第三章数值积分
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k 0 k 0
定理3 若求积公式(1．3)中系数Ak＞0 (k＝0，1，…，n)， 则此求积公式是稳定的． 定理3表明，只要求积系数Ak＞0 (k＝0,1,…,n)，就能保证 计算的稳定性．
f(x) §2 插值型的求积公式与关键是 Newton-Cotes 公式
近似计算 I f ( x )dx
( 2) 0
Simpson’s Rule 代数精度 = 3
ba 2
3 5 (5) h f ( ) 80
R[ f ]
1 5 (4) h f ( ) , 90
(a , b) , h
n = 3: Simpson’s 3/8-Rule, 代数精度 = 3,
R[ f ]
n = 4: Cotes Rule, 代数精度 = 5, R[ f ] 945 h7 f ( 6 ) ( )
ab R (b a ) f 2
(1.2)
更一般地，我们可以在区间[a，b]上适当选取某些节点 xk ，
然后用 f (xk )加权平均得到平均高度 f (ζ)的近似值，这样构造出的 求积公式具有下列形式
n
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
(1.3)
( )
ba : 的近似值，这样导出的求积公式 T [ f (a ) f (b)] 2
(1.1)
便是我们所熟悉的梯形公式(trapezoidal rule). ab 而如果改用区间中点 c 的“高度”f (c)近似地取代平 2 均高度f ()，则又可导出所谓中矩形公式(今后简称矩形公式)：
(x xj ) 令x ath Ai dx x0 ( xi x j ) j i n (t j ) h (b a)(1) ni n h dt (t j )dt 0 0 n i !(n i)! j i (i j ) h j i
的近
估计截断误差为
用Simpson公式计算：
=0.6796
=2. 0263． =198.43
( 2 1)5 max f ( 4 ) ( x ) =0.06890 0.06890 估计截断误差为 R2 1 x 2 2880
§3
复化求积公式
ba , xk a k h n
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。 一、复化梯形公式:
a
n
1、 对于[a, b]上1次插值，有L1 ( x)
A1 A2
ba 2
x b a b
x a f (a ) b f (b) a
b
a
a f ( x )dx b [ f (a ) f (b)] 2
此即梯形公式。 为便于计算，一般取等距离节点得到近似公式:
一、Newton-Cotes 公式
b a
f ( x )dx
ba [ f (a ) f (b )] 考察其代数精度。 2
f(x) f(b) f(a) a b
解：逐次检查公式是否精确成立 代入 P0 = 1： a 1 dx b a =
b a = x dx 代入 P1 = x ： 2
2 2
b
b a 2
b a 2
2、 把[a, b]二等分，作2次插值，有
b
a
a a b f ( x)dx a L2 ( x)dx b [ f ( a ) 4 f ( 6 6 ) f (b)]
b
此公式称为辛普森（Simpson）公式。
3、 把[a, b] n 等分，用插值Ln(x)近似 f(x)积分，有
xn
二、几种低阶求积公式的余项
1 1 ( 1) n = 1: C , C1 Trapezoidal Rule 2 2 b ba f ( x ) dx [ f (a ) f (b )] a 2 代数精度 = 1 b f ( ) /* 令 x = a+th, h = ba, 用中 x R[ f ] ( x a )( x b) dx a 值定理 */ 2! 1 ba h3 f ( ) , [a, b] , h 12 1
[1 1]
[a b]
b
a
代入 P2 =
x2 ：
a
b
x 2dx b
3
a 3 3
b a 2
[a 2 b2 ]
代数精度 = 1
例2 试构造形如 0 f(x)dx A0f(0)+ A1f(h)+ A2f(2h) 的数值 求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数.
3h
至少有 n+1 次代数精度 . 注：由公式知，当n≥8时，柯特斯系数出现负值，这时 ，初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不 稳定。因此，实际计算不用n≥8的牛顿-柯特斯公式 .
例3 试分别使用梯形公式和Simpson公式计算积分 似值，并估计截断误差. 解 用梯形公式计算: =2.1835
( x x j )
[ f ( x) Ln ( x)]dx Rn ( x)dx
a a
b
b
如果求积公式是插值型的, 按余项式, 对于次数≤ n的多项式 f (x)， 其余项R[ f ] 等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数精度．
定理1：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度 b k 0 该公式为插值型（即：Ak lk ( x )dx）
k 0
b
Baidu Nhomakorabea
a
f ( x )dx f ( xk ) l k ( x )dx
b k 0 a
n
误差 R[ f ]
Ak
f ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
Ak
b
a
由节点 决定， b f ( n 1) ( ) n j k ( xk x j ) dx 与 f (x) 无关。 a (n 1)!x ( x xk ) dx k 0
( 1) 0
1 2 1 ( 2) ( 2) n = 2: C , C1 , C 2 6 3 6 b bNewton-Cotes a n 为偶数阶的 a b f ( x ) dx [ f ( a ) 4 f ( ) f (b )] 2 a 公式至少有 n+6 1 次代数精度。
a
b
Pn ( x)dx
a
b
思 利用插值多项式 P ( x ) f ( x ) 则积分易算。 n 路
插值型积分公式 在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值 Interpolatory quadrature n
多项式 Ln ( x ) f ( xk )l k ( x ) ，即得到
式中 xk 称为求积节点；Ak 称为求积系数，亦称为伴随节点 xk 的
权．权Ak 仅仅与节点xk 的选取有关，而不依赖于被积函数 f(x)的
具体形式．
使积分公式具有通用性
这类数值积分方法通常称作机械求积， 其特点是将积分求
值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿——莱布尼兹公式
需要寻求原函数的困难．
xk
=Tn
R[ f ] [
k 1
n
h h f ( k )] (b a ) k 1 12 12 n
Ak f ( xk ) 具有m次代数 a f ( x )dx k 0
b
n
Ak b a ; 1 2 2 A x ( b a ); k k 2 A x m 1 (b m 1 a m 1 ) . k k m 1
梯形公式 例1：
第三章 数值积分(Numerical Integration)
§1 引言
一、数值求积的基本思想
积分 I f ( x )dx 只要找到被积函数 f (x)原函数F(x)，便有 a 牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式
b
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
si n x 实际困难：大量的被积函数（ , sin x2 等）, 找不到用初等函 x 数表示的原函数；另外, f (x)是（测量或数值计算出的）一张数
解: 令公式对 f(x)=1,x, x2 均准确成立,则有
9 h2=0 + A h+ A 2h 1 2 2 9h3=0 + A1h2+ A24h2 3 9 解之得 A0= h, A1=0, A2= h. 4 4 故求积公式的形式为 3h 9h 0 f(x)dx 3h f(0) + f(2h) 4 4 由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度; 而当f(x)=x3 81 时,公式的左边= h4, 右边=18h4, 公式的左边右边,说明 4 此公式对 f(x)=x3不能准确成立.因此,公式只具有2次代数 精度. 3h=A0+ A1+ A2
1 i n
~ ~ 由于计算 f (xk)可能有误差,实际得到 f k ,即 f ( xk ) f k k .
定义3 对任给 e ＞0，若 0， 只 要 f ( xk ) ~ f k ≤δ(k=0,1,
n n
ˆ | e, 则称求积公式是稳定的. …,n), 就有 | Ak f ( xk ) Ak f k
二、代数精度的概念
数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积 公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精
度的概念． 定义 1 如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成
立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次 代数精度． 一般地，欲使求积公式
精度，只要令它对于f (x) = 1，x，…，xm 都能准确成立，这就要求
h ( k 0, ... , n)
在每个 [ xk 1 , xk ] 上用梯形公式：
x k x k 1 xk1 f ( x )dx 2 [ f ( xk 1 ) f ( xk )] , k 1, ... , n n n1 b h h [ f ( xk 1 ) f ( xk )] f (a ) 2 f ( xk ) f (b) a f ( x)dx 2 2 k 1 k 1
ba 节点等距分布： xi a i h, h n , i 0, 1, ... , n
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i， Cotes系数 C ( n ) i 可查表得到。与 f (x) 及区 间[a, b]均无关。
当n=4时, 牛顿-柯特斯公式特别称作柯特斯公式,其形式为 ba 7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 ) C 90
据表时，牛顿—莱布尼兹公式也不能直接运用。
积分中值定理：在[a, b]内存在一点 ，有 成立。 就是说, 底为b-a 而高为f()的矩形面积恰 等于所求曲边梯形的面积 .
b
a
f ( x )dx (b a ) f()
问题 在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而 难以准确算出
f()的值．我们将f ()称为区间[a, b]上的平均高度．这样,只要对 平均高度f()提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法． 如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术平均作为平均高度f
三、求积公式的收敛性与稳定性
定义2 在求积公式
n n h 0 k 0
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) 中，若
k 0
n
l i m Ak f ( xk ) f ( x )dx
b a
其中 h max ( x i x i 1 ) ，则称求积公式是收敛的．
8
三、偶阶求积公式的代数精度 作为插值型的求积公式，n 阶的牛顿-柯特斯公式至 少具有n 次的插值精度（定理1）。实际的代数精度还可 进一步提高，一般地，可以证明下述定理: 定理 2 当阶 n 为偶数时，牛顿-柯特斯公式
( n) I n (b a ) C k f ( xk ) k 0 n
定理3 若求积公式(1．3)中系数Ak＞0 (k＝0，1，…，n)， 则此求积公式是稳定的． 定理3表明，只要求积系数Ak＞0 (k＝0,1,…,n)，就能保证 计算的稳定性．
f(x) §2 插值型的求积公式与关键是 Newton-Cotes 公式
近似计算 I f ( x )dx
( 2) 0
Simpson’s Rule 代数精度 = 3
ba 2
3 5 (5) h f ( ) 80
R[ f ]
1 5 (4) h f ( ) , 90
(a , b) , h
n = 3: Simpson’s 3/8-Rule, 代数精度 = 3,
R[ f ]
n = 4: Cotes Rule, 代数精度 = 5, R[ f ] 945 h7 f ( 6 ) ( )
ab R (b a ) f 2
(1.2)
更一般地，我们可以在区间[a，b]上适当选取某些节点 xk ，
然后用 f (xk )加权平均得到平均高度 f (ζ)的近似值，这样构造出的 求积公式具有下列形式
n
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
(1.3)
( )
ba : 的近似值，这样导出的求积公式 T [ f (a ) f (b)] 2
(1.1)
便是我们所熟悉的梯形公式(trapezoidal rule). ab 而如果改用区间中点 c 的“高度”f (c)近似地取代平 2 均高度f ()，则又可导出所谓中矩形公式(今后简称矩形公式)：
(x xj ) 令x ath Ai dx x0 ( xi x j ) j i n (t j ) h (b a)(1) ni n h dt (t j )dt 0 0 n i !(n i)! j i (i j ) h j i
的近
估计截断误差为
用Simpson公式计算：
=0.6796
=2. 0263． =198.43
( 2 1)5 max f ( 4 ) ( x ) =0.06890 0.06890 估计截断误差为 R2 1 x 2 2880
§3
复化求积公式
ba , xk a k h n
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。 一、复化梯形公式:
a
n
1、 对于[a, b]上1次插值，有L1 ( x)
A1 A2
ba 2
x b a b
x a f (a ) b f (b) a
b
a
a f ( x )dx b [ f (a ) f (b)] 2
此即梯形公式。 为便于计算，一般取等距离节点得到近似公式:
一、Newton-Cotes 公式
b a
f ( x )dx
ba [ f (a ) f (b )] 考察其代数精度。 2
f(x) f(b) f(a) a b
解：逐次检查公式是否精确成立 代入 P0 = 1： a 1 dx b a =
b a = x dx 代入 P1 = x ： 2
2 2
b
b a 2
b a 2
2、 把[a, b]二等分，作2次插值，有
b
a
a a b f ( x)dx a L2 ( x)dx b [ f ( a ) 4 f ( 6 6 ) f (b)]
b
此公式称为辛普森（Simpson）公式。
3、 把[a, b] n 等分，用插值Ln(x)近似 f(x)积分，有
xn
二、几种低阶求积公式的余项
1 1 ( 1) n = 1: C , C1 Trapezoidal Rule 2 2 b ba f ( x ) dx [ f (a ) f (b )] a 2 代数精度 = 1 b f ( ) /* 令 x = a+th, h = ba, 用中 x R[ f ] ( x a )( x b) dx a 值定理 */ 2! 1 ba h3 f ( ) , [a, b] , h 12 1
[1 1]
[a b]
b
a
代入 P2 =
x2 ：
a
b
x 2dx b
3
a 3 3
b a 2
[a 2 b2 ]
代数精度 = 1
例2 试构造形如 0 f(x)dx A0f(0)+ A1f(h)+ A2f(2h) 的数值 求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数.
3h
至少有 n+1 次代数精度 . 注：由公式知，当n≥8时，柯特斯系数出现负值，这时 ，初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不 稳定。因此，实际计算不用n≥8的牛顿-柯特斯公式 .
例3 试分别使用梯形公式和Simpson公式计算积分 似值，并估计截断误差. 解 用梯形公式计算: =2.1835
( x x j )
[ f ( x) Ln ( x)]dx Rn ( x)dx
a a
b
b
如果求积公式是插值型的, 按余项式, 对于次数≤ n的多项式 f (x)， 其余项R[ f ] 等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数精度．
定理1：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度 b k 0 该公式为插值型（即：Ak lk ( x )dx）
k 0
b
Baidu Nhomakorabea
a
f ( x )dx f ( xk ) l k ( x )dx
b k 0 a
n
误差 R[ f ]
Ak
f ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
Ak
b
a
由节点 决定， b f ( n 1) ( ) n j k ( xk x j ) dx 与 f (x) 无关。 a (n 1)!x ( x xk ) dx k 0
( 1) 0
1 2 1 ( 2) ( 2) n = 2: C , C1 , C 2 6 3 6 b bNewton-Cotes a n 为偶数阶的 a b f ( x ) dx [ f ( a ) 4 f ( ) f (b )] 2 a 公式至少有 n+6 1 次代数精度。
a
b
Pn ( x)dx
a
b
思 利用插值多项式 P ( x ) f ( x ) 则积分易算。 n 路
插值型积分公式 在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值 Interpolatory quadrature n
多项式 Ln ( x ) f ( xk )l k ( x ) ，即得到
式中 xk 称为求积节点；Ak 称为求积系数，亦称为伴随节点 xk 的
权．权Ak 仅仅与节点xk 的选取有关，而不依赖于被积函数 f(x)的
具体形式．
使积分公式具有通用性
这类数值积分方法通常称作机械求积， 其特点是将积分求
值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿——莱布尼兹公式
需要寻求原函数的困难．
xk
=Tn
R[ f ] [
k 1
n
h h f ( k )] (b a ) k 1 12 12 n
Ak f ( xk ) 具有m次代数 a f ( x )dx k 0
b
n
Ak b a ; 1 2 2 A x ( b a ); k k 2 A x m 1 (b m 1 a m 1 ) . k k m 1
梯形公式 例1：
第三章 数值积分(Numerical Integration)
§1 引言
一、数值求积的基本思想
积分 I f ( x )dx 只要找到被积函数 f (x)原函数F(x)，便有 a 牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式
b
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
si n x 实际困难：大量的被积函数（ , sin x2 等）, 找不到用初等函 x 数表示的原函数；另外, f (x)是（测量或数值计算出的）一张数
解: 令公式对 f(x)=1,x, x2 均准确成立,则有
9 h2=0 + A h+ A 2h 1 2 2 9h3=0 + A1h2+ A24h2 3 9 解之得 A0= h, A1=0, A2= h. 4 4 故求积公式的形式为 3h 9h 0 f(x)dx 3h f(0) + f(2h) 4 4 由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度; 而当f(x)=x3 81 时,公式的左边= h4, 右边=18h4, 公式的左边右边,说明 4 此公式对 f(x)=x3不能准确成立.因此,公式只具有2次代数 精度. 3h=A0+ A1+ A2
1 i n
~ ~ 由于计算 f (xk)可能有误差,实际得到 f k ,即 f ( xk ) f k k .
定义3 对任给 e ＞0，若 0， 只 要 f ( xk ) ~ f k ≤δ(k=0,1,
n n
ˆ | e, 则称求积公式是稳定的. …,n), 就有 | Ak f ( xk ) Ak f k
二、代数精度的概念
数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积 公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精
度的概念． 定义 1 如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成
立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次 代数精度． 一般地，欲使求积公式
精度，只要令它对于f (x) = 1，x，…，xm 都能准确成立，这就要求
h ( k 0, ... , n)
在每个 [ xk 1 , xk ] 上用梯形公式：
x k x k 1 xk1 f ( x )dx 2 [ f ( xk 1 ) f ( xk )] , k 1, ... , n n n1 b h h [ f ( xk 1 ) f ( xk )] f (a ) 2 f ( xk ) f (b) a f ( x)dx 2 2 k 1 k 1
ba 节点等距分布： xi a i h, h n , i 0, 1, ... , n
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i， Cotes系数 C ( n ) i 可查表得到。与 f (x) 及区 间[a, b]均无关。
当n=4时, 牛顿-柯特斯公式特别称作柯特斯公式,其形式为 ba 7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 ) C 90
据表时，牛顿—莱布尼兹公式也不能直接运用。
积分中值定理：在[a, b]内存在一点 ，有 成立。 就是说, 底为b-a 而高为f()的矩形面积恰 等于所求曲边梯形的面积 .
b
a
f ( x )dx (b a ) f()
问题 在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而 难以准确算出
f()的值．我们将f ()称为区间[a, b]上的平均高度．这样,只要对 平均高度f()提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法． 如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术平均作为平均高度f
三、求积公式的收敛性与稳定性
定义2 在求积公式
n n h 0 k 0
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) 中，若
k 0
n
l i m Ak f ( xk ) f ( x )dx
b a
其中 h max ( x i x i 1 ) ，则称求积公式是收敛的．
8
三、偶阶求积公式的代数精度 作为插值型的求积公式，n 阶的牛顿-柯特斯公式至 少具有n 次的插值精度（定理1）。实际的代数精度还可 进一步提高，一般地，可以证明下述定理: 定理 2 当阶 n 为偶数时，牛顿-柯特斯公式
( n) I n (b a ) C k f ( xk ) k 0 n