电路分析基础(第2版) 第3章 单相正弦交流电路的基本知识

i
电压电流之间的数量关系：ILm=UmωC=Um/XC 其中XC是电容电抗，简称容抗，单位也是欧姆。
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3 容抗的概念
电容元件电压电流有效值关系为 IC=UC=U/XC
1 1 2fC C 容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。只有在一 定频率下，电容元件的容抗才是常数。 XC与频率成反比；与电容量C成反比， 容抗与哪些因 因此频率越高电路中容抗越小，这被称 素有关？ 作电容元件的通交作用，高频电路中电 容元件相当于短路。 直流情况 下容抗为 直流下频率f =0，所以XC=∞。我们说电 多大？ 容元件相当于开路。（隔直作用）
u 220 2 sin(314t )V 3 i 22 2 sin(314t - )A
6
u、 i
u i
波形图: 相位差:
0
3
6
ωt

6
u i

3
(
)

2
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正弦量的最大值(或有效值)反映了正弦量的大小及作 功能力；角频率(或频率、周期)反映了正弦量随时间变 化的快慢程度；初相则确定了正弦量计时始的位置。 只要这三个要素确定之后，则正弦量无论是解析式还 是波形图，都是唯一和确切的。因此，我们把最大值 （或有效值）、角频率（或频率、周期）及初相称为 正弦量的三要素。
3. 正弦交流电的相位和初相 相位 正弦量解析式中随时间变化的电角度(ωt+φ)称 为相位，相位是时间的函数，反应了正弦量随时 间变化的整个进程。
u 311sin(t 45)V
初相 t=0时的相角φ，初相确定了正弦量计时始的位置。 u t
0
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3.1.2 相位差
两个同频率正弦量之间相位的差值称为它们的相位差
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（2）有功功率P=0，电感元件不耗能！ （3） 无功功率QL （单位为乏尔Var）
无功功率可衡量电源与元件之间能量交换的规模。无功功 率的概念可理解为只交换不消耗。 U2 2
QL U L I I X L XL
无功功率 QL反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。
问题与讨论
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3.2.2 电感元件
1、自感系数和电磁感应 自感系数 韦伯 (Wb) i N i L= + + + i uΦ Φ u e L L – 安 ( A) 亨利 ( H ) – – L称为自感系数或电感。线圈匝数越多，电感越大；
线圈单位电流中产生的磁通越大，电感也越大。 在图示 u、i 、e 假定参考方向的前提下，当通过线圈 的磁通或 i 发生变化时，线圈中产生感应电动势为: d di eL N L dt dt
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正弦交流电解析式与波型图
电压或电流的大小和方向均随时间变化时，称为交 流电，最常见的交流电是随时间按正弦规律变化正弦电 压和正弦电流。表达式为： u U m sin( t u ) 波形图为： i I m sin( t i )
u、 i
0
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t
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其中电荷量q的单位是库仑（C）；电压u的单位是伏特 （V）；电容量C的单位为法拉（F）。
q C u 或 q Cu
单位换算：1F=106μF=1012pF，
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2. 电容元件上的电压、电流关系
dq du C上u、i关系也属于动 C + 态，因此C 是动态元件。 dt dt C 设加在C上的电压 u 2 U sin t u – 则C中通过的电流 iC C du C d (U m sin t ) dt dt 由式可推出C上电压与电流 U mC cost 之间在相位上存在90°的正交 I Cm sin(t 90) 关系，且电流超前电压。 iC
3.2.1 电阻元件
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=
u
I= R
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2. 功率
（1）瞬时功率 p
i u 2 I sin ( t ) 2 U sin ( t )
瞬时功率用小写！
则
p u i U m sint I m sint UI UI cos 2t
p=UI-UIcos2 t
uip
u
i
UI
ωt
－UIcos2 t
结论：1. p随时间变化； 2. p≥0,为耗能元件。
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平均功率用大写！
2.平均功率（有功功率）P (一个周期内的平均值)
由 p u i U m sint I m sint UI UI cos 2t
可得 P = UI
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2. 电感元件上的电压、电流关系
+ u –
i
L 设通过L中的电流为 i 2 I sin t
则L两端的电压为 u L L
di 由于L上u、i 为动态关 u L eL L dt 系，因此L 是动态元件。
d ( I m sint ) di L dt dt I mL cost
1. 电源电压不变，当电路的频率变化时， 通过电感元件的电流发生变化吗？ f 变化时XL随之变化，导致电流i 变化。
2. 能从字面上把无功功率理解为无用之功吗？ 不能！
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3.2.3 电容元件
1. 电容 电容元件是实际电容器的理想化模型。如下图示，两块平 行的金属极板即构成一个电容元件。在电源作用下，两极板 上分别存贮等量异性电荷形成电场，贮存电能。 可见，电容元件是是一种能聚集电 + +q 荷，贮存电能的二端元件，当它两个 US 极板间电压为零时，电荷也为零。电 E -q － 容元件的储能本领可用电容量C表示
感抗与哪些因 素有关？
XL与频率成正比；与电感量L成正比。
直流情况 下感抗为 多大？
直流下频率f =0，所以 XL=0。L 相当于短路。
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3. 电感元件的功率
i I m sin t u L U Lm cos t
（1）瞬时功率 p
则 p u L i U Lm cost I m sint
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3.1.2 相位差
介绍几个有关相位差的概念：
u u1 u2 u3
u4 ωt
u1与u2反相，即相位差为180°； u3超前u190°，或说u1滞后u390°，二者为正交的相位关系。 u1与u4同相，即相位差为零。
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已知工频电压有效值U＝220V，初相ψu＝60°；工频电流 有效值I＝22A，初相ψi＝－30°。求其瞬时值表达式、波 形图及它们的相位差。 工频电角频率为314rad/s，所以瞬时值表达式:
u U m sin(t u ), i I m sin(t i ) 例
相位 初相 u、i 的相位差为：
(t u ) (t i ) t u t i u i
显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的 初相之差。
其中： X C
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4. 电容元件的功率关系
u U m sin t iC I Cm cos t
（1）瞬时功率 p
则 p u iC U m sin t I Cm cost
UIC sin 2t
u
ωt
u i 同相,
电容充电; 建立电场; p >0 u i 反相, u i 同相, u i 反相,
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电路分析基础
1、何谓正弦量的三要素，三要素各反映了正弦量的哪些方 面？ 2、一个正弦电流的最大值为100mA，频率为2KHz，这个电 流达到零值后经过多长时间可达50mA？ 41.7μs 3、已知u1=U1msin(ωt+60°)V， u2=U2msin(2ωt+45°)V，能 否比较哪个超前哪个滞后？为什么？ 4、有一电容器，耐压值为220V，问能否用在有效值为
3.1.1 正弦量的三要素
1. 正弦交流电的周期、频率和角频率
周期T 正弦量完整变化一周所需要的时间。
频率f 正弦量在单位时间内变化的周数。
周期与频率的关系：
1 f T
角频率ω 正弦量单位时间内变化的弧度数。
角频率与周期及频率的关系：
2 2f T
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3.1.1 正弦量的三要素
2. 正弦量的瞬时值、最大值和有效值
瞬时值 正弦量对应第一时刻的数值，通常用解析式表示：
u 311sin(t 45)V i 7.07 sin(t 60)A
最大值 正弦量在一个周期内振荡的正向最高点： u
Um
0
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t
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3.1.1 正弦量的三要素
有效值 指与交流电热效应相同的直流电数值。
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3.1 正弦交流电路的基本概念
前面两章所接触到的电压和电流均为稳恒直流电， 其大小和方向均不随时间变化，称为稳恒直流电，简称 直流电。直流电的波形图如下图所示：
u、 i
0
t
电子通讯技术中通常接触到电压和电流，通常其大 小随时间变化，方向不随时间变化，称为脉动直流电，如 图所示。
例
求：“220V、100W”和“220V、40W”灯泡的电阻？
解
U2 2202 R100 484 P 100 U2 2202 R40 1210 P 40
显然，电阻负载在相同电压下工作，功率与其阻值成反比。
平均功率代表了电路实际消耗的功率，因此也称之 为有功功率。
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180V的正弦交流电源上？为什么？ 5、一个正弦电压的初相为30°，在t=T/2时为-268V，试 求它的有效值。
约等于379V
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3.2 单一参数的正弦交流电路
1、电阻元件上的电压、电流关系 i R i 电压、电流的瞬时值表达式为： u 2 U sin t u R u 2U i sint I m sint R R 由两式可推出，电阻元件上电压、电流的相位上存在 同相关系；数量上符合欧姆定律，即： U
R
例
i
R
I
i t 时间内在R上产生的热量为Q
I通过Rt 时间内也产生Q热量
我们就把与交流电热效应相同的直流电流 I 的数值称为 i 的有效值。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。 Im I 0.707I m 理论和实际都可以证明 2
Im 2 I 1.414I
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3.1.1 正弦量的三要素
结论：
电容元件和电感元 件相同，只有能量 交换而不耗能，因 此也是储能元件。
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，C充 电吸收的电能等于它放电 发出的电能。
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电容充电; 送出能量; 送出能量; 建立电场; 电容放电; 电容放电; p >0 p<0 p<0
由式可推出L上电压与电流 之间在相位上存在90°的正交 U Lm sin( t 90) 关系，且电压超前电流。 电压电流之间的数量关系：ULm=ImωL=ImXL 其中XL是电感电抗，简称感抗，单位是欧姆。
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电感元件的电压电流有效值关系为
UL XL I
XL=2πf L=ωL，虽然式中感抗和电阻类似，等于元件上 电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电阻反映了元 件上耗能的电特性，而感抗则是表征了电感元件对正弦交 流电流的阻碍作用，这种阻碍作用不消耗电能，只能推迟 正弦交流电流通过电感元件的时间。
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第3章 单相正弦交流电路的基本知识
3.1 正弦 交流电路的 基本概念
3.2 单一 参数的正弦 交流电路
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本章的学习目的和要求
正弦交流电路的基本理论和基本分析方法是 学习电路分析的重要内容之一，应很好掌握。 通过对本章的学习，要求能够正确理解正弦交 流电的基本概念；熟悉正弦交流电的几种表示 方法；深刻理解相量的概念，牢固掌握单一参 数上电压、电流关系及功率的关系；初步掌握 多参数组合的串、并联正弦交流电路的分析与 计算方法。
U L I sin 2t
i
u i 同相, 吸收电能; 储存磁能;
结论
电感元件上只有 ω t 能量交换而不耗 能，为储能元件
u i 反相,
u
u i 反相,
送出能量; 释放磁能; p<0 u i 同相, 吸收电能; 送出能量; 储存磁能; 释放磁能; p >0 p<0
p >0
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，L吸 收的电能等于它释放的磁 场能。