∴90ACF =︒∠.∴AC CF ⊥.---------------------------------------------------------------------5分【2018·房山二模】5.已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA =EC ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果∠BDC =30°，DE =2，EC =3，求CD 的长．【答案】解：（1）∵AD=CD,EA=EC,DE=DE∴△ADE≌△CDE∴∠ADE=∠CDE∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC∴∠DBC=∠BDC∴BC=CD∴AD=BC又∵AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形…………………………………………………2′∵AD=CD∴四边形ABCD是菱形…………………………………………………………3′（2）作EF⊥CD于F∵∠BDC=30°，DE=2∴EF=1,DF=3……………………………………………………………………4′∵CE=3∴CF=22∴CD=22+3…………………………………………………………………5′【2018·丰台二模】6．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BEDF为平行四边形………………1分∴∠1=∠3.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴BF=DF.∴四边形BEDF为菱形.………………………2分（2）解：过点D作DG⊥BC于点G，则∠BGD=90°.∵∠A=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°.由（1）知，BF=DF，∠2=30°，DF∥AB，∴∠DFG=∠ABC=60°.∵BD=12，∴在Rt△BDG中，DG=6.∴在Rt△FDG中，DF=43.………………………4分∴BF=DF=43.∴S 菱形BEDF 243BF DG =⋅=.………………………5分（其他证法相应给分）【2018·海淀二模】7．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，BD 交AC 于G ，E 是BD 的中点，连接AE 并延长，交CD 于点F ，F 恰好是CD 的中点.（1）求BGGD 的值；（2）若CE EB =，求证：四边形ABCF 是矩形.【答案】（1）解：∵AB ∥CD ，∴∠ABE =∠EDC .∵∠BEA =∠DEF ，∴△ABE ∽△FDE .∴AB BEDF DE =.∵E 是BD 的中点，∴BE =DE .∴AB =DF .∵F 是CD 的中点，∴CF =FD .∴CD =2AB .∵∠ABE =∠EDC ，∠AGB =∠CGD ，∴△ABG ∽△CDG .∴12BG ABGD CD ==.（2）证明：∵AB ∥CF ，AB =CF ，∴四边形ABCF 是平行四边形.∵CE =BE ，BE =DE ，∴CE =ED .∵CF =FD ，∴EF 垂直平分CD .∴∠CFA =90°.∴四边形ABCF 是矩形.【2018·石景山二模】8．如图，在四边形ABCD 中，45A ∠=︒，CD BC =，DE 是AB 边的垂直平分线，连接CE ．（1）求证：DEC BEC ∠=∠；（2）若8AB =，10BC =，求CE 的长．【答案】（1）证明：∵DE 是AB 边的垂直平分线，∴DE AB ⊥，4AE EB ==，…………1分∵45A ∠=︒，∴DE AE EB ==，又∵DC CB =，CE CE =，∴△EDC ≌△EBC .∴45DEC BEC ∠=∠=︒.…………2分（2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，可得，CH EH =，设EH x =，则4BH x =-，在Rt △CHB 中，222CH BH BC +=，………3分即22(4)10x x +-=，解之，13x =，21x =（不合题意，舍），…………4分即3EH =.∴232CE EH ==.…………5分【2018·西城二模】9.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ．（1）求证：四边形CDBE 为矩形；（2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．【答案】（1）证明：如图2.∵CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，∴90CDA DBE ∠=∠=︒．∴CD ∥BE ． (1)分又∵BE=CD ，∴四边形CDBE 为平行四边形．……………2分又∵90DBE ∠=︒，∴四边形CDBE 为矩形．………………………………………………3分（2）解：DE=BC=4【2018·海淀二模】10．如图，四边形ABCD 中，90C ∠=°，BD 平分ABC ∠，3AD =，E 为AB 上一点，4AE =，5ED =，求CD 的长．图2【答案】证明：∵3AD =，4AE =，5ED =，∴222AD AE ED +=.∴90A ∠=︒.∴DA AB ⊥.∵90C ∠=︒.∴DC BC ⊥.∵BD 平分ABC ∠，∴DC AD =.∵3AD =，∴3CD =.。
20180530-西城初三数学二模答案
北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准 2018.5一、 选择题（本题共16分，每小题2分）二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9. x ≤2． 10.38． 11. 4π3. 12.26170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩13. 20. 14.答案不唯一，例如，将抛物线23(2)1y x =+-先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+. 15. 54． 16. (7,4)．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17.解： 06cos60(π2)2︒-161(22=⨯-- ……………………………………………………… 4分312=--2=- ……………………………………………………………………………5分18．解方程：1322x x x+=--. 解：去分母，得13(2)x x -=-．……………………………………………………… 1分去括号，得136x x -=-． ……………………………………………………… 2分 移项，得 361x x -=-．合并同类项，得 25x =．………………………………………………………… 3分系数化为1，得52x =．…………………………………………………………… 4分经检验，原方程的解为52x =．……………………………………………………5分19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD= BD ， …………………………………………… 1分∴ 1A ∠=∠． ∵ 66A ∠=︒，∴ 166∠=︒．………………………………………………2分 ∵ 90ABC ∠=︒，∴ 2124ABC ∠=∠-∠=︒． …………………………… 3分 ∵ AD=BC ，图1∴ BD=BC ．…………………………………………………………………………4分 ∴ 3C ∠=∠． ∴ 1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………………………………… 5分 20.解： 2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+- ………………………………………………………………… 3分 13x =-．……………………………………………………………………………… 4分 当5x =-时，原式18=-．……………………………………………………………5分21. （1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，∴ DE=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ， 可得 1ACD ∠=∠．∵ 1tan 2ACD ∠=， ∴ 1tan 1tan 2ACD ∠=∠=． ∵ 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =2，1tan 12∠=， ∴ 4tan 1ACBC ==∠． ∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分22.解：（1）补全统计图如图3.………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分 23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为(4,)A n -，点C 与点A 关于原点O 对称， ∴ 点C 的坐标为(4,)C n -．∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为(4,0)B -，(4,0)D ． ∵ △ABD 的面积为8，11()8422ABDSAB BD n n =⨯=⨯-⨯=-， ∴ 48n -=．解得 2n =-． …………………………………………………………… 2分∵ 函数my x=（0x <）的图象经过点(4,)A n -， ∴ 48m n =-=．…………………………………………………………… 3分 （2）由（1）得点C 的坐标为(4,2)C ．① 如图4，当0k <时，设直线y kx b =+与x 轴， y 轴的交点分别为点1E ，1F ． 由 CD ⊥x 轴于点D 可得CD ∥1OF ． ∴ △1E CD ∽△1E 1F O ． ∴1111E CDC OF E F =． ∵ 112CF CE =， ∴113DC OF =． ∴ 136OF DC ==．∴ 点1F 的坐标为1(0,6)F ．图4图3②如图5，当0k >时，设直线y kx b =+与x 轴，y 轴的交点分别为 点2E ，2F ． 同理可得CD ∥2OF ，2222E CDC OF E F =． ∵ 222CF CE =，∴ 2E 为线段2CF 的中点，222E C E F =． ∴ 22OF DC ==．∴ 点2F 的坐标为2(0,2)F -．…………6分综上所述，点F 的坐标为1(0,6)F ，2(0,2)F -．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴ DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形．∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60︒．∴ 11302DCA ∠=∠=︒． ∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒． ∴ 180120DCF D ∠=︒-∠=︒． ∴ 190OCF DCF ∠=∠-∠=︒． ∴ FG ⊥OC ．∴ FG 与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形． ∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形．∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．图6 图5由（1）得∠DCG= 60︒，sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a =⋅︒=．∴ 52FH CH CF a =+=． ∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF= 90︒，∴2tan 52EH EFC FH a ∠=== …………………………………… 5分25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②11)a ．………………… 2分③211)a ．…………………3分 ④111)n a -．……………… 4分（2）所画正方形CHIJ 见图7.……………………………6分26.解：如图8.（1）2x =.…………………………… 1分（2）∵ 抛物线 241y ax ax a =-+-的对称轴为直线2x =，抛物线M 与x 轴的交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为(1,0)A ，(3,0)B .……………………………… 2分 ∵ 点A 在抛物线M 上，∴ 将(1,0)A 的坐标代入抛物线的函数表达式，得410a a a -+-=.解得 12a =-. ………………………………………………………………… 3分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分（3）54k >. ………………………………………………………………………… 6分27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示．…………… 1分∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC=60°．∵ CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ． ∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得 1802BQE QBE ∠=︒-∠1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分②CE AC +=．……………………………………………………… 3分 证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC于点H ．∵ ∠BQE =60°+2α，点E 在BC 上， ∴ ∠QEC =∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵ 点F 在CA 的延长线上，∠DAQ =α， ∴ ∠QAF =∠BAF +∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC ． 又∵ AF =CE ，QA=QE ， ∴ △QAF ≌△QEC ． ∴ QF=QC ．∵ QH ⊥AC 于点H ， ∴ FH=CH ，CF=2CH ．∵ 在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点Q 在CD 上，∴ ∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形． ∴cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=． ∴ CE AC AF AC CF +=+=2CH ==．即CE AC +=． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+==．图10图9（2）如图12，当30°＜α＜60°时，AC CE -=．………………………… 7分 28.解：（1）①3-． ………………………………………………………………………… 1分② 0≤Q L……………………………………………………………… 2分 （2）设直线+3y x =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B，可得A ， (0,3)B ．∴OA =3OB =，30OAB ∠=︒． 由0≤Q L，作直线y =． ①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ， 可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO=． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴1AE =11OE OA AE =-=． ∴1D x =②如图14，当⊙D与直线y =相切时， 相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到 最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．设直线y =与直线+3y =的 图11 图12 图13交点为F ．可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ．则9cos 22AF OA OAF =⋅∠==． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 21D F =． ∴ 2272AD AF D F =-=． ∴ 22cos AE AD OAF =⋅∠72==，22OE OA AE =-=∴2D x ． 由①②可得，D x≤D x≤ ………………………………………… 5分（3）画图见图15．．…………………………………………… 7分。
北京西城区中考二模数学试题答案
北京市西城区20XX 年初三二模试卷数学答案及评分标准 2011.6一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号1 2 3 4 56 7 8 答案B A DC BCAA二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 9 10 1112答案()()22-+m m m2≠x32，34()20122011,11+n n 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=132122--- ……………………………………………………………4分 =3222-． ……………………………………………………………………5分 14．证明： 如图1．在△ACE 和△BDE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,BD AC BED AEC DBE CAE ………………………………3分∴ △ACE ≌△BDE ． ……………………………………………………………4分 ∴ AE =BE ．………………………………………………………………………5分 15．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根，∴ 16420k ∆=-⨯>． ………………………………………………………1分 解得2k <． ……………………………………………………………………2分 （2）∵2k <，∴ 符合条件的最大整数1k =，此时方程为2420x x ++=． ……………3分∴ 142a b c ===，，． ∴ 22444128b ac -=-⨯⨯=．………………………………………………4分代入求根公式242b b acx a-±-=，得422222x -±==-±．…………5分 ∴ 122222x x =-+=--，．16．解：原式=222222x xy y xy y ++--=22x y -．………………………………………2分 ∵ 122=+xy x ①，152=+y xy ②，∴ ①-②，得223x y -=-． ………………………………………………………4分∴ 原式=3-． ………………………………………………………………………5分图117．解：（1）∵ 反比例数my x=()0≠m 的图象经过(3,1)A -，(2,)B n 两点，（如图2） ∴ 313m =-⨯=-，322m n ==-．∴ 反比例函数解析式为3y x =-．………………………1分点B 的坐标为3(2)2B -，．……………………………2分∵ 一次函数y kx b =+()0≠k 的图象经过(3,1)A -，3(2)2B -，两点，∴ 31,32.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得 1,21.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 一次函数的解析式为1122y x =--．……………………………………3分（2）设一次函数1122y x =--的图象与x 轴的交点为C ，则点C 的坐标为(1,0)C -．∴ =AOB ACO COB S S S ∆∆∆+113=11+1222⨯⨯⨯⨯5=4． …………………………5分18．解：（1）50；………………………………………………………………………………1分（2）………………………………………………………………………………3分 （3）3．………………………………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）因为购买大型客车x 辆，所以购买中型客车(20)x -辆． ()62402022800y x x x =+-=+．…………………………………………2分 （2）依题意得x -20< x .解得x >10．……………………………………………………………………3分∵ 22800y x =+，y 随着x 的增大而增大，x 为整数，∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． …………4分 此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．……………………………5分答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元．图220．解：（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．（如图3）∵ AB ∥DC ，DM ⊥AB ，CN ⊥AB ，∴ ∠DMN =∠CNM =∠MDC =90︒． ∴ 四边形MNCD 是矩形. ∵4CD =，∴ MN =CD = 4．∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==， ∴ ∠DAB =∠CBA ，DM=CN ． ∴ △ADM ≌△BCN ． 又∵10AB =， ∴ AM =BN =()11(104)322AB MN -=⨯-=． ∴ MB =BN +MN =7．……………………………………………………………2分∵ 在Rt △AMD 中，∠AMD =90︒，AD =5，AM =3， ∴ 224DM AD AM =-=．∴ 4tan 7DM ABD BM ∠==．……………………………………………………3分 （2）∵ EF AB ⊥，∴ ∠F =90︒．∵∠DMN =90︒， ∴ ∠F =∠DMN .∴ DM ∥EF ．∴ △BDM ∽△BEF ． ∵ DE BD =，∴12BM BD BF BE ==． ∴ BF =2BM =14． ……………………………………………………………4分∴ AF =BF -AB =14-10=4． …………………………………………………5分21．（1）证明：如图4． ∵ 点A 是劣弧BC 的中点，∴ ∠ABC ＝∠ADB ．………………………1分 又∵ ∠BAD ＝∠EAB ，∴ △ABE ∽△ADB ．………………………2分 ∴AB AD AE AB=． ∴ 2AB AE AD =⋅．………………………………………………………3分 （2）解：∵ AE =2，ED =4，∴()22612AB AE AD AE AE ED =⋅=+=⨯=．∴23AB =（舍负）．………………………………………………………4分∵ BD 为⊙O 的直径，∴ ∠A =90︒．图4EC OF A D B 图3又∵ DF 是⊙O 的切线，∴ DF ⊥BD.∴ ∠BDF =90︒．在Rt △ABD 中，233tan 63AB ADB AD ∠===， ∴ ∠ADB =30︒．∴ ∠ABC =∠ADB =30︒. ∴∠DEF=∠AEB=60︒，903060EDF BDF ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒． ∴ ∠F =18060DEF EDF ︒-∠-∠=︒． ∴ △DEF 是等边三角形．∴ EF = DE =4．………………………………………………………………5分22．解：（1）……………………………………………………1分（2）……………………………………………………3分（3）……………………………………………………5分 23．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分（2）2ca．……………………………………………………………………………4分 （3）答：当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是正数．理由如下：设抛物线2y ax bx c =++（a ≠0），则由题意可知，它经过A (,0)2ca，B (2,0) 两点．∵ a ＞0，c ＜0，∴ 抛物线2y ax bx c =++开口向上，且2ca＜0＜2，即点A 在点B 左侧． …………………………………………………………………………5分设点M 的坐标为2(,)M m am bm c ++，点N 的坐标为(5,)N m y +．∵ 代数式2am bm c ++的值小于0，∴ 点M 在抛物线2y ax bx c =++上，且点M 的纵坐标为负数． ∴ 点M 在x 轴下方的抛物线上．（如图5）∴ A M B x x x <<，即22cm a<<． ∴ 5572c m a +<+<，即572N c x a+<<．以下判断52ca+与B x 的大小关系：∵ 42a b c ++＝0，a ＞b ，a ＞0， ∴ 66(42)(5)(5)202222B c c a c a a b a b x a a a a a+-+-+-=+-===>． ∴B x ac>+52． ∴ 52N B cx x a>+>．…………………………………………………………6分 ∵ B ，N 两点都在抛物线的对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大， ∴B N y y >，即y >0.∴ 当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是正数． ………………………7分24．解：（1）52，265．………………………………………………………………………2分 （2）只有点P 在DF 边上运动时，△PDE 才能成为等腰三角形，且PD=PE ．（如 图6）……………………………………………………………………………3分 ∵ BF=t ，PF=2t ，DF ＝8， ∴ 82PD DF PF t =-=-．在Rt △PEF 中，2222436PE PF EF t =+=+=2PD．即()2228364t t -=+．解得 78t =．…………………………………4分 ∴ t 为78时△PDE 为等腰三角形．（3）设当△DEF 和点P 运动的时间是t 时，点P 与点G 重合，此时点P 一定在DE边上，DP= DG ． 由已知可得93tan 124AC B BC ===，63tan 84EF D DF ===． ∴.D B ∠=∠∴.90︒=∠=∠BFH DGH∴ 3tan 4FH BF B t =⋅=， 384D H D F F H t=-=-， .5325354438cos +-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=t t D DH DG∵ 2DP DF t +=，∴ 28DP t =-． 由DP=DG 得3322855t t -=-+． 图5解得 7213t =． …………………………………………………………………5分 检验：724613<<，此时点P 在DE 边上.∴ t 的值为7213时，点P 与点G 重合．（4）当0＜t ≤4时，点P 在DF 边上运动（如图6），t a n 2PFPBF BF∠==．…………………………………………………………………………………6分 当4< t ≤6时，点P 在DE 边上运动（如图7），作PS ⊥BC 于S ，则t a n PSPBF BS∠=． 可得10(28)182PE DE DP t t =-=--=-．此时()5725821854cos cos +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE PS ，()5545621853sin sin +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE ES ．524511554566-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=-+=t t t ES EF BF BS ．∴ 728tan 1124PS tPBF BS t -∠==-．………………………………………………7分 综上所述， 2 (04),tan 728 (46).1124t PBF t t t <≤⎧⎪∠=-⎨≤≤⎪-⎩（以上时间单位均为s ，线段长度单位均为cm ）25．解：（1）B 点的坐标为(23,6)，………………………………………………………1分 C 点的坐标为(63,2)．………………………………………………………3分 （2）当AB =4k ，(0,)A m 时，OA =m ，与（1）同理可得B 点的坐标为(23,2)B k k m +，C 点的坐标为(233,2)C k m k +．如图8，过点B 作y 轴的垂线，垂足为F ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为G ， 两条垂线的交点为H ，作DM ⊥FH 于点M ，EN ⊥OG 于点N ．由三角形中位线的性质可得点D 的坐标为(3,)D k k m +，点E 的坐标为3(3,)2mE k k +．由勾股定理得2237()22m DE m m =+=． ∵ DE=27，∴ m=4． ……………………………4分 ∵ D 恰为抛物线2123(21)23(2)k y x x m k k +=-++++的顶点，它的顶点横坐标为3(21)3k +， ∴3(21)33k k +=．解得k=1．此时抛物线的解析式2123433y x x =-++． …………………………………5分此时D ，E 两点的坐标分别为(3,5)D ，(33,1)E ．∴ 27OD =，27OE =．∴ OD=OE=DE ．∴ 此时△ODE 为等边三角形，cos ∠ODE= cos60°=12．……………………6分 （3）E 1，E 3点的坐标分别为13(3,1)2m E +，E 33(33,3)2m+． 设直线13E E 的解析式为y ax b =+（a ≠0）．则 3(3)1,23(33) 3.2ma b ma b ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩解得 3,3.2a m b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 直线13E E 的解析式为332my x =-． ……………………………………7分 可得直线13E E 与y 轴正方向的夹角等于60°.∵ 直线13D D ，13E E 与y 轴正方向的夹角都等于60°， ∴ 13D D ∥13E E ．∵ D 1，D 3两点的坐标分别为1(3,1)D m +，3(33,3)D m +， 由勾股定理得13D D =4，13E E =4． ∴ 1313D D E E =．∴ 四边形1331D D E E 为平行四边形．设直线13E E 与y 轴的交点为P ，作AQ ⊥13E E 于Q ．（如图9）可得点P 的坐标为.23,2,0m AP m P =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴.43360sin sin m AP OPQ AP AQ =︒⋅=∠⋅= ∴ 133113334334D DE E mS D D AQ m =⨯=⨯=四边形．…………………………8分。
2018年北京市各区中考数学二模试卷分类汇编5【四边形】含解析
可得， CH EH ，
设 EH x ，则 BH 4 x ，
在 Rt △ CHB 中，
CH 2 BH 2 BC 2 ，
2
2
即 x (4 x) 10，
……… 3 分
解之， x1 3 ， x2 1 （不合题意，舍） ，………… 4 分
即 EH 3.
∴ CE 2EH 3 2 .
………… 5 分
10
2018 年北京市各区中考数学二模试卷分类汇编 5 【四边形】含解析
【答案】解：（ 1 ）∵ AD = CD ,EA= EC,DE = DE ∴△ ADE ≌△ CDE ∴∠ ADE =∠ CDE ∵ AD ∥BC ∴∠ ADB =∠ DBC ∴∠ DBC =∠ BDC ∴ BC=CD ∴ AD =BC
又∵ AD ∥BC ∴四边形 ABCD 是平行四边形………………………………………………… 2′ ∵ AD =CD ∴四边形 ABCD 是菱形………………………………………………………… 3′
∴ CDA DBE 90 ．
∴ CD∥BE．………………………………… 1
分
又∵ BE=CD ，
∴ 四边形 CDBE 为平行四边形．…………… 2 分
图2
又∵ DBE 90 ，
∴ 四边形 CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3 分
（ 2）解： DE=BC= 4
【 2018·海淀二模】 10．如图， 四边形 ABCD 中， C 90°， BD 平分 ABC ， AD 3， E 为 AB 上一点， AE 4 ， ED 5 ，求 CD 的长．
∴AE∥ BD， AE BD 4 3 . 又∵ AC⊥BD， ∴AC⊥ AE. 在 Rt △AOE 中， OE AE 2 AO2 2 13 . …………………………… 5 分
2018年西城区中考二模数学试题
2018年西城区中考二模数学试题2018.6一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1． -2019的倒数是A. 2018B. 20101-C. 20101D. -2019 2．在722，5，π和9四个实数中，其中的无理数是 A . 722和5 B. 722和π C . 9和5 D . 5 和π3．如图，⊙O 的半径为2，直线PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，若PA⊥PB ，则OP 的长为A ． 24B ． 4C ．22D ． 24．在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，把矩形OABC 绕着原点顺时针旋转90得到矩形OA B C '''，若OA =2，OC =4，则点B '的坐标为A ．(24)，B ．(24)-，C ．(42)，D ．(24)-，5．某班在开展 “节约每一滴水”的活动中，从全班40名同学中选出10名同学汇报了各自家庭一用所学的统计知识估计40名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是 A ．20 m3B ．52 m 3C ．60 m 3D ．100m36．有9张背面相同的卡片，正面分别印有下列几种几何图形．其中等腰三角形4张、平行四边形3张、圆形2张，现将9张卡片正面朝下洗匀任意摆放，从中任意抽取一张，抽到正面图形属于中心对称图形的卡片的概率是A ．95B ．92 C ．91 D ．17．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的侧面积为（ ） A ．π6B ．π12 C ．4π2D ．8π48．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是A ．222+ B ．52C 。
62D ． 6二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．在函数51-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 10．在□ABCD 中，E 为BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，若AB =7，CF =3，则CEAD = ．11．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分面积为 ．12．一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解分式方程：xxx -+=-3331. 14．已知关于x 的一元二次方程x 2―m x ―2=0．（1）对于任意实数m ，判断此方程根的情况，并说明理由； （2）当m =2时，求些方程的根．15．已知：如图，在正方形ABCD 中， 点E 在CD 边上，点F 在CB 的延长线上，且FA ⊥EA ．求证：DE =BF ．.16．已知1582=+x x ，求2)12()1(4)2)(2(++---+x x x x x 的值.17．如图，二次函数321++=bx ax y 的图象与x 轴相交于点A （－3，0）、B （1，0），交y 轴点C ，C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数n mx y +=2的图象经过B 、D 两点．（1）求二次函数的解析式及点D 的坐标； （2）根据图象写出12y y >时，x 的取值范围．18． 如图，在矩形ABCD 中， AB ＝6，∠BAC =30°，点E 在CD 边上．（1）若AE =4，求梯形ABCE 的面积；（2）若点F 在AC 上，且CEA BFA ∠=∠，求AEBF 的值．四、解答题（本题共20分，第19题6分，第20、21题每小题5分，第22题4分）A D CF BE19．为了积极应对全球金融危机，某地区采取宏观经济政策，启动了新一轮投资计划，该计划分为民生工程、基础建设、企业技改、重点工程等四个项目．图1表示这个投资计划的分项目统计图，图2表示该地区民生工程项目分类情况统计图．请你根据图1、图2所给信息，回答下列问题：（1） 在图1中，企业技改项目投资占总投资的百分比是多少？（2） 在图2中，如果“交通设施”投资且比“食品卫生”投资多850万元，且占“民生工程”的投资的25%，那么“交通设施”投资及“民生工程”投资各是多少万元？并补全图2；（3） 求该地区投资计划的总额约为多少万元？（精确到万元）20．《喜羊羊与灰太狼》是一部中、小学生都喜欢看的动画片，某企业获得了羊公仔和狼公仔的生产专利．该企业每天生产两种公仔共450只，两种公仔的成本和售价如下表所示．如果设每天生产羊公仔x 只，每天共获利y 元．（1）求出y 与x 之间的函数关系及自变量x 的取值范围；（2）如果该企业每天投入的成本不超过10000元，那么要每天获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？21．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ，连结EB 交OD 于点F ． （1）求证：OD ⊥BE ； （2）若DE =25，AB =25，求AE 的长．22. 如图，在△ABC 中，∠B =∠C =30°.请你设计两种不同的分法，将△ABC 分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．三角形，而另外两个是相似．．但不全等．．．的直角三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．已知：关于x 的一元二次方程04)4(2=-++-m x m x ，其中40<<m ． （1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）；（2）设抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），若点D 的坐标为（0，-2），且AD ·BD =10，求抛物线的解析式；（3）已知点E （a ，1y ）、F （2a ，y 2）、G （3a ，y 3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．24．在△ABC 中，点P 为BC 的中点．（1）如图1，求证：AP ＜21（AB +BC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ．①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥21DE ．25． 在平面直角坐标系中，将直线l ：2343--=x y 沿x 轴翻折，得到一条新直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将抛物线1C ：232x y =沿x 轴平移，得到一条新抛物线2C 与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F ． （1）求直线AB 的解析式；（2）若线段DF ∥x 轴，求抛物线2C 的解析式；（3）在（2）的条件下，若点F 在y 轴右侧，过F 作FH ⊥x 轴于点G ，与直线l 交于点H ，一条直线m （m 不过△AFH 的顶点）与AF 交于点M ，与FH 交于点N ，如果直线m 既平分△AFH 的面积，求直线m 的解析式．。
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2、2018西城初三二模数学试题及答案北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1. 如图所示，a ∥b ，直线a 与直线b 之间的距离是A ．线段PA 的长度B ．线段PB 的长度C ．线段PC 的长度D ．线段CD 的长度2. 将某不等式组的解集≤x 3表示在数轴上，下列表示正确的是1 <1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。
考 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、量距离AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF .观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水平线上，则下列结论中，正确的是A ．EF CF AB FB = B ．EF CF AB CB= C ．CE CF CA FB = D ．CE CF EA CB=7. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下： 选手1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(min ) 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175由此所得的以下推断不正确．．．的是 A ．这组样本数据的平均数超过130B ．这组样本数据的中位数是147C．在这次比赛中，估计成绩为130 min的选手的成绩会比平均成绩差D．在这次比赛中，估计成绩为142 min的选手，会比一半以上的选手成绩要好8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s和v(m/s)，起初甲车在乙车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x(s)后两车相距y(m)，y与x的函数关系如图2所示．有以下结论：①图1中a的值为500；②乙车的速度为35 m/s；③图1中线段EF应表示为5005x ；④图2中函数图象与x轴交点的横坐标为100．其中所有的正确结论是A．①④B．②③C．①②④D．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.如果2x 有意义，那么x的取值范围是．10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为．11. 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于．12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的“最强大脑”大赛，准备购买A ，B 两款魔方.社长发现若购买2个A 款魔方和6个B 款魔方共需170元，购买3个A 款魔方和购买8个B 款魔方所需费用相同. 求每 款魔方的单价.设A 款魔方的单价为x 元，B 款魔方的单价为y 元，依题意可列方程组为 .13. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH . 若AB=8，AD=6，则四边形EFGH的周长等于 ．14.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23(2)1y x =+-平移后得到抛物线232y x =+.请你写出一种平移方法. 答： .15. 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，弦BD ∥OC .若36C ∠=︒，则∠DOC= ︒．A 款B 款16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD的边AB 在x 轴上，，，边AD 长为5. 现固定边AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C 的对应点的坐标为 .三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：06cos6027(π2)32︒-．18．解方程：1322x x x+=--.19. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，66A ∠=︒，90ABC ∠=︒，BC= AD ，求∠C 的度数．(3,0)A -(4,0)B D 'C '20.先化简，再求值：2569122x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中5x =-．21.如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ．（1）求证：四边形CDBE 为矩形；（2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．22.阅读下列材料：材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.年度2013 2014 2015 2016 2017参观人数（人次）74500007630000729000075500008060000年增长率（%）38.7 2.4 -4.5 3.6 6.8他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.23.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数m=yx（0x<）的图象经过点(4,)-，AB⊥x轴于点B，A n点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8.（1）求m，n的值；（2）若直线y kx b=+（k≠0）经过点C，且与x轴，y轴的交点分别为点E，F，当2=时，求CF CE点F的坐标．24．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G.（1）求证：FG与⊙O相切；（2）连接EF，求tan EFC的值.25.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD中，边1AB a .按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：（1）完成表格中的填空：①；②；③；④；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ（不要求尺规作图）.26. 抛物线M ：241y axax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________；（2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为（），若当≤n ≤时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.3x 30x >2-1-27. 如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）.（1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE ，AC ，CQ 之间的数量关系.28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），图 1备用图将它的纵坐标y 与横坐标x 的比y x 称为点Q的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221QL ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”QL 等于_________； ②如图，(3,1)C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是 .（2）点D 在直线3+3y x =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有0≤L Q 3D 的横坐标Dx 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M上任意一点，当0≤L Q ≤22画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）北京市西城区2018年九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABCCDBCA二、 填空题（本题共16分，每小题2分）9. x ≤2． 10. ． 11. . 12. 13. 20.14.答案不唯一，例如，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+.384π326170,38.x y x y +=⎧⎨=⎩23(2)1y x =+-15. 54． 16.．三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17.解：16331(23)2=⨯-- ……………………………………………………… 4分 333123=--+223=-． ……………………………………………………………………………5分18．解方程：. 解：去分母，得．……………………………………………………… 1分去括号，得． ……………………………………………………… 2分(7,4)06cos6027(π2)32︒-1322x x x+=--13(2)x x -=-136x x -=-移项，得 ． 合并同类项，得．………………………………………………………… 3分系数化为1，得．…………………………………………………………… 4分经检验，原方程的解为．……………………………………………………5分 19. 解：如图1，连接BD .∵ E 为AB 的中点，DE ⊥AB 于点E ，∴ AD=BD ， (1)分∴ ． ∵ ， ∴．………………………………………………361x x -=-25x =52x =52x =1A ∠=∠66A ∠=︒166∠=︒2分∵ ，∴． …………………………… 3分∵ AD=BC ，∴BD=BC ．…………………………………………………………………………4分∴ ． ∴1802==782C ︒-∠∠︒． …………………………………………………… 5分 20.解：………………………………………………………………… 3分．……………………………………90ABC ∠=︒2124ABC ∠=∠-∠=︒3C ∠=∠2569122x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭2322(3)x x x x -+=⨯+-13x =-图1………………………………………… 4分当时，原式．……………………………………………………………5分 21. （1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒． ∴CD∥BE ．………………………………… 1分又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分又∵90DBE ∠=︒， ∴ 四边形CDBE 为矩形． ………………………………………………3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，5x =-18=-图2∴DE=BC ．………………………………………………………………… 4分∵ 在Rt △ABC 中，，CD ⊥AB ，可得 ． ∵ ， ∴ ． ∵ 在Rt △ABC 中，，AC =2，， ∴ ． ∴DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分 22.解：（1）补全统计图如图3.90ACB ∠=︒1ACD ∠=∠1tan 2ACD ∠=1tan 1tan 2ACD ∠=∠=90ACB ∠=︒1tan 12∠=4tan 1ACBC ==∠………………………………………………………………… 4分（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分 23. 解：（1）如图4.∵ 点A 的坐标为，点C 与点A 关于原点O 对称，∴ 点C 的坐标为． ∵ AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，∴ B ，D 两点的坐标分别为，．∵ △ABD 的面积为8，， ∴ ． 解得． ……………………………………………(4,)A n -(4,)C n -(4,0)B -(4,0)D 11()8422ABDSAB BD n n =⨯=⨯-⨯=-48n -=2n =-……………… 2分∵ 函数（）的图象经过点，∴．…………………………………………………………… 3分（2）由（1）得点C 的坐标为．① 如图4，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为点，．由 CD ⊥x轴于点D 可得CD ∥．∴ △CD∽△O ．∴ ． ∵ ，∴ ． m y x=0x <(4,)A n -48m n =-=(4,2)C 0k <y kx b=+1E 1F 1OF 1E 1E 1F 1111E CDC OF E F=112CF CE =113DC OF =图4∴ ．∴ 点的坐标为．②如图5，当时，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为 点，．同理可得CD∥，． ∵ ，∴ 为线段的中点，．∴ 22OF DC ==．∴ 点的坐标为．…………6分综上所述，点F 的坐标为，．24. （1）证明：如图6，连接OC ，AC .∵ AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，136OF DC ==1F 1(0,6)F 0k >y kx b=+2E 2F 2OF 2222E CDC OF E F=222CF CE =2E 2CF 222E C EF =2F 2(0,2)F -1(0,6)F 2(0,2)F -图5∴ CE=DE ，AD=AC .∵ DC=AD ，∴DC=AD= AC .∴ △ACD 为等边三角形． ∴ ∠D =∠DCA=∠DAC=60︒．∴ ． ∵ FG ∥DA ，∴ 180DCF D ∠+∠=︒．∴ ． ∴ ． ∴ FG ⊥OC ． ∴ FG与⊙O 相切．……………………………………………………… 3分（2）解：如图6，作EH ⊥FG 于点H ．11302DCA ∠=∠=︒180120DCF D ∠=︒-∠=︒190OCF DCF ∠=∠-∠=︒图6设CE= a ，则DE= a ，AD=2a ． ∵ AF 与⊙O 相切， ∴ AF ⊥AG ． 又∵ DC ⊥AG ， 可得AF ∥DC ． 又∵ FG ∥DA ，∴ 四边形AFCD 为平行四边形．∵ DC =AD ，AD=2a ， ∴ 四边形AFCD 为菱形． ∴ AF=FC=AD=2 a ，∠AFC=∠D = 60︒．由（1）得∠DCG= 60︒，3sin60EH CE =⋅︒=，1cos602CH CE a=⋅︒=．∴52FH CH CF a=+=．∵ 在Rt △EFH 中，∠EHF=90︒，∴332tan 52EH EFC FH a ∠===． …………………………………… 5分25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分②1(21)a ．………………… 2分③2121)a ．…………………3分④11(21)n a -．……………… 4分（2）所画正方形CHIJ 见图7. (6)分26.解：如图8.（1）.…………………………… 1分 （2）∵ 抛物线241y ax ax a =-+-的对称轴为直线，抛物线M 与x 轴的2x =2x =图7交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，∴ A ，B 两点的坐标分别为，.……………………………… 2分∵ 点A 在抛物线M 上， ∴ 将的坐标代入抛物线的函数表达式，得.解得. ………………………………………………………………… 3分∴ 抛物线M 的函数表达式为213222y x x =-+-. ………………………… 4分（3）54k >. …………………… 6分(1,0)A (3,0)B (1,0)A 410a a a -+-=12a =-图27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，①画出的图形如图9所示． (1)分∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵CD为等边三角形的中线，Q为线段CD上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB ．∵ ∠DAQ =α，∴ ∠ABQ =∠DAQ=α，∠QBE =60°-α．∵ 线段QE 为线段QA 绕点Q顺时针旋转所得，∴ QE = QA ．∴ QB=QE ．可得1802(60)602αα=︒-︒-=︒+．……… 2分②．……………………………………………………… 3分证法一：如图10，延长CA 到点F ，使得AF=CE ，连接QF ，作QH ⊥AC 于点H ．∵ ∠BQE =60°+2α，点1802BQE QBE ∠=︒-∠3CE AC CQ+=图E在BC上，∴∠QEC=∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．∵点F在CA的延长线上，∠DAQ=α，∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．∴∠QAF=∠QEC．又∵AF =CE，QA=QE，∴△QAF≌△QEC．∴QF=QC．∵QH⊥AC于点H，∴FH=CH，CF=2CH．∵在等边三角形ABC 中，CD为中线，点Q 在CD 上， ∴ ∠ACQ=12ACB ∠=30°， 即△QCF 为底角为30°的等腰三角形．∴3cos cos30CH CQ HCQ CQ =⋅∠=⋅︒=． ∴CE AC AF AC CF +=+=23CH CQ==． 即． ………………………………………… 6分思路二：如图11，延长CB 到点G ，使得BG=CE ，连接QG ，可得△QBG ≌△QEC ，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=3CQ=．3CE AC CQ+=图（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．………………………… 7分28.解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分②0≤QL ≤．……………………………………………………………… 2分（2）设直线3+3y =与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，点B ，可得(33,0)A ，(0,3)B ．∴ 33OA =3OB =，30OAB ∠=︒．3AC CE CQ-=3-3图11由0≤QL ≤，作直线3y x=．①如图13，当⊙D 与x 轴相切时，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ，可得11D E ∥OB ，111D E AE BO AO=．∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 111D E =．∴ 13AE =1123OE OA AE =-=． ∴ 123D x=②如图14，当⊙D 与直线3y x=相切时，相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到最小值．作22D Ex⊥轴于点2E ，则22D E ⊥OA ．3图13设直线3y x =与直线3+3y x =的 交点为F ． 可得60AOF ∠=︒，OF ⊥AB ． 则39cos 332AF OA OAF =⋅∠==． ∵ ⊙D 的半径为1， ∴ 21D F =． ∴ 2272AD AF D F =-=． ∴ 22cos AE AD OAF =⋅∠73732== 2253OE OA AE =-=．∴ 253D x =． 由①②可得，D x 53≤D x ≤23． 图14………………………………………… 5分（3）画图见图15．2．……………………………………………7分图15。