全国卷数学坐标系与参数方程试题汇编与解析

2011-2017年全国卷Ⅰ文科数学汇编之

坐标系与参数方程（附答案）

一、解答题

【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,

sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为

4,

1,x a t y t =+⎧⎨

=-⎩

（t 为参数）．

（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ．

【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨

⎧+==,

sin 1,

cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标

原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．

（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．

【2015，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()2

2

121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.

【2014，23】已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩

（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.

【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,

55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩

(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨

⎧==ϕ

ϕ

sin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，

3

π）。 （1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；

（2）设P 为1C 上任意一点，求2

2

2

2

||||||||PD PC PB PA +++的取值范围。

【2011，23】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y α

α

=⎧⎨

=+⎩（α为参数）

M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2

(Ⅰ)求C 2的方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3

π

θ=与C 1的异于

极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .

解 析

一、解答题

【2017，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,

sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为

4,

1,x a t y t =+⎧⎨

=-⎩

（t 为参数）． （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l

a ．

【解析】（1）1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=．曲线C 的标准方程是2219

x y +=，

联立方程22

43019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪

⎩，解得：30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-

⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭， （2）直线l 一般式方程是440x y a +--=．设曲线C 上点()3cos sin p θθ，． 则P 到l

距离

d =

=

，其中3

tan

4

ϕ=

． 依题意得：max d =，解得16a =-或8a =．

【2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩

⎨⎧+==,sin 1,

cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标

原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，

求a ．

【解析】：⑴ cos 1sin x a t y a t

=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）,∴()2

221x y a +-= ①

∴1C 为以()01，

为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-=

即为1C 的极坐标方程