复变函数5.2,3

P ( z ) 1 cos z , Q( z ) z 5 . >> syms z; 法则5.3中取n=5, 则
1 cos z 1 f (z) 求 在z=0处的留数.0 ] Res[f ( z ), z lim 5 z (n 1)! z z0 d
显然, z=0是Q(z)的5级零点. 因为 >> f=(1-cos(z))/z^5; 1 (4)
12
1 1 1 lim z 0 z 1 4 z3
1 1 1 14 lim . 3 3 2 z 0 ( z 1) ( z 3) 27
1 Res[ f ( z ),1] lim[( z 1) f ( z )] . z 1 2
C
其中C是 z 1 的正向.
解 易见z=0是函数f (z)的本性奇点，并且
1 z 1 z 2 f (z) z2 z 0 z . 2! 3! 4!
1 因此 Res f ( z ),0 . 于是，根据留数基本定理 3!
f ( z )dz 3 i .
3
留数计算规则
(1) 如果 z 0 为 f (z ) 的可去奇点, 则
Res[f ( z ), z0 ] 0.
(2) 如果 z 0 为 f (z ) 的本性奇点, 则需将 f (z ) 展开 成Laurent级数, 求 c1 .
4
(3) 如果 z 0 为 f (z )的极点, 则有如下计算规则


z2 例5.11 计算积分 z 3 ( z 1)( z 3) dz , 其中C C
是 z 2 的正向.
z2 解 记 f ( z ) z 3 ( z 1)( z 3) , 显然z=0和z=1 显然被积函数有3级极点z=0和1级极点z=1
分别是f (z)的3级和1级极点, 都在 z 2 的内部. 而 极点z=3在 z 2 的外部.
n 1
2n(2n 1) (2n n 2) ( n 1)! (2n)! . ( n 1)!( n 1)!
7
( 1)
n1
如果z0是f (z)的m级极点，有时在 法则5.3 中取 0 为 f (z ) 的 如果 z
n>m来计算更为方便. 例5.9
n m, 那么
1 cos z . 设 考虑函数 f ( z 5 根据 例5.4 可知, z=0是f)(z)的3级极点, 在 z 解 运行下面的MATLAB语句.
1 2 n
Cn
都在C 的内部, 它们互不包含也互不相交, 并且以
再由留数的定义, 即得
C , C1 , C 2 , , C n 为边界的闭区域含于D内. 若 f (z)
是 D上的解析函数,( 那么 f z )dz

C
f ( z )dz f ( z )dz ,
Ck
nC

2 i Res f ( z ), zk .
小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向 Jordan曲 线, 积分 1 1 f ( z )dz 即 c1 2 i f ( z )dz Res[f ( z ), z0 ]. 2 i C C
称为f (z)在z0点的留数(Residue), 记做 Res f ( z ), z0 . 函数 f (z)在孤立奇点z0点的留数即是其在以 z0 为中心的圆环域内Laurent级数-1次幂项的系数.
根据留数基本定理, 函数在闭曲线f (z)上的积 分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计 算问题.
9
证明
分别以 z1 , z2 , , zn 为
Cn
中心, 作半径充分小的正向圆周
C1 , C 2 , , C n , 使得它们中的每个
z1 .
C1
zn C .
D
.z2 …
C2
都在其余的外部, 而都在C的内部.
P ( z0 ) Res[ f ( z ), z0 ] . Q ( z 0 )
5
•法则5.3 如果 z0 为 f (z ) 的 m 级极点, 取正整数
n m, 那么
1 d n 1 Res[f ( z ), z0 ] lim n1 [( z z0 )n f ( z )]. ( n 1)! z z0 dz
8
定理5.10 (留数基本定理) 设函数f (z)在区域D
内除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn 外处处解析, C是D
内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向 Jordan
曲线, 则
f ( z )dz 2 i Res f ( z ), z
C k 1 n k
.
C

14
例5.13 解
求 f (z) e
z 1 z
z
1 z
在z=0处的留数.
1 z
因为
f (z) e e ze
z n z n 0 z , n 0 n ! n 0 n !
所以
1 1 1 Res[ f ( z ),0] c1 . 0!1! 1!2! n 0 n !( n 1)!
P(z) , P (z ) 及 理4.5 (留数基本定理) 设函数f (z)在区域D 根据 其中P(z)和Q(z)都是多项式, ) 那么使用命令Q(z ) 在 z 0 都 和法则5.2 ,设 f ( z 可用柯西积分公式 Q( z )
z如果 限个孤立奇点 zf ,(zz )dz,[R,p,k]=residue(P,Q)0, Q( z ) 0, 那么 z0 为 1 2 , 2 i P ( zRes[ fC是D k n 外处处解析, ( z( z z ] ) 0, Q ),0 ) 0 0
复习与回顾
1
综上所述:
孤立奇点
可去奇点 Laurent级数的特点 无负幂项
lim f ( z )
z z0
存在且为 有限值

含有有限个负幂项 m级极点 关于( z z0 )1的最高幂 为 ( z z0 ) m
本性奇点 含无穷多个负幂项
不存在 且不为
2
定义5.4 设z0是f (z)的孤立奇点, C是在z0的充分
1 Res[ f ( z ),0] lim(1 cos z ) . 4! 0 P (0) zP (0) 0, P (0) 1 24 >> r=limit(diff(f*z^5,z,4)/prod(1:4),z,0)0,
-1/24
不是5 级极点
r = 所以, z=0是P(z)的2级零点. 故z=0是f (z)的3级极点 . 如果在法则5.3中取n=3, 那么计算就要麻烦得多.
k 1 C
C2
C3
n
10
z 例5.10 计算积分 4 z 1 dz , 其中C是 z 2 C
的正向. 显然 z1 f z2 i , z3 1, z4 i 即 解 如果函数 1,(z)是有理函数的形式,是函数
z P(z) f (z) 4 f (z) , 的1级极点，并且都在C的内部. 所以 z 1 Q( z )
C k 1


4
所有奇点在其内部的分段光滑正向 Jordan 4 4 得到 f (z)的部分分式展开, 从而求出在极点处的留 z的1级极点, 并且 1 2 i 2 i 0. 4 2 P ( z0 ) 则 zk k 1 ( z 1) z z k 1f4 z ), z ] Res[ ( . k 数. 在上面的命令中, P与Q分别是分子多项式P(z) 0 n Q ( z 0 ) 和分母多项式Q(z)按降幂排列的多项式系数向量, 11 f ( z )dz 2 i Re s f ( z ), zk .
z
(3) z= 是 f (z)的本性奇点充分必要条件是
lim f ( z ) 不存在有限与无穷的极限.
z
19
5.2.4 函数在无穷远点的留数
定义5.6 设z=是f (z)的孤立奇点, 即 f (z) 在 z=的去心邻域 R z 内解析, 称积分
1 f ( z )dz 2 i C
周 z 2 的内部,所以由留数基本定理就得积
>> syms z;
>> f=(z-2)/(z^3*(z-1)*(z-3));
1 z2 Res[ f ( z ),0] lim >> 2! z 0 ( z 1)( z 3)
2*pi*i*(limit(diff(z^3*f,z,2)/prod(1:2),z,0)
柯西积分公 式和高阶导 公式
于是，根据留数基本定理
z2 14 1 2 z 3 ( z 1)( z 3) dz 2 i 27 2 27 i . z
13
例5.12 求 f ( z ) z e 在z=0处的留数，并求
1 2 z
f ( z )dz ,
15
§5.2.4 函数在无穷远点的留数
1 函数在无穷远点的性质
2 函数在无穷远点的留数
16
5.1.3 函数在无穷远点的性质
如果函数f (z)在点的去心邻域 R z 内解析，则称z=是f (z)的孤立奇点.
1 如果令 z , 则 ( ) f 在去心邻域 1 0 ( 或当 R=0 时， )内解析, 即 0 R
为f (z)在z=的留数，并记做 Res[ f ( z ), ], 其中 C
表示圆周 z r r R 的负向(即顺时针方向). 易见 Res[ f ( z ), ] c1 .
1
0 是 ( )的孤立奇点. 类似地可以定义 z= 为
f (z)的可去奇点、极点或本性奇点.
17
定义5.7
设 f (z)在 R z 内解析，且其 f ( z ) cn z n . Laurent级数展开式为
n
如果展开式中不含有z的正幂项，则称 z= 是 f (z) 的可去奇点; 如果展开式中含有 z 的有限个正幂项 (至少含有一项), 且最高次幂为m, 则称z=是f (z)的 m级极点; 如果展开式中含有 z 的无穷多个正幂项， 则称 z= 是 f (z)的本性奇点.
根据 复合闭路定理 ,
Jordan曲线, C , C ,, C 都 f ( z )dz . 分段光滑(或可求长)
定理2.4 设 , C1 , Cz )dz C n是多连通区域D内 f ( z )dz C f ( 2 ,, f ( z )dz
C C1 C2
•法则5.1
如果 z 0 为 f (z )的1级极点, 那么
Res[ f ( z ), z0 ] lim[( z z0 ) f ( z )].
z z0
P(z) , P (z ) 及 Q(z ) 在 z 0 都解析. •法则5.2 设 f ( z ) Q( z )
如果 P ( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, 那么 z0 为f (z) 的1级极点, 并且
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例5.8
z 2n 求 f (z) n 在z= -1处的留数. ( z 1)
解 显然z= -1是f (z)的n级极点，所以
1 2 n ( n 1) Res f ( z ), 1 lim z ( n 1)! z 1 2n(2n 1) (2n n 2) 2 n n1 lim z z 1 ( n 1)! ( 1)
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类似地可以得到以下结论. 定理5.7 设 f (z)在 R z 内解析，则
(1) z= 是 f (z)的可去奇点充分必要条件是
存在极限 lim f ( z ) c0 , 其中c0是有限复常数. z (2) z= 是 f (z)的极点充分必要条件是
lim f ( z ) , 即 lim f ( z ) , z