时间序列模型归纳总结复习

时间序列模型归纳总结复习 随机时间序列分析的几个基本概念

一、随机过程(Stochastic Process)

定义 设（Ω,F,P ）是概率空间，T 是给定的参数集，如果对于任意t ∈T ，都有一定义在（Ω,F ,P ）上的随机变量X(t,ω)与之对应，则称随机变量族{X(t,ω),t ∈T}为随机过程。简记为{X(t,),t ∈T}或{X t ,t ∈T }或X T

离散参数的随机过程也称为随机序列或（随机）时间序列。 上述定义可简单理解成：

随机过程是一簇随机变量{X t ,t ∈T}，其中T 表示时间t 的变动范围，对每个固定的时刻t 而言，X t 是一普通的随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过程。

当t={0,±1,±2,…}时，即时刻t 只取整数时，随机过程{X t ,t ∈T}可写成如下形式，{X t ,t=0,±1,±2,…}。此类随机过程X t 是离散时间t 的随机函数，称它为随机序列或时间序列。

对于一个连续时间的随机过程的等间隔采样序列，即{X t ,t=0,±1,±2,…}就是一个离散随机序列。

二、时间序列的概率分布和数值特征

1、时间序列的概率分布

一个时间序列便是一个无限维的随机向量。一个无限维随机向量X=(…,X-1,X0,X1,…)/的概率分布应当用一个无限维概率分布描述。根据柯尔莫哥夫定理，一个时间序列的概率分布可以用它有限维分布簇来描述。

时间序列所有的一维分布是：…，F-1(·)，F0(·)，F1(·),… 所有二维分布是：Fij(·，·)， i ，j=0,±1,±2,…,(i ≠j)

一个时间序列的所有有限维分布簇的全体，称为该序列的有限维分布簇。 2、时间序列的均值函数

一个时间序列的均值函数是指：

()

t t t EX XdF X μ∞

-∞

==⎰

其中EXt 表示在t 固定时对随机变量Xt 的求均值，它只一维分布簇中的分布函数Ft(·)有关。 3、时间序列的协方差函数与自相关函数

与随机变量之间的协方差相似，时间序列的协方差函数定义为：

()

(),(,)()()(,)

t t s s t s s t s t s E X X X Y dF X Y γμμμμ∞∞

-∞

-∞

=--=--⎰

⎰

其中Ft,s(X,Y)为（Xt ，Xs ）的二维联合分布。

类似可以定义时间序列的自相关函数

，即：(,)(,)t s t s ργ=时间序列的自协方差函数有以下性质： （1） 对称性：(,)(,)t s s t γγ=

（2） 非负定性：对任意正整数m 和任意m 个整数k 1, k 2,。。。 k m ，方阵

()()

()()()()()()

()11121m 21222m m 1m 2m m k ,k k ,k k ,k k ,k k ,k k ,k k ,k k ,k k ,k m γγγγγγγγγ⎡⎤

⎢

⎥

⎢⎥

Γ=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

为对称非负定矩阵。

时间序列的自相关函数同样也具有上述性质且有ρ(t,t)=1。

三、平稳随机过程

平稳时间序列是时间序列分析中一类重要而特殊的随机序列，时间序列分析的主要内容是关于平稳时间序列的统计分析。

（一）两种不同的平稳性定义：

1、 严平稳：如果对于时间t 的任意n 个值12,,

,n t t t 和任意实数ε，随机过程t X 的n 维分布满足关

系式：

()()12121212,,

;,,

,,

;,,

n n n n n n F x x x t t t F x x x t t t εεε=+++

则称t X 为严平稳过程。

2、宽平稳：若随机过程{},t X t T ∈的均值（一阶矩）和协方差存在，且满足

（1）[]t E X a

t T =∀∈ （2）[][]()

,t k t E X a X a k t t k T γ+--=∀+∈

则称{},t X t T ∈为宽平稳随机过程。通常说的平稳是指宽平稳。

二者的联系：

（Ⅰ）严≠>宽：因为宽平稳要求期望和协方差存在，而严平稳要求概率分布存在，而不能断言一、二阶矩存在。

（Ⅱ）宽≠>严，这是不言而喻的。

（Ⅲ）严平稳+二阶矩存在⇒宽平稳。但反过来一般不成立。 （Ⅳ）对于正态过程来说，有：严平稳⇔宽平稳 （二）平稳时间序列自协方差函数和自相关函数

为了叙述方便，常假定平稳时间序列t X 的均值为零，即[]0t E X =。 用以下记号表示平稳序列t X 的自协方差函数，即

[][]

()0k t k t k t t t t t k

E X EX X EX EX EX X γ+++=--==当时

相应地，t X 的自相关函数用以下记号

0k k ργ=

平稳序列t X 的自协方差函数列和自相关函数列具有以下性质： （1） 对称性：,k k k k γγρρ--==； （2） 非负定性：对于任意正整数m ，

01m-110m-2m-1m-2

0m γγγγγγγγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Γ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1m-11m-2m-1m-2111m R ρρρρρρ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 为非负定对称方阵； （3）

0,1k k γγρ≤≤。

（三）平稳序列的样本统计量 （1） 样本均值

时间序列无法获得多重实现，多数时间序列仅包含一次实现，对于一个平稳序列用时间均值代替总体均值。即

1

1n

t t X X n ==∑

上式的估计是无偏的。