2014清华大学自主招生数学真题答案
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消去 b 得 a 2 2a 4 0 ,解得 a 1 5 (0,1) ,舍去. 综上①②可知, a
5 , b 1 为所求. 4
四.【解析】 (1)证明:由反函数定义可知 y f ( g ( x)) 的反函数为 x f ( g ( y )) , 所以 f 1 ( x) f 1 ( f ( g ( y ))) g ( y ) , 从而 g 1 ( f 1 ( x )) g 1 ( g ( y )) y , 所以 y g 1 ( f 1 ( x)) 为 y f ( g ( x)) 的反函数. (2)由 G ( x) 的反函数是 F ( x) , 故 G ( F ( x)) G (G 1 ( x )) x , 则 f ( x ) f (G ( F ( x ))), 又因为 G ( x) f 1 ( x) , 所以 G ( F ( x)) f 1 ( F ( x )) ,
2014 年华约高水平大学自主选拔学业能力测试（数学）
参考答案
一.【解析】 五个数任取四个应该可以得到 C54 5 个不同的和,现条件中只有 4 个不同的和,故必有 两个和值相同.而这五个和值之和为 4( x1 x2 x3 x4 x5 ) ,是 4 的倍数,所以这个相同的和 值只可能是 46,从而有： x1 x2 x3 x4 x5
(n 1) | p |n 1 n | p |n | p | , (1 | p |) 2
而 (n 1) | p |n 1 n | p |n (n 1) | p |n n | p | | p |n 0 , 于是当 n 2 时,有 | an |
| p| ,显然 a1 0 也成立. (1 | p |) 2
于是 an 有上界.
七.【证明】
x x 原不等式等价于 n x 2 n((1 ) e n ) n . n
当 x 2 n ,上述不等式左边非正,不等式成立;
当 x 2 n 时,由 e y 1 y ( y 0) 及贝努力不等式 (1 y ) n 1 ny ( n 1, y 1) ,
x x x x x2 x2 从而 n((1 ) e n ) n n((1 ) (1 )) n n(1 2 ) n n(1 n 2 ) n x 2 ,即证. n n n n n
1
当 p 1 时, a n
n( n 1) ; 当 n 1 时, a1 0 也适合; 2
2
当 p 1 时, pan p 2 2 p 3 (n 1) p n ……(2) 由(1)-(2)得 an pan p p 2 p 3 p n 1 ( n 1) p n ,
p 1
.
p 1
(2)由 | an 1 || np n qan || np n | | qan | n | p |n | an | ,所以 | an 1 | | an | n | p |n , 于是 | an | | an 1 | n 1) | p |n 1 ( n 2) 由累加法得 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 ( n 2) 故 | an || p | 2 | p |2 ( n 1) | p |n 1
44 45 46 46 47 57 , 4 故这五个数分别为 57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11, 即 10,11,11,12,13.
二.【解析】 若共比赛了 3 局,则甲赢得比赛的概率为 p 3 ; 若共赛了 4 局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的概率为 C32 p 3 (1 p ) ; 若共比赛了 5 局,则最后一局甲胜,甲赢比赛的概率为 C42 p 3 (1 p ) 2 ,因此
1 1 cos 2 x sin 2 x 2a sin x b sin 2 x 2a sin x b , 2 2
2
令 t sin x , 则问题等价于 g (t ) t 2at b
1 在 [1,1] 上的最大值和最小值分别为 1 和 4 . 2
设 f ( p ) 6 p 5 15 p 4 10 p 3 p , p
所以令 f ( p ) 0 时,即 p 2 p
1 30
1 1
0 ,得 p
4 30
2
1 1 1 ; 2 4 30
1 1 1 1 又因为 p ( ,1) ,所以取 p , 2 2 4 30
b2 b , yF , a cos sin
1 b3 b3 | xE | wenku.baidu.com | xF | , 2 a | sin 2 | a
于是 S EOF
当且仅当 M (
2 2 a, b) 时,上述等号成立. 2 2
2
法二：设切点弦方程为： x0 x y0 y r ，则 E (
q p 3 C32 p 3 (1 p ) C42 p 3 (1 p ) 2 ,
所以 q p p 3 C32 p 3 (1 p ) C42 p 3 (1 p ) 2 p 6 p 5 15 p 4 10 p 3 p , p
1 ; 2
1 ,则 f ( p ) 30 p 4 60 p 3 30 p 2 1 , 2 1 即 f ( p ) 30 p 4 60 p 3 30 p 2 1 30[ p 2 ( p 2 2 p 1) ] , 30 1 1 1 所以 f ( p ) 30[ p 2 ( p 1) 2 ] 30( p 2 p )( p 2 p ), 30 30 30 1 1 又因为 p ( ,1) ,所以 p 2 p ,故 p 2 p 0, 2 30
p(1 p n 1 ) (n 1) p n ( n 1) p n 1 np n p 1 p 所以 an ,当 n 1 时, a1 0 也适合; 1 p (1 p )2
n( n 1) 2 于是 an n 1 n ( n 1) p np p (1 p) 2
b2 b2 , 0) ， F (0, )， x0 2 y0 2
1 1 b4 S OE OF 2 2 ， 2 2 x0 y0
又因为
x0 2 y0 2 x0 2 y0 2 1 2 ， a2 b2 a 2b 2
x2 y2 ab 1 b 4 b3 ，所以 S 。 .（当且仅当 02 02 时） 2 a b 2 ab a 2
代入得 f ( x ) f (G ( F ( x ))), f ( f 1 ( F ( x ))) F ( x) f ( x ) , 所以 f ( x ) 为奇函数.
五.【解析】 设 M ( a cos , b sin )( [0, 2 )) ,直线 PQ 为点 M 关于圆 x 2 y 2 b 2 的切点弦, 其方程为 (a cos ) x (b sin ) y b 2 , 从而 xE
1 1 1 1 1 易知当 p ( , ) 时, f ( p ) 0, p ( 2 2 4 2 30
所以当 p
1 1 ,1) 时, f ( p ) 0 , 4 30
1 1 1 时, f ( p ) 有唯一极大值,也是最大值. 2 4 30
三.【解析】 易 f x
所以 x0 y0
六.【解析】 (1)当 q 1 时, an 1 an np n ,则 an an 1 ( n 1) p n 1 ( n 2) 由累加法得 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 ( n 2) , 即 an p 2 p 2 3 p 3 (n 1) p n 1 ( n 2) ……(1)
①当对称轴 t a 1 ,即 a 1 时,则 g (t ) 在 [1,1] 上递减,则：
1 5 g ( 1) 2a b 1, a , 2 ,解得 4 g (1) 2a b 1 4 b 1 2 1 g ( a) a 2 b 1 2 ②当对称轴 1 a 0 ,即 0 a 1 时,则 , 1 g (1) 2a b 4 2
5 , b 1 为所求. 4
四.【解析】 (1)证明:由反函数定义可知 y f ( g ( x)) 的反函数为 x f ( g ( y )) , 所以 f 1 ( x) f 1 ( f ( g ( y ))) g ( y ) , 从而 g 1 ( f 1 ( x )) g 1 ( g ( y )) y , 所以 y g 1 ( f 1 ( x)) 为 y f ( g ( x)) 的反函数. (2)由 G ( x) 的反函数是 F ( x) , 故 G ( F ( x)) G (G 1 ( x )) x , 则 f ( x ) f (G ( F ( x ))), 又因为 G ( x) f 1 ( x) , 所以 G ( F ( x)) f 1 ( F ( x )) ,
2014 年华约高水平大学自主选拔学业能力测试（数学）
参考答案
一.【解析】 五个数任取四个应该可以得到 C54 5 个不同的和,现条件中只有 4 个不同的和,故必有 两个和值相同.而这五个和值之和为 4( x1 x2 x3 x4 x5 ) ,是 4 的倍数,所以这个相同的和 值只可能是 46,从而有： x1 x2 x3 x4 x5
(n 1) | p |n 1 n | p |n | p | , (1 | p |) 2
而 (n 1) | p |n 1 n | p |n (n 1) | p |n n | p | | p |n 0 , 于是当 n 2 时,有 | an |
| p| ,显然 a1 0 也成立. (1 | p |) 2
于是 an 有上界.
七.【证明】
x x 原不等式等价于 n x 2 n((1 ) e n ) n . n
当 x 2 n ,上述不等式左边非正,不等式成立;
当 x 2 n 时,由 e y 1 y ( y 0) 及贝努力不等式 (1 y ) n 1 ny ( n 1, y 1) ,
x x x x x2 x2 从而 n((1 ) e n ) n n((1 ) (1 )) n n(1 2 ) n n(1 n 2 ) n x 2 ,即证. n n n n n
1
当 p 1 时, a n
n( n 1) ; 当 n 1 时, a1 0 也适合; 2
2
当 p 1 时, pan p 2 2 p 3 (n 1) p n ……(2) 由(1)-(2)得 an pan p p 2 p 3 p n 1 ( n 1) p n ,
p 1
.
p 1
(2)由 | an 1 || np n qan || np n | | qan | n | p |n | an | ,所以 | an 1 | | an | n | p |n , 于是 | an | | an 1 | n 1) | p |n 1 ( n 2) 由累加法得 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 ( n 2) 故 | an || p | 2 | p |2 ( n 1) | p |n 1
44 45 46 46 47 57 , 4 故这五个数分别为 57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11, 即 10,11,11,12,13.
二.【解析】 若共比赛了 3 局,则甲赢得比赛的概率为 p 3 ; 若共赛了 4 局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的概率为 C32 p 3 (1 p ) ; 若共比赛了 5 局,则最后一局甲胜,甲赢比赛的概率为 C42 p 3 (1 p ) 2 ,因此
1 1 cos 2 x sin 2 x 2a sin x b sin 2 x 2a sin x b , 2 2
2
令 t sin x , 则问题等价于 g (t ) t 2at b
1 在 [1,1] 上的最大值和最小值分别为 1 和 4 . 2
设 f ( p ) 6 p 5 15 p 4 10 p 3 p , p
所以令 f ( p ) 0 时,即 p 2 p
1 30
1 1
0 ,得 p
4 30
2
1 1 1 ; 2 4 30
1 1 1 1 又因为 p ( ,1) ,所以取 p , 2 2 4 30
b2 b , yF , a cos sin
1 b3 b3 | xE | wenku.baidu.com | xF | , 2 a | sin 2 | a
于是 S EOF
当且仅当 M (
2 2 a, b) 时,上述等号成立. 2 2
2
法二：设切点弦方程为： x0 x y0 y r ，则 E (
q p 3 C32 p 3 (1 p ) C42 p 3 (1 p ) 2 ,
所以 q p p 3 C32 p 3 (1 p ) C42 p 3 (1 p ) 2 p 6 p 5 15 p 4 10 p 3 p , p
1 ; 2
1 ,则 f ( p ) 30 p 4 60 p 3 30 p 2 1 , 2 1 即 f ( p ) 30 p 4 60 p 3 30 p 2 1 30[ p 2 ( p 2 2 p 1) ] , 30 1 1 1 所以 f ( p ) 30[ p 2 ( p 1) 2 ] 30( p 2 p )( p 2 p ), 30 30 30 1 1 又因为 p ( ,1) ,所以 p 2 p ,故 p 2 p 0, 2 30
p(1 p n 1 ) (n 1) p n ( n 1) p n 1 np n p 1 p 所以 an ,当 n 1 时, a1 0 也适合; 1 p (1 p )2
n( n 1) 2 于是 an n 1 n ( n 1) p np p (1 p) 2
b2 b2 , 0) ， F (0, )， x0 2 y0 2
1 1 b4 S OE OF 2 2 ， 2 2 x0 y0
又因为
x0 2 y0 2 x0 2 y0 2 1 2 ， a2 b2 a 2b 2
x2 y2 ab 1 b 4 b3 ，所以 S 。 .（当且仅当 02 02 时） 2 a b 2 ab a 2
代入得 f ( x ) f (G ( F ( x ))), f ( f 1 ( F ( x ))) F ( x) f ( x ) , 所以 f ( x ) 为奇函数.
五.【解析】 设 M ( a cos , b sin )( [0, 2 )) ,直线 PQ 为点 M 关于圆 x 2 y 2 b 2 的切点弦, 其方程为 (a cos ) x (b sin ) y b 2 , 从而 xE
1 1 1 1 1 易知当 p ( , ) 时, f ( p ) 0, p ( 2 2 4 2 30
所以当 p
1 1 ,1) 时, f ( p ) 0 , 4 30
1 1 1 时, f ( p ) 有唯一极大值,也是最大值. 2 4 30
三.【解析】 易 f x
所以 x0 y0
六.【解析】 (1)当 q 1 时, an 1 an np n ,则 an an 1 ( n 1) p n 1 ( n 2) 由累加法得 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 ( n 2) , 即 an p 2 p 2 3 p 3 (n 1) p n 1 ( n 2) ……(1)
①当对称轴 t a 1 ,即 a 1 时,则 g (t ) 在 [1,1] 上递减,则：
1 5 g ( 1) 2a b 1, a , 2 ,解得 4 g (1) 2a b 1 4 b 1 2 1 g ( a) a 2 b 1 2 ②当对称轴 1 a 0 ,即 0 a 1 时,则 , 1 g (1) 2a b 4 2