大学物理下册作业解答

第二章 牛顿定律
2 -1 如图(a)所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )
(A) g sin θ (B) g cos θ (C) g tan θ (D) g cot θ
分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力F Ｔ (其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a ,如图(b)所示,由其可解得合外力为mg cot θ,故选(D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征．
2 -2 用水平力F N 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当F N 逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F f 的大小( )
(A) 不为零,但保持不变
(B) 随F N 成正比地增大
(C) 开始随F N 增大,达到某一最大值后,就保持不变
(D) 无法确定
分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μF N 范围内取值．当F N 增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)．
2 -
3 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R ,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( )
(A) 不得小于
gR μ (B) 必须等于gR μ
(C) 不得大于gR μ (D) 还应由汽车的质量m 决定 分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车
转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μF N ．由此可算得汽车转弯的最大速率应为v ＝μRg ．因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑．应选(C)．
2 -4 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则
( )
(A) 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变
(B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加
(C) 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心
(D) 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加
分析与解 由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以
及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力F N 作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关．重力的切向分量(m g cos θ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程
R
m θmg F N 2
sin v =-可判断,随θ 角的不断增大过程,轨道支持力F N 也将不断增大,由此可见应选(B)．
2 -6 图示一斜面,倾角为α,底边AB 长为l ＝2.1 m,质量为m 的物体从题2 -6 图斜面顶端由静止开始向下滑动,斜面的摩擦因数为μ＝0.14．试问,当α为何值时,物体在斜面上下滑的时间最短？ 其数值为多少？
分析 动力学问题一般分为两类：(1) 已知物体受力求其运动情况；(2) 已知物体的运动情况来分析其所受的力．当然,在一个具体题目中,这两类问题并无截然的界限,且都是以加速度作为中介,把动力学方程和运动学规律联系起来．本题关键在列出动力学和运动学方程后,解出倾角与时间的函数关系α＝f (t ),然后运用对t 求极值的方法即可得出数值来．
解 取沿斜面为坐标轴Ox ,原点O 位于斜面顶点,则由牛顿第二定律有
ma αmg μαmg =-cos sin (1)
又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有
()22cos sin 2
121cos t αμαg at αl -== 则 ()
αμααg l t cos sin cos 2-= (2) 为使下滑的时间最短,可令
0d d =α
t ,由式(2)有 ()()0sin cos cos cos sin sin =-+--αμαααμαα
则可得 μα12tan -=,o 49=α 此时 ()
s 99.0cos sin cos 2min =-=αμααg l t 2 -7 工地上有一吊车,将甲、乙两块混凝土预制板吊起送至高空．甲块质量为m 1 ＝2.00 ×102 kg,乙块质量为m 2 ＝1.00 ×102 kg ．设吊车、框架和钢
丝绳的质量不计．试求下述两种情况下,钢丝绳所受的张力以及乙块对甲块的作用力：(1) 两物块以10.0 m·ｓ-2的加速度上升；(2) 两物块以1.0 m·ｓ-2的加速度上升．从本题的结果,你能体会到起吊重物时必须缓慢加速的道理吗？
题2-7 图
分析预制板、吊车框架、钢丝等可视为一组物体．处理动力学问题通常采用“隔离体”的方法,分析物体所受的各种作用力,在所选定的惯性系中列出它们各自的动力学方程．根据连接体中物体的多少可列出相应数目的方程式．结合各物体之间的相互作用和联系,可解决物体的运动或相互作用力．解按题意,可分别取吊车(含甲、乙)和乙作为隔离体,画示力图,并取竖直向上为Oy轴正方向(如图所示)．当框架以加速度a 上升时,有
FＴ-( m1＋m2)g ＝(m1＋m2)a (1)
F N2 - m2g ＝m2a (2)
解上述方程,得
FＴ＝(m1＋m2)(g ＋a) (3)
F N2＝m2(g ＋a) (4)
(1) 当整个装置以加速度a＝10 m·ｓ-2上升时,由式(3)可得绳所受张力的值为
FＴ＝5.94 ×103 N
乙对甲的作用力为
F′N2＝-F N2＝-m2 (g ＋a)＝-1.98 ×103 N
(2) 当整个装置以加速度a＝1 m·ｓ-2上升时,得绳张力的值为
FＴ＝3.24 ×103 N
此时,乙对甲的作用力则为
F′N2＝-1.08 ×103 N
由上述计算可见,在起吊相同重量的物体时,由于起吊加速度不同,绳中所受张力也不同,加速度大,绳中张力也大．因此,起吊重物时必须缓慢加速,
以确保起吊过程的安全．
2 -8 如图(a)所示,已知两物体A 、B 的质量均为m ＝3.0kg 物体A 以加速度a ＝1.0 m·ｓ-2 运动,求物体B 与桌面间的摩擦力．(滑轮与连接绳的质量不计)
分析 该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解．分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立．同时也要注意到张力方向是不同的．
解 分别对物体和滑轮作受力分析［图(b)］．由牛顿定律分别对物体A 、
B 及滑轮列动力学方程,有
m A g -F Ｔ ＝m A a (1)
F ′Ｔ1 -F ｆ ＝m B a ′ (2)
F ′Ｔ -2F Ｔ1 ＝0 (3)
考虑到m A ＝m B ＝m , F Ｔ ＝F′Ｔ , F Ｔ1 ＝F ′Ｔ1 ,a ′＝2a ,可联立解得物体与桌面的摩擦力
()N 2.72
4f =+-=a m m mg F
题 2-8 图 讨论 动力学问题的一般解题步骤可分为：(1) 分析题意,确定研究对象,分析受力,选定坐标；(2) 根据物理的定理和定律列出原始方程组；(3) 解方程组,得出文字结果；(4) 核对量纲,再代入数据,计算出结果来．
2 -1
3 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F ＝120t ＋40,式中F 的单位为N, t 的单位的ｓ．在t ＝0时,质点位于x ＝5.0
m 处,其速度v 0＝6.0 m·
1
s -．求质点在任意时刻的速度和位置． 分析 这是在变力作用下的动力学问题．由于力是时间的函数,而加速度a ＝d v /d t ,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v (t )；由速度的定义v ＝d x /d t ,用积分的方法可求出质点的位置．
解 因加速度a ＝d v /d t ,在直线运动中,根据牛顿运动定律有 t
m t d d 40120v =+ 依据质点运动的初始条件,即t 0 ＝0 时v 0 ＝6.0 m·ｓ-1 ,运用分离变量法对上式积分,得
()⎰⎰
+=t t t 0d 0.40.12d 0v v v v ＝6.0+4.0t+6.0t 2 又因v ＝d x /d t ,并由质点运动的初始条件：t 0 ＝0 时 x 0 ＝5.0 m,对上式
分离变量后积分,有 ()⎰⎰++=t x
x t t t x 0
20d 0.60.40.6d x ＝5.0+6.0t+2.0t 2 +2.0t 3
2 -14 轻型飞机连同驾驶员总质量为1.0 ×10
3 kg ．飞机以55.0 m·ｓ-1 的速率在水平跑道上着陆后,驾驶员开始制动,若阻力与时间成正比,比例系数α＝5.0 ×102 N·ｓ-1 ,空气对飞机升力不计,求：(1) 10ｓ后飞机的速率；(2) 飞机着陆后10ｓ内滑行的距离．
分析 飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动．其水平方向所受制动力F 为变力,且是时间的函数．在求速率和距离时,可根据动力学方程和运动学规律,采用分离变量法求解．
解 以地面飞机滑行方向为坐标正方向,由牛顿运动定律及初始条件,有
t αt
m
ma F -===d d v ⎰⎰-=t t m t α0d d 0v v v
得 202t m α-=v v 因此,飞机着陆10ｓ后的速率为
v ＝30 m·ｓ-1
又 ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t x x t t m αx 0200d 2d v 故飞机着陆后10ｓ内所滑行的距离
m 4676300=-=-=t m
αt x x s v。