同济大学高等数学第七版1_1映射与函数

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M *表示 M 中排除 0 的集 ;
2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
若 例如 , 且 , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . ,
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求周期函数的周期的方法：
由此等式中解出 l . 例：求函数 解：
的周期 l .
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4、复合函数 定义：设 y f u u x x 的值全部落在 f u 的定义域内， 则称 y f [ x ]为x 的复合函数。 即： 设有函数链
复合映射 , 记作
注意: 构成复合映射的条件
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不可少.
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三、函数
1. 函数的概念
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2. 反函数
（教材14页）
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In Excel: abs(x)
同一个函数在不同的实数集是否有界的结论可能不一样。
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(2) 单调性
定义：设函数 且
则称 f ( x ) 在 则称 在
上是单调增加的 ; 上是单调减少的.
单增和单减函数统称为单调函数。
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例1：证明 证明函数 且 或当 （或 （或 看 时，判别 。 的单调性，关键是看 的符号。
可表为 y
x , 故为初等函数.
2
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1、幂函数
y x
(是常数)
反比例函数：
定义域为：
x ,0 0,
x [0,) x (0,)
1 yk x
k 0
y y
无论
1 x2 , 1 x 2,
幂函数在 x (0,) 内总是有定义。 为何值，
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
四、 初等函数
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一、 集合
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
某班学生的集合 按一定规则入座
某教室座位 的集合
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f ( x). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .
2、图形在 y 轴的右方
(1,0)
x 0 不与 y 轴相交。
3、
a 1
0 y ,
y log a x 0 a 1 曲线从左到右逐渐上升。
0 x 1
y 0
x 1
0 a 1
(4)
曲线从左到右逐渐下降。
a
y log a x 与 y log 1 x 的图形对称于 x轴.
使得对任意的
函数
总有
则称
在D上有上(或下）界。 函数在某个区间D上有
界时函数既有上界、也有下界， 反之也成立。 但当函数 在D上只有上界（或有下界）时， 函数在D上无界。
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例1 设
当
则称 当 则称 当 当
时，
时为有界函数。 使
时， 不存在正数
时，为无界函数。
说明：一个函数是否有界与所给的实数集密切相关。
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逻辑量词
全称量词
There Exist
E
存在量词
For All
存在 There Exist
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A
任意
For All
解释以下命题
对任意实数x，都存在比x 更大的实数y。
任意两个实数之间，都存在着一个实数。
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二、 映射
1. 映射的概念 引例 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
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复合映射 定义. 设有映射链
则当
时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的 或

用描点法在同一坐标系中
三个函数的图形分别为:
0,1
0
x
指数函数 y a
1 x y( ) a
x
(a 0, a 1) x (, )
ya
x
y
a 1
性质： （1）图形在 x 轴的上方
1 0 1 a
y 0 x , .

(0,1)
（2）图形均过点 0,1 （3） (a 1) x 曲线从左到右逐渐上升。
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称为半开区间, 称为半开区间, 以上是有限区间
无限区间
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邻域:
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绝对值
设 a 是一个实数，数轴上 a 所对应的点到原点的距离 称为 a 的绝对值，记为： 一般：
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数轴上点 x 到点 a 的距离为
运算性质:
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幂函数的图形和性质
yx

(是常数)
y x2
y
1
yx
(1,1)
y x
图像特点及性质：
o
1、图形都通过点（1，1）。
2、 0 时，图形过原点， 且在 (0,) 内单调增加。
1 y x
1
x
3、
0 时，图形在 (0,)
内单调减少。
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对应规则： f 定义域 ：Df = X 值域 ： Rf =
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
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几种映射的类型
满映射（满射） 单映射（单射） 一一映射（双射）
其图形对称于原点。
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(3) 奇偶性
说明: 若 必有 在 x = 0 有定义 , 则当为奇函数时,
偶倍奇零
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பைடு நூலகம்
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例 1： 是偶函数
是奇函数
例2 判断函数 的奇偶性。
解
则此函数在为偶函数。
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例3 设
是定义在
上的任意函数，证明 是偶函数， 是奇函数。
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例7：符号函数（The sign function ）
当x>0
当x=0 当x<0 奇函数 In Excel: sign(x)
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例8：取整函数
当
In Excel: [x]=INT(x)
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3、函数的几种特性 (1) 有界性
证明 对于任意的
是偶函数，
是奇函数。
补充：两个奇（偶）函数之和仍是奇（偶）函数；
之积是偶函数;
一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数。
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(4) 周期性
且 则称 若
为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数
x
指数函数
y
y 10 x
y2
x
yx
y log 2 x
y lg x
ya
x
与对数函数
0,1
0
y log a x
互为反函数。
1,0 x
y log 1 x
2
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对数函数的性质
y log a x a 1

1、图形均过点 1,0 .
或 x 2,
x2 v , x (, 2 ) 2
可定义复合函数:
x 2
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例1：设
e x f x 1 x
0 x 1 1 x 2
求 f x 1 .
解：
e x 1 0 x 1 1 f x 1 1 x 1 2 1 ( x 1) e x 1 f x 1 2 x 1 x 0 0 x 1
2、指数函数
1 y 引例 y2 y 10 2 此类函数的特点是：底数均为常数， 指数是变量 x .
x x
x
定义
ya
x
a 0, a 1
1 y 2
x
y
称为指数函数， 它的定义域是整个实数
y 10 x
x
x , .
y2
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
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表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an

自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , 注 : M 为数集 (2) 描述法： M x x所具有的特征 . M 表示 M 中排除 0 与负数的集 例: 整数集合 Z x x N 或 x N p p 与 q 互质 p Z, q N , 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理数或无理数
y f (u ), u D1
且 ( D ) D1
则
① ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 ( D) D1 不可少.
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y
u , u0
u ln v
v 1
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特别：自然对数函数
y e 的反函数记为 y ln x
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四. 初等函数
1、 基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数
2、 初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 . 例如 ,
y
x,
x0
x, x0
0
1 (0 1) 曲线从左到右逐渐下降。但与 x 轴不相交. a 1
(4)
ya
x
与 y ( ) 的图形对称于 y 轴.
x
a
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3、 对数函数的定义
称为对数函数, x 0, .
1 y 2
x
y a 的反函数记为 y log a x (a 0, a 1)
显然有下列关系 :

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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集
交集 差集 余集
或
且
且
A
A
直积
特例:
记
为平面上的全体点集
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3.区间与领域 区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
称为开区间,
称为闭区间,
(2) 单调性
(3) 奇偶性 (4) 周期性
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3、函数的几种特性 (1) 有界性 定义：设函数 恒有 则称 否则称 在 [ a, b ] 上为有界函数. 在 [ a, b ] 上为无界函数.
有界函数必介于直线
与 之间。
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有时还要用到有上界或有下界。如果存在常数M(N),
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例2
这说明：有时一个函数在整个区间D不是单调的，
而将D分成几个小区间， 却在每个小区间上是单调的，
这需要分别讨论。
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(3) 奇偶性
定义： 设函数 且满足 若 则称 f (x) 为偶函数; 在对称区间 上有定义。
其图形对称于 y 轴。 若 则称 f (x) 为奇函数.
即：
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1 0 x 1 例2：已知 f ln x 求 f(x) . x x 1
解： 令

u ln x
u 0 0 u
x e
u
1 f u u e
1 x 0 f x x e 0 x