北师大版初三数学秋季班(学生版) 第14讲 圆的有关性质--尖子班

北师大初三数学9年级上册秋季版（学生版）

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第14讲 圆的有关性质

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垂径定理弧、弦、圆心角的关系圆的有关性质圆周角定理及推论

圆内接四边形的性质 知识点1 垂径定理

①弦和直径：

(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.

(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。

②弧：

(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B 为端点的的弧记作AB ,读作弧AB.

(2)半圆、优弧、劣弧：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如ACB .

小于半圆的弧叫做劣弧，如AB 。

（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。

③弦心距：

（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．

(5)平行弦夹的弧相等．

⑥同心圆与等圆

（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。

（图一）

（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的⊙O 1与⊙O 2的半径都是r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。

（图二）

（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。

【典例】

1.如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是

2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是

3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC 为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为

4.把宽为2cm的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm），求该圆的半径

【方法总结】

1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。

2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。

【随堂练习】

1．（2018秋•镇海区期末）如图，AB 是O 的直径，10AB =，P 是半径OA 上的一动点，PC AB ⊥交O 于点C ，在半径OB 上取点Q ，使得OQ CP =，DQ AB ⊥交O 于点D ，点C ，D 位于AB 两侧，连接CD 交AB 于点E ，点P 从点A 出发沿AO 向终点O 运动，在整个运动过程中，CEP ∆与DEQ ∆的面积和的变化情况是( )

A ．一直减小

B ．一直不变

C ．先变大后变小

D ．先变小后变大

二．解答题（共2小题）

2．（2018秋•云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度60AB =米，拱高18

PD =米．

（1）求圆弧所在的圆的半径r 的长；

（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即4

PE =米时，是否要采取紧急措施？

3．（2017•道外区一模）如图，AB 为O 直径，点D 为AB 下方O 上一点，点C 为弧ABD

中点，连接CD ，CA ．

（1）求证：2ABD BDC ∠=∠；

（2）过点C作CE AB

=；

⊥于H，交AD于E，求证：EA EC （3）在（2）的条件下，若5

AD=，求线段DE的长

OH=，24

知识点2 弧、弦、圆心角、圆周角的关系

与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数．

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。

在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。

（3）直径所对的圆周角是直角。

【典例】

1.如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于

2.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=38°，则∠AEO的度数是

3.如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是