绝对值型不等式和三角不等式类型
1 第1讲 绝对值不等式
知识点考纲下载绝对值不等式理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:(1)|a +b |≤|a |+|b |. (2)|a -b |≤|a -c |+|c -b |.(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax +b |≤c ;|ax +b |≥c ;|x -a |+|x -b |≥c . 不等式的证明会用数学归纳法证明贝努利不等式:(1+x )n >1+nx (x >-1,x ≠0,n 为大于1的正整数).了解当n 为大于1的实数时贝努利不等式也成立.会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 柯西不等式与排序不等式了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明. (1)柯西不等式的向量形式:|α|·|β|≥|α·β|. (2)(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2.(3)(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2+(x 2-x 3)2+(y 2-y 3)2≥(x 1-x 3)2+(y 1-y 3)2. (此不等式通常称为平面三角不等式)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:会用向量递归方法讨论排序不等式.1.绝对值三角不等式定理1:如果a ,b 是实数,则|a +b |≤|a |+|b |,当且仅当ab ≥0时,等号成立. 定理2:如果a ,b ,c 是实数,那么|a -c |≤|a -b |+|b -c |,当且仅当(a -b )(b -c )≥0时,等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集①|ax +b |≤c ⇔-c ≤ax +b ≤c ; ②|ax +b |≥c ⇔ax +b ≥c 或ax +b ≤-c .判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ,则c ≤0.( ) (2)不等式|x -1|+|x +2|<2的解集为∅.( )(3)对|a -b |≤|a |+|b |当且仅当ab ≤0时等号成立.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ 解不等式:|x -2|+|x +3|>7. 解:因为|x -2|+|x +3|=⎩⎪⎨⎪⎧(x -2)+(x +3),x ≥2,-(x -2)+(x +3),-3≤x <2,-(x -2)-(x +3),x <-3. 所以原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2,2x +1>7或⎩⎨⎧-3≤x <2,5>7或⎩⎪⎨⎪⎧x <-3,-2x -1>7. 解上述不等式组得所求不等式的解集为{x |x <-4或x >3}. 求函数y =|x +3|-|x -1|的最大值.解:因为y =|x +3|-|x -1|≤|(x +3)-(x -1)|=4,所以函数y =|x +3|-|x -1|的最大值为4.含绝对值不等式的解法(师生共研)(2019·沈阳质量检测(一))已知函数f (x )=|x -a |+3x ,其中a ∈R . (1)当a =1时,求不等式f (x )≥3x +|2x +1|的解集; (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤-1},求a 的值. 【解】 (1)当a =1时,f (x )=|x -1|+3x , 由f (x )≥3x +|2x +1|,得|x -1|-|2x +1|≥0, 当x >1时,x -1-(2x +1)≥0,得x ≤-2,无解; 当-12≤x ≤1时,1-x -(2x +1)≥0,得-12≤x ≤0;当x <-12时,1-x -(-2x -1)≥0,得-2≤x <-12.所以不等式的解集为{x |-2≤x ≤0}.(2)由|x -a |+3x ≤0,可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ,4x -a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ,2x +a ≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ,x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ,x ≤-a 2.当a >0时,不等式的解集为{x |x ≤-a 2}.由-a2=-1,得a =2.当a =0时,不等式的解集为{x |x ≤0},不合题意. 当a <0时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤a 4. 由a4=-1,得a =-4. 综上,a =2或a =-4.含绝对值不等式解法的常用方法1.(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )=5-|x +a |-|x -2|. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥0的解集; (2)若f (x )≤1,求a 的取值范围. 解:(1)当a =1时, f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +4,x ≤-1,2,-1<x ≤2,-2x +6,x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |-2≤x ≤3}. (2)f (x )≤1等价于|x +a |+|x -2|≥4.而|x +a |+|x -2|≥|a +2|,且当x =2时等号成立.故f (x )≤1等价于|a +2|≥4. 由|a +2|≥4可得a ≤-6或a ≥2.所以a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞). 2.已知函数f (x )=|x +1|-|2x -3|. (1)画出y =f (x )的图象; (2)求不等式|f (x )|>1的解集.解:(1)f (x )=⎩⎨⎧x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤32,-x +4,x >32,y =f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的表达式及图象知,当f (x )=1时,可得x =1或x =3;当f (x )=-1时,可得x =13或x =5. 故f (x )>1的解集为{x |1<x <3};f (x )<-1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5.绝对值不等式性质的应用(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )=|x -a |x +|x -2|(x -a ). (1)当a =1时,求不等式f (x )<0的解集; (2)若x ∈(-∞,1)时,f (x )<0,求a 的取值范围. 【解】 (1)当a =1时,f (x )=|x -1|x +|x -2|(x -1). 当x <1时,f (x )=-2(x -1)2<0; 当x ≥1时,f (x )≥0.所以,不等式f (x )<0的解集为(-∞,1). (2)因为f (a )=0,所以a ≥1.当a ≥1,x ∈(-∞,1)时,f (x )=(a -x )x +(2-x )(x -a )=2(a -x )(x -1)<0. 所以,a 的取值范围是[1,+∞).两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |中等号成立的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时.(2)该定理可强化为||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |,它经常用于证明含绝对值的不等式.(2019·湖北省五校联考)已知函数f (x )=|2x -1|,x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |+1;(2)若对x ,y ∈R ,有|x -y -1|≤13,|2y +1|≤16,求证:f (x )<1.解:(1)因为f (x )<|x |+1,所以|2x -1|<|x |+1,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12,2x -1<x +1,或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12,1-2x <x +1,或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,1-2x <-x +1, 得12≤x <2或0<x <12或无解. 故不等式f (x )<|x |+1的解集为{x |0<x <2}.(2)证明:f (x )=|2x -1|=|2(x -y -1)+(2y +1)|≤|2(x -y -1)|+|2y +1|=2|x -y -1|+|2y +1|≤2×13+16=56<1.绝对值不等式的综合应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f (x )=|x +1|-|ax -1|. (1)当a =1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立,求a 的取值范围.【解】 (1)当a =1时,f (x )=|x +1|-|x -1|,即f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}.(2)当x ∈(0,1)时|x +1|-|ax -1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax -1|<1成立. 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax -1|≥1;若a >0,|ax -1|<1的解集为0<x <2a ,所以2a ≥1,故0<a ≤2.综上,a 的取值范围为(0,2].(1)研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后数形结合解决是常用的思维方法.(2)对于求y =|x -a |+|x -b |或y =|x -a |-|x -b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.形如y =|x -a |+|x -b |的函数只有最小值,形如y =|x -a |-|x -b |的函数既有最大值又有最小值.(2019·福建市第一学期高三期末考试)设函数f (x )=|x -1|,x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3-f (x -1)的解集;(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x +1)-|x -a |的解集为M ,若⎝⎛⎭⎫1,32⊆M ,求实数a 的取值范围.解:(1)因为f (x )≤3-f (x -1),所以|x -1|≤3-|x -2|⇔|x -1|+|x -2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1,3-2x ≤3或⎩⎨⎧1≤x ≤2,1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >2,2x -3≤3,解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3, 所以0≤x ≤3,故不等式f (x )≤3-f (x -1)的解集为[0,3]. (2)因为⎝⎛⎭⎫1,32⊆M , 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1,32时,f (x )≤f (x +1)-|x -a |恒成立, 而f (x )≤f (x +1)-|x -a |⇔|x -1|-|x |+|x -a |≤0⇔|x -a |≤|x |-|x -1|, 因为x ∈⎝⎛⎭⎫1,32,所以|x -a |≤1,即x -1≤a ≤x +1, 由题意,知x -1≤a ≤x +1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1,32恒成立, 所以12≤a ≤2,故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12,2.[基础题组练]1.已知|2x -3|≤1的解集为[m ,n ]. (1)求m +n 的值;(2)若|x -a |<m ,求证:|x |<|a |+1.解:(1)不等式|2x -3|≤1可化为-1≤2x -3≤1,解得1≤x ≤2,所以m =1,n =2,m +n =3.(2)证明:若|x -a |<1,则|x |=|x -a +a |≤|x -a |+|a |<|a |+1.即|x |<|a |+1. 2.已知函数f (x )=|x -2|-|x -5|. (1)证明:-3≤f (x )≤3;(2)求不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集. 解:(1)证明:f (x )=|x -2|-|x -5| =⎩⎪⎨⎪⎧-3,x ≤2,2x -7,2<x <5,3,x ≥5. 当2<x <5时,-3<2x -7<3, 所以-3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知,当x ≤2时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为空集;当2<x <5时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为{x |5-3≤x <5}; 当x ≥5时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为{x |5≤x ≤6}. 综上,不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集为{x |5-3≤x ≤6}.3.(2019·湖北荆州一模)已知函数f (x )=|x -a |,不等式f (x )≤3的解集为[-6,0]. (1)求实数a 的值;(2)若f (x )+f (x +5)≥2m 对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)由f (x )≤3,得|x -a |≤3,因为a -3≤x ≤a +3,又f (x )≤3的解集为[-6,0], 所以a =-3.(2)因为f (x )+f (x +5)=|x +3|+|x +8|≥|x +3-(x +8)|=5, 又f (x )+f (x +5)≥2m 对一切实数x 恒成立, 所以2m ≤5,即m ≤52.4.(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )=|2x +1|+|x -1|. (1)画出y =f (x )的图象;(2)当x ∈[0,+∞)时, f (x )≤ax +b ,求a +b 的最小值.解:(1)f (x )=⎩⎨⎧-3x ,x <-12,x +2,-12≤x <1,3x ,x ≥1.y =f (x )的图象如图所示.(2)由(1)知,y =f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f (x )≤ax +b 在[0,+∞)上成立,因此a +b 的最小值为5.[综合题组练]1.(2019·湖南岳阳模拟)已知函数f (x )=|2x +2|-|2x -2|,x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3的解集;(2)若方程f (x )2+a =x 有三个实数根,求实数a 的取值范围.解:(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <-1,-4≤3或⎩⎨⎧-1≤x ≤1,4x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1,4≤3,解得x ≤34,所以不等式f (x )≤3的解集为⎝⎛⎦⎤-∞,34.(2)方程f (x )2+a =x 可变形为a =x +|x -1|-|x +1|,令h (x )=x +|x -1|-|x +1|=⎩⎪⎨⎪⎧x +2,x <-1,-x ,-1≤x ≤1,x -2,x >1,作出函数h (x )的图象如图,于是由题意可得-1<a <1. 2.设函数f (x )=|2x +3|+|x -1|. (1)解不等式f (x )>4;(2)若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤-32,1使不等式a +1>f (x 0)成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)由题意得f (x )=⎩⎨⎧-3x -2,x <-32,x +4,-32≤x ≤1,3x +2,x >1.则f (x )>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <-32,-3x -2>4或⎩⎪⎨⎪⎧-32≤x ≤1,x +4>4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1,3x +2>4⇔x <-2或0<x ≤1或x >1.所以不等式f (x )>4的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).(2)存在x 0∈⎣⎡⎦⎤-32,1使不等式a +1>f (x 0)成立⇔a +1>f (x )min ,由(1)知,当x ∈⎣⎡⎦⎤-32,1时,f (x )=x +4,所以f (x )min =f ⎝⎛⎭⎫-32=52,则a +1>52,解得a >32, 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32,+∞. 3.(2019·太原市模拟试题(一))已知函数f (x )=|x +m |+|2x -1|. (1)当m =-1时,求不等式f (x )≤2的解集;(2)若f (x )≤|2x +1|的解集包含⎣⎡⎦⎤34,2,求m 的取值范围.解:(1)当m =-1时,f (x )=|x -1|+|2x -1|,当x ≥1时,f (x )=3x -2≤2,所以1≤x ≤43; 当12<x <1时,f (x )=x ≤2,所以12<x <1; 当x ≤12时,f (x )=2-3x ≤2,所以0≤x ≤12, 综上可得原不等式f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤43. (2)由题意可知f (x )≤|2x +1|在⎣⎡⎦⎤34,2上恒成立,当x ∈⎣⎡⎦⎤34,2时,f (x )=|x +m |+|2x -1|=|x +m |+2x -1≤|2x +1|=2x +1,所以|x +m |≤2,即-2≤x +m ≤2,则-2-x ≤m ≤2-x ,且(-2-x )max =-114,(2-x )min =0,因此m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤-114,0. 4.(综合型)(2019·郑州模拟)已知函数f (x )=|3x +2|.(1)解不等式f (x )<4-|x -1|;(2)已知m +n =1(m ,n >0),若|x -a |-f (x )≤1m +1n(a >0)恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)不等式f (x )<4-|x -1|,即|3x +2|+|x -1|<4.当x <-23时,即-3x -2-x +1<4, 解得-54<x <-23; 当-23≤x ≤1时,即3x +2-x +1<4, 解得-23≤x <12; 当x >1时,即3x +2+x -1<4,无解.综上所述,不等式的解集为⎝⎛⎭⎫-54,12. (2)1m +1n =⎝⎛⎭⎫1m +1n (m +n )=1+1+n m +m n≥4. 令g (x )=|x -a |-f (x )=|x -a |-|3x +2|=⎩⎨⎧2x +2+a ,x <-23,-4x -2+a ,-23≤x ≤a ,-2x -2-a ,x >a .所以当x =-23时,g (x )max =23+a ,要使不等式恒成立,只需g (x )max =23+a ≤4,即0<a ≤103. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0,103.。
绝对值三角不等式 课件
类型 三 含绝对值不等式的证明 【典型例题】 1.已知ε>0,|x-a|<ε,|y-b|<ε. 求证:|x+3y-a-3b|<4ε. 2.求证: a2-b2 a - b .
2a 2 2
【解题探究】 1.如何化简题1中的x+3y-a-3b,才能利用已知条件? 2.题2中绝对值符号较多,能否直接去掉?不等式左边是非负值, 右边的符号能确定吗? 探究提示: 1.|x+3y-a-3b|=|(x-a)+(3y-3b)|. 2.直接去掉较困难;右边因为不知道|a|与|b|的大小,所以符号 不能确定.
2.①当|a|>|b|时,有|a|-|b|>0,
所以|a+b|≥||a|-|b||=|a|-|b|.
所以必有 a b即|1a,|>|b|是
ab
②当 a b 时 1,, 由|a+b|>0,
ab
必有|a|-|b|>0,即|a|>|b|,
a成立b 的 1充,分条件.
ab
故|a|>|b|是 a b成立1,的必要条件.
探究提示:
1.由绝对值三角不等式可得|x-a|+|x-1|≥|a-1|.
2. 函数f(x)取到最大值时,需要满足
(x-4)(x-3) 0,
x-4
x-3 .
【解析】1. 因为|x-a|+|x-1|≥|a-1|,则只需要
|a-1|≤3,解得-2≤a≤4.
答案: -2≤a≤4
2. f(x)=|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,
绝对值三角不等式
绝对值不等式
a
原点
长度
距离
ab>0
高中数学新人教A版选修4-5 绝对值三角不等式
(1)利用绝对值不等式求函数最值,要注意利用绝对 值的性质进行转化,构造绝对值不等式的形式. (2)求最值时要注意等号成立的条件,它也是解题的 关键.
3. 若 a, b∈R, 且|a|≤3, |b|≤2, 则|a+b|的最大值是________, 最小值是________.
解析:∵|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|, ∴1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.
解:∵a<|x+1|-|x-2|对任意实数恒成立, ∴a<(|x+1|-|x-2|)min. ∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3, ∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3. ∴(|x+1|-|x-2|)min=-3. ∴a<-3.即 a 的取值范围为(-∞,-3).
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|A|+|B| 2 1 2 2 = (| A | + | B | +2|A||B|) 4 2
|A|+|B| 1 ≥ (2|A||B|+2|A||B|)=|A||B|,∴2lg ≥lg|A||B|. 4 2 |A|+|B| 1 ∴lg ≥ (lg|A|+lg|B|),④正确. 2 2 答案:A
解析:∵|a+b|=|(b-a)+2a|≤|b-a|+2|a| =|a-b|+2|a|,∴|a+b|-2|a|≤|a-b|,①正确; ∵1>|a-b|≥|a|-|b|,∴|a|<|b|+1,②正确; 1 1 |x| 2 ∵|y|>3,∴ < .又∵|x|<2,∴ < ,③正确; |y| 3 |y| 3
②若|a|<|b|, 左边>0,右边<0,∴原不等式显然成立. ③若|a|=|b|,原不等式显然成立. 综上可知原不等式成立.
高中数学课件第一节 绝对值不等式
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第一节
绝对值不等式
结束
3.如果关于 x 的不等式|x-3|-|x-4|<a 的解集不是空集,求 实数 a 的取值范围.
解:注意到||x-3|-|x-4||≤|(x-3)-(x-4)|=1,-1≤|x- 3|-|x-4|≤1.若不等式|x-3|-|x-4|<a 的解集是空集, 则有 |x-3|-|x-4|≥a 对任意的 x∈R 都成立, 即有(|x-3|-|x- 4|)min≥a, a≤-1.因此, 由不等式|x-3|-|x-4|<a 的解集不 是空集可得,实数 a 的取值范围是 a>-1.
1 1 2t-1<2x<1,t- <x< ,∴t=0. 2 2 2.设不等式|x+1|-|x-2|>k 的解集为 R,求实数 k 的取值范围.
[试一试]
解:法一:根据绝对值的几何意义,设数 x,-1,2 在 数轴上对应的点分别为 P,A,B,则原不等式等价于 |PA|-|PB|>k 恒成立. ∵|AB|=3, 即|x+1|-|x-2|≥- 3.故当 k<-3 时,原不等式恒成立.
为数轴上两点的距离求解. 5.数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个
函数的图象,利用函数图象求解.
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第一节
绝对值不等式
结束
[练一练]
1.在实数范围内,解不等式|2x-1|+|2x+1|≤6.
解:法一:分类讨论去绝对值号解不等式. 1 3 1 1 当 x> 时,原不等式转化为 4x≤6⇒x≤ ;当- ≤x≤ 时,原 2 2 2 2 1 不等式转化为 2≤6,恒成立;当 x<- 时,原不等式转化为- 2
绝对值不等式
绝对值不等式1、平均值不等式定理1:如果a,b∈R,那么a²+b²≥= 当且仅当当时,等号成立定理2:(基本不等式)如果a,b>0,那么2ba+≥,当且仅当当时,等号成立,即两个正数的算术平方根不小于(即大于或等于)它们的几何平均数。
定理3:如果a,b,c大于0,那么3cba++≥,当且仅当当时,等号成立,2、绝对值三角不等式:定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤ ,当且仅当当时,等号成立定理2:如果a,b,c是实数,那么 ,当且仅当当时,等号成立3.绝对值不等式的解法(2)|ax+b|≤c、|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:①|ax+b|≤c⇔②|ax+b|≥c⇔(3)|x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:三种解法:思考感悟:1.|a-b|与|a|-|b|及|a|+|b|分别具有什么关系?【提示】||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.2.|x-a|±|x-b|表示的几何意义是什么?【提示】|x-a|±|x-b|表示数轴上的点x到点a、b的距离之和(差).学情自测:1.(教材改编题)设ab>0,下面四个不等式中,正确的是()C①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④∵ab>0,即a,b同号,则|a+b|=|a|+|b|,∴①④正确,②③错误.2.(2012·韶关质检)不等式|x-2|>x-2的解集是()AA.(-∞,2) B.(-∞,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)【解析】|x-2|>x-2同解于x-2<0,∴x<2.3.(2011·陕西高考)若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是________.【解析】因为|x+1|+|x-2|≥|x+1-x+2|=3,∴|x+1|+|x-2|的最小值为3,因此要使原不等式存在实数解,只需|a|≥3,∴a≥3或a≤-3.【答案】(-∞,-3]∪[3,+∞)4、(2012广州调研)不等式:|2||1|++x x ≥1的实数解为 |2||1|++x x ≥1⇔|x+1|≥|x+2|且x+2≠0,∴x ≤-23且x ≠-2 绝对值不等式性质的应用 :例题1:(2011·江西高考)对于实数x ,y ,若|x -1|≤1,|y -2|≤1,则|x -2y +1|的最大值为.【思路点拨】思路一: 将|x -2y +1|变形,设法用x -1与y -2表示,利用绝对值不等式的性质求最值; 思路二: 由|x -1|≤1,|y -2|≤1分别求x 、y 的范围,然后运用不等式的性质和绝对值的意义求解.【尝试解答】法一 |x -2y +1|=|(x -1)-2(y -2)-2|≤|x -1|+2|y -2|+2≤1+2+2=5,当且仅当x =0,y =3时,|x -2y +1|取最大值5.法二 ∵|x -1|≤1,∴-1≤x -1≤1,∴0≤x ≤2.又∵|y -2|≤1,∴-1≤y -2≤1,∴1≤y ≤3,从而-6≤-2y ≤-2. 由同向不等式的可加性可得-6≤x -2y ≤0,∴-5≤x -2y +1≤1,∴|x -2y +1|的最大值为5.规律与方法:1.(1)法一的关键是把|x -2y +1|变形为|(x -1)-2(y -2)-2|,进而利用绝对值不等式性质;(2)法二把求|x -2y +1|的最大值问题,转化为求x -2y +1的取值范围问题.2.(1)利用绝对值不等式性质定理求最值时,要指明取到等号的条件.(2)注意绝对值不等式性质在不等式证明中的放缩应用.变式训练:若f (x )=x 2-x +c (c 为常数),|x -a |<1,求证:|f (x )-f (a )|<2(1+|a |).【证明】 |f (x )-f (a )|=|(x 2-x +c )-(a 2-a +c )|=|x 2-x -a 2+a |=|(x -a )(x +a -1)|=|x -a ||x +a -1|=|x -a ||(x -a )+(2a -1)|,∵|x -a |<1.∴|x -a ||(x -a )+(2a -1)|<|(x -a )+(2a -1)|≤|x -a |+|2a -1|<1+|2a |+1=2(1+|a |). ∴不等式|f (x )-f (a )|<2(1+|a |)成立含绝对值不等式的解法 :例题2:(1)(2011·江苏高考)解不等式:x +|2x -1|<3.(2)不等式|x +3|-|x -2|≥3的解集为________.【思路点拨】 (1)将不等式x +|2x -1|<3化成|2x -1|<3-x 的形式,然后用公式求解.(2)去|x +3|与|x -2|的绝对值,按零点分区间讨论.【尝试解答】1) 由x+|2x-1|<3,得|2x-1|<3-x,∴原不等式化为:⎩⎨⎧-<-≥-x x x 312012或⎩⎨⎧-<-<-x x x 321012, 解得:21≤x<34或-2<x<21,∴原不等式的解集是:{x|-2<x<34} 2) ①当x ≥2时,原不等式化为:x+3-(x-2)≥3,此时恒成立,∴x ≥2,②当x ≤-3时,原不等式化为-x-3-(2-x)≥3,无解,③当-3<x<2时,原不等式化为x+3-(2-x)≥3,解得:x ≥1,因此1≤x<2综合①②③可知,原不等式的解集为:{x|x ≥1}1.第(1)问利用绝对值定义,将其转化为与之等价的不等式组是求解的关键;也可利用|f (x )|<g (x )⇔-g (x )<f (x )<g (x )进行转化;第(2)问易错点:(1)分区间去绝对值时忽视零点的值;(2)误求不等式的解集为交集.2.含有两个或两个以上绝对值号的不等式,常用零点分段法脱去绝对值号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组).但一定注意,最终的不等式的解集是各类情形的并集.其操作程序是:找零点、分区间、分段讨论.变式训练:(2011·山东高考)求不等式|x -5|+|x +3|≥10的解集.【解】法一:当x ≥5时,原不等式为x -5+x +3≥10,∴x ≥6.不等式的解集为{x |x ≥6}. 当-3<x <5时,原不等式化为-x +5+x +3≥10,8≥10,此时原不等式无解;当x ≤-3时,原不等式化为-x +5-x -3≥10,x ≤-4.∴原不等式的解集为{x |x ≤-4}. 综上所述,原不等式的解集为(-∞,-4]∪[6,+∞).法二 由绝对值的几何意义,|x -5|+|x +3|≥10表示数轴上的点到两点-3,5的距离之和大于等于10的所有的点集.易知点-4和6到两点-3,5的距离之和都等于10,结合数轴知原不等式的解集为{x |x ≥6或x ≤-4}.利用平均值不等式求最值 :1)若x>0,求函数f(x)=x+24x的最小值; 2)已知x>0,y>0,且x+y=1,求x 4+y 9的最小值 【思路点拨】:1)将f(x)变形为2x +2x +24x,然后用定理3求解 2)注意x+y=1的应用,运用a+b ≥2ab 求最小值【尝试解答】1)∵x>0,∴f(x)= x+24x =2x +2x +24x ≥332422x x x ∙∙=3,当且仅当2x =24x ,即x=2时取等号,∴x=2时,f(x)min =32)∵x>0,y>0,x+y=1,∴x 4+y 9= (x+y)( x 4+y 9)=13+x y 4+y x 9≥13+2yx x y 94∙=25 当且仅当x y 4=yx 9时等号成立 由⎪⎩⎪⎨⎧==+y x x y y x 941且x>0,y>0,得⎪⎩⎪⎨⎧==5352y x ∴当x=52,y=53时取等号,所以x 4+y 9的最小值为25.1.利用平均值不等式求最值,应明确基本不等式成立的条件,“一正、二定、三相等”缺一不可.2.利用不等式求最值时,常利用添项、拆项、配系数,并注意“1”的代换,创造使用均值不等式的条件.变式训练:若0<x <1,则函数f (x )=x 2(1-x )的最大值是________.【解】∵0<x<1,∴0<1-x<1,f(x)=x ²(1-x)=4•2x •2x •(1-x)≤4•[3)1(22x x x -++]³=274 当且仅当2x =1-x,即x=32时,等号成立,因此f(x)的最大值f(x)max = 274绝对值不等式的综合问题 :例题4:(2012·佛山质检)已知函数f (x )=|x -a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |-1≤x ≤5},求实数a 的值;(2)在(1)的条件下,若f (x )+f (x +5)≥m 对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围.【思路点拨】 (1)由|x -a |≤3求不等式的解集,与已知比较,求参数a 的值;(2)利用绝对值不等式的性质或函数的单调性,求y =f (x )+f (x +5)的最小值,得参数不等式求解.1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得a-3≤x ≤a+3,又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x ≤5} 所以5313=+-=-⎩⎨⎧a a 解得a=2.2)法一:由1)知a=2,此时f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|,于是g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<-2,1223,53,12-x x x x x 利用g (x )的单调性,易知g (x )的最小值为5.因此g (x )=f (x )+f (x +5)≥m 对x ∈R 恒成立, 知实数m 的取值范围是(-∞,5].法二 当a =2时,f (x )=|x -2|. 设g (x )=f (x )+f (x +5)=|x -2|+|x +3|.由|x -2|+|x +3|≥|(x -2)-(x +3)|=5(当且仅当-3≤x ≤2时等号成立)得,g (x )的最小值为5. 因此,若g (x )=f (x )+f (x +5)≥m 恒成立, 应有实数m 的取值范围是(-∞,5]., 规律方法4:1.第(2)问求解的关键是转化为求f (x )+f (x +5)的最小值,法1是运用分类讨论思想,利用函数的单调性;法2是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件).2.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,这是命题的新动向,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.变式训练:已知函数f (x )=|x -3|-2,g (x )=-|x +1|+4.(1)若函数f (x )的值不大于1,求x 的取值范围;(2)若不等式f (x )-g (x )≥m +1的解集为R ,求m 的取值范围.【解】 (1)依题意,f (x )≤1,即|x -3|≤3.∴-3≤x -3≤3,∴0≤x ≤6,因此实数x 的取值范围是[0,6].(2)f (x )-g (x )=|x -3|+|x +1|-6≥|(x -3)-(x +1)|-6=-2,∴f (x )-g (x )的最小值为-2, 要使f (x )-g (x )≥m +1的解集为R. 应有m +1≤-2,∴m ≤-3,故实数m 的取值范围是(-∞,-3].命题透视:从近两年新课标命题看,含绝对值不等式的解法是选考内容4-5考查的热点,难度为中等,2011年高考命题的突出特点是以函数为载体考查绝对值不等式的解法与证明,预计2013年高考将延续这一命题方向.规范解答之二十二 绝对值不等式中逆向问题的正向求解策略例题:(10分)(2011·新课标卷)设函数f (x )=|x -a |+3x ,其中a >0.(1)当a =1时,求不等式f (x )≥3x +2的解集.(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤-1},求a 的值.规范解答:1) 当a=1时,f(x)≥3x+2,可化为|x-1|≥2,由此可得x ≥3或x ≤-1,故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x ≥3或x ≤-1}因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x ≤-2a },由题设可得-2a =-1,故a=2 【解题程序】 第一步:代入a ,求绝对值不等式|x -1|≥2的解集;第二步:化|x -a |+3x ≤0为不含绝对值的不等式组,并求解集;第三步:与题设比较,得含a 的方程,求出a 值;第四步:检验,查易错点,规范结论.阅卷心悟:易错提示:(1)不知逆向问题求解方法是思维受阻的主要原因.(2)未注意条件a >0,造成两解.防范措施:(1)逆向问题可正向求解,以本题为例,求出不等式的解集后.与已知不等式的解集作比较,便可建立关于a 的方程;(2)本题不等式f (x )≤0解集的端点-1是方程f (x )=0的解,利用这一点可得一种巧妙解法. 自主体验:1.(2011·广东高考)不等式|x +1|-|x -3|≥0的解集是________.【解析】 由|x +1|-|x -3|≥0,得|x +1|≥|x -3|,平方得(x +1)2≥(x -3)2,解之得x ≥1, ∴不等式的解集为{x |x ≥1}.2.(2011·辽宁高考)已知函数f (x )=|x -2|-|x -5|.(1)证明:-3≤f (x )≤3;(2)求不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集.1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤5352722,3-x x x x ,当2<x<5时,-3<2x-7<3,所以-3≤f(x)≤3 2)由1)可知:当x ≤2时,f(x)≥x ²-8x+15的解集为空集;当2<x<5时,f(x)≥x ²-8x+15的解集为{x|5-3≤x<5}当X ≥5时,f(x)≥x ²-8x+15的解集为{x|5≤x ≤6}综上所述:不等式f(x)≥x ²-8x+15的解集为{x|5-3≤x ≤6}。
绝对值不等式公式总结
绝对值不等式公式总结绝对值不等式是数学中常见的一类不等式,它的表达形式如下:|f(x)| ≤ g(x)其中,f(x)和g(x)是定义在某个数域上的函数。
绝对值不等式的解集是满足不等式的一组数值。
绝对值不等式在实际问题中有着广泛的应用。
在解决实际问题时,我们经常会遇到一些条件限制,而绝对值不等式可以帮助我们确定这些条件下的范围。
我们来看一些基本的绝对值不等式形式。
1. |x| ≥ a这个不等式的解集是x≤-a或x≥a,其中a是一个非负实数。
例如,对于不等式|3x-4| ≥ 7,我们可以将其转化为两个不等式3x-4 ≥ 7和3x-4 ≤ -7,求解得到x ≥ 11/3或x ≤ -1。
2. |x| ≤ a这个不等式的解集是-a ≤ x ≤ a,其中a是一个非负实数。
例如,对于不等式|2x+3| ≤ 5,我们可以将其转化为两个不等式2x+3 ≤ 5和2x+3 ≥ -5,求解得到-4 ≤ x ≤ 1。
接下来,我们来看一些绝对值不等式的性质和应用。
1. 绝对值的保号性对于任意实数a,有|a| ≥ 0,且当且仅当a=0时,|a|=0。
这个性质告诉我们,绝对值的结果非负,并且只有在被取绝对值的数为0时,结果才为0。
2. 绝对值的三角不等式对于任意实数a和b,有|a+b| ≤ |a| + |b|。
这个不等式告诉我们,两个数的绝对值之和不超过它们各自绝对值的和。
3. 绝对值不等式的加减法对于任意实数a和b,有|a ± b| ≤ |a| + |b|。
这个性质告诉我们,两个数的绝对值之差不超过它们各自绝对值的和。
绝对值不等式在实际问题中的应用非常广泛。
例如,在计算机科学中,绝对值不等式可以用来限定算法的时间复杂度;在物理学中,绝对值不等式可以用来描述测量误差的范围;在经济学中,绝对值不等式可以用来确定一些经济指标的范围等等。
总结起来,绝对值不等式是数学中常见的一类不等式,它的解集可以帮助我们确定实际问题中的条件限制。
高二数学人选修课件二绝对值不等式与绝对值三角不等式
设函数 f(x) = |2x + 1| + |2x - a| (a > 0),若 f(x) 的最小值为 6,求 a 的值 及 f(x) 的最大值。
07
课堂小结与课后作业
课堂小结
绝对值不等式的性质和解法
总结了绝对值不等式的基本性质,包括绝对值的非负性、对 称性和三角不等式性质。同时,讲解了绝对值不等式的解法 ,包括零点分段法、几何意义法和绝对值三角不等式法。
绝对值不等式的意义
表示函数f(x)的绝对值与常数a之间的大小关系。
绝对值不等式性质
80%
对称性
若|f(x)|<a,则-a<f(x)<a,即f(x) 的取值范围关于原点对称。
100%
可转化性
绝对值不等式可以转化为分段函 数或一元二次不等式进行求解。
80%
解集连续性
绝对值不等式的解集在数轴上是 连续的区间。
02
01
03
三角不等式具有对称性,即 $|a - b| = |b - a|$。
三角不等式满足传递性,即如果 $|a - b| leq c$ 且 $|b - c| leq d$,则 $|a - c| leq c + d$。
三角不等式可用于证明一些与绝对值相关的不等式, 如柯西不等式等。
三角不等式与绝对值不等式关系
三角不等式是绝对值不等式的 一种特殊形式,它描述了绝对 值之间的数量关系。
通过三角不等式可以推导出一 些重要的绝对值不等式,如 $|a| - |b| leq |a - b|$ 可以推 导出 $|a| leq |b| + |a - b|$。
绝对值不等式和三角不等式在 解决一些数学问题时可以相互ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ转化,利用它们的性质可以简 化问题的求解过程。
绝对值不等式课件
时,|a+b|<|a|+|b|,这些都利用了三角形的性质定理,如三角形的两边之
和大于第三边等.
这样处理,可以形象地描绘绝对值三角不等式,更易于记忆和理解
定理.绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式,但放缩的“尺度”
∴ymax=4,ymin=-4.
4, < -1,
方法二:把此函数看作分段函数.∵y=|x-3|-|x+1|= 2-2,-1 ≤ ≤ 3,
-4, > 3,
∴-4≤y≤4.∴ymax=4,ymin=-4.
迁移与应用
如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为或两个以上绝对值的代数式,通常利用分段讨论的
方法转化为分段函数,进而利用分段函数的性质解决相应问题.利用含
绝对值不等式的性质定理进行“放缩”,有时也能产生比较好的效果,但
这需要准确地处理“数”的差或和,以达到所需要的结果.
三、绝对值不等式的其他应用
活动与探究
例 3 已知函数 f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求
要仔细把握,如下面的式子:|a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,我们常用的
形式是|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,实质上|a+b|是不小于||a|-|b||的,|a|-|b|不
一定是正数,当然这需要对绝对值不等式有更深的理解,从而使放缩的
“尺度”更为准确.
一、利用绝对值三角不等式证明不等式
迁移与应用
已知 f(x)=x2-2x+7,且|x-m|<3,求证:
三角不等式与绝对值不等式
三角不等式与绝对值不等式三角不等式和绝对值不等式是数学中常见且重要的概念。
它们在不同的数学领域中广泛应用,包括代数、几何和数论等。
本文将详细介绍三角不等式和绝对值不等式的定义、性质和应用。
一、三角不等式三角不等式是指在任意三角形中,任意两边之和必大于第三边。
具体而言,对于一个三角形的三边a、b、c,满足以下不等式:a +b > cb +c > ac + a > b三角不等式的证明可以使用几何方法、代数方法或三角函数方法。
无论哪种方法,都能够证明三角不等式的正确性。
三角不等式还可以推广到更一般的形式,即对于任意的a、b,有:|a + b| ≤ |a| + |b|其中,|a| 表示数a的绝对值。
这个不等式称为绝对值不等式。
二、绝对值不等式绝对值不等式是指在不等式中含有绝对值的表达式。
解绝对值不等式的关键是根据绝对值的定义找出各种情况并进行分析。
1. 绝对值的定义:对于一个实数a,其绝对值定义如下:当a≥0时,|a| = a;当a<0时,|a| = -a。
2. 绝对值不等式的解法:对于一个绝对值不等式,可以通过以下方法来解答:(1)情况讨论法:将绝对值表达式中的正负情况进行分情形讨论,并根据实际条件进行求解。
(2)不等式性质法:利用绝对值不等式的性质进行数学推导和计算。
(3)化简法:通过适当的变量替换或等式转换,将绝对值不等式化简为其他形式的不等式。
(4)区间法:绘制实数的数轴,根据绝对值的定义和不等式的性质得出绝对值不等式的解集。
三、三角不等式与绝对值不等式的应用三角不等式在几何领域中的应用非常广泛,如判定三角形的存在性、计算三角形的周长和面积等。
同时,在证明数学定理和不等式时,三角不等式也经常起到重要的作用。
绝对值不等式在代数中具有重要的应用,涉及到绝对值函数的性质和不等式的解法。
在求解问题时,我们常常需要通过绝对值不等式来确定变量的取值范围,或者通过绝对值不等式将问题转化为更容易求解的形式。
基本不等式题型20种
基本不等式题型20种基本不等式是初等数学中的重要内容,涉及到多种类型的问题。
以下是一些常见的基本不等式题型:1. 一元一次不等式,例如 2x + 3 > 7。
2. 一元二次不等式,例如 x^2 4x + 3 > 0。
3. 绝对值不等式,例如 |2x 1| < 5。
4. 有理不等式,例如 (x-1)/(x+2) > 0。
5. 混合不等式,例如 2x + 3 < 5 或 3x 2 > 7。
6. 复合不等式,例如 2 < x < 5。
7. 线性不等式组,例如 {2x + y > 3, x y < 1}。
8. 二元二次不等式,例如 x^2 + y^2 < 25。
9. 分式不等式,例如 (x+1)/(x-2) > 0。
10. 绝对值分式不等式,例如 |(x-1)/(x+2)| < 1。
11. 参数不等式,例如若 a > 0, 则 ax < 5。
12. 根式不等式,例如√(x+1) > 2。
13. 指数不等式,例如 2^x > 16。
14. 对数不等式,例如 log(x) < 3。
15. 三角不等式,例如 sin(x) < 1。
16. 求最值问题,例如求函数 f(x) = x^2 4x + 3 的最小值。
17. 区间问题,例如求不等式 2 < x < 5 的解集。
18. 图形法解不等式,例如用图形法解不等式 2x + 3 < 7。
19. 实际问题,例如某商品的售价要高于成本价的 20%。
20. 复杂不等式的综合运用,例如将多种不等式类型结合运用解决问题。
这些是基本不等式的一些常见题型,涵盖了初等数学中常见的不等式问题。
希望这些例子可以帮助您更好地理解基本不等式。
绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立,则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集,则k的 取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法(一)
2x 4, x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2, 2 x 1
2x 4, x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式:|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
思考四:若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ,则k的取值范围是 k 3
练习:解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像, 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立,k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立,k的取值范围是
不等式选讲绝对值不等式
6、设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
解 (1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2. 由此可得x≥3或x≤-1. 故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3,或x≤-1}.
1.绝对值三角不等式 (1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b| ≤ |a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立; (2)定理2:如果a,b,c是实数,则|a-c|≤ |a-b|+|b-c,| 当且 仅当 (a-b)(b-c)≥时0 ,等号成立. (3)性质:_|_a_|-__|_b_| _≤|a±b|≤____|a_|_+__|b;|
考点二 含参数的绝对值不等式问题
[典例] 2、已知不等式|x+1|-|x-3|>a.分别求出下列情形中 a的取值范围:
(1)不等式有解; (2)不等式的解集为R; (3)不等式的解集为∅.
解:法一:因为|x+1|-|x-3|表示数轴上的点P(x)与两定点 A(-1),B(3)距离的差,即|x+1|-|x-3|=PA-PB.
【针对训练】:
1.不等式|x-5|+|x+3|≥10 的解集是( )
A.[-5,7]
B.[-4,6]
C.(-∞,-5]∪[7,+∞)
D.(-∞,-4]∪[6,+∞)
2、资料选修 4 系列 P16[练一练]:1
解析:解法一:当 x≤-3 时,5-x+(-x-3)≥10,∴x≤-4; 当-3<x<5 时,5-x+x+3≥10,8≥10 无解,舍去; 当 x≥5 时,x-5+x+3≥10,∴x≥6. 综上 x∈(-∞,-4]∪[6,+∞). 选 D. 解法二:用特殊值检验,取 x=5 不符合题意,排除 A、B,
高中数学 4-5绝对值不等式
补充练习:
1.已知a b , m a b , n a b ,则m, n之间的
ab
ab
大小关系是( D )
A.m n
B.m n
C.m n
D.m n
2.如果实数x, y满足 cos x cos y cos x cos y , 且x ( , ),
a2 2ab b2 | a |2 2 | ab | | b |2 | a |2 2 | ab | | b |2 (| a | | b |)2 | a | | b |, 所以 | a b || a | | b |, 当且仅当ab 0时,等号成立。
探究 你能根据定理1的研究思路,探究一下 |a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗?例如: |a|-|b|与|a+b|,|a|+|b|与|a-b|,|a|-|b|与|ab|等之间的关系。
2
则 (cos x cos y)2可写成( C )
A.cosx - cosy
B.cosx cos y
C.cos y cos x
D. cos y cos x
3.若r1, r2是方程x2 px 8 0的两个不等实根,则 r1 r2 的取值范围__(_4_2_,___)
4.若关于x的不等式 x 2 x 1 a的解集为则a
A. x - y
B. x y 2
C . x y 2
D. x y
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个 地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第 10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施 工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生 活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工 队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于 何处?
绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式
绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式规律方法指导1、解绝对值不等式的基本思路解绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,因此如何去掉绝对值符号是解决这类问题的关键。
常利用绝对值的代数意义和几何意义。
2、解绝对值不等式常用的同解变形①|f(x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x)②|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)③|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)④含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解;也可以用函数图像法来解决。
3、绝对值三角不等式等号成立的条件:①取等号②取等号③取等号④取等号经典例题透析类型一:含有一个绝对值符号的绝对值不等式的解法1、解下列不等式(1);(2);(3)解析:(1)由原不等式可得,得,∴原不等式的解集是;(2)原不等式可化为,得或整理得,或∴原不等式的解集是;(3)由原不等式可得或整理得或∴原不等式的解集是总结升华:不等式的解集为;不等式的解集为.举一反三:【变式】(2011山东,4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是(A)[-5,7] (B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7,+∞) (D)(-∞,-4]∪[6,+∞)【答案】D2、解不等式|x2+4x-1|<4解析:原不等式-4<x2+4x-1<4-5<x<-3或-1<x<1.即原不等式的解集是(-5,-3)∪(-1,1).举一反三:【变式】解不等式|x2+4x-1|>4.【答案】原不等式的解集是(-∞,-5)∪(-3,-1)∪(1, +∞)3、解不等式1|2x-1|<5.解析:法一:原不等式等价于①或②解①得:1x<3 ;解②得:-2< x 0.∴原不等式的解集为{x | -2< x 0或1x<3}法二:原不等式等价于12x-1<5或–5<2x-1-1即22x<6或–4<2x0.解得1x<3或–2<x0.∴原不等式的解集为{x|-2<x0或1x<3}总结升华:比较两种解法,第二种解法比较简单,在解法二中,去掉绝对值符号的依据是a|x|b a x b或-b x-a(a0).举一反三:【变式1】解不等式:【答案】原不等式的解集是【变式2】解不等式4<|x2-5x|≤6.【答案】原不等式等价于不等式组不等式(1)等价于x2-5x<-4或x2-5x>4不等式(2)等价于-6≤x2-5x≤6利用数轴取不等式(1),(2)的解的交集:∴原不等式的解集为:4、解不等式:|4x-3|>2x+1.思路点拨:关键是去掉绝对值符号。
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绝对值型不等式和三角不等式定理1 如果a, b 是实数,则 |a+b|≤|a|+|b|(当且仅当ab ≥0时,等号成立)。
绝对值三角不等式.a b a b a b a b -≤-≤±≤+(a,b 为实数) 定理2 如果a, b, c 是实数,那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|(当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立)。
证明:根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|(当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立)。
绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。
题型一 解绝对值不等式【例1】设函数f (x )=|x -1|+|x -2|.(1)解不等式f (x )>3;(2)若f (x )>a 对x ∈R 恒成立,数a 的取值围.【解析】(1)所以不等式f (x )>3的解集为(-∞,0)∪(3,+∞).(2)因为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-.2>3,-22,≤≤1,1<1,,23x x x x x 所以f (x )min =1.因为f (x )>a 恒成立,所以a <1,即实数a 的取值围是(-∞,1).【变式训练1】设函数f (x )=|x +1|+|x -2|+a .(1)当a =-5时,求函数f (x )的定义域;(2)若函数f (x )的定义域为R ,试求a 的取值围.【解析】(1)由题设知|x +1|+|x -2|-5≥0,如图,在同一坐标系中作出函数y =|x +1|+|x -2|和y =5的图象,知定义域为(-∞,-2]∪[3,+∞).(2)由题设知,当x ∈R 时,恒有|x +1|+|x -2|+a ≥0,即|x +1|+|x-2|≥-a ,又由(1)知|x +1|+|x -2|≥3,所以-a ≤3,即a ≥-3.题型二 绝对值三角不等式的应用[例2] (1)求函数y =|x -3|-|x +1|的最大值和最小值.(2)设a ∈R ,函数f (x )=ax 2+x -a (-1≤x ≤1).若|a |≤1,求|f (x )|的最大值.[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解.[解] (1)法一:||x -3|-|x +1||≤|(x -3)-(x +1)|=4,∴-4≤|x -3|-|x +1|≤4.∴y max =4,y min =-4.法二:把函数看作分段函数.y =|x -3|-|x +1|=⎩⎨⎧ 4,x <-1,2-2x ,-1≤x ≤3,-4,x >3.∴-4≤y ≤4.∴y max =4,y min =-4.(2)|x |≤1,|a |≤1, ∴|f (x )|=|a (x 2-1)+x |≤|a (x 2-1)|+|x |=|a ||x 2-1|+|x |≤|x 2-1|+|x |=1-|x 2|+|x |=-|x |2+|x |+1=-(|x |-12)2+54≤54. ∴|x |=12时,|f (x )|取得最大值54. 规律:(1)利用绝对值不等式求函数最值,要注意利用绝对值的性质进行转化,构造绝对值不等式的形式.(2)求最值时要注意等号成立的条件,它也是解题的关键.3.若a ,b ∈R ,且|a |≤3,|b |≤2则|a +b |的最大值是________,最小值是________.解析:|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |,∴1=3-2≤|a +b |≤3+2=5.答案:5 14.求函数f (x )=|x -1|+|x +1|的最小值.解:∵|x -1|+|x +1|=|1-x |+|x +1|≥|1-x +x +1|=2,当且仅当(1-x )(1+x )≥0,即-1≤x ≤1时取等号.∴当-1≤x ≤1时,函数f (x )=|x -1|+|x +1| 取得最小值2.5.若对任意实数,不等式|x +1|-|x -2|>a 恒成立,求a 的取值围.解:a <|x +1|-|x -2|对任意实数恒成立,∴a <[|x +1|-|x -2|]min.∵||x +1|-|x -2||≤|(x +1)-(x -2)|=3,∴-3≤|x +1|-|x -2|≤3.∴[|x +1|-|x -2|]min =-3.∴a <-3.即a 的取值围为(-∞,-3).题型三 解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x )=|x -1|+|x -2|,若不等式|a +b |+|a -b |≥|a |f (x )对a ≠0,a 、b ∈R 恒成立,数x 的围.【解析】由|a +b |+|a -b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a +b |+|a -b ||a |≥f (x ). 又因为|a +b |+|a -b ||a |≥|a +b +a -b ||a |=2,则有2≥f (x ). 解不等式|x -1|+|x -2|≤2得12≤x ≤52. 【变式训练2】(2010)若不等式|x +1|+|x -3|≥a +4a对任意的实数x 恒成立,则实数a 的取值围是 .【解析】(-∞,0)∪{2}.题型四 利用绝对值不等式求参数围【例3】(2009)设函数f (x )=|x -1|+|x -a |.(1)若a =-1,解不等式f (x )≥3;(2)如果∀x ∈R ,f (x )≥2,求a 的取值围.【解析】(1)当a =-1时,f (x )=|x -1|+|x +1|.由f (x )≥3得|x -1|+|x +1|≥3,综上得f (x )≥3的解集为(-∞,-32]∪[32,+∞). (2)综上可知a 的取值围为(-∞,-1]∪[3,+∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x -12(a +1)2|≤12(a -1)2与x 2-3(a +1)x +2(3a +1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ,B .求使A ⊆B 的a 的取值围.【解析】由不等式|x -12(a +1)2|≤12(a -1)2⇒-12(a -1)2≤x -12(a +1)2≤12(a -1)2, 解得2a ≤x ≤a 2+1,于是A ={x |2a ≤x ≤a 2+1}.由不等式x 2-3(a +1)x +2(3a +1)≤0⇒(x -2)[x -(3a +1)]≤0,①当3a +1≥2,即a ≥13时,B ={x |2≤x ≤3a +1}, 因为A ⊆B ,所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3; ②当3a +1<2,即a <13时, B ={x |3a +1≤x ≤2}, 因为A ⊆B ,所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a =-1. 综上使A ⊆B 的a 的取值围是a =-1或1≤a ≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状,运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中,||x <a 的解集是(-a ,a );||x >a 的解集是(-∞,-a )∪(a ,+∞),它可以推广到复合型绝对值不等式||ax +b ≤c ,||ax +b ≥c 的解法,还可以推广到右边含未知数x 的不等式,如||3x +1≤x -1⇒1-x ≤3x +1≤x -1.3.含有两个绝对值符号的不等式,如||x -a +||x -b ≥c 和||x -a +||x -b ≤c 型不等式的解法有三种,几何解法和代数解法以及构造函数的解法,其中代数解法主要是分类讨论的思想方法,这也是函数解法的基础,这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式,使用围更广.类型一:含一个绝对值符号的不等式的解法含一个绝对值符号的不等式的一般形式为()()f x g x > 或 ()()f x g x <,解这种不等式我们最常用的方法是等价转化法,有时也可用分类讨论法.例1.解不等式2|55|1x x -+<.[分析]利用|f(x)|<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组.解:原不等式等价于21551x x -<-+<,即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩ 由(1)得:14x <<;由(2)得:2x <或3x >, 所以,原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<.[注]本题也可用数形结合法来求解.在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的图象,解方程2551x x -+=,再对照图形写出此不等式的解集.例2. 解不等式4321x x ->+.[分析]利用|f(x)|<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和|f(x)|>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理或用分类讨论法解之.方法一:原不等式转化为4321x x ->+或43(21)x x -<-+,解之得原不等式的解集为123x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或. 方法二:原不等式等价于4304321x x x -≥⎧⎨->+⎩或430(43)21x x x -<⎧⎨-->+⎩.解之得342x x ⎧≥⎪⎨⎪>⎩ 或3413x x ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩,即2x >或13x <.所以原不等式的解集为123x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或. [注]⑴.通过例2可以发现:形如)()(x g x f <,)()(x g x f >型不等式,这类不等式如果用分类讨论的方法求解,显得比较繁琐,用同解变形法则更为简洁.⑵.分类讨论法也可讨论()0()0g x g x ≤或而解之,这实际上是同解变形法的推导依据.类型二:含两个绝对值符号的不等式的解法 含两个绝对值符号的不等式,我们常见的形式为:1122a x b a x b c +±+> 或 1122a x b a x b c +±+<()0c ≥,我们解这种不等式常用的方法有零点分段法和构造函数的方法,有时候也可利用绝对值的几何意义和平方法.例3.解不等式||||x x +<+123[分析]两边都含绝对值符号,所以都是非负,故可两边平方,通过移项,使其转化为:“两式和”与“两式差”的积的方法进行,即:|()f x |<|()g x |⇔22()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<0解:原不等式0)1()32()32()1(|32||1|222222>+-+⇔+<+⇔+<+⇔x x x x x x 解得x x <->-243或,故原不等式的解集为{|}x x x <->-243或 例4.解不等式127x x ++-≥.[分析]解法一 利用绝对值的几何意义(体现了数形结合的思想). 不等式127x x ++-≥的几何意义是表示数轴上与()1A -、()2B 两点距离之和大于等于7的点,而A 、B 的距离之和为3,因此线段AB 上每一点到A 、B 的距离之和都等于3,A 左侧的点到A 、B 的距离之和等于这点到A 点距离的2倍加3,B 右侧的点到A 、B 的距离之和等于这点到B 点距离的2倍加3.图1由图1可知:原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或.解法二 利用1020x x +=-=,的零点,把数轴分为三段,然后分段考虑.把原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解(零点分段讨论法).(1)当1x <-时,原不等式同解于13127x x x x <-⎧⇒≤-⎨---+≥⎩,,; (2)当12x -≤≤时,原不等式同解于12127x x x -≤≤⎧⇒⎨+-+≥⎩,,无解; (3)当2x >时,原不等式同解于24127x x x x >⎧⇒≥⎨++-≥⎩,,. 综上知,原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或.解法三 通过构造函数,利用函数图像(体现了函数与方程的思想). 原不等式可化为1270x x ++--≥.令()127f x x x =++--,则(1)(2)7(1)()(1)(2)7(12)(1)(2)7(2)x x x f x x x x x x x -+---<-⎧⎪=+----≤≤⎨⎪++-->⎩⇔26(1)()4(12)28(2)x x f x x x x --<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩,,, 可解得原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或.例5 解关于x 的不等式|log ||log |a a ax x 22<+[分析]原不等式可化为|log ||log |122+<+a a x x ,一般会分类讨论去绝对值号解题,即:通常分log log a a x x <--≤<12120,,log a x ≥0三种情况去绝对值符号,再分a a ><<101或进行讨论,这样做过程冗长,极易出错根据此题特点,不妨改变一下操作程序,即原不等式两边平方,再由定义去绝对值号,则分析将十分清晰,过程也简洁得多.解:原不等式可化为|log ||log |122+<+a a x x ,将两边平方可得:4414422(log )log (log )|log |a a a a x x x x ++<++,则有:(1)log ,(log )log a a a x x x ≥<⎧⎨⎩⇒≤<01012; (2)log ,log log log a a a a x x x x <+-<⎧⎨⎩⇒-<<03830302. 综上知-<<31log a x ,故当a >1时,解为a x a -<<3;当01<<a 时,解为a x a <<-3 [注]形如()120ax b ax b c c +-+>>和()120ax b ax b c c +++<>的含两个绝对值符号的不等式用平方法并不是很麻烦,可以通过两次平方去掉绝对值化为一般的不等式,所以我们在解题的过程中要选择一个合适的方法进行求解. 例6解不等式 2331x x --≤[分析]解含有双层绝对值符号的不等式的基本思想就是一层一层的去掉绝对值,使不等式化为不含绝对值的一般不等式.常用的方法有等价转化法、零点分段法和平方法,当然利用绝对值不等式的性质求解不等式是一种比较简单的方法,但这种方法比较抽象,一般不容易想到.但本题不可以采用零点分段法,也不能采用平方法,因为平方后既含有x 的项,又含有x 的项,所以我们先把不等式进行等价转化,然后把它看成有关x 的一元二次不等式组进行求解.解: 2331x x --≤ ⇔ 21331x x -≤--≤ ⇔ 22320340x x x x ⎧--≥⎪⎨--≤⎪⎩,,⇔ 22320340x x x x ⎧--≥⎪⎨--≤⎪⎩,,⇔324x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩, ⇔332244x x x ⎧+≤-≥⎪⎨⎪-≤≤⎩或, ∴原不等式的解集为31744⎡⎡⎤+--⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦,. 类型三:含参数的绝对值不等式的解法解含参数的绝对值不等式的思想就是首先要对参数的情况进行分情况讨论,然后分别在各种情况下对不等式进行求解,最后把各种结果综合在一起就可以得到原不等式的解.另外,有一些题也可通过转化,不进行讨论就可以轻松的解答出来.例7 解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x[分析]本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解,运算理较大.若化简成3|2|+>-m m x ,则解题过程更简单.在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论.解:原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时,)3(232+-<-+>-m m x m m x 或∴333-<+>m x m x 或当03=+m 即3-=m 时, 0|6|>+x ∴x ≠-6当03<+m 即3-<m 时, x ∈R[注]形如|()f x |<a ,|()f x |>a (a R ∈)型不等式,简捷解法是等价命题法,即:例8 (2004年卷)解关于x 的不等式a x x a x x +-->+--1111 [分析]利用)()(x f x f <,无解或0)()()(<⇔>x f x f x f ,即利用绝对值的定义法求解.解:0111111<+--⇔+-->+--a x x a x x a x x a x a x -<-⇔<+-⇔11011 (1) 当0=a 时,原不等式等价于:1011<⇔<-x x (2) 当0>a 时,原不等式等价于:111011<<-⇔<-<-x ax a (3) 当0<a 时,原不等式等价于:01<-x 或ax 11->-1<⇔x 或a x 11-> 综上所述:(1) 当0=a 时,原不等式的解集为:{}1<x x(2) 当0>a 时,原不等式的解集为:⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-111x a x (3) 当0<a 时,原不等式的解集为:⎭⎬⎫⎩⎨⎧-><a x x x 111或 类型四:含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 例9 (2010高考卷)不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数恒成立,则实数a 的取值围是( )A .(][)+∞-∞-,41, B.(][)+∞-∞-,52,C.[]2,1D.(][)+∞-∞-,21,[分析]要使a a x x 3132-≤--+对任意实数x 恒成立,只要|x +3|-|x -1|的最大值小于或等于23a a -. 方法一:形如使,x m x n c x m x n c ---≤-+-≤恒成立型不等式.可利用绝对值三角不等式:b a b a b a +≤±≤-,结合极端性原理即可解得,即:()()()max c x m x n c x m x n x m x n n m ≥---⇔≥---=---=-;()()()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≤⇔-+-≤min ; 解:设函数()()41313)(=--+≤--+=x x x x x f ,所以4)(max =x f 而不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数x 恒成立.故41432≥-≤⇒≥-a a a a 或,故选择A方法二:因|x +3|的几何意义为数轴上点x 到-3的距离,|x -1|的几何意义为数轴上点x 到1的距离,|x +3|-|x -1|的几何意义为数轴上点x 到-3与1的距离的差,其最大值可求.解:根据绝对值的几何意义,设数x ,-3,1在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ,则原不等式即求|PA|-|PB|≤23a a -成立∵|AB|=4,即|x +3|-|x -1|≤4故当23a a -≥4时,即41432≥-≤⇒≥-a a a a 或原不等式恒成立[注]⑴. 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数,通过画出图象,观察k 的取值围,但过程较繁.⑵. 转化思想在解中有很重要的作用,比如:恒成立问题、定义域为R 、有解或解集为空等问题都可转化为求最大、最小值问题.[变式] (2012文理)若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值围是___________.[解析]:1|||1|3a x a x -≤-+-≤,解得:24a -≤≤ 例10(2012课标文理)已知函数()f x =|||2|x a x ++-.(Ⅰ)当3a =-时,求不等式 ()f x ≥3的解集;(Ⅱ) 若()f x ≤|4|x -的解集包含[1,2],求a 的取值围.[分析]本题(Ⅱ)有些同学可能会去解()f x ≤|4|x -这个不等式,再分析该不等式的解集与[1,2]的集合关系,结果将问题复杂化.这个问题实际上可转化为不等式()f x ≤|4|x -在[1,2]恒成立的问题而解之.解:(1)当3a =-时,()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩ 1x ⇔≤或4x ≥(2)原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立 24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立 30a ⇔-≤≤ 例11(2010全国卷)设函数)(x f =24x - + 1. (Ⅰ)画出函数y=)(x f 的图像:(Ⅱ)若不等式)(x f ≤ax 的解集非空,求a 的取值围解:(Ⅰ)由于25,2()23,2x x f x x x -+⎧=⎨-≥⎩则函数()y f x =的图像如图所示.(Ⅱ)由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知,当且仅当12a ≥或2a -时,函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点.故不等式)(x f ≤a 的解集非空时,a 的取值围为()1,2,2⎡⎫-∞-⋃∞⎪⎢⎣⎭[注]㈠.此题巧用构造函数法利用数形结合法解第二问,比参变分离法转化为最值问题求解更为简洁,避免了分类讨论的麻烦.㈡.含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题的等价转换(函数法): ⑴.()f x a ≤有解()min a f x ⇒≥;()f x a ≤解集为空集()min a f x ⇒<;这两者互补.()f x a ≤恒成立()max a f x ⇒≥.⑵.()f x a <有解()min a f x ⇒>;()f x a <解集为空集()min a f x ⇒≤;这两者互补.()f x a <恒成立()max a f x ⇒>.⑶.()f x a ≥有解()max a f x ⇒≤;()f x a ≥解集为空集()max a f x ⇒>;这两者互补.()f x a ≥恒成立()min a f x ⇒≤.⑷.()f x a >有解()max a f x ⇒<;()f x a >解集为空集()max a f x ⇒≤;这两者互补.()f x a >恒成立()min a f x ⇒≤.类型五 绝对值三角不等式问题例12 已知13)(2+-=x x x f ,1<-a x ,求证:)1(2)()(+<-a a f x f[分析]本题中给定函数)(x f 和条件1<-a x ,注意到要证的式子右边不含x ,因此对条件1<-a x 的使用可有几种选择:(1)直接用;(2)打开绝对值用11+<<-a x a ,替出x ;(3)用绝对值的性质11+<⇒<-≤-a x a x a x 进行替换. 证明:∵13)(2+-=x x x f ,∴13)(2+-=a a a f , ∵1<-a x ,∴1<-≤-a x a x .∴1+<a x , ∴x a a x a f x f -+-=-22)()()())((a x a x a x --+-=)1)((-+-=a x a x 1-+⋅-=a x a x)1(21111+=+++<++<-+<a a a a x a x ,即)1(2)()(+<-a a f x f .[注]这是绝对值和函数的综合题,这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用.分析中对条件1<-a x 使用时出现的三种可能是经常碰到的,要结合求证,灵活选用.例13 已知函数f(x)=21x +,a,b ∈R ,且b a ≠,求证|f(a)-f(b)|<|a-b|.[分析]要证|||11|22b a b a -<+-+,考察左边,是否能产生|a-b|. 证明:|f(a)-f(b)|=||||||||11|||11|222222b a b a b a b a b a b a +-⋅+<+++-=+-+||||||||||||b a b a b a b a -=-⋅++≤(其中||122a a a =>+,同理|,|12b b >+∴||||111122b a b a +<+++)[注]⑴.证题时,应注意式子两边代数式的联系,找出它们的共同点是证题成功的第一步.此外,综合运用不等式的性质是证题成功的关键.如在本例中,用到了不等式的传递性,倒数性质,以及“三角形不等式”等等.⑵.本题的背景知识与解析几何有关.函数21x y +=是双曲线,122=-x y 的上支,而||2121x x y y --(即|)()(|ba b f a f --),则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值,很显然这一斜率的围是在(-1,1)之间.类型六 含有绝对值的不等式的应用含绝对值的不等式常用来解决一些有关集合、函数、数列、平面向量、解析几何的问题,也用来解决一些实际问题,通常解决这些问题就是根据题意列出含有绝对值符号的不等式,然后解出这个不等式就可以得到问题的答案,解这些不等式的常用的方法就是我们上面所总结的方法.例14 (2004届省黄冈中学综合测试题)已知条件a x p >-|15:|和条件01321:2>+-x x q ,请选取适当的实数a 的值,分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题:“若A 则B ”,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么?并说明为什么这一命题是符合要求的命题.[分析]本题为一开放性命题,由于能得到的答案不唯一,使得本题的求解没有固定的模式,考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a ,也能先猜后证,所找到的实数a 只需满足2151≤-a ,且≥+51a1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性,同时也是对于四个命题考查的一种新尝试,如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力,符合当今倡导研究性学习的教学方向.解:已知条件p 即a x -<-15,或a x >-15,∴51a x -<,或51ax +>, 已知条件q 即01322>+-x x ,∴21<x ,或1>x ;令4=a ,则p 即53-<x ,或1>x ,此时必有q p ⇒成立,反之不然. 故可以选取的一个实数是4=a ,A 为p ,B 为q ,对应的命题是若p 则q , 由以上过程可知这一命题的原命题为真命题,但它的逆命题为假命题. 例15 已知数列通项公式n n naa a a a 2sin 23sin 22sin 2sin 32++++=对于正整数m 、n ,当n m >时,求证:n n m a a 21<-.[分析]已知数列的通项公式是数列的前n 项和,它的任意两项差还是某个数列的和,再利用不等式n n a a a a a a +++≤+++ 2121,问题便可解决.证明:∵n m > ∴mn n n m maa n a n a a 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++=-++mn n ma a n a n 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++≤++ 211)211(21212121121--=+++≤-+++nm n m n n)12110(21)211(21<-<<-=--nm n n m n . [注]⑴.以121+n 为首项,以21为公比,共有n m -项的等比数列的和,误认为共有1--n m 项是常见错误.⑵.弦函数的值域,即1sin ≤α,1cos ≤α,是解本题的关键.⑶.把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起,是一个较为典型的综合题目.如果将本题中的正弦改为余弦,不等式同样成立.[高考试题精选] 2011年试题: 一、选择题:1. (2011年高考卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为 (A )[-5.7] (B )[-4,6](C )(,5][7,)-∞-⋃+∞ (D )(,4][6,)-∞-⋃+∞ 【答案】D 【解析】由不等式的几何意义知,式子|3||5|++-x x 表示数轴的点)(x 与点(5)的距离和与点(-3)的距离之和,其距离之和的最小值为8,结合数轴,选项D 正确 二、填空题1. (2011年高考天津卷理科13)已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭,则集合A B ⋂=________.【答案】{}52|≤≤-∈x R x【解析】∵{}{}54|9|4||3||≤≤-∈=≤-++∈=x R x x x R x A ,()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈-⨯≥∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈-+=∈=,0,6142|,0,614|tttxRxtttxRxB{}2|-≥∈=xRx,∴{}{}{}52|2|54|≤≤-∈=-≥∈≤≤-∈=xRxxRxxRxBA.对于实数x,y,若11≤-x,12≤-y,则12+-yx的最大值为.【答案】53. (2011年高考卷理科9)不等式130x x+--≥的解集是______.【解析】}1|{≥xx。