二次函数面积问题 - 学生

一．二次函数与面积综合问题

在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：

1．如图(1)，过三角形的某个顶点作与x 轴或y 轴的平行线，将原三角形分割成两个满

足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加：

1122

ABC ACD ADB C B ACE CEB A B S S S AD y y S S CE x x ∆∆∆∆∆=+=⋅-=+=⋅-； 2．如图(2)，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积： ABC DEBF DAC AEB CBF S S S S S ∆∆∆∆=---

3．如果只是求解面积最大值或者此时动点的坐标，可以通过平移直线，当直线与抛物线只有一个交点时三角形的面积最大，此时可以直接求出动点坐标，然后再利用上述两种方法求出面积的最大值．

一．考点：二次函数与面积问题．

二．重难点：二次函数中因动点产生的面积问题．

三．易错点：

1．在用点的坐标表示线段长度，进而表示图形面积的时候一定要保证线段的非负性，可以直接加上绝对值或者是分类讨论；

2．与动点问题相关的面积问题一定要分析清楚每个阶段图形的形状，然后再分别求出每个阶段下面积的表达式．

图（1）A

B C E

D 图（2）F

D E C B

A 知识精讲

三点剖析 题型精讲

二次函数面积问题

题型一：面积最值问题

例 4.1.1如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =++经过点()4,0A -和点()0,3B ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B ，求平移后抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，试问：在平移后的抛物线上是否存在一点P ，使△OA P '的面积与四边形AA BB ''的面积相等，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

例4.1.2如图，抛物线y=-3

4

x2+3与x轴交于点A，点B，与直线y=-

3

4

x+b相交于点B，点C，

直线y=-3

4

x+b与y轴交于点E．

（1）写出直线BC的解析式．

（2）求△ABC的面积．

（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

随练4.1已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为2．

（1）用含p 的代数式表示q ；

（2）求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；

（3）设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与y 轴的交点为E ，抛物线221y x px q =+++顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．

随堂练习

随练4.2如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为()3,0-

（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；

（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；

（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时CPB △的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标．

x

y

随练4.3如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．

（1）求线段OA所在直线的函数解析式；

（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，

①用m的代数式表示点P的坐标；

②当m为何值时，线段PB最短；

（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

作业1如图，抛物线233y mx mx =+-（0m >）与y 轴交于点C ,与x 轴交于A 、B 两点，

点A 在点B 的左侧，且3OC OB =．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如果点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，设D 点的横坐标为x ，ACD ∆的面积为S ，求S 与x 的关系式，并求当S 最大时，点D 的坐标；

课后作业 y

x

O D

C

B A

作业2已知：m 、n 是方程2650x x -+=的两个实数根，且m n <，抛物线2y x bx c =-++的图像经过点(),0A m 、()0,B n ．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；

（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2:3的两部分，请求出P 点的坐标．

作业3已知二次函数21342

y mx x m =-+-的图象与x 轴交于点()4,0A 、点B ，与y 轴交于点C ． （1）求此二次函数的解析式及点B 的坐标； （2）点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿线段AO 向O 点运动，到达点O 后停止运动，过点P 作PQ AC ∥交OC 于点Q ，将四边形PQCA 沿PQ 翻折，得到四边形''PQC A ，设点P 的运动时间为t ；

①当t 为何值时，点'A 恰好落在二次函数21342

y mx x m =-+-的图象的对称轴上； ②设四边形''PQC A 落在第一象限内的图形面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出当t 为何值时S 的值最大．

y

x

o 1 2 3 4 5 1

2

3

4

5

﹣1 ﹣1

﹣2 ﹣2

﹣3 ﹣3

﹣4 ﹣4

﹣5