找规律程序运算定义新运算

第五讲

找规律、程序运算、定义新运算

板块一 数列、数表找规律

一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。

数列规律：

【例1】观察下列一组数：12，34，56，7

8

，…，它们是按一定规律排列的。 那么这一组数的第k 个数是

_______。（k 为正整数）

【例2】找规律，并按规律填上第五个数：3579

24816

--，，，， ，第n 个数为： 。

（n 为正整数）

【例3】有一列数12-，25，310-，4

17

，…，那么第7个数是 。第n 个数为

（n 为正整数）。

【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正

整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。

【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，11

4b a

，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个

式子是 （n 为正整数）。

【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。

【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612

，2521，36

32，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱

奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 。

【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19

后面的数应为 。

【例9】探索规律：

观察下面算式，解答问题：

21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________；

②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________； ③请你用上述规律计算：10310510720032005+++++

数列规律：

【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当7a =时，

b = 。

【例11】观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的

一部分，则a = ，

2

a b

+= 。

0 1 2 3 …

1 3 5 7 …

例题精讲

1

2 2

3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5

· · · · · · · ·

a b · · · · · · ·

××表一 表二

表三

【例12】如下图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字。电子跳蚤每跳一次，可以从一

个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 。

【例13】将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置

是第 行第板块二 程序运算

【例14】下图是一个简单的运算程序。若输入x 的值为2-，则输出的数值 为 。

【例15】如右图是一个流程图，图中“结束”处的计算

结果是 。

【例16】下图所示是计算机程序计算，若开始输入1x =-，则最后输出的结果是__ _。

【例17】如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…，第2009次输出的结果为____ _____。

板块三 定义新运算

定义新运算:将新的运算法则转化为旧的运算法则进行计算

【例18】现规定一种运算：a *b ＝ab ＋a －b ，其中a ，b 为有理数，则3*5的值为( )

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14 【例19】用“×

”定义新运算：对于任a ，b ，都有a

×

2b a b =-。

例如，4

×

27479=-=，那么5

×

3= ；

当m 为有理数时，m （1- 2）= 。

【例20】①定义()5f x x =+，((2))f f = 。

【例21】若规定一种新运算为()()111a b ab a b A ⊗=+

-+，如果1

212

⊗=-，那么 20012002⊗=_______。

【例22】有一个运算程序，可以使a b n ⊕=(n 为常数)时，得()11a b n +⊕=+，()12a b n ⊕+=-。现在

已知112⊕=，那么20092009⊕=_______。

【例23】有一列数，按一定规律排成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的和是3072，则这

三个数中最小的数是________。

测 试 题

1．在数列1，

12，22，13，23，3

3

，…，中，第100个数是___ 。 2．正整数按图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字 。

3．按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的不同的值分别是： 。

4．定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1

112

=--，1-的差倒数是

()11112=--。已知11

3

a =-，

① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = 。

5．我国宋朝数学家杨辉在他的着作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()n a b + （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律。例如：

0()1a b +=，它只有一项，系数为1；

1()a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1系数和为2；

222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 33223()33a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和

为8； ……

根据以上规律，解答下列问题：

⑴4()a b +展开式共有 项，系数分别为 ； ⑵()n a b +展开式共有 项，系数和为 。

答 案

1．

914 2．420

3．4

5

，5，26，131

4．① 3

4

；② 4

5．⑴5；1，4，6，4，1； ⑵ 1n +，2n

第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列

第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)

24

23

22

21

…

……

..............................

1332

1

11111