立体几何线面垂直的证明

立体几何线面垂直的证明 Prepared on 22 November 2020

立体几何证明

【知识梳理】

1. 直线与平面平行

判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行⇒线面平行”）

性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行⇒线线平行”）

2.．直线与平面垂直

判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直⇒线面垂直”）

判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

（线面垂直⇒线线垂直）

性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

三。平面与平面

空间两个平面的位置关系：相交、平行.

1. 平面与平面平行

判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行⇒面面平行”）

2. 两个平面垂直

判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直⇒面面垂直”）

性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直⇒线面垂直）

知识点一

【例题精讲】

1.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。

（1）求证：

EF 11D ABC 11D C C B 1⊥C B 1⊥EFC B -1 2.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD ＝AB ＝1.

（1）证明: //EB PAD 平面;

（2）证明: BE PDC ⊥平面;

（3）求三棱锥B -PDC 的体积V .

3、如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，证明：

（1）AE ⊥CD （2）PD ⊥平面ABE ．

4、.如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=AA 1，∠BAA 1=60°（Ⅰ）证明：AB ⊥A 1C ； 练习

1、如图，菱形ABCD 与等边△PAD 所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°．

（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PAB的高．

2.如图1-4所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．求证：EF⊥平面BCG；

3.如图1-1所示，三棱柱ABC - A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.

(1)证明：AC1⊥A1B；

4、如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．

5、三棱锥P﹣ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2，（1）求证：面PBC⊥面ABC

6.已知四棱锥P-ABCD中,底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.(1)求证:PA∥平面EDB;

(2)求证:平面EDB⊥平面PBC;

7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；

2.求证BE 垂直平面PAC

8、将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥M﹣ABCD（如图二），若在四棱锥M﹣ABCD中有MA=．（1）求证：AC⊥MD；（2）求四棱锥M﹣ABCD的体积．

作业

1、如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC交BD于点O．将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M，N分别是棱BC，AD的中点，且DM=6．

（Ⅰ）求证：OD ⊥平面ABC ； 2、如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，O 是AC 的中点，A 1O ⊥平面ABC ，∠BCA=90°，AA 1=AC=BC ．（Ⅰ）求证：A 1B ⊥AC 1；

3、如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M 为PC 的中点，PC=．（Ⅰ）求证：PC ⊥AD ；

4、如图，四棱锥P-ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB=BC=12

AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．

（Ⅰ）求证：AP ∥平面BEF ；

（Ⅱ）求证：BE ⊥平面PAC ． 5、如图，四棱锥S ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形．AB=BC=2，CD=1，SD=．（1）证明：CD ⊥SD ；

6.如图，四棱锥S ﹣ABCD 中，△ABD 是正三角形，CB=CD ，SC ⊥BD ．

（Ⅰ）求证：SB=SD ；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M 为棱SA 的中点，求证：DM ∥平面SBC ．

7、如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，

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4A E D B A A ===,现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE . （1）求证：平面PBE ⊥平面PEF ；

8、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，

且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点．

（1） 证明：AD ⊥平面DEF;