二阶常系数齐次线性微分方程

13 y
0
,
y
x0
0
,
y
x
0
3.
三、 求 作 一 个 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 , 使 1 , e x , 2e x , e x 3都是它的解 .
练习题答案
一、1、 y C1 C2e4x ；
2、
x
(C1
C2t
)e
5t 2
；
3、 y e3x (C1 cos 2x C2 sin 2x)；
1、y 4 y 0 ；
2、4 d 2 x 20 dx 25x 0；
dt 2
dt
3、 y 6 y 13 y 0； 4、 y(4) 5 y 36 y 0 .
二、 下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、4 y 4 y y 0 , y x0 2 , yx0 0；
2、
y
4 y
例1 求方程 y 4 y 4 y 0的通解.
解 特征方程为 r 2 4r 4 0 , 解得特征根 r1 r2 2 , 故所求通解为 y (c1 c2 x)e2x .
例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
解得特征根 r1，2 1 2 j ,
4、 y C1e2x C2e2x C3 cos 3 x C4 sin 3 x.
二、1、
y
e
x 2
(2
x)；
2、 y e2x sin 3x .
三、 y y 0. (提示: 1, e x 为两个线性无关的解)
解,且
y1 y2
( (
x) x)
常数，c1、c2
是任意常数，那么
y c1 y1 c2 y2就是方程(1)的通解.
例如 y y 0, y1 cos x, y2 sin x,
且 y2 tan x 常数, y1
y c1 cos x c2 sin x.
三、二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
2
, r2
2
,
两个线性无关的特解
y1 e r1x ,
y2 e r2x ,
得齐次方程的通解为
y
C e r1x 1
C2e r2x ;
有一对共轭复根
r1 i ,
r2 i ,
( 0)
y1 e( i ) x , y2 e( i ) x ,
由欧拉公式 ei cos i sin
y1 e(i )x e x ei x e x cos x i sin x , y2 e(i )x e x ei x e x cos x i sin x ,
若是k重共轭 [(c0 c1 x ck1 xk1 )cos x
复根 j (D0 D1 x Dk1 xk1 )sin x]ex
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数.
y c1 y1 c2 y2 cn yn
例3 求方程 y(5) y(4) 2 y(3) 2 y y y 0 的通解. 解 特征方程为 r 5 r 4 2r 3 2r 2 r 1 0,
设 y erx ,
将其代入方程, 得
(r 2 pr q)erx 0 故有 r 2 pr q 0
erx 0,
特征方程
特征根
p r1,2
p2 4q ,
2
特征根
有两个相等的实根 ( 0)
r1
r2
p, 2
设 y2 u( x)er1x ,
一特解为 y1 e r1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
(r 1)(r 2 1)2 0, 特征根为 r1 1, r2 r3 j, r4 r5 j,
故所求通解为
y c1ex (c2 c3 x)cos x (c4 c5 x)sin x.
五、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
第五节 二阶常系数齐次线性 微分方程
一、定义 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程的解法 四、n阶常系数齐次线性方程解法 五、小结
一、定义
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
其中 p 、q 为常数
二、线性微分方程的解的结构
1.二阶齐次方程解的结构:
y py qy 0
(1)
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个 解,那末 y c1 y1 c2 y2也是(1)的解. （ c1 ,c2是
任意常数）
问题: y c1 y1 c2 y2一定是通解吗？
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定理 2：如果 y1 ( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个特
重新组合
y1
1 2
(
y1
y2 )
ex cos x,
y2
1 2i
(
y1
y2 )
ex sin x,
y1、y2仍是方程(1)的解，且
y1 y2
cot
x
C
得齐次方程的通解为
y ex (c1 cos x c2 sin x).
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.
(见下表)
y py qy 0 r2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
练习题
一、求下列微分方程的通解:
故所求通解为
y ex (c1 cos 2x c2 sin 2x).
四、n阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根 通解中的对应项
若是 k 重根 r (c0 c1 x ck1 xk1 )erx
u (2r1 p)u (r12 pr1 q)u 0,
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xer1x ,
得齐次方程的通解为 y C1er1x C2 xer1x =(C1 C2 x)er1x ;
有两个不相等的实根 ( 0)
p p2 4q
p p2 4q
r1