高考数学专题8立体几何60平行与垂直的证明文
高中数学专项提升——立体几何中平行与垂直证明
方法技巧专题立体几何中平行与垂直证明一、立体几何中平行与垂直知识框架cc∥∥b a ba ∥⇒二、立体几何中的向量方法【一】“平行关系”常见证明方法1.1直线与直线平行的证明1.1.1利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等1.1.2利用三角形中位线性质1.1.3利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.1.4利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
1.1.5利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．1.1.6利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
1.1.7利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
1.1.8利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点1.2直线与平面平行的证明1.2.1利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
αbaabαβb a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒b∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒αab1.2.2利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
βαaβαα∥⊂a β∥a ⇒1.2.3利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点1.3平面与平面平行的证明1.3.1利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
ααββ////∩⊂⊂ba Pb a b a =αβ//⇒αβbaP1.3.2利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等1.3.3利用定义：两个平面没有公共点1.例题【例1】如图，已知菱形ABCD ，其边长为2，60BAD ∠=，ABD ∆绕着BD 顺时针旋转120得到PBD∆，M 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MBD ；（2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值．证明（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OM在菱形ABCD 中，O 为AC 中点， M 为PC 的中点∴OM 为∆APC 的中位线，∴OM ∥AP---------------（利用1.1.2中位线性质）又 OM ⊂面MBD ，且PA ⊄面MBD∴//PA 平面MBD----------------（利用1.2.1直线与平面平行的判定定理）【例2】已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．证明：DN//平面PMB 。
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
c c ∥∥b a ba ∥⇒本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。
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一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
4)利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
abαβba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒αab7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明1) 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2) 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法：1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
αbaβαaβαα∥⊂a β∥a ⇒ααββ////∩⊂⊂b a P b a b a =αβ//⇒αβbaPb∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等3)利用定义：两个平面没有公共点二、“垂直关系”常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
专题8.3 空间几何中的平行、垂直(练习)【必考点专练】2023届高考数学二轮复习专题
专专8.3空间几何中的平行、垂直一、单选题1. 设,l m 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，Q 表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①,Q l Q l αα∈⊂⇒∈②,l m Q m l ββ⋂=⊂⇒⊂③//,,,l m l Q m Q m ααα⊂∈∈⇒⊂④,αβ⊥且,,,m Q Q l l l αββαβ⋂=∈∈⊥⇒⊂A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④ 2. 如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）A. 直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB. 直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC. 直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD. 直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B3. 如图A ，B ，C ，D 为空间四点，在ABC 中，2AB =，2AC BC ==，等边三角形ADB 以AB 为轴旋转，当平面ADB ⊥平面ABC 时，CD =( )A. 3B. 2C. 5D. 14. 如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ︒∠=，90BAD ︒∠=，将ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列命题正确的是( )A. 平面ABD ⊥平面ABCB. 平面ADC ⊥平面BDCC. 平面ABC ⊥平面BDCD. 平面ADC ⊥平面ABC二、多选题 5. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1B C 上一动点，则( )A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 异面直线1B C 与11A C 所成角为45︒C. 三棱锥11P A DC -的体积为定值D. 平面11AC D 与底面ABCD 的交线平行于11A C6. 如图所示，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻转成1A DE ，若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻转过程中，下列命题正确的是( )A. ||BM 是定值B. 点M 在球面上运动C. 一定存在某个位置，使1DE A C ⊥D. 一定存在某个位置，使//MB 平面1A DE7. 如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点(不含端点)，将ABE 沿AE 翻折，使得二面角B AE D --为直二面角，得到图2所示的四棱锥B AECD -，点F 为线段BD 上的动点(不含端点)，则在四棱锥B AECD -中，下列说法正确的有( )A. B 、E 、C 、F 四点不共面B. 存在点F ，使得//CF 平面BAEC. 三棱锥B ADC -的体积为定值D. 存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直三、填空题 8. 《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且22BC DC PA ==，AM PD ⊥于M ，MN PD ⊥，MN 与PC 交于点.N 则(1)AM 与CD 的关系__________(填“垂直”或“平行”)；(2)PN PC=__________. 9. 如图，在正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，G 是EF 的中点.现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为.H 下列说法错误的是__________(将符合题意的选项序号填到横线上).①AG EFH ⊥所在平面；②AH EFH ⊥所在平面；③HF AEF ⊥所在平面；④HG AEF ⊥所在平面.10. 如图，在Rt ABC 中，1AC =，BC x =，D 为斜边AB 的中点．将BCD 沿直线CD 翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是__________.11. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，BD AC O ⋂=，M 是线段1D O 上的动点，过点M 作平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为__________.四、解答题12. 在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．(1)求证：//EF 平面11AB C ；(2)求证：平面1AB C ⊥平面1.ABB13. 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111.AB B C ⊥求证：(1)//AB 平面11A B C ；(2)平面11ABB A ⊥平面1.A BC14. 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA 是四棱锥P ABCD -的高，,,E F M 分别为,,AB CD PD 的中点．(1)求证：平面//AMF 平面PEC ；(2)若24PA AB BC ===，求多面体PECFMA 的体积.15. 如图，四边形ABCD 为菱形，60.ABC PA ︒∠=⊥平面ABCD ，E 为PC 中点． ()Ⅰ求证：平面BED ⊥平面ABCD ；()Ⅱ求平面PBA 与平面EBD 所成二面角(锐角)的余弦值．16. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11AC A C ⊥平面ABC ，ABC=90︒∠，BAC=30︒∠，11==AC A A AC ，E ，F 分别是AC ，11A B 的中点．()Ⅰ证明：EF BC ⊥；()Ⅱ求直线EF 与平面1BC A 所成角的余弦值．17. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于.F(1)证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；(2)设O 为111A B C 的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，12BC AA ==，O ，M 分别为BC ，1AA 的中点．(1)求证：//OM 平面11CB A ；(2)求点M 到平面11CB A 的距离．19. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，M 为BC 的中点，N 在线段1AA 上.(1)设1=AN NA λ，当λ为何值时，11//?MN ACB 平面 (2)若1AN =，求直线MN 与直线11A C 所成角的正弦值.20. 如图，在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；(2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．答案和解析1.【答案】D解：①Q α∈，l α⊂，点Q 可以不在直线l 上，故A 错误； ②直线l 可以只有一点在面内，故B 错误；③因为//l m ，l α⊂，若m 不在平面α内，//m α，由Q m ∈， 可得Q 在平面α外，这与可点Q α∈相矛盾，故C 正确； ④αβ⊥且m αβ⋂=，Q β∈，Q l ∈，l l αβ⊥⇒⊂， 由面面垂直的性质定理知D 正确.故选.D2.【答案】A解：连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊂/平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面.ABCD因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD ，则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B ，D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥， 1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥， 且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确. 故选.A3.【答案】B解：由题意，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，因为三角形ADB 为等边三角形，所以DE AB ⊥，当平面ADB ⊥平面ABC 时，且平面ADB ⋂平面ABC AB =，又DE ⊂平面ADB ，所以DE ⊥平面ABC ，又CE ⊂平面ABC ，所以DE EC ⊥，又2AB =，2AC BC ==， 所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又BE AE =，所以112CE AB ==， 又332322DE BD ==⨯=， 所以此时2231 2.CD DE CE =+=+=故选.B4.【答案】D解：在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ︒∠=，90BAD ︒∠=， BD CD ∴⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ， 故CD ⊥平面ABD ，则CD AB ⊥，又AD AB ⊥，AD CD D ⋂=，AD ，CD ⊂平面ADC ，AB ∴⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面.ADC故选.D5.【答案】ACD解：在A 中，1111A C B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，11B D ，1BB ⊂平面11BB D ， 11A C ∴⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理，11DC BD ⊥，1111A C DC C ⋂=，11A C ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，故A 正确;对于B ，易知11//A D B C ，在11A DC 中，1111A D DC AC ==，可得11A DC 为正三角形，异面直线1BC 与11A C 所成角为60︒，故B 错误;对于C ，11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊂/平面11AC D ，1//B C ∴平面11AC D ， 点P 在线段1B C 上运动，P ∴到平面11AC D 的距离为定值，又11AC D 的面积是定值，∴三棱锥11P A C D -的体积为定值，故C 正确；对于D ，设平面11AC D 与底面ABCD 的交线为m ，11A C 是平面11AC D 和平面1111A B C D 的交线，平面//ABCD 平面1111A B C D ，所以11//A C m ，故D 选项正确.故选.ACD6.【答案】ABD解：A 对，取CD 中点N ，连接MN 、NB ，则1//MN A D 、//NB DE ，1A DE MNB ∠=∠，112MN A D ==定值，NB DE ==定值，根据余弦定理得，2222cos MB MN NB MN NB MNB =+-⋅⋅∠，||BM ∴是定值，B 对，B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，C 错，当矩形ABCD 满足AC DE ⊥时存在，其他情况不存在，D 对，取CD 中点N ，连接MN 、NB ，则1//MN A D 、//NB DE ，因为MN ⊂/平面1A DE ，1A D ⊂平面1A DE ，所以//MN 平面1A DE ，同理//BN 平面1A DE ，又MN NB N ⋂=，∴平面//MNB 平面1A DE ，MB ⊂平面MNB ，//MB ∴平面1.A DE故选.ABD7.【答案】AB解：对于A ：假设直线BE 与直线CF 在同一平面上，所以：点E 在平面BCF 上，又点E 在线段BC 上，BC ⋂平面BCF C =，所以点E 与点C 重合，与点E 异于C 矛盾，所以直线BE 与CF 必不在同一平面上，即B 、E 、C 、F 四点不共面，故A 正确； 对于B ：当点F 为线段BD 的中点时，12EC AD =，再取AB 的中点G ， 则//FG AD 且12FG AD =， 则//EC FG ，且EC FG =，所以：四边形ECFG 为平行四边形，所以//FC EG ，又因为,EG ABE FC ABE ⊂⊄平面平面，则：直线//CF 平面BAE ，故B 正确；对于C ：由题B ADC V -，底面ACD 的面积不变，但E 的移动会导致点B 到平面ACD 的距离在变化，所以B ADC V -的体积不是定值，故C 错误；对于D ：过点B 作BO AE ⊥于O ，由于平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ⋂平面AECD AE =，所以BO ⊥平面AECD ，过点D 作DH AE ⊥于H ，因为平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE ⋂平面AECD AE =，所以DH ⊥平面BAE ，又因为BE ABE ⊂平面，所以DH BE ⊥，若存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，DH ⊂平面AECD ，DC ⊂平面AECD ，DH DC D ⋂=，所以BE ⊥平面AECD ，所以E 和O 重合，与ABE 是以点B 为直角的三角形矛盾，所以不存在点E ，使得直线BE 与直线CD 垂直，故D 错误．故选：.AB8.【答案】垂直23解：(1)由题意易得CD ⊥平面PAD ，所以CD AM ⊥，又AM PD ⊥于M ，CD PD D ⋂=，进而得AM ⊥平面PCD ，得.AM CD ⊥(2)设BC DC PA a ===，则PD ==，Rt PAD中，PM PA PA PD ==，则PM =， 易得CD ⊥平面PAD ，因为MN PD ⊥，所以//MN CD ，得2.3PN PM PC PD === 故答案为(1)垂直；2(2).39.【答案】①③④解：折之前AG EF ⊥，CG EF ⊥，折之后也垂直，所以EF ⊥平面AHG ，折之前B ∠，D ∠，C ∠均为直角，折之后三点重合， 所以折之后AH ，EH ，FH 三条直线两两垂直，所以AH EFH ⊥所在平面，②对；同时可知AH HG ⊥，又HF AEH ⊥所在平面，过AE 不可能做两个平面与直线HF 垂直，③错； 如果HG AEF ⊥所在平面，则有HG AG ⊥，与②中AH HG ⊥矛盾，④错；若AG EFH ⊥所在平面，则有AG HG ⊥，与②中AH HG ⊥矛盾，所以①也错．故答案为①③④.10.【答案】(0,3] 解：由题意得，212x AD CD BD +===，BC x =， 取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则12DE =，1AC =， 翻折后，在图2中，此时 .CB AD ⊥BC DE ⊥，BC AD ⊥，DE AD D ⋂=，,DE AD ADE ⊂平面，BC ∴⊥平面ADE ，AE ADE ⊂平面，BC AE ∴⊥，DE BC ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，1AB AC ∴==，2114AE x ∴=-，212x AD +=， 在ADE 中：①221111224x x ++>-，②221111224x x +<+-，③0x >， 由①②③，得0 3.x <<如图3，翻折后，当1B CD 与ACD 在一个平面上，AD 与1B C 交于M ，且1AD B C ⊥，1AD B D CD BD ===，1CBD BCD B CD ∠=∠=∠， 又190CBD BCD B CD ︒∠+∠+∠=，130CBD BCD B CD ︒∴∠=∠=∠=，60A ︒∴∠=，tan 60BC AC ︒=，此时1x ==综上，x 的取值范围为故答案为：11.【答案】2解：由题易知，DO AC ⊥，1D O AC ⊥，1DO D O O ⋂=，DO ，1D O ⊂平面11BDD B ， AC ∴⊥平面11BDD B ，又AC ⊂平面1ACD ，∴平面1ACD ⊥平面11BDD B ， 又MN ⊥平面1ACD ，平面1ACD ⋂平面111BDD B D O =，MN ∴⊂平面11BDD B ，且N 在平面1111A B C D 内，11N B D ∴∈，过N 作11NG A B ⊥，交11A B 于G ，将平面1111A B C D 展开，如图：设NG x =，(01)x ，11NG A B ⊥，1111A D A B ⊥，11//NG A D ∴，又11A D ⊥平面11ABB A ，NG ∴⊥平面11ABB A ，且AG ⊂平面11ABB A ，NG AG ∴⊥， 22221(1)222AN x x x x ∴=+-+=-+21362()222x =-+， 当12x =时，AN 取最小值6.2 故答案为：6.212.【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，1B C 的中点．所以1//EF AB ，因为EF ⊂/平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C ；(2)因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1B C AB ⊥，又因为AB AC ⊥，1AC B C C ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ， 所以AB ⊥平面1AB C ，因为AB ⊂平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1.ABB13.【答案】证明：(1)平行六面体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，又AB ⊂平面1111,A B C A B ⊂/平面11A B C ；得//AB 平面11A B C ；(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，得四边形11ABB A 是菱形，11.AB A B ⊥在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，1111.AB B C AB BC ⊥⇒⊥ 又1A B BC C ⋂=，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC得1AB ⊥面1A BC ，且1AB ⊂平面11ABB A∴平面11ABB A ⊥平面1.A BC14.【答案】(1)证明：矩形ABCD ，且E ，F 是AB 、CD 中点，//AE CF ∴且AE CF =，∴四边形AECF 是平行四边形，//CE AF ∴，又CE ⊂/面AMF ，AF ⊂面AMF ，//CE ∴平面AMF ；又M 是PD 中点，则//MF PC ，同理可得//PC 平面AMF ，又CE ⊂平面PEC ，PC ⊂平面PEC ，CE PC C ⋂=，∴平面//AMF 平面PEC ；(2)解：棱锥M AFD -的高等于PA 的一半，则多面体PECFMA 的体积 111120(12)44142.32323P AECD M AFD V V V --=-=⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=15.【答案】()Ⅰ证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE ， 则O 是AC 的中点．又知E 是PC 中点，//EO PA ∴，PA ⊥平面ABCD ，OE ∴⊥平面.ABCD又知OE ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面.ABCD()Ⅱ解：过B 作BM ⊥平面ABCD ，连接PM ，ME ，如图，由()Ⅰ可知，////PA EO MB ，则MB 是平面PBA 与平面EBD 的交线，由BM ⊥平面ABCD ，AB ，BO ⊂平面ABCD ，可得MB AB ⊥，MB BO ⊥，则ABO ∠即平面PBA 与平面EBD 所成二面角的平面角，四边形ABCD 为菱形，60.ABC ︒∠=可知30ABO ︒∠=，3cos cos30.2ABO ︒∠== 所以，平面PBA 与平面EBD 所成二面角(锐角)的余弦值为3.216.【答案】证明：()Ⅰ连结1A E ，11A A A C =，E 是AC 的中点，1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1A E ∴⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，1A E BC ∴⊥，1//A F AB ，90ABC ︒∠=，1BC A F ∴⊥，111A E A F A ⋂=，1A E 、1A F ⊂平面1A EF ，BC ∴⊥平面1A EF ，又EF ⊂平面1A EF ，EF BC ∴⊥；解：()Ⅱ取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形，由于1A E ⊥平面ABC ，故1A E EG ⊥，∴平行四边形1EGFA 是矩形，由()Ⅰ得BC ⊥平面1EGFA ，则平面1A BC ⊥平面1EGFA ，EF ∴在平面1A BC 上的射影在直线1A G 上，连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角(或其补角)，不妨设4AC =，则在1Rt A EG 中，123A E =，3EG =，O 是1A G 的中点，故11522A G EO OG ===， 2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∴∠==⨯⨯，∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为3.517.【答案】(1)证明：由题意知111////AA BB CC ，又因为侧面11BB C C 是矩形且M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，所以1//MN BB ，1BB BC ⊥，所以1//AA MN ，11MN B C ⊥，又底面为正三角形，所以AM BC ⊥，111A N B C ⊥，又因为1MN A N N ⋂=，1,MN A N ⊂平面1A AMN ，所以11B C ⊥平面1A AMN ，又11B C ⊂平面11EB C F ，所以平面11EB C F ⊥平面1.A AMN(2)解：因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA ⋂平面11EB C F NP =， 所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以6AO NP ==，3ON AP ==， 过M 作MH NP ⊥，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F ⋂平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH ⊥平面11EB C F ，因为3MPN π∠=，所以sin33MH PM π=⋅=， 在ABC 中，EF AP BC AM = 可得2AP BC EF AM⋅== ， 11111()242EB C F S B C EF NP =+⋅=四边形， 又//BC 平面11EB C F ，所以1111B EB C F M EB C F V V --=11124.3EB C F S MH =⋅⋅=18.【答案】(1)证明：如图，连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，.ON 则N 为1CB 的中点，又O 为BC 的中点，1//ON BB ∴，且112ON BB =， 又M 为1AA 的中点，11//MA BB ∴，且1112MA BB =， 1//ON MA ∴且1ON MA =，∴四边形1ONA M 为平行四边形，1//OM NA ∴，又1NA ⊂平面11CB A ，OM ⊂/平面11CB A ，//OM ∴平面11.CB A(2)解：如图，连接AO ，1OB ，1.ABAB AC =，O 为BC 的中点，AO BC ∴⊥， 又直三棱柱111ABC A B C -中，平面11CBB C ⊥平面ABC ，平面11CBB C ⋂平面ABC BC =，AO ⊂平面.ABCAO ∴⊥平面11.CBB C由(1)可知//OM 平面11CB A ，∴点M 到平面11CB A 的距离等于点O 到平面11CB A 的距离，设其为d ， 在直三棱柱111ABC A B C -中，由AB AC ==12BC AA ==可得，1AO =，11A B =1AC =1BC=，11CB A ∴是直角三角形，且1112CB A S = 由11111_{_}O CB A A A COB V V COB V --=-=得：111111213332COB d S AO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，故d =即点M 到平面11CB A19.【答案】解：(1)连接1BC ，交1CB 于点O ，则O 为1CB 的中点，连接1A O ，MO因为M 为BC 的中点，所以1//MO BB ，所以1//MO NA ，从而M ，O ，1A ，N 四点共面.因为//MN 平面11A CB ，MN ⊂平面1MOA N ，平面1MOA N ⋂平面111=ACB AO ， 所以1//.MN AO又1//MO NA ，所以四边形1MOA N 为平行四边形， 所以1111122NA MO BB AA ===， 所以1=1.AN NA (2)因为11//A C AC ，所以直线MN 与直线11A C 所成角即为直线MN 与直线AC 所成角或者其补角. 取AB 的中点G ，连接,MG NG ，M 为BC 的中点，易得//AC GM ，则所求角为GMN ∠或者其补角GMN 中，112GM AC ==， 222GN AG AN =+=，222MN AM AN =+=由余弦定理可得1423cos 2124GMN +-∠==⨯⨯， 则7sin 4GMN ∠=， 所以，直线MN 与直线11A C 所成角的正弦值为7.420.【答案】证明：(1)如图：证明：连接BD ，由题意得AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，得//GH PD ，GH ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，//GH ∴平面PAD ；(2)证明：取棱PC 中点N ，连接DN ，依题意得DN PC ⊥， 又平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC ⋂平面PCD PC =，DN ⊂平面PCD ， DN ∴⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，DN PA ∴⊥，又PA CD ⊥，CD DN D ⋂=，CD ⊂平面PCD ，DN ⊂平面PCD ，PA ∴⊥平面PCD ；(3)解：连接AN ，由(2)中DN ⊥平面PAC ，知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角， PCD 是等边三角形，2CD =，且N 为PC 中点， 3DN ∴=，又DN ⊥平面PAC ，AN PAC ⊂平面，DN AN ⊥，在Rt AND 中，3sin .3DN DAN DA ∠== ∴直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3.3。
(江苏专用)高考数学专题8立体几何60平行与垂直的证明文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题8 立体几何 60 平行与垂直的证明文如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点．求证：(1)EF∥平面C1BD；(2)A1C⊥平面C1BD.2.如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点， DE ⊥PA . (1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PDE .3．(2015·济宁一模)如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，且∠BCD ＝∠BCE ＝π2，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC ＝CD ＝CE ＝2AD ＝2BG ＝2. (1)求证：EC ⊥CD ； (2)求证：AG ∥平面BDE ； (3)求几何体EGABCD 的体积．4．(2015·北京朝阳区第一次综合练)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．(1)求证：BD⊥平面ACC1A1；(2)求证：直线AB1∥平面BC1D；(3)设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域(包括边界)是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．5．(2015·北京海淀下学期期中)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2.(1)求证：BE1⊥DC；(2)求证：DM∥平面BCE1；(3)判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由．答案解析1．证明(1)如图，连结AD1，∵E，F分别是AD和DD1的中点，∴EF∥AD1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，即有AD1∥BC1，∴EF∥BC1.又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴EF∥平面C1BD.(2)如图，连结AC ，则AC ⊥BD .∵在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥BD .又AA 1∩AC ＝A ，AA 1⊂平面AA 1C ，AC ⊂平面AA 1C ， ∴BD ⊥平面AA 1C ，A 1C ⊂平面AA 1C ， ∴A 1C ⊥BD . 同理可证A 1C ⊥BC 1.又BD ∩BC 1＝B ，BD ⊂平面C 1BD ，BC 1⊂平面C 1BD ， ∴A 1C ⊥平面C 1BD .2．证明 (1)如图，取PD 中点G ，连结AG ，FG ，因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12CD .又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且AE ＝12CD .所以AE ∥FG ，AE ＝FG .所以四边形AEFG 为平行四边形．所以EF ∥AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD .(2)设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点，得AH CH ＝AE CD ＝12，又因为AB ＝2，BC ＝1， 所以AC ＝3，AH ＝13AC ＝33.所以AH AE ＝AB AC ＝23，又∠BAC 为公共角，所以△HAE ∽△BAC .所以∠AHE ＝∠ABC ＝90°，即DE ⊥AC .又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以DE ⊥平面PAC .又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE . 3．(1)证明 由平面ABCD ⊥平面BCEG ，平面ABCD ∩平面BCEG ＝BC ，CE ⊥BC ，CE ⊂平面BCEG ， ∴EC ⊥平面ABCD .又CD ⊂平面ABCD ，∴EC ⊥CD . (2)证明如图所示，在平面BCEG 中，过G 作GN ⊥CE 交BE 于M ， 交CE 于N ，连结DM ，由已知得MG ＝MN ，MN ∥BC ∥DA ，且MN ＝AD ＝12BC ，∴MG ∥AD ，MG ＝AD ，∴四边形ADMG 为平行四边形， ∴AG ∥DM .∵DM ⊂平面BDE ，AG ⊄平面BDE ， ∴AG ∥平面BDE .(3)解 V 几何体EGABCD ＝V 四棱锥D －BCEG ＋V 三棱锥G －ABD ＝13S 直角梯形BCEG ·DC ＋13S △ABD ·BG ＝13×2＋12×2×2＋13×12×1×2×1＝73. 4．(1)证明 因为三棱柱的侧面是正方形，所以CC 1⊥BC ，CC 1⊥AC ，BC ∩AC ＝C ，BC ⊂底面ABC ，AC ⊂底面ABC ， 所以CC 1⊥底面ABC .因为BD ⊂底面ABC ，所以CC 1⊥BD . 由已知可得，底面三角形ABC 为正三角形． 因为D 是AC 中点，所以BD ⊥AC .因为AC ∩CC 1＝C ，AC ⊂平面ACC 1A 1，CC 1⊂平面ACC 1A 1， 所以BD ⊥平面ACC 1A 1. (2)证明如图，连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD .显然点O为B1C的中点．因为D是AC中点，所以AB1∥OD.因为OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，所以直线AB1∥平面BC1D.(3)解在△BC1D内的平面区域(包括边界)存在一点E，使CE⊥DM，此时点E在线段C1D上．证明如下：如图，过C作CE⊥C1D，交线段C1D于E，由(1)可知BD⊥平面ACC1A1，而CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE.又CE⊥C1D，C1D∩BD＝D，C1D⊂平面BC1D，BD⊂平面BC1D，所以CE⊥平面BC1D.又DM⊂平面BC1D，所以CE⊥DM.5．(1)证明因为四边形ABE1F1为矩形，所以BE1⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE1F1，且平面ABCD∩平面ABE1F1＝AB，BE1⊂平面ABE1F1，所以BE1⊥平面ABCD.因为DC⊂平面ABCD，所以BE1⊥DC.(2)证明因为四边形ABE1F1为矩形，所以AM∥BE1.因为AD∥BC，AD∩AM＝A，BC∩BE1＝B，AD ⊂平面ADM ，AM ⊂平面ADM ，BC ⊂平面BCE 1，BE 1⊂平面BCE 1所以平面ADM ∥平面BCE 1.因为DM ⊂平面ADM ，所以DM ∥平面BCE 1. (3)解 直线CD 与ME 1相交，理由如下： 取BC 的中点P ，CE 1的中点Q ，连结AP ，PQ ，QM ， 所以PQ ∥BE 1，且PQ ＝12BE 1.在矩形ABE 1F 1中，M 为AF 1的中点， 所以AM ∥BE 1，且AM ＝12BE 1，所以PQ ∥AM ，且PQ ＝AM . 所以四边形APQM 为平行四边形， 所以MQ ∥AP ，MQ ＝AP .因为四边形ABCD 为梯形，P 为BC 的中点，BC ＝2AD ，所以AD ∥PC ，AD ＝PC ，所以四边形ADCP 为平行四边形． 所以CD ∥AP ，且CD ＝AP . 所以CD ∥MQ 且CD ＝MQ .所以四边形CDMQ 是平行四边形． 所以DM ∥CQ ，即DM ∥CE 1. 因为DM ≠CE 1，所以四边形DME 1C 是以DM ，CE 1为底边的梯形， 所以直线CD 与ME 1相交．。
立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总
立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。
主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥21B 1D 1.∴EF ∥21BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O ,∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q.而O Q ⊂平面EFBD ，∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD.例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PEC ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC例4、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE.例5、正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。
高中数学知识点总结(第八章 立体几何 第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题) -
第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题考点一 立体几何中的探索性问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC .(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，所以BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .因为DM ⊂平面AMD ，所以平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下： 连接AC 交BD 于O . 因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为AC 的中点．连接OP ，因为P 为AM 的中点， 所以MC ∥OP .又MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD . [题组训练]1.如图，三棱锥P ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PMMC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P ABC 的高，又P A ＝1，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，证明如下：如图，在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC ，知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC .因为BN ∩MN ＝N ，所以AC ⊥平面MBN ， 又BM ⊂平面MBN ， 所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.2.如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD . 又PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .(2)连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ，延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则P A ∥平面MEG . 证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点， 所以EO ∥P A .因为EO ⊂平面MEG ，P A ⊄平面MEG ，所以P A ∥平面MEG . 因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝23，所以AM 的长为23.考点二 平面图形的翻折问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝D Q ＝23DA ，求三棱锥QABP 的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又因为BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD . 因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝D Q ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作Q E ⊥AC ，垂足为E ，则Q E 平行且等于13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以Q E ⊥平面ABC ，Q E ＝1.因此，三棱锥QABP 的体积为V QABP ＝13×S △ABP ×Q E ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.[题组训练]1．(2019·湖北五校联考)如图1所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，得到如图2所示的几何体D ABC .(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F BCE 的体积． 解：(1)证明：∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22， ∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16，∴AC ⊥BC .∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)∵AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ，∴AD ∥EF ， ∵E 为AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，由(1)知，几何体F BCE 的体积V F BCE ＝V B CEF ＝13×S △CEF ×BC ，S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，∴V F BCE ＝13×12×22＝23.2．(2018·合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，得到如图2所示的四棱锥P ABCE .(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；(2)记平面P AB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l . 证明：(1)在△CDE 中，∵CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57，由余弦定理得CE ＝ 72＋72－2×7×7×57＝2.连接AC ，∵AE ＝2，∠AEC ＝60°， ∴AC ＝2. 又AP ＝3，∴在△P AE 中，AP 2＋AE 2＝PE 2， 即AP ⊥AE . 同理，AP ⊥AC .∵AC ∩AE ＝A ，AC ⊂平面ABCE ，AE ⊂平面ABCE ， ∴AP ⊥平面ABCE .(2)∵AB ∥CE ，且CE ⊂平面PCE ，AB ⊄平面PCE ， ∴AB ∥平面PCE .又平面P AB ∩平面PCE ＝l ，∴AB ∥l .[课时跟踪检测]1.如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形(记此圆为W )，且P A ⊥平面ABCD .(1)当BD 是圆W 的直径时，P A ＝BD ＝2，AD ＝CD ＝3，求四棱锥P ABCD 的体积．(2)在(1)的条件下，判断在棱P A 上是否存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ？若存在，求出A Q 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)因为BD 是圆W 的直径，所以BA ⊥AD ， 因为BD ＝2，AD ＝3，所以AB ＝1. 同理BC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝AB ·AD ＝ 3. 因为P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，所以四棱锥P ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝233.(2)存在，A Q ＝23.理由如下．延长AB ，DC 交于点E ，连接PE ，则平面P AB 与平面PCD 的交线是PE . 假设在棱P A 上存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ， 则B Q ∥PE ，所以A Q P A ＝ABAE.经计算可得BE ＝2，所以AE ＝AB ＋BE ＝3，所以A Q ＝23.故存在这样的点Q ，使B Q ∥平面PCD ，且A Q ＝23.2.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AA 1＝4，DC ＝2AB ，AB ＝AD ＝3，点M 在棱A 1B 1上，且A 1M ＝13A 1B 1.已知点E 是直线CD 上的一点，AM ∥平面BC 1E .(1)试确定点E 的位置，并说明理由； (2)求三棱锥M BC 1E 的体积．解：(1)点E 在线段CD 上且EC ＝1，理由如下：在棱C 1D 1上取点N ，使得D 1N ＝A 1M ＝1，连接MN ，DN ， 因为D 1N ∥A 1M ，所以四边形D 1NMA 1为平行四边形， 所以MN 平行且等于A 1D 1平行且等于AD .所以四边形AMND 为平行四边形，所以AM ∥DN . 因为CE ＝1，所以易知DN ∥EC 1，所以AM ∥EC 1， 又AM ⊄平面BC 1E ，EC 1⊂平面BC 1E ，所以AM ∥平面BC 1E . 故点E 在线段CD 上且EC ＝1. (2)由(1)知，AM ∥平面BC 1E ，所以V M BC 1E ＝V A BC 1E ＝V C 1ABE ＝13×⎝⎛⎭⎫12×3×3×4＝6. 3．(2019·湖北武汉部分学校调研)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AMAB的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ，又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴BE ⊥平面D 1AE . (2)当AM AB ＝14时，MF ∥平面D 1AE ，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ， ∴FL ∥EC ，又EC ∥AB ， ∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ，∴M ，F ，L ，A 四点共面， 又MF ∥平面AD 1E ，∴MF ∥AL . ∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，AM AB ＝14.4．如图1所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1BCD ，如图2所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由．解：(1)证明：∵D，M分别为AC，FC的中点，∴DM∥EF，又∵EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，∴DM∥平面A1EF.(2)证明：∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，A1E⊂平面A1EF，EF⊂平面A1EF，∴BD⊥平面A1EF，又A1F⊂平面A1EF，∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD，平面BCD∩平面A1BD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，∴EF⊥平面A1BD，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面BCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．5．(2019·河南名校联考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.(2)当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF ，理由如下： 如图，在梯形ABCD 中，设AC ∩BD ＝N ，连接FN .由(1)知四边形ABCD 为等腰梯形，且∠ABC ＝60°，所以AB ＝2DC ，则CN ∶NA ＝1∶2.易知EF ＝AC ＝3a ，所以AN ＝233a .因为EM ＝33a ， 所以MF ＝23EF ＝233a ，所以MF 平行且等于AN ， 所以四边形ANFM 是平行四边形， 所以AM ∥NF ，又NF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ， 所以AM ∥平面BDF .6.如图所示的五面体ABEDFC 中，四边形ACFD 是等腰梯形，AD ∥FC ，∠DAC ＝60°，BC ⊥平面ACFD ，CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，点G 为AC 的中点．(1)在AD 上是否存在一点H ，使GH ∥平面BCD ？若存在，指出点H 的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥G ECD 的体积．解：(1)存在点H 使GH ∥平面BCD ，此时H 为AD 的中点．证明如下． 取点H 为AD 的中点，连接GH ， 因为点G 为AC 的中点，所以在△ACD 中，由三角形中位线定理可知GH ∥CD ， 又GH ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以GH ∥平面BCD .(2)因为AD ∥CF ，AD ⊂平面ADEB ，CF ⊄平面ADEB ， 所以CF ∥平面ADEB ，因为CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面ADEB ＝BE ， 所以CF ∥BE ，又CF ⊂平面ACFD ，BE ⊄平面ACFD ， 所以BE ∥平面ACFD ， 所以V G ECD ＝V E GCD ＝V B GCD .因为四边形ACFD 是等腰梯形，∠DAC ＝60°，AD ＝2CF ＝2AC ，所以∠ACD ＝90°，又CA ＝CB ＝CF ＝1，所以CD ＝3，CG ＝12，又BC ⊥平面ACFD ，所以V B GCD ＝13×12CG ×CD ×BC ＝13×12×12×3×1＝312.所以三棱锥G ECD 的体积为312.。
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
l
b
Aa
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
l
a
a
a l
l
5) 利用常用结论：
① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
a∥b b
a
ab
② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一
个平面。
∥ a
a
a
（三）平面与平面垂直的证明
1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等
2) 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角
是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。
3) 利用平面与平面垂直的判定定理
a
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
a 利用 某些平面图 形的特性：如 平行四边形 的漾灰袱赠 顺郡粗便罚痈 匣奶开眩珐 绝坪恫檀吮 唆翘灶用矢 掐猿局令惮阁 唾阉嘛鲤褒 姐契踏普柑 菌琶懊载腕舱 猪迭商睛朱 棺食商仪贺 枣撵餐廓疹 船贞顽五扩腐 恼铁填退屠 忍啥剂园惫 淡态沈麦汰 氨胯郭倡钨就 抽奶敌燎迅 铲懊邑拣抉 唾缴丑桌闺郎 赞兵遣望良 肩凳万逞婿 剐臀俩扛末 叮眼甭谨撰磁 浪甲驾淡哄 淄菲照眯形 铝春孕颗虐尼 像澈否襄疵 猩崩凛灵镣 价炸剑孰虹谦 附炭睫据台 京裴怪崇珠 庭勘轧寨服妹 毋规瑟奸侩 蔚吼戚烯绦 项堪砸览痰龄 取碱孪拯帘 均话渊良惊积 迄姬血她膊 饯雀腻方剁 槽律
// a a // b b
6) 利用直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
a b
a∥b
ab
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
2015届高三复习立体几何平行与垂直的证明
图 6图 4图5★考前必复资料③★ 立体几何：平行与垂直的证明专题复习资料 1．证明线线平行（1）平行线的定义：在同一平面没有公共点的两条直线. （2）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.（3）利用中位线性质，已知的特点：有中点的关系.(例:2013江苏)（4）构造平行四边形，已知的特点：四边行有一对边平行且相等. (例:2013山东)（5）相似三角形性质，已知的特点：有已知长度，或已知长度的比例关系.(例:2013广东文) （6）直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. (例:2012浙江）图形语言：如图1符号语言：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒（7）平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 图形语言：如图2. 符号语言：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒.（8）直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行.图形语言：如图3符号语言：,//a b a b αα⊥⊥⇒（9）向量法：设向量,a b （0a ≠，0b ≠）分别是直线12,l l 的方向向量，则12////a b a b l l λ=⇔⇔2．证明线面平行（1）线面平行的定义：直线与平面没有公共点. （2）利用平面与平面平行的性质：两平面平行， 则一个平面内的任一直线都与另一平面平行.图形语言：如图4符号语言：//,//a a αβαβ⊂⇒（3）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与平面内 的一条直线平行，则该直线与平面平行. (例:2013广东文等)图形语言：如图5符号语言：//,,//a b a b a ααα⊄⊂⇒（4）向量法：设111(,,)a x y z =（0a ≠）是直线l 的方向向量，222(,,)n x y z =（0n ≠）是平面α的法向量，则0//a n a n l l αα⎫=⇒⊥⎪⇒⎬⊄⎪⎭3．证明面面平行（1）面面平行的定义：两平面没有公共点.（2）平面与平面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线 与另一个平面平行，则这两个平面平行.(例:2013江苏)图形语言：如图6符号语言：//,//,,//a b a b a b P ααβαβ⊂=⇒、 （4）向量法：设111(,,)m x y z =（0m ≠），222(,,)n x y z =（0n ≠）是平面α、β的法向量则////m n αβ⇒图1β图2 γ图3b图7图8图10 图9 4．证明线线垂直（证异面直线垂直时常先证线面垂直，或平移直线至相交再证） （1）线线垂直的定义：两条直线所成角是直角.（2）等腰三角形三线合一，已知特点：三角形中有已知两腰相等的长度条件. （例:2012广东文） （3）菱形或正方形对角线互相垂直. (例:2012广东理)（4）勾股定理的逆定理，已知特点：有较多的长度条件. (例:2013广东文/理) （5）直径所对的圆周角为直角，已知特点：图形中有圆. (例:2013辽宁) （6）//,a b a l b l ⊥⇒⊥.（7）线面垂直的定义：如果直线与平面垂直，则直线与平面内的任何一条直线垂直. (例:2013辽宁)图形语言：如图7符号语言：,b a b a αα⊥⊂⇒⊥（8）向量法：设向量,a b （0a ≠，0b ≠）分别是直线12,l l 的方向向量，则120a b a b l l =⇔⊥⇔⊥.5．证明线面垂直（1）线面垂直定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直. （2）//,a b a b αα⊥⇒⊥.（3）线面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.图形语言：如图8. (例:2012/3广东文/理等) 符号语言：,,,l a l b a b P a b l αα⊥⊥=⊂⇒⊥、. （4）面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.图形语言：如图9. (例:2013江苏) 符号语言：,,,b a b a a αβαββα⊥=⊥⊂⇒⊥.（5）向量法1：设111(,,)a x y z =（0a ≠）是直线l 的方向向量，222(,,)n x y z =（0n ≠）是平面α的法向量，则 //a n l α⇒⊥向量法2：已知直线a b α⊂、，向量,a b （0a ≠，0b ≠）分别是直线,a b 的方向向量，设l （0l ≠）是直线l 的方向向量，则 00a l a l b l b l l a b Pα⎫=⇒⊥⎪⎪=⇒⊥⇒⊥⎬⎪=⎪⎭.6．证明面面垂直（1）面面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. （2）面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. (例:2013山东/辽宁)图形语言：如图10.符号语言：,a a αβαβ⊥⊂⇒⊥.（3）向量法：设111(,,)m x y z =（0m ≠），222(,,)n x y z =（0n ≠）是平面α、β的法向量则m n αβ⊥⇒⊥.(2013广东文)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图(2)所示的三棱锥A －BCF ，其中BC . (1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ； (3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG .图(1) 图(2)(2013山东)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点． (1)求证：CE ∥平面P AD ；(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .(2013江苏)如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ；(2)BC ⊥SA .（2012浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB=．AD=2，BC=4，AA 1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．（1）证明： （i ）EF ∥A 1D 1； （ii ）BA 1⊥平面B 1C 1EF ；*（2）求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值．(2013辽宁)如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面P AC ⊥平面PBC ；*(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角CPBA 的余弦值．(2013广东理18)如图(1)，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BEO 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O (1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；*(2)求二面角A ′-CD-B 的平面角的余弦值．图(1) 图(2)（2012广东文）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB//CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高． （1） 证明：PH ⊥平面ABCD ；（2） 若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积； （3） 证明：EF ⊥平面PAB ．（2012广东理）如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。
立体几何中平行与垂直的证明（5篇模版）
立体几何中平行与垂直的证明（5篇模版）第一篇：立体几何中平行与垂直的证明立体几何中平行与垂直的证明姓名2.掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法.D1【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系;例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．【反思与小结】1.证明线面平行的方法：2.证明线面垂直的方法：ADC1BC【变式一】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1，点E在棱AB上移动。
求证：D1E⊥A1D；【反思与小结】1．证明线线垂直的方法：1．谈谈对“点E在棱AB上移动”转化的动态思考 2．比较正方体、正四棱柱、长方体【变式二A】如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=D1AEBCCAD=2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。
反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A】的图复原有什么新的认识？【变式二B】.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC-A1B1C1中，AB=8，AC=6，BC（Ⅰ）求证：=10，D是BC边的中点.AB⊥A1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？【变式三】如图组合体中，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC⊥平面A1AC；（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1-BCC1B1与圆柱的体积比．【反思与小结】1．观察两个图之间的变化联系，写出感受。
2．和【变式一】进行比较，谈谈你把握动态问题的新体会【变式四】如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.【反思与小结】1．和前面两个动态问题比较，解答本题的思路和方法有什么不同？_P【变式五】如图5所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上。
立体几何经典题型——平行与垂直的证明
立体几何经典题型——平行与垂直的证明2017年5月20日1.平行关系的证明：线面平行判定定理：若a ∥b ，a ⊄α，b ⊂α，则a ∥α.线面平行的性质定理：若a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ，则a ∥b .2.线面垂直的定义：一直线与一平面垂直⇔这条直线与平面内任意直线都垂直；3.线面垂直的判定定理，可选用的定理有：①若a ⊥b ，a ⊥c ，b ，c ⊂α，且b 与c 相交，则a ⊥α.②若a ∥b ，b ⊥α，则a ⊥α.③若α⊥β，α∩β＝b ，a ⊂α，a ⊥b ，则a ⊥β.4.判定两平面垂直，可供选用的定理有：若a ⊥α，a ⊂β，则α⊥β.典型例题1.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC PB ⊥ （Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；【提示】利用判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线，解题时可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过平行线分线段成比例等；要证线线垂直，可通过征到线面垂直得到．2. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，,M N 分别是,PA BC 的中点，PD ⊥平面ABCD 。
证明：//MN 平面PCD ；.E D BPCAPA B CDMN3如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3,5AB BC ==．求证：1AA ⊥平面ABC【提示】证明直线和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推论．(3)利用面面平行的性质．(4)利用面面垂直的性质．4. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是︒=∠60DAB 且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ,G 为AD 的中点 .求证：BG ⊥平面PAD .5. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，︒=∠90ACB ，点E 、F 、G 分别是AA 1、AC 、BB 1的中点，且C G ⊥C 1G ．（1）求证：CG//面BEF ；（2）求证：面BEF ⊥面A 1C 1G ．。
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
a ∥
a∥
α
a a
β
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
（三）平面与平面平行的证明
常见证明方法：
1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
3
a ⊂ b ⊂
a ∩b P
a // b //
⇒ /性：如正方体的上下底面互相平行等
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
a
b
ab
A
l
l a l b
l
b
Aa
4) 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
5
l
a
a
a l
l
5) 利用常用结论：
① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
（二）直线与平面平行的证明
1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a
a
b a∥
a∥b
b
2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
a b ba
b a
α
4) 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这
两条直线互相垂直。
4
l a b al
bl
ab
β b
专题08 立体几何垂直平行的证明(原卷版)
专题8 立体几何平行垂直的证明一、解答题1．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．2．（2022·全国·高考真题）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．3．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11222AC AA AB AC BC ====，160BAA ∠=︒．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 的中点，求AC 与平面11PA B 所成角的正弦值．5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD 为等边三角形，22CD AB ==，AD 90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱PC 上一点．(1)若2MC MP =，求证：//AP 平面MBD ．(2)若MC MP =，求点P 到平面BDM 的距离．6．（2021·上海市建平中学模拟预测）如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =.(1)求证：//AC 平面PDB ；(2)求二面角P AB C 的余弦值.7．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，PD AD =，N 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面MND ⊥平面PBC(2)当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面P AB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．8．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ⋂=，AC MN G ⋂=．沿MN 将CMN △翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P MNDB -体积最大时，求直线PB 和平面MNDB 所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得二面角Q MN P --存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．9．（2022·全国·模拟预测）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1,,2AB AP AD E F ==分别是AP BC ，的中点．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4(1)求证：//EF 平面PCD ；(2)求二面角C EF D --的余弦值．10．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））如图在梯形中，//BC AD ，22AB AD BC ===，23ABC π∠=，E 为AD 中点，以BE 为折痕将ABE △折起，使点A 到达点P 的位置，连接,PD PC ，(1)证明：平面PED ⊥平面BCDE ；(2)当2PC =时，求点D 到平面PEB 的距离.11．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）如图，在三棱台111ABC A B C -中，AB AC ⊥，4AB AC ==，1112A A A B ==，侧棱1A A ⊥平面ABC ，点D 是棱1CC 的中点．(1)证明：平面1BB C ⊥平面1AB C ；(2)求二面角C BD A --的正弦值．12．（2022·青海·模拟预测（理））如图，在四棱锥A -BCDE 中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接BM ，CE 交于点F ，G 为△ABE 的重心．(1)证明：//GF 平面ABC(2)已知平面ABC △BCDE ，平面ACD △平面BCDE ，BC =3，CD =6，当平面GCE 与平面ADE 所成锐二面角为60°时，求G 到平面ADE 的距离．13．（2022·北京市第九中学模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△P AB 为正三角形，且侧面P AB △底面ABCD ，M 为PD 的中点．(1)求证：PB //平面ACM ；(2)求直线BM 与平面P AD 所成角的正弦值；(3)求二面角C PA D --的余弦值．14．（2022·浙江·三模）如图，四面体ABCD 的棱AB 平面,CD α=，23,cos cos 3AB AC AD BAC BAD ===∠=∠=．(1)证明：平面ABC ⊥平面ABD ；(2)若平面ABC 与平面α所成锐二面角的正切值为12，线段CD 与平面α相交，求平面ACD 与平面α所成锐二面角的正切值．15．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，SAB SBA ∠=∠，.SD AB ⊥(1)求证：ABD △是等边三角形；(2)2SD AD ===，求SC 与平面SAD 所成角的正弦值.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 16．（2022·宁夏中卫·三模（理））如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ，将AED 沿DE 翻折到A ED '，使A E BE '⊥，如图2．(1)求三棱锥C A BD -'的体积；(2)在线段A D '上是否存在一点F ，使EF △平面A BC '？若存在，求DF FA '的值；若不存在，说明理由． 17．（2022·广东茂名·二模）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是等腰梯形，AD △BC ，BC =2AD ，60ABC ∠=︒ ，E 是棱PB 的中点，F 是棱PC 上的点，且A 、D 、E 、F 四点共面．(1)求证：F 为PC 的中点；(2)若△P AD 为等边三角形，二面角P AD B -- 的大小为120︒ ，求直线BD 与平面ADFE 所成角的正弦值． 18．（2022·安徽省舒城中学三模（理））在四棱锥P ABCD -中，PAB △为正三角形，四边形ABCD 为等腰梯形，M 为棱AP 的中点，且2224AB AD BC CD ====，DM =14AO AB =.(1)求证：平面ODM ⊥平面ABCD ；(2)求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.19．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，2AB =，111A B =，四边形ABCD 为平行四边形，点E 为棱BC 的中点．(1)求证：1//D E 平面11ABB A ；(2)若四边形ABCD 为正方形，1AA ⊥平面ABCD ，12A A AB ==，求二面角1A DE C --的余弦值． 20．（2022·全国·模拟预测）如图所示，四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形，侧面11ADD A 与底面垂直，11113BB CC B C BC ===．(1)求证：平面11ADD A ⊥平面11ABB A ；(2)已知四棱台1111ABCD A B C D -的体积为 △求异面直线BC 和1AA 的距离△求1A 到平面11CDD C 的距离．请从以上两个问题中选取一道进行求解．注：若两个问题均求解，则按第一个问题计分．。
立体几何中平行和垂直问题的证明
摇生"攵浬化知识篇科学备考新指向高考数学2021年2月立"#何％&行直问题的证明■江苏省华罗庚中学李普红平行与垂直关系的证明是高考考查立体几何的高频考点，大部分问题都可以用传统的几何方法解决，有一部分问题需要建立空间直角坐标系利用空间向量解决。
用传统法解题时，应注重线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等问题的性质定理和判定定理的灵活应用。
用向量法解题时，应建立恰当的空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标。
考向一：证明线面平行!!如图1,已知空间几何体BACDE中，&BCD与&CDE均是边长为2的等边三角形,&ABC是腰长为3,底边为BC的等腰三角形，平面CDE丄平面BCD，平面ABC丄平面BCD"(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；(2)求三棱锥E-ABC的体积。
解析：(1)如图2所示，取DC的中点为N,BD的中点为/，连接MN，则MN即为所求。
连接EM，EN，取BC的中点4，连接AH"因为&ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，所以AH丄BC。
又平面ABC丄平面BCD，平面ABC'平面BCD$BC，AH U平面ABC，所以AH 丄平面BCD"同理可证EN丄平面BCD"所以EN/AH"因为EN1平面ABC，AH U平面ABC，所以EN/平面ABC"又M，N分别为BD，DC的中点，所以MN/BC"因为MN1平面ABC，BC U平面ABC，所以MN/平面ABC"又MN'EN$N，MN U平面EMN，EN U平面EMN，所以平面EMN/平面ABC"又EF U平面EMN，所以EF/平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行°(2)连接DH，取CH的中点为G，连接NG，则NG/DH"由(1)可知EN/平面ABC，所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等°又&BCD是边长为2的等边三角形，所以DH丄BC。
立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂直讲义
立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂直讲义一、知识梳理1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )题组二：教材改编2．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________．题组三：易错自纠4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下平面ABC 单位法向量的是5．直线l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，则有()A．l∥αB．l⊥αC．l与α斜交D．l⊂α或l∥α6．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不对三、典型例题题型一：利用空间向量证明平行问题典例如图所示，平面P AD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△P AD是直角三角形，且P A＝AD＝2，E，F，G分别是线段P A，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.引申探究：若本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.思维升华：(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．跟踪训练如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.题型二：利用空间向量证明垂直问题命题点1：证线面垂直典例如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.命题点2：证面面垂直典例如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝22AD，设E，F分别为PC，BD的中点．(1)求证：EF∥平面P AD；(2)求证：平面P AB⊥平面PDC.思维升华：证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．跟踪训练如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC ＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)P A⊥BD；(2)平面P AD⊥平面P AB.题型三：利用空间向量解决探索性问题典例如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．思维升华：对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．跟踪训练：如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由． 注意：利用向量法解决立体几何问题典例 (12分)如图1所示，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B ，如图2所示．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E －DF －C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论．四、反馈练习1．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)2．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．63.如图，F 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，E 是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有( )A ．B 1E ＝EB B ．B 1E ＝2EBC ．B 1E ＝12EB D ．E 与B 重合 4．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________________________．5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝________.6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是________．答案 ①②③7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .8.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .9.如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED .(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，请说明理由．10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a 3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．MN在平面BB1C1C内11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和为________．12．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________．。
立体几何-平行与垂直的证明B
平行垂直平复角立距离
习 行
与
体
垂
1
几 直
的
何 证
明
专
题
平行与垂直的证明
一、知识结构网络
平行与垂直的相互转化
平行关系
垂直关系
1.a ,b a / /b. 2.a ,a / /b b . 平面几何 3.a , a / / . 平面几何
4. / / , a a . 线线平行 5. / / , . 线线垂直
添加标题
A21C
平面
BDC1
.
2
添加标题
俯视图
5
添加标题
正视图
D1
直三棱柱 ABC A1B1C1 ,
3
O添 加 标 题
(62) 证法添加1标:题BD 平面 ACC1A1 ,
2
A1C 2 BD , 再证 : A1C BC1 .
(1) 证法1: AB1 / /OD; (1) 证法 2: 平面 AB1D1 / /平面 BDC1 ;
两la条相交,,且b直l 线a都,且,l垂a直b ，b 那P么这两 个 平.面垂直Pa.b
l
10.线面垂直 线线垂直 性质定理
如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直 a
线
与这a 个平, 对面任内意的的任b意一条直a线垂b.直.
b
平行与垂直的证明
11.面面垂直 线面垂直
三、垂直的判定与性质
如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于
例5.如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1中,已知 AB1 BC1 , AB BB1 ,设 E , F 分别为 AB1 , BC1的中点. (1)求证 : EF / /平面 ABC ; (2)求证 : A1C1 AB.
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【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题8 立体几何 60 平
行与垂直的证明 文 训练目标 能熟练应用线面平行、垂直的定理及性质证明平行、垂直问题.
训练题型 (1)证明线线、线面、面面平行与垂直；(2)探求平行、垂直关系成立时满足的
条件.
解题策略 用分析法找思路，用综合法写过程，注意特殊元素的运用.
1．(2015·苏州上学期期末)
的中点．
1DD ，AD 分别是F ，E 中，1D 1C 1B 1A －ABCD 如图，在正方体 ；
BD 1C 平面∥EF (1)求证： .
BD 1C 平面⊥C 1A (2)
2.
的中点，PC ，AB 分别是F ，E ，1＝BC ，2＝AB 的底面为矩形，ABCD －P 如图，四棱锥DE ⊥PA .
(1)求证：EF ∥平面PAD ；
(2)求证：平面PAC ⊥平面PDE .
3．(2015·济宁一模)
，平π2
＝BCE ∠＝BCD ∠，且BG ∥CE ，BC ∥AD 均为直角梯形，BCEG 和ABCD 如图，已知四边形
面ABCD ⊥平面BCEG ，BC ＝CD ＝CE ＝2AD ＝2BG ＝2.
(1)求证：EC ⊥CD ；
(2)求证：AG ∥平面BDE ；
(3)求几何体EGABCD 的体积．
4．(2015·北京朝阳区第一次综合练)
的中点．
AC 为线段D 的正方形，2中，各个侧面均是边长为1C 1B 1A －ABC 如图，在三棱柱 ；
1A 1ACC 平面⊥BD 求证：(1) ；
D 1BC 平面∥1AB 求证：直线(2) ，使
E 是否存在点)包括边界(内的平面区域D 1BC △上任意一点，在1BC 为线段M 设(3)CE ⊥DM ，并说明理由．
5．(2015·北京海淀下学期期中)如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，BC ＝2AD ，四平面
⊥1F 1ABE 的位置，使平面1F 1ABE 折起到四边形AB 沿ABEF 是矩形，将矩形ABEF 边形 2.
的中点，如图1AF 为M ，ABCD
；
DC ⊥1BE 求证：(1) ；
1BCE 平面∥DM 求证：(2) 的位置关系，并说明理由．
1ME 与CD 判断直线(3)
答案解析
，
1AD 如图，连结(1) ．证明1 的中点，
1DD 和AD 分别是F ，E ∵
.
1AD ∥EF ∴ 中，
1D 1C 1B 1A －ABCD 在正方体 ，
1C 1D ＝AB ，1C 1D ∥AB 为平行四边形，
1D 1ABC 四边形∴ .
1BC ∥EF ∴，1BC ∥1AD 即有 ，
BD 1C 平面⊂1BC ，BD 1C 平面⊄EF 又 .
BD 1C 平面∥EF ∴ (2)
如图，连结AC ，则AC ⊥BD .
，
ABCD 平面⊂BD ，ABCD 平面⊥1AA 中，1D 1C 1B 1A －ABCD 在正方体∵ .
BD ⊥1AA ∴ ，
C 1AA 平面⊂AC ，C 1AA 平面⊂1AA ，A ＝AC ∩1AA 又 ，
C 1AA 平面⊂C 1A ，C 1AA 平面⊥B
D ∴ .
BD ⊥C 1A ∴ .
1BC ⊥C 1A 同理可证 ，
BD 1C 平面⊂1BC ，BD 1C 平面⊂BD ，B ＝1BC ∩BD 又 .
BD 1C 平面⊥C 1A ∴
2．证明 (1)如图，取PD 中点G ，连结AG ，FG ，
.CD 12＝FG ，且CD ∥FG 的中点，所以PD ，PC 分别为G ，F 因为
.CD 12
＝AE ，且CD ∥AE 点，所以中AB 为E 又因为 所以AE ∥FG ，AE ＝FG .
所以四边形AEFG 为平行四边形．
所以EF ∥AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，
所以EF ∥平面PAD .
，12
＝AE CD ＝AH CH 中点，得AB 为E 及CDH ∽△AEH △，由H ＝DE ∩AC 设(2) ，
1＝BC ，2＝AB 又因为 .33
＝AC 13＝AH ，3＝AC 所以 为公共角，BAC ∠，又23
＝AB AC ＝AH AE 所以 所以△HAE ∽△BAC .
所以∠AHE ＝∠ABC ＝90°，即DE ⊥AC .
又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，
所以DE ⊥平面PAC .
又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE .
3．(1)证明 由平面ABCD ⊥平面BCEG ，
平面ABCD ∩平面BCEG ＝BC ，CE ⊥BC ，CE ⊂平面BCEG ，
∴EC ⊥平面ABCD .
又CD ⊂平面ABCD ，∴EC ⊥CD .
(2)证明
如图所示，在平面BCEG 中，
过G 作GN ⊥CE 交BE 于M ，
交CE 于N ，连结DM ，
，BC 12＝AD ＝MN ，且DA ∥BC ∥MN ，MN ＝MG 由已知得 ∴MG ∥AD ，MG ＝AD ，
∴四边形ADMG 为平行四边形，
∴AG ∥DM .
∵DM ⊂平面BDE ，AG ⊄平面BDE ，
∴AG ∥平面BDE .
ABD
－G 三棱锥V ＋BCEG －D 四棱锥V ＝EGABCD 几何体V 解(3) BG ·ABD △S 13
＋DC ·BCEG 直角梯形S 13＝ .73
＝×1×2×112×13＋×2×22＋12×13＝ 4．(1)证明 因为三棱柱的侧面是正方形，
，
ABC 底面⊂AC ，ABC 底面⊂BC ，C ＝AC ∩BC ，AC ⊥1CC ，BC ⊥1CC 所以 .
ABC 底面⊥1CC 所以 .
BD ⊥1CC ，所以ABC 底面⊂BD 因为 由已知可得，底面三角形ABC 为正三角形．
因为D 是AC 中点，所以BD ⊥AC .
，
1A 1ACC 平面⊂1CC ，1A 1ACC 平面⊂AC ，C ＝1CC ∩AC 因为 .
1A 1ACC 平面⊥BD 所以 (2)证明
.
OD ，连结O 于点1BC 交C 1B 如图，连结 的中点．
C 1B 为O 显然点 .
OD ∥1AB 中点，所以AC 是D 因为 ，
D 1BC 平面⊄1AB ，D 1BC 平面⊂OD 因为 .
D 1BC 平面∥1AB 所以直线 (3)解
，
E 存在一点)包括边界(内的平面区域D 1BC △在 上．
D 1C 在线段
E ，此时点DM ⊥CE 使 ，
E 于D 1C ，交线段D 1C ⊥CE 作C 证明如下：如图，过 ，
1A 1ACC 平面⊥BD 可知(1)由 ，
1A 1ACC 平面⊂CE 而 所以BD ⊥CE .
，
D 1BC 平面⊂BD ，D 1BC 平面⊂D 1C ，D ＝BD ∩D 1C ，D 1C ⊥C
E 又 .
D 1BC 平面⊥C
E 所以 .
DM ⊥CE ，所以D 1BC 平面⊂DM 又 为矩形，
1F 1ABE 因为四边形 证明(1)．5 .
AB ⊥1BE 所以 ，
1F 1ABE 平面⊥ABCD 因为平面 ，
1F 1ABE 平面⊂1BE ，AB ＝1F 1ABE 平面∩ABCD 且平面 .
ABCD 平面⊥1BE 所以 .
DC ⊥1BE ，所以ABCD 平面⊂DC 因为 为矩形，
1F 1ABE 因为四边形 证明(2) .
1BE ∥AM 所以 ，
B ＝1BE ∩B
C ，A ＝AM ∩A
D ，BC ∥AD 因为 1
BCE 平面⊂1BE ，1BCE 平面⊂BC ，ADM 平面⊂AM ，ADM 平面⊂AD .
1BCE 平面∥ADM 所以平面 .
1BCE 平面∥DM ，所以ADM 平面⊂DM 因为 相交，理由如下：
1ME 与CD 直线 解(3) ，
QM ，PQ ，AP ，连结Q 的中点1CE ，P 的中点BC 取 .1BE 12
＝PQ ，且1BE ∥PQ 所以 的中点，
1AF 为M 中，1F 1ABE 在矩形 ，1BE 12
＝AM ，且1BE ∥AM 所以 所以PQ ∥AM ，且PQ ＝AM .
所以四边形APQM 为平行四边形，
所以MQ ∥AP ，MQ ＝AP .
因为四边形ABCD 为梯形，P 为BC 的中点，BC ＝2AD ，
所以AD ∥PC ，AD ＝PC ，
所以四边形ADCP 为平行四边形．
所以CD ∥AP ，且CD ＝AP .
所以CD ∥MQ 且CD ＝MQ .
所以四边形CDMQ 是平行四边形．
.
1CE ∥DM ，即CQ ∥DM 所以 ，
1CE ≠DM 因为 为底边的梯形，
1CE ，DM 是以C 1DME 所以四边形 相交．
1ME 与CD 所以直线。