菱形的性质及判定

菱形的性质

及判定

知识点 A 要求

B 要求

Ｃ要求

菱形

会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和

判定解决简单问题

会用菱形的知识解决有关问题

1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. ２．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质:邻角互补,对角相等.

③ 对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角. ④ 对称性：菱形是中心对称图形,也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3.菱形的判定

判定①:一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定③:四边相等的四边形是菱形.

重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先她是平行四边形,但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续,又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质,同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件,在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。

重、难点

知识点睛

中考要求

板块一、菱形的性质

【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为

⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转,使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是

【例2】 ⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==,则

1∠= 度.

图2

1

C

B

A

⑵如图,在菱形ABCD 中，60A ∠=︒,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,若2EF =，则菱形ABCD 的边长是__＿_＿＿.

【例3】 如图,E 是菱形ABCD 的边AD 的中点,EF AC ⊥于H ,交CB 的延长线于F ,交AB 于P ，

证明：AB 与EF 互相平分.

P H

F

E D

C

B

A

【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的

周长为24,则OH 的长等于 ．

图1

H

O D

C B

A

E F D

B

C A

例题精讲

【巩固】 ☆如图,已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ,则DE 的长为

【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1,则菱形较短的对角线的长度为

【巩固】 如图2,在菱形ABCD 中,6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）

A.5 B ．10 Ｃ．6 D.8

图2

D

C

B

A

【巩固】 如图３，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒,E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ,则

FPC ∠=( )

A ．35︒

B ．45︒

C ．50︒

D ．55︒

图3

E D

P C

F B

A

【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪

口与折痕所成的角α的度数应为（ ）

A.15︒或30︒ Ｂ.30︒或45︒ C ．45︒或60︒ D ．30︒或60︒

【巩固】 菱形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等

于 .

【巩固】 如图,将一个长为10cm ,宽为8cm 的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线)

剪下，再打开,得到的菱形的面积为（ )

A.210cm ﻩ

B.220cm ﻩﻩC ．240cm ﻩ D ．280cm

图1

D

C

B

A

【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方,则菱形的一个钝角

的大小是

【例8】 如图,菱形花坛ABCD 的周长为20m ,60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和

BD ，求两条小路的长和花坛的面积．

图2

【例9】 已知，菱形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,若AE AF EF AB ===,求C ∠的度数.

F

E

D

C

B

A

板块二、菱形的判定

【例10】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件,那么你添加的条件

是 .

D

C

A

B

【例11】 ☆如图,在ABC ∆中,BD 平分ABC ∠,BD 的中垂线交AB 于点E ,交BC 于点F ,求证:四边形

BEDF 是菱形

F

E

D

C

B

A

【巩固】 已知:如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求

证:四边形AFCE 是菱形．

O

D

E

F

C

A

B

【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中,//AD BC ,AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠,使点C 落在AD

上的点C 处,折痕DE 交BC 于点E ,连结C E '．求证:四边形CDC E '是菱形．

C'D

C

B

A E