小波分析及其在图像处理中的应用

fˆ ( ) fˆ ( )d
2 R
1 ˆ ( ), f ˆ ( f 1 2 2
短时付氏反变换证明
~ (Gb f ) f t w(t b)e it dt
R
~ 1 it f t w(t b) ( G f ) e d b 2 R f t ( w(t b))2 ~ 1 it ( G f ) e w(t b)d b 2 R ~ 1 it ( G f ) e w(t b)ddb b 2 R
RR
2
短时付氏变换（ＳＴＦＴ）


窗函数的特点：
随着 的变换，窗口在相空间不断平移； 短时Fourier变换就是通过这些移动的窗口来提取被变换函数 的信息； 函数族 确定的时频窗口只是随 发生平移，窗口的大小和形状 固定不变.


实际中信号分析的要求：
信号高频部分对应时域中的快变成分，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲 等，分析时对时域分辨率要求高，对频域分辨率要求低。 信号低频成分对应时域中的慢变成分，分析对时域分辨率要求低，对 频域分辨率要求高。 因此，短时Fourier变换不能敏感地反映信号的突变，不能很好地刻 画信息。
2 2
证：
Leabharlann Baidu
1 ˆ f (t ) 2 f ( ) 2
f1 (t ), f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )dt f1 (t )[
R R
1 2

R
ˆ ( )eit d ]dt f 2
1

1 2

R
ˆ ( )[ f (t )e it dt]d 1 f 2 1 2 R

t
窗函数
窗函数
1
x1
x2
t
窗函数
2
0
2 ˆ
t0
窗函数
• Heisenberg测不准原理
窗函数
• 窗函数的举例(Gaussian 函数 )
短时付氏变换（ＳＴＦＴ）
短时付氏变换（ＳＴＦＴ）
短时付氏变换定义
Parseval等式
f1 (t ), f 2 (t )
2
1 ˆ ( ), f ˆ ( f 1 2 2
小波分析及其在图 像处理中的应用
第1章 时频分析
• Fourier分析
Fourier分析
Fourier分析
j
b V
V ai bj
i
a
f ( x)
V ai bj
n
jnx c e n

Fourier分析
Fourier分析
时频局部化分析
• 相空间
相空间是指以“时间”为横坐标，“频域”为 纵坐标的欧氏空间，而相空间中的有限区域被 称为窗口，沿时间轴的一段区间被称为时间窗， 沿频率轴的一段区间被称为频率窗。
f t ( w(t b))2 db
R
f t w(t ) 2
2
1 2
~ it ( G f ) e w(t b)ddb b
RR
w(t ) 2 1 f t 1 2 ~ it ( G f ) e w(t b)ddb b