导数的综合应用(1)

导数的综合应用(1)

切线

1.已知函数32

()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：

（1）()f x 的解析式；

（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．

2.已知函数）（）（02

3≠++=a cx bx ax x f 是定义在R 上的奇函数，且1-=x 时，函数取极值1． (1)求c b a ，，的值；

(2)若[]1121，，-∈x x ，求证：221≤-）（）（x f x f ；

(3)求证：曲线)(x f y =上不存在两个不同的点B A ，，使过B A ，两点的切线都垂直于直线AB ．

3. 已知()00,P x y 是函数()ln f x x =图象上一点，在点

P 处的切线与x 轴交于点B ，过点P 作x 轴的垂线，

垂足为A .

（1）求切线的方程及点B 的坐标；

（2）若()00, 1x ∈，求PAB ∆的面积S 的最大值，

并求此时0x 的值.

4.已知函数)(,3,sin )(x f x x b ax x f 时当π

=+=取得极小值33-π

.

（Ⅰ）求a ，b 的值；

（Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：

（1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；

（2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”.

试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”.

5.（本小题满分14分）已知函数32

1()1(,3

R f x x ax bx x a =+-+∈，b 为实数）有极值，且在1=x 处的切线与直线01=+-y x 平行.

（1）求实数a 的取值范围；

（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；若不

存在，请说明理由；

（3）设),,0(,3)1()(),()(,21+∞∈-+'='=x x

x f x g x f x f a 令的导数为 求证：1()22()N n n n n g x x n x

*---∈≥.

恒成立问题 （函数最值问题）

1.已知函数1)(2

3+++=cx bx x x f 在区间]2,(--∞上单调递增，在区间[－2，2]上单调递减，且.0≥b

（Ⅰ）求)(x f 的解析式；

（Ⅱ）设20≤

立，求实数m 的最小值。

2（2009恩平县）设函数8)(,42)(2

23-+=-++=x ax x g x x x x f

（1）求函数)(x f 极值；

（2）当)()(,),0[x g x f x ≥+∞∈不等式时恒成立，求实数a 的取值范围

3．设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，． （Ⅰ）当103

a =-

时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．

4.设R a ∈，函数e a ax e x f x

)(1(2

)(2++=-为自然对数的底数）. （Ⅰ）判断)(x f 的单调性；

（Ⅱ）若]2,1[1)(2∈>

x e

x f 在上恒成立，求a 的取值范围. .

函数与方程

14、（2009福州三中）已知函数()x k f x e x -=-，其中x ∈R 。

(1)k=0时，求函数f(x)的值域；

(2)当k>1时，函数f(x)在[k, 2k]内是否存在零点，并说明理由。

2.已知32

()(,0]f x x bx cx d =+++-∞在上是增函数,在[0,2]上是减函数，且()0,2,(2)f x αβαβ=≤≤有三个根

（1）求c 的值，并求出b 和d 的取值范围；

（2）求证(1)2f ≥；

（3）求||βα-的取值范围，并写出当||βα-取最小值时的()f x 的解析式.

3. 设函数23

()123

n x x f x x =-+-+…21,*21n x n N n --∈- （1）研究函数2()f x 的单调性；

（2）判断()0n f x =的实数解的个数，并加以证明

4 .已知3x =是函数()()2

ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。 （Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.

5 已知函数.2

3)32ln()(2x x x f -+= （I ）求f (x )在[0，1]上的极值；

（II ）若对任意0]3)(ln[|ln |],3

1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取

值范围；

（III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取

值范围.