第二章 平面机构的运动分析
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2 B 1 A 4 (a)
26
2 E
3 3 3 D
1 1
解:（1）取合适的长度比例尺l，根据原动件1的给定位置及 机构尺寸，准确作出机构运动简图，如图（a）所示。
（2）速度分析
C 2 2 B 1 A 4 (a) 1 1 2 E 3 3 3 D
vC vB vCB
方向：⊥CD ⊥AB 大小： ？ lAB1 ⊥BC ？
例：图示曲柄滑块机构，求V3。
V3 =V3
P13
∞ P34 P13 P12 1 4 2
P24 ∞ P34
=V1
P13 =
P14 P13 ×l
×1
平移法：组成移动副两构件 的瞬心线可以垂直于导路线
P14
1
3 P23
随意平移。
12
（3）滑动兼滚动的高副机构(齿轮、凸轮机构)
例：已知各构件的尺寸、凸轮的角速度1，求推杆速度V2 。 V2= V2P12=V1P12= P12 P13 ×l ×1
6 I
7
H 6 5 8 F J
5
E F
高副低代
8 E J 1 K O 9
G
D
3
4
B 2 A 10
D
3
4 B 2
A
11
C
1 O1 O 9
5
C
拆分基本杆组：
G
6
8 J E I
7
H
7 I G 5 E
H 6 8 F J
5
F
D
3
4 B 2 A 11
D
3
4 B 2 A 11 1 O1 O 9
O1
C
1 O 9
C
3
2.速度瞬心的性质
1）两构件上相对速度为零的重合点VP1P2＝0，且是瞬时的。
2 ）当 VP1=VP2=0，称为绝对瞬心，即其中一构件为机架；相对 机架的绝对瞬时转动。 3）当VP1=VP2≠0，称为相对瞬心，即两构件均为活动构件；具 有相同绝对速度的重合点。
4）两构件之间的相对运动可视为绕速度瞬心的转动。 5）相对速度VP1P2=0，但相对加速度aP1P2≠0。 3. 机构中速度瞬心的数目
t 2
1 M P12 ?? n
2 M
高副连接的两个构件 （纯滚动）
高副连接的两个构件 （存在滚动和滑动）
结论：组成高副的两构件其速度瞬心在接触点的公法线 上；特别地，若为纯滚动，因接触点的相对速度为零， 则瞬心在接触点处。
8
（2）间接法—三心定理(the Aronhold-Kennedy Theorm) 定理：作平面运动的三个构件共有三个瞬心，它们位于同一 条直线上。 证明(P23位于P12、P13的连线上) 反证法: （为方便起见，设1固定不动）
II级机构
6
4.机构中速度瞬心位置的确定
（1）直观法—通过运动副直接
连接的两个构件
P12
1
2
2 3 1
结论：组成转动副的两构件 其速度瞬心在转动副中心 ∞ P12 1 2
移动副连接的两个构件
转动副连接的两个构件
4
结论：组成移动副的两构件其速度 瞬心在垂直于导路线的无穷远处
7
n
1
12
t
12
P12
AB
2
故
aB a A a
t BA
a
n BA
23
t a BA
B aB
aA
aB a A a
t BA
a
aBA
n BA
n a BA
A
aA
即：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与 相对基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。 这就是平面运动的加速度合成法或称为基点法。
vA2 A1 w21l AP
vA
A B ●P
vA2A1 vB
B2(B1)
vB2B1
●P12
vB 2 B1 w21lBP
21 2 1
速度瞬心为互相作平面相对运动的两构件上，瞬时 相对速度为零的重合点；或者说，瞬时绝对速度相等的 重合点 ( 即等速重合点 ) 。若该点的绝对速度为零则为绝 对瞬心；若不等于零则为相对瞬心，即： VP1= V P2 或 VP1P2＝0
§2-1 机构运动分析的目的和方法
一、机构的运动分析：根据原动件的已知运动规律，分析 该机构上某点的位移、速度和加速度以及构件的角速度、 角加速度。 二、目的在于：确定某些构件在运动时所需的空间；判断 各构件间是否存在干涉；考察某点运动轨迹是否符合要求； 用于确定惯性力等。 如牛头刨床设计要求：最大 行程、匀速、快回。
VK2 K 2 2 P12 1 ( K2,K3) 3 3 P13 VK3
设：K代表P23，假设K不在P12、 P13连线上，根据瞬心定义：
VK2=VK3（同速点） 由图可知: VK2VK3 假设不成立（连起码的方向都不 可能一致），因而K不是瞬心，只 有在连线上才能保证同方向。
9
例：求图中机构所有的速度瞬心 解：1.瞬心数 K = 4(4-1)/2 = 6 2.直观法可得P12、P23、P34、P41。 3.三心定理法 实际上可以根据瞬心下标进行瞬心确定——下标消去法。
18
哥氏加速度等于牵连角速度矢与点的相对速度矢的矢积的两倍。
ak 2e vr
ak的大小为：
ak 2evr sin q
其中 q 为 e 与 vr 两矢量间的最小夹 角。矢ak方向垂直于e和vr，指向按右 手螺旋法则确定。 工程中常见的平面机构中e和vr是垂直的，此时ak=2evr； 且vr按e转向转90°就是ak的方向。
N个构件组成的机构(包括机架)，其总的瞬心数为:
1 2 K CN N ( N 1) 2
4
对图示电锯机构进行结构分析 机构无复合铰链和虚约束，局部自由度为滚子10绕自 解： 身轴线的转动。 n8，pL11，pH1， F3n2pLpH38211111。
7 I G
H
O' y' O
S
M x' x
21
j
用基点法求平面图形内各点的速度： 如图所示，对于同一构件上的两点O'和M ，
O'—基点，M—动点 y'
vM vO'
M
va ve vr vM vO vMO
O'
vMO'
vO'
x'
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基 点转动速度的矢量和,这就是平面运动的速度合成法或称基点法。
(avi)
1
三、方法 图解法：形象直观，但图解工作量大，精度不高。 速度瞬心法
相对运动图解法
解析法：计算精确、迅速，但需推导公式和编制程序， 应大力推广。
实验法：需要专门的仪器设备，成本高，投入大。
2
§2-2 速度瞬心及其在平面机构速度分析中的应用
1.速度瞬心(Instantaneous Center)的定义
p-bce称为速度图； p ——速度极点； b、c、e分别称为构件2上相应点
vB vA vBA
两类问题：
同一构件两点间 （刚体运动） a a a n a B A BA BA 两构件重合点间 r k （点的运动） aB 2 aB1 aB 2 B1 aB 2 B1
16
vB 2 vB1 vB 2 B1
知识回顾：
相对运动· 牵连运动· 绝对运动 用点的合成运动理论分析点的运动时，必须选定两个参 考系，区分三种运动： （1）动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动； （2）动点相对于动参考系的运动，称为相对运动； （3）动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动； （4）动点相对于定参考系的速度、加速度，称为动点的绝 对速度va、绝对加速度aa； （5）动点相对于动参考系的速度、加速度，称为动点的相 对速度vr、相对加速度ar； （6）在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的速度和 加速度称为动点的牵连速度ve和牵连加速度ae。
17
点的速度合成定理：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬 时的牵连速度与相对速度的矢量和。
va ve vr
点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬 时它的牵连加速度、相对加速度与哥氏加速度的矢量和。
aa ae ar ak
其中：a
k
2e vr
，为哥氏加速度
P24
P12 1
2 P12
P23 3 P13 P34
P23
3 P34 4
P24
P13
2
Hale Waihona Puke Baidu
1
P14
P14
定P13： P34、P14P13（消去脚注中的4）；P12、P23P13（消去脚注中的2）。 同理可定P24。
4
10
5.速度瞬心法在机构速度分析中的应用 （1）铰链四杆机构 例：各构件尺寸、机构位置、构件1的角速度 1 均已知，求 连杆上点K的速度Vk及构件3的角速度3。 VP13 = P13P14×l×1 = P13P34×l×3 3 =1×P13P14 / P13P34
P24 P15
（3） 三心定理求瞬心
1 6 2
P26
P36
P34
P25 P12 2 P45 P23
P35
3
P16
5 4
3 P13
P46
4
5 P56
6
P14
1
15
§2-3 用相对运动图解法求机构的速度和加速度
1.矢量方程图解法的基本原理和方法:用相对运动原理列出
构件上点与点之间的相对运动矢量方程，然后作图求解矢 量方程。 2.机构运动分析的两类问题： ◆ 同一构件两点间； ◆ 两构件重合点间。
24
问题： 1、图示四杆机构， 已知杆1的角速度， 求此瞬时杆件2、3的 角速度。
C
2
B
3
ω1
1
A
4
D
2、同一构件上，已知一点的速度和加速度，如何 求另一点的速度和加速度？ 3、不同的两构件，有重合点，已知其中一个构件 重合点的速度和加速度，如何求另一构件重合点 的速度和加速度？
25
（2）速度图和加速度图： 例1： 在图a所示的铰链四杆机构中，已知各构件长度及原动 件1的位置、角速度1和角加速度1，求构件2和构件3的角速 度2和3、角加速度2和3，以及构件2上E点的速度E和加 速度aE。 C 2
22
用基点法求平面图形内各点的加速度 如图所示。由牵连运动为平动的加速度合成定理，有
aa ae ar
由于牵连运动为平动，所以ae=aA，于是有
t a BA
aB aA aBA
而 其中
B aB
aA
aBA
a BA a
a
n BA
t BA
a
n BA
a
A
n BA
aA
t aBA AB
vC v pc
vCB v bc
b
vEB
e
vCB
vB
vE
c p
vC
28
(b)
解E点:
2
C
vE vB vEB
方向： ？ 大小： ？ ⊥AB ⊥EB lAB1 lEB2
1 A 4
2 B 1 1
2 E
3 3 3 D
在图（b）的基础上，过点b作
(a)
be = vEB/v ，得e点，则 vE=vpe 。
P13 4 VP12 Vk P12
K
2
VP23
P23
1
3
1 P14
3 P34
VP12 = P12P14×l×1 = P12P24×l×2 2 =1×P12P14 / P12P24
VP13
2
P24
11
Vk= KP24 ×l ×2 方向垂直于连线K与P24连线，且与2一致。
结论： ◆ 相对瞬心用于建立两构件之间角速度关系； ◆ 绝对瞬心用于确定活动构件上任一点的速度方向。 （2）曲柄滑块机构
19
当牵连运动为平动时， e=0，因此ak=0，此时有
aa ae ar
当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬 时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
注意：选择1个动点；确定2组坐标系；区分3种运动。
选择动点和动系的原则：动点不能在动系上；动点相对动系 的轨迹明显，方向或大小易确定；动参考系可以无限大。
t aa
n aa
t ae
n ae
t ar
n ar
ak
20
3 在同一构件上两点间的速度及加速度的求法（基点法）
（1）基点法的实质 如果在平面图形上任取一点O'定义为基点，假想在基 点上固结一随基点O'平移的动系O'x'y'，那么刚体平面运动 可以看成是随基点O'的平移和绕基点O'的转动这两部分运 动的合成。 y y'
3 2 P23
∞
1 P13 1
P12
P23
∞
P23所在线
13
例：已知图示六杆机构各构件 的尺寸、凸轮的角速度1求推 杆速度V5 。
P13
P16 P15
P35
6
5
1 1
2
P12
V5=VP15= P16 P15 ×l ×1
3 P46 P56 ∞
4
P56 P34
P36 ∞
P56
∞
14
例:求图示六杆机构的速度瞬心。 解：瞬心数N6(65) 215 （1） 作瞬心多边形圆 （2）直接观察求瞬心
图解法：取速度比例尺
v
实际速度值 m / s 图示长度 mm
27
（2）速度分析（解C点续）
C
vC vB vCB
方向：⊥CD ⊥AB 大小： ？ lAB1 ⊥BC ？
B 1 A 4
2 2 2 E 3 3 3 D (a)
1 1
作出速度图p-bc，如图（b）所示则：
26
2 E
3 3 3 D
1 1
解:（1）取合适的长度比例尺l，根据原动件1的给定位置及 机构尺寸，准确作出机构运动简图，如图（a）所示。
（2）速度分析
C 2 2 B 1 A 4 (a) 1 1 2 E 3 3 3 D
vC vB vCB
方向：⊥CD ⊥AB 大小： ？ lAB1 ⊥BC ？
例：图示曲柄滑块机构，求V3。
V3 =V3
P13
∞ P34 P13 P12 1 4 2
P24 ∞ P34
=V1
P13 =
P14 P13 ×l
×1
平移法：组成移动副两构件 的瞬心线可以垂直于导路线
P14
1
3 P23
随意平移。
12
（3）滑动兼滚动的高副机构(齿轮、凸轮机构)
例：已知各构件的尺寸、凸轮的角速度1，求推杆速度V2 。 V2= V2P12=V1P12= P12 P13 ×l ×1
6 I
7
H 6 5 8 F J
5
E F
高副低代
8 E J 1 K O 9
G
D
3
4
B 2 A 10
D
3
4 B 2
A
11
C
1 O1 O 9
5
C
拆分基本杆组：
G
6
8 J E I
7
H
7 I G 5 E
H 6 8 F J
5
F
D
3
4 B 2 A 11
D
3
4 B 2 A 11 1 O1 O 9
O1
C
1 O 9
C
3
2.速度瞬心的性质
1）两构件上相对速度为零的重合点VP1P2＝0，且是瞬时的。
2 ）当 VP1=VP2=0，称为绝对瞬心，即其中一构件为机架；相对 机架的绝对瞬时转动。 3）当VP1=VP2≠0，称为相对瞬心，即两构件均为活动构件；具 有相同绝对速度的重合点。
4）两构件之间的相对运动可视为绕速度瞬心的转动。 5）相对速度VP1P2=0，但相对加速度aP1P2≠0。 3. 机构中速度瞬心的数目
t 2
1 M P12 ?? n
2 M
高副连接的两个构件 （纯滚动）
高副连接的两个构件 （存在滚动和滑动）
结论：组成高副的两构件其速度瞬心在接触点的公法线 上；特别地，若为纯滚动，因接触点的相对速度为零， 则瞬心在接触点处。
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（2）间接法—三心定理(the Aronhold-Kennedy Theorm) 定理：作平面运动的三个构件共有三个瞬心，它们位于同一 条直线上。 证明(P23位于P12、P13的连线上) 反证法: （为方便起见，设1固定不动）
II级机构
6
4.机构中速度瞬心位置的确定
（1）直观法—通过运动副直接
连接的两个构件
P12
1
2
2 3 1
结论：组成转动副的两构件 其速度瞬心在转动副中心 ∞ P12 1 2
移动副连接的两个构件
转动副连接的两个构件
4
结论：组成移动副的两构件其速度 瞬心在垂直于导路线的无穷远处
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n
1
12
t
12
P12
AB
2
故
aB a A a
t BA
a
n BA
23
t a BA
B aB
aA
aB a A a
t BA
a
aBA
n BA
n a BA
A
aA
即：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与 相对基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。 这就是平面运动的加速度合成法或称为基点法。
vA2 A1 w21l AP
vA
A B ●P
vA2A1 vB
B2(B1)
vB2B1
●P12
vB 2 B1 w21lBP
21 2 1
速度瞬心为互相作平面相对运动的两构件上，瞬时 相对速度为零的重合点；或者说，瞬时绝对速度相等的 重合点 ( 即等速重合点 ) 。若该点的绝对速度为零则为绝 对瞬心；若不等于零则为相对瞬心，即： VP1= V P2 或 VP1P2＝0
§2-1 机构运动分析的目的和方法
一、机构的运动分析：根据原动件的已知运动规律，分析 该机构上某点的位移、速度和加速度以及构件的角速度、 角加速度。 二、目的在于：确定某些构件在运动时所需的空间；判断 各构件间是否存在干涉；考察某点运动轨迹是否符合要求； 用于确定惯性力等。 如牛头刨床设计要求：最大 行程、匀速、快回。
VK2 K 2 2 P12 1 ( K2,K3) 3 3 P13 VK3
设：K代表P23，假设K不在P12、 P13连线上，根据瞬心定义：
VK2=VK3（同速点） 由图可知: VK2VK3 假设不成立（连起码的方向都不 可能一致），因而K不是瞬心，只 有在连线上才能保证同方向。
9
例：求图中机构所有的速度瞬心 解：1.瞬心数 K = 4(4-1)/2 = 6 2.直观法可得P12、P23、P34、P41。 3.三心定理法 实际上可以根据瞬心下标进行瞬心确定——下标消去法。
18
哥氏加速度等于牵连角速度矢与点的相对速度矢的矢积的两倍。
ak 2e vr
ak的大小为：
ak 2evr sin q
其中 q 为 e 与 vr 两矢量间的最小夹 角。矢ak方向垂直于e和vr，指向按右 手螺旋法则确定。 工程中常见的平面机构中e和vr是垂直的，此时ak=2evr； 且vr按e转向转90°就是ak的方向。
N个构件组成的机构(包括机架)，其总的瞬心数为:
1 2 K CN N ( N 1) 2
4
对图示电锯机构进行结构分析 机构无复合铰链和虚约束，局部自由度为滚子10绕自 解： 身轴线的转动。 n8，pL11，pH1， F3n2pLpH38211111。
7 I G
H
O' y' O
S
M x' x
21
j
用基点法求平面图形内各点的速度： 如图所示，对于同一构件上的两点O'和M ，
O'—基点，M—动点 y'
vM vO'
M
va ve vr vM vO vMO
O'
vMO'
vO'
x'
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基 点转动速度的矢量和,这就是平面运动的速度合成法或称基点法。
(avi)
1
三、方法 图解法：形象直观，但图解工作量大，精度不高。 速度瞬心法
相对运动图解法
解析法：计算精确、迅速，但需推导公式和编制程序， 应大力推广。
实验法：需要专门的仪器设备，成本高，投入大。
2
§2-2 速度瞬心及其在平面机构速度分析中的应用
1.速度瞬心(Instantaneous Center)的定义
p-bce称为速度图； p ——速度极点； b、c、e分别称为构件2上相应点
vB vA vBA
两类问题：
同一构件两点间 （刚体运动） a a a n a B A BA BA 两构件重合点间 r k （点的运动） aB 2 aB1 aB 2 B1 aB 2 B1
16
vB 2 vB1 vB 2 B1
知识回顾：
相对运动· 牵连运动· 绝对运动 用点的合成运动理论分析点的运动时，必须选定两个参 考系，区分三种运动： （1）动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动； （2）动点相对于动参考系的运动，称为相对运动； （3）动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动； （4）动点相对于定参考系的速度、加速度，称为动点的绝 对速度va、绝对加速度aa； （5）动点相对于动参考系的速度、加速度，称为动点的相 对速度vr、相对加速度ar； （6）在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的速度和 加速度称为动点的牵连速度ve和牵连加速度ae。
17
点的速度合成定理：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬 时的牵连速度与相对速度的矢量和。
va ve vr
点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬 时它的牵连加速度、相对加速度与哥氏加速度的矢量和。
aa ae ar ak
其中：a
k
2e vr
，为哥氏加速度
P24
P12 1
2 P12
P23 3 P13 P34
P23
3 P34 4
P24
P13
2
Hale Waihona Puke Baidu
1
P14
P14
定P13： P34、P14P13（消去脚注中的4）；P12、P23P13（消去脚注中的2）。 同理可定P24。
4
10
5.速度瞬心法在机构速度分析中的应用 （1）铰链四杆机构 例：各构件尺寸、机构位置、构件1的角速度 1 均已知，求 连杆上点K的速度Vk及构件3的角速度3。 VP13 = P13P14×l×1 = P13P34×l×3 3 =1×P13P14 / P13P34
P24 P15
（3） 三心定理求瞬心
1 6 2
P26
P36
P34
P25 P12 2 P45 P23
P35
3
P16
5 4
3 P13
P46
4
5 P56
6
P14
1
15
§2-3 用相对运动图解法求机构的速度和加速度
1.矢量方程图解法的基本原理和方法:用相对运动原理列出
构件上点与点之间的相对运动矢量方程，然后作图求解矢 量方程。 2.机构运动分析的两类问题： ◆ 同一构件两点间； ◆ 两构件重合点间。
24
问题： 1、图示四杆机构， 已知杆1的角速度， 求此瞬时杆件2、3的 角速度。
C
2
B
3
ω1
1
A
4
D
2、同一构件上，已知一点的速度和加速度，如何 求另一点的速度和加速度？ 3、不同的两构件，有重合点，已知其中一个构件 重合点的速度和加速度，如何求另一构件重合点 的速度和加速度？
25
（2）速度图和加速度图： 例1： 在图a所示的铰链四杆机构中，已知各构件长度及原动 件1的位置、角速度1和角加速度1，求构件2和构件3的角速 度2和3、角加速度2和3，以及构件2上E点的速度E和加 速度aE。 C 2
22
用基点法求平面图形内各点的加速度 如图所示。由牵连运动为平动的加速度合成定理，有
aa ae ar
由于牵连运动为平动，所以ae=aA，于是有
t a BA
aB aA aBA
而 其中
B aB
aA
aBA
a BA a
a
n BA
t BA
a
n BA
a
A
n BA
aA
t aBA AB
vC v pc
vCB v bc
b
vEB
e
vCB
vB
vE
c p
vC
28
(b)
解E点:
2
C
vE vB vEB
方向： ？ 大小： ？ ⊥AB ⊥EB lAB1 lEB2
1 A 4
2 B 1 1
2 E
3 3 3 D
在图（b）的基础上，过点b作
(a)
be = vEB/v ，得e点，则 vE=vpe 。
P13 4 VP12 Vk P12
K
2
VP23
P23
1
3
1 P14
3 P34
VP12 = P12P14×l×1 = P12P24×l×2 2 =1×P12P14 / P12P24
VP13
2
P24
11
Vk= KP24 ×l ×2 方向垂直于连线K与P24连线，且与2一致。
结论： ◆ 相对瞬心用于建立两构件之间角速度关系； ◆ 绝对瞬心用于确定活动构件上任一点的速度方向。 （2）曲柄滑块机构
19
当牵连运动为平动时， e=0，因此ak=0，此时有
aa ae ar
当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬 时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
注意：选择1个动点；确定2组坐标系；区分3种运动。
选择动点和动系的原则：动点不能在动系上；动点相对动系 的轨迹明显，方向或大小易确定；动参考系可以无限大。
t aa
n aa
t ae
n ae
t ar
n ar
ak
20
3 在同一构件上两点间的速度及加速度的求法（基点法）
（1）基点法的实质 如果在平面图形上任取一点O'定义为基点，假想在基 点上固结一随基点O'平移的动系O'x'y'，那么刚体平面运动 可以看成是随基点O'的平移和绕基点O'的转动这两部分运 动的合成。 y y'
3 2 P23
∞
1 P13 1
P12
P23
∞
P23所在线
13
例：已知图示六杆机构各构件 的尺寸、凸轮的角速度1求推 杆速度V5 。
P13
P16 P15
P35
6
5
1 1
2
P12
V5=VP15= P16 P15 ×l ×1
3 P46 P56 ∞
4
P56 P34
P36 ∞
P56
∞
14
例:求图示六杆机构的速度瞬心。 解：瞬心数N6(65) 215 （1） 作瞬心多边形圆 （2）直接观察求瞬心
图解法：取速度比例尺
v
实际速度值 m / s 图示长度 mm
27
（2）速度分析（解C点续）
C
vC vB vCB
方向：⊥CD ⊥AB 大小： ？ lAB1 ⊥BC ？
B 1 A 4
2 2 2 E 3 3 3 D (a)
1 1
作出速度图p-bc，如图（b）所示则：