高数8-3(三重积分的概念与计算)
三重积分计算
三重积分计算三重积分是多重积分的一种，用于计算三维空间中的体积、质心、重心、转动惯量等问题。
在高等数学中，三重积分也是非常重要的一部分，本文将详细介绍三重积分的概念、性质、计算方法以及一些应用。
一、三重积分的概念三重积分是对具有三个变量的函数在三维空间中一些区域的积分。
设f(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，其中Ω是三维空间中的一个封闭区域。
则三重积分的定义为：∭Ωf(x,y,z)dV其中，dV 表示一小块Ω中的体积元素，dV = dx dy dz。
可以看出，三重积分实际上是对Ω中个点对应的函数值与体积元素的乘积进行求和。
三重积分对应的结果是一个数值。
二、三重积分的性质1.线性性质：设f(x,y,z)和g(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，a和b是常数，则有：∭Ω (af(x, y, z) + bg(x, y, z)) dV = a∭Ω f(x, y, z) dV +b∭Ω g(x, y, z) dV2.保号性质：如果在Ω上有f(x,y,z)≥0，则有：∭Ωf(x,y,z)dV≥03.次序可交换性：如果函数f(x,y,z)在区域Ω上连续，那么对于Ω中的任意小闭区域D，有：∬D f(x, y, z) dx dy = ∬D f(x, y, z) dy dx这说明在计算三重积分时，可以先对其中两个变量积分，再对剩余的变量积分。
三、三重积分的计算方法计算三重积分的方法有很多种，下面介绍常用的两种方法：直角坐标系下的直接计算和柱面坐标系的变量代换法。
1.直角坐标系下的直接计算：假设要计算Ω上的三重积分∭Ωf(x,y,z)dV，Ω的边界可以分解为有限个可求面积的曲面。
先取一个边界曲面上的点P，以该点为上顶点的立体体积为ΔV，然后作适当的划分，将ΔV划分为若干个小的体积ΔV_i。
然后取这些小体积ΔV_i中其中一点(x_i,y_i,z_i)，并计算f(x_i,y_i,z_i)与ΔV_i的乘积f(x_i,y_i,z_i)ΔV_i。
三重积分的概念和计算方法
三重积分的概念和计算方法三重积分是数学中的一个重要概念，是在三维空间中求解某个空间区域内函数值的方法。
本文将介绍三重积分的基本概念以及常见的计算方法。
1. 三重积分的概念三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算，用于描述空间区域内某个物理量的总量。
在三维空间中，我们将积分区域分成无限个微小的体积元，通过将这些微小体积元叠加起来，就可以计算出整个积分区域内函数值的总和。
2. 三重积分的符号表示三重积分通常用∬∬∬f(x,y,z)dxdydz表示，其中f(x,y,z)为被积函数，dxdydz表示积分元，代表了积分的区间范围。
3. 三重积分的计算方法在计算三重积分时，需要确定积分的区域以及被积函数的表达式。
3.1 直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，我们常用直角坐标系(x, y, z)来描述三维空间的位置。
对于一般的积分区域，可以通过确定积分的上下限来确定积分的范围。
3.1.1 矩形坐标系中的三重积分计算方法对于矩形坐标系中的三重积分，可以根据积分区域的形状选择合适的积分顺序，并通过嵌套积分的方式来计算。
常见的积分顺序有xyz、xzy、yxz、yzx、zxy和zyx六种情况，具体选择哪种积分顺序需要根据具体问题进行分析和判断。
3.1.2 柱坐标系中的三重积分计算方法在柱坐标系中，我们用ρ、φ和z来描述空间的位置。
对于圆柱形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合柱坐标系的变换公式进行计算。
3.1.3 球坐标系中的三重积分计算方法在球坐标系中，我们用r、θ和φ来描述位置。
对于球形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合球坐标系的变换公式进行计算。
4. 三重积分的应用领域三重积分在物理、工程、几何等领域都有着广泛的应用。
常见的应用包括计算空间体积、质量、质心、转动惯量、质心坐标等。
5. 三重积分的计算实例为了更好地理解和掌握三重积分的计算方法，我们举一个简单的实例来进行说明。
三重积分的概念计算及应用
三重积分的概念计算及应用三重积分是微积分中的一个重要概念，它可以用于描述空间中的曲面、体积和质量等问题，是积分学在三维空间中的推广与应用。
本文将从三重积分的概念、计算和应用三个方面进行阐述。
首先，我们来了解一下三重积分的概念。
三重积分是对三维空间中其中一区域内函数的积分，可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。
其中，f(x,y,z)表示被积函数，dxdydz表示微元体，即数学上用来描述三维空间中其中一点的微小体积。
三重积分的结果是一个实数，表示被积函数在该区域内的总体积。
对于三重积分的计算，可以分为直角坐标系和柱坐标系、球坐标系两种情况。
在直角坐标系中，我们将积分区域划分成小立方体，并将其分别对x、y、z轴进行积分，求和即可得到积分结果。
在柱坐标系和球坐标系中，可以利用坐标变换与雅可比行列式的知识简化计算，因为在这两种坐标系下，微元体的体积表示形式比直角坐标系更简洁。
接下来，我们来看一下三重积分的一些应用。
首先是体积计算。
通过将其中一区域的体积表示为三重积分的形式，并选择适当的坐标系进行计算，可以得到该区域的体积大小。
这在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
其次是质量计算。
当被积函数表示为密度函数时，三重积分可以用来计算物体的质量。
例如，在物理学中，可以用三重积分来计算不规则物体的质量。
此外，三重积分还可以用来计算物体的质心、转动惯量等物理量。
最后是曲面积分的计算。
通过将曲面积分转化为三重积分形式，可以计算曲面的面积或质量分布等问题。
总之，三重积分是微积分中的一个重要概念，通过对三维空间中其中一区域内函数的积分，可以描述空间中的曲面、体积和质量等问题。
在计算三重积分时，可以根据具体情况选择不同的坐标系进行计算，以简化计算过程。
三重积分在几何学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用，可以用来计算体积、质量、质心等物理量，并解决一些曲面积分的问题。
通过深入理解三重积分的概念、计算和应用，可以帮助我们更好地理解三维空间中的问题，推动科学研究的发展。
三重积分及其计算
三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。
它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。
一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。
三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，\(\Delta V_i\)表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。
二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。
1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。
将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。
2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。
即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。
常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。
具体的变换公式可参考相关数学教材。
三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用。
1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。
三重积分的定义和计算方法
三重积分的定义和计算方法在多元微积分中，三重积分被用来计算三维空间中复杂曲面或体积的性质。
本文将介绍三重积分的定义和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这个概念。
一、定义三重积分是对一个三维空间区域内的函数进行积分。
类似于二重积分用来计算二维平面区域内的函数性质，三重积分将函数在三维空间内的性质展现出来。
它可以用于计算体积、质心、质量等相关问题。
二、直角坐标系下的三重积分计算在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过以下步骤进行：1. 建立坐标系：确定一个适当的坐标系，常见的是笛卡尔坐标系(x, y, z)。
2. 划定积分区域：确定要求解的函数所在的空间区域，通常使用不等式或图形的方程来描述。
3. 分割积分区域：将积分区域划分为许多小立方体或长方体。
4. 选择积分方式：根据问题的要求选择适当的积分方式，常见的有直角坐标系下的直角坐标形式、柱坐标形式和球坐标形式。
5. 计算积分：根据所选择的积分方式，将函数进行变量替换并进行积分计算。
三、柱坐标系和球坐标系下的三重积分计算柱坐标系和球坐标系是常用的坐标系，它们在计算具有对称性的问题时非常有用。
1. 柱坐标系下的三重积分计算：柱坐标系中，用(r, θ, z)表示点的坐标。
三重积分的计算在柱坐标系下往往更加便捷，特别适用于具有圆柱对称性的问题。
2. 球坐标系下的三重积分计算：球坐标系中，用(ρ, φ, θ)表示点的坐标。
球坐标系下的三重积分计算常常用于具有球对称性的问题。
四、应用举例三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 计算体积：通过三重积分可以计算具有复杂形状的立体体积。
2. 计算质心：对于有一定密度分布的物体，可以使用三重积分来计算其质心坐标。
3. 计算质量：类似地，通过三重积分可以计算具有复杂密度分布的物体的总质量。
4. 计算电荷分布：在电磁学中，可以利用三重积分来计算复杂电荷分布下的电势。
五、总结本文介绍了三重积分的定义和计算方法，包括在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的计算。
三重积分的概念与计算
三重积分的概念与计算在数学分析学科中，积分是一个重要的概念，它用于计算曲线、曲面或空间体所围成的面积、体积以及其他相关量。
而三重积分则是积分的一种特殊形式，用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
本文将介绍三重积分的概念，并探讨其计算方法。
一、三重积分的概念三重积分是对三维空间上的函数进行积分运算。
在直角坐标系下，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。
其中，f(x,y,z)是被积函数，而dxdydz则表示积分元素。
三重积分的结果是一个标量。
三重积分可以理解为对一个三维区域进行分割，并将每个小区域的体积乘以被积函数的值后相加。
当区域较为规则时，可以采用基本几何体（如长方体、球体等）的体积公式进行计算。
但对于复杂的区域，通常需要采用变量代换或切割方法进行计算。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分计算在直角坐标系下，三重积分的计算可以按照先x后y再z的顺序进行。
具体计算方法如下：首先，确定积分区域。
三重积分的区域可以是一个立体体积，可以被一个或多个不等式所限定。
通过对区域的划分，可以将其分解为若干个可计算的部分。
制条件是根据区域的形状和约束条件确定的。
最后，进行计算。
根据上述确定的区域和限制，将被积函数f(x,y,z)代入积分式中，进行积分运算。
2. 极坐标系下的三重积分计算在某些情况下，采用极坐标系可以简化三重积分的计算。
极坐标系下，积分元素可以表示为rdrdθdz。
基于极坐标系的计算方法如下：首先，确定极坐标下的积分区域。
通常需要借助于图形的对称性来确定合适的极坐标范围。
其次，确定积分限。
根据极坐标下的区域范围，确定积分的上下限。
最后，进行计算。
将被积函数f(r,θ,z)代入积分式中，并按照r,θ,z的顺序进行积分运算。
三、举例说明下面通过一个具体例子来说明三重积分的应用。
例：计算函数f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2在半径为2的球体内的体积。
解：在直角坐标系下，球体的方程为x^2 + y^2 + z^2 = 4。
8-3(1)三重积分
z
Dz
o
1
y
x
1
Dz的面积
22
解法2 解法2：
z
∫∫∫ zdxdydz = ∫0 zdz ∫0 dy ∫0
Ω
1
1− z
1− y − z
1
dx
o
y
= ∫0 zdz ∫0 (1 − y − z )dy
∑ µ(ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
k=1
n
∆vk
(ξk ,ηk ,ζ k )
2
2、三重积分的定义
上的有界函数， 设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 Ω 上的有界函数， 将闭区域 Ω 任意分成 n个小闭区域 ∆v1， ∆v2 ,⋯, ∆v n ， 个小闭区域，也表示它的体积, 其中 ∆v i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每 个 ∆vi 上任取一点 (ξ i ,η i , ζ i ) 作乘积 f (ξ i ,η i , ζ i ) ⋅ ∆vi ， ( i = 1,2,⋯, n) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中 并作和, 趋近于零时，这和式的极限存在， 的最大值 λ 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此 极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 Ω 上的三重积分， 上的三重积分， 三重积分 记为 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv ,
(3)计算二重积分 ∫∫ f ( x , y , z )dxdy 计算二重积分
Dz
z
其结果为 z 的函数 F (z ) ； (4)最后计算单积分 ∫ F ( z )dz 即得三重积分值 最后计算单积分 即得三重积分值.
三重积分的概念及其计算
= ∫ dx
a
∫
dy
∫
f (x, y, z )dz
y1(x )
z1 ( x , y )
所以有
∫∫∫ f (x, y, z )dV
D
= ∫ dx
a
b
y2 ( x )
∫
z 2 ( x ,y )
dy
∫
f (x, y, z )dz (2)
y1 (x )
z1 ( x , y )
公式 (2) 将三重积分化为先 z , 后 y , x 的三次积分 同理对于区域
I =
∫−1 dx ∫x
1
1
2
dy ∫
x 2 +y 2
0
f (x , y , z )dz
.
例 化三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz 为三次积分
Ω
Ω : z = xy 与 x + y = 1, z = 0 所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
1
.
x
例 化三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz 为三次积分
Ω2
z = x2 + y2 + 1
y
x+ y = 4
.
1
o
4
x
例 计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z)dxdydz
z Ω: 曲面 z = x + y 2 + 1,平面 x + y = 4 及三个坐标面所围区域
Ω2
取第一卦限部分
z = x2 + y2 + 1
y
三重积分的概念和方法
在数学中，三重积分可用于求解某些偏微分方程的定解问题，以及研 究多元函数的性质和行为。
02
三重积分的计算方法
先一后二法
投影法
首先将三重积分投影到某个坐标 面上，然后依次对投影区域进行 二重积分和一重积分。
截面法
通过垂直于某个坐标轴的平面截 取积分区域，对每个截面进行二 重积分，再对截面变化的一维参 数进行一重积分。
计算物体质量
三重积分也可以用于计算物体的质量 ，方法是对物体的密度函数进行三重 积分。
如果物体的密度是均匀的，那么三重 积分的结果就是物体的体积乘以密度 ；如果物体的密度是不均匀的，那么 需要对不同部分的密度进行不同的三 重积分，然后将结果相加得到总质量 。
在实际应用中，三重积分计算物体质 量的方法被广泛应用于地球物理、材 料科学、生物医学等领域。
这一性质表明，三重积分具有线性性，可以对被积函数进行线性组合，并分别对每个函数进行积分。
可加性质
三重积分具有可加性，即对于同一积分区域Ω 上的两个被积函数f(x,y,z)和g(x,y,z)，有 ∭[f(x,y,z)+g(x,y,z)]dxdydz=∭f(x,y,z)dxdydz +∭g(x,y,z)dxdydzintintint [f(x,y,z)+g(x,y,z)]dxdydz = intintint f(x,y,z)dxdydz + intintint g(x,y,z)dxdydz∭[f(x,y,z)+g(x,y,z)]dxdydz=∭ f(x,y,z)dxdydz+∭g(x,y,z)dxdydz。
先二后一法
转化为累次积分
首先将三重积分转化为某个变量的一 重积分，然后对剩余的两个变量进行 二重积分。
重积分的概念与计算
) zdz
c
0 zdz dxdy
Dz
dxdy SDz
Dz
a2 (1
z2 c2
)
b2 (1
z2 c2
)
1 abc2.
4
2. 利用柱坐标计算三重积分
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
坐标面分别为
圆柱面 半平面 平面
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
f (x, y, z)dxdydz F (, , z)
z
ln( x x2
2
y
y
2
2
z z2
2
1
1)
d
z
I (x2 y 2 z 2 2 xy 2 yz 2 xz) dv
64 I
(x
y z)2 dv.
2r4 dr 0
5 1
(x y z ) dv 2 2 2
04 sin d
2 d 0
2
2
3. 设 由锥面 和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标
1
2
(h
2 4
)
d
2
d
0
[(1
4h) ln(1
4h)
4h]
2
0
h
1
2
d
4
1
d
xd x2
yd
z y
2
,
3. 利用球坐标计算三重积分
就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系
坐标面分别为 球面
半平面 锥面
0 r
0 2 0
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
f (x, y, z)dxdydz F (r, ,)
三重积分的概念与计算
例： 设物体占有空间闭区域 ，在 点( x , y , z ) 处的密度为 ( x , y , z ) ， 假定 ( x , y , z ) 在 上连续，则该物 体的质量为
z
z z2 ( x , y )
z2 S 2
z1
S1
z z1 ( x , y )
M ( x , y, z )dv .
z e dv 2 e dv 2 [ dxdy ] e dz
z
z
1
上
2
0
D( z )
2 (1 z )e dz 2.
z 0
1
总结： f ( z )dxdydz c f ( z )dz dxdy
d
Dz
属于第二型， Dz的面积易求。
所围成的空间闭区域.
如图，
z
解
2
: 0 z x2 y2 ,
1 1 x2 y2
x y 1, 1 x 1.
I 1 dx x 2 dy 0
f ( x , y , z )dz .
x
y
为三个 例 3 计算三重积分 zdxdydz ，其中
坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
D d c Dz
(1) : z x 2 y 2与z 2所围。
(2) : z x 2 y 2与z 2所围。
( 3) : x 2 y 2 z 2 R 2 ,0 z R (4) : x 2 y 2 z 2 R 2 ,0 z a
截面法的一般步骤： z 轴）投影，得 (1) 把积分区域 向某轴（例如 投影区间[c , d ] ； z 轴且平行xoy 平面的平面去 (2) 对 z [c , d ]用过 截 ，得截面Dz ;
三重积分的积分性质和计算规则
三重积分的积分性质和计算规则三重积分是数学中的一个重要概念，它在物理、工程、计算机科学等领域被广泛应用。
三重积分的计算需要掌握一些性质和规则，本文将详细介绍三重积分的积分性质和计算规则，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、三重积分的定义三重积分是指对三维空间内的一个体积区域进行积分运算，其数学表达式为：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V$$其中，$V$ 表示积分区域，$f(x,y,z)$ 表示被积函数，$\mathrm{d}V$ 表示体积元素。
二、三重积分的积分性质1. 可积性若$f(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上连续，则其在 $V$ 上可积。
2. 线性性设$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上可积，$k$为常数，则有：$$\iiint\limits_{V}(kf(x,y,z)+g(x,y,z))\mathrm{d}V=k\iiint\limits_ {V}f(x,y,z)\mathrm{d}V+\iiint\limits_{V}g(x,y,z)\mathrm{d}V$$3. 保号性设$f(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上可积，则有：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V\geq0$$当且仅当 $f(x,y,z)$在 $V$ 上恒为 $0$ 时，等号成立。
4. 区域可加性设积分区域 $V$ 可以分成若干个不相交的子区域$V_1,V_2,\cdots,V_n$，则有：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\sum_{i=1}^{n}\iiint\limi ts_{V_i}f(x,y,z)\mathrm{d}V$$三、三重积分的计算规则1. 直角坐标系下的计算在直角坐标系下，我们可以将积分区域先按照 $x,y,z$ 的顺序分解，将三重积分化为三重定积分，然后按照积分顺序先计算$z$ 再计算 $y$ 最后计算 $x$。
三重积分概念及其计算
三重积分概念及其计算三重积分是多重积分的一种，它用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
在本文中，我们将详细介绍三重积分的概念和计算方法。
一、三重积分的概念三重积分是对三维空间中的函数进行求和的一种数学运算。
它可以用于计算空间中的体积、质量、质心等物理量。
三重积分通常表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是定义在三维空间中的函数，dV表示微小体积元素。
二、三重积分的计算方法1.直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，三重积分的计算可以采用分步积分的方法。
具体而言，首先需要确定积分区域的边界，然后分别对x、y、z进行积分。
设积分区域为V，边界为S。
根据积分的基本原理，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV=∫∫∫_Vf(x,y,z)dV其中V表示积分区域的体积，dV表示微小体积元素。
假设积分区域可以被表示为：V:a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x),p(x,y)≤z≤q(x,y)那么，三重积分可以分步计算为：∭f(x,y,z)dV = ∫∫∫_V f(x,y,z)dxdydz= ∫_a^b∫_(g(x))^(h(x)) ∫_(p(x,y))^(q(x,y)) f(x,y,z) dzdydx依次对x、y、z进行积分即可得到结果。
2.柱坐标系中的三重积分在柱坐标系中，三重积分的计算可以采用柱坐标系下的坐标变换公式。
具体而言，用柱坐标r、θ、z替换直角坐标系中的x、y、z，然后对新的坐标进行积分。
设柱坐标系下的积分区域为V，边界为S。
根据柱坐标系下的坐标变换公式，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ其中 r 表示到原点的距离，θ 表示与正 x 轴的夹角，z 表示垂直于 xy 平面的坐标。
积分区域 V 在柱坐标系下的表示方式为：V:α≤θ≤β,g(θ)≤r≤h(θ),p(r,θ)≤z≤q(r,θ)根据这个表示，可以将三重积分计算为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ= ∫_α^β ∫_(g(θ))^(h(θ)) ∫_(p(r,θ))^(q(r,θ))f(rcosθ,rsinθ,z) zdrdθ依次对θ、r、z进行积分即可得到结果。
三重积分的定义和基本概念
三重积分的定义和基本概念三重积分是数学中的一种重要计算方法，用于解决三维空间中的问题。
在工程、物理、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
本篇文章将讨论三重积分的定义和基本概念。
一、三重积分的定义三重积分是对空间内的三维物体进行积分计算，相当于对空间进行分块，然后对每个小块进行求和。
计算三重积分需要确定三个方向上的积分限制，通常用x、y、z表示。
例如，计算一个某种物体在三维空间内的体积可以用以下式子表示：V = ∭f(x,y,z)dxdydz其中，f(x,y,z)是需要计算的函数，x、y、z是三个方向上的积分下限和上限。
dxdydz表示对三维空间进行积分。
计算过程中，要对x、y、z的取值范围进行分段积分，将整个空间分成无数个小块，然后对每个小块进行积分求和，从而得出三重积分的结果。
二、三重积分的基本概念1.积分区域计算三重积分时必须确定积分区域。
积分区域通常由内部限制条件和外部限制条件确定。
内部限制条件是由该物体自身属性决定的，例如球体的内部限制条件是x²+y²+z²≤r²，其中r是球体半径。
外部限制条件则是由外部环境或其他因素所影响，例如在放射源处进行辐射计算时，辐射区域的外部限制条件是与放射源的距离。
2.三重积分的求法计算三重积分时，可以采用以下几种方法。
（1）直接积分法：根据题目要求，将积分区域划分成若干子区域，然后对于每个子区域进行一次三重积分。
（2）三重积分与二重积分的转换：当三重积分难以处理时，可以先对其中两个变量进行积分，然后再对得到的二重积分进行积分。
（3）极坐标系下的三重积分：当积分区域以旋转体或圆锥体为主体时，使用极坐标系进行计算会更加简单。
3.三重积分的应用三重积分在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在热传递学和流体力学中，可以通过三重积分计算热传递和流量。
在电磁场学中，可以通过三重积分计算电磁场强度和电势分布。
在计算机图形学中，可以用三重积分计算物体的体积和表面积等。
三重积分的概念及直角坐标系下的计算
三重积分的概念及直角坐标系下的计算三重积分是数学中一个重要的概念，用来描述三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
与二重积分类似，三重积分将一个函数在三维空间的一些区域上的取值进行累加。
在直角坐标系下，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV其中，函数f(x,y,z)表示被累加的函数，V表示积分区域的体积，dV表示积分体积的微元。
一、直接计算法：直接计算法是最简单、直观的方法。
首先要确定积分区域的几何形状，并确定其边界方程。
然后将积分区域分割成若干小立体，对每个小立体进行体积的近似计算，并将这些小立体的体积累加起来，即可得到整个积分区域的体积。
其计算公式为：∭f(x,y,z)dV≈∑f(x_i,y_i,z_i)ΔV_i其中，f(x_i,y_i,z_i)表示小立体中特定点的函数值，ΔV_i表示小立体的体积。
二、交换积分顺序法：当三重积分中的函数比较复杂时，直接计算法可能会非常繁琐。
此时可以通过交换积分的顺序，将三重积分转化为一重或二重积分来简化计算。
交换积分顺序法的基本思想是根据被积函数的特点，选择合适的积分顺序。
根据不同的情况，可以先对x进行一次积分，然后对y进行一次积分，最后对z进行一次积分；或者先对z进行一次积分，然后对x进行一次积分，最后对y进行一次积分。
根据需求选择合适的积分顺序，可以大大简化三重积分的计算过程。
三、转化为累次积分法：有时，可以将三重积分转化为累次积分的形式进行计算。
这个方法适用于区域的形状较为简单的情况。
转化为累次积分的方法包括定积分与非定积分两种。
定积分法是将三重积分转化为三次定积分的累次积分。
对于其中一积分变量，将其他两个积分变量看作是常数，即可将三次积分转化为一次定积分进行计算。
非定积分法是将三重积分转化为三次非定积分的累次积分。
通过分步计算每一次非定积分，最后将得到的表达式进行简化，即可得到最终的结果。
以上是三重积分的概念以及在直角坐标系下的计算方法的介绍。
通过了解这些方法，可以更好地理解和应用三重积分，更高效地解决实际问题。
三重积分的概念及其计算
三重积分的概念及其计算三重积分是对于具有三个独立变量的函数在三维空间内的积分。
它对于解决和分析各种物理、几何和工程问题起着重要的作用。
在本文中，我们将讨论三重积分的概念、计算方法以及一些应用。
首先，让我们来讨论三重积分的定义和概念。
三重积分是对于一个三维实值函数，在一个三维有界区域内的体积进行积分。
三重积分的符号表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，表示在(x,y,z)处函数的值；dV表示积分元素，用于表示积分的区域体积。
为了计算三重积分，我们需要确定被积函数的积分区域。
这个区域可以是一个有界的立体，也可以是由不同的条件限定的多个区域的并集。
一旦确定了积分区域，我们可以通过将该区域划分成较小的体积元素，并对每个体积元素进行积分来逼近整个区域的积分值。
接下来，我们将讨论三种常用的计算三重积分的方法。
第一种方法是直角坐标系下的三重积分计算。
在直角坐标系下，我们可以将积分区域划分为一系列的长方体或平行六面体，每个体积元素的体积可以表示为ΔV=ΔxΔyΔz，其中Δx、Δy和Δz分别是划分的长方体或平行六面体边长的增量。
然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。
第二种方法是柱面坐标系下的三重积分计算。
在柱面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ和距离原点的距离ρ来简化积分计算。
积分区域可以通过极坐标变换转换为适合柱面坐标的形式。
然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。
第三种方法是球面坐标系下的三重积分计算。
在球面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ、方位角φ和距离原点的距离r来简化积分计算。
积分区域可以通过球坐标变换转换为适合球面坐标的形式。
然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。
除了上述的计算方法，我们也可以使用数值方法来计算三重积分。
三重积分-高等数学PPT
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
y
f ( cos , sin , z)dddz.
17
例1. 计算三重积分 z x 2 y 2 d x d yd z z
其中为由柱面 y 2 x-x2 及平面 z 0 ,
a
z a (a 0) , y 0 所围成半圆柱体.
x 2 y 2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
h
解: 在柱面坐标系下
d xd yd z 1 x2 y2
2 2
d
0
h 0
1
2
d
h
2
d
z
o
x
y
4
2
2
h 0
1
2
(h
2
4
)d
4
[(1
4h) ln(1
4 h)
4 h]
d v d d1d9 z
例3 计算I zdxdydz，其中是球面
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z
z
1
其中为三个坐标面及平面 x 2 y z 1
所围成的闭区域 .
解: xdxdydz
1 2
y
x1
1
1 2
(1
x
)
1 x2 y
xdx dy dz
0
0
0
1
1 2
(1
x
)
xdx (1
x
2
y)d
y
1
1
(x
2x2
x3)d
x
1
0
0
40
三重积分的概念和计算[精编文档]
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特别对
f
(z)dv更有效（＝ c2 c1
f (z)SDz dz）。
例3. 计算三重积分 zdxd ydz, 其中 为三个坐标
面及平面 x y z 1 所围成的闭区域 .
z
1
解:如图，：0 z 1, Dz 为 xoy 面上x轴， z
y轴和 x y 1 z 围成的等腰直角三角形. o 1 y
0 2, 0 r 1, r2 z 2 r2 ,
2
1
I d dr
2r2 r(2r2 cos2 z2 )dz
0
0
r2
(90 2 89). 60
思考与练习
1. 将 I f (x, y, z) d v用三次积分表示, 其中由
六个平面 x 0, x 2, y 1, x 2 y 4, z x , z 2 所 围成 , f (x, y, z) C().
在球坐标系下方程为 r 2a cos
锥面方程为 所以
r 2a cos
a
V
dxdydz
2
d
d
2a cos
r 2 sindr
0
0
0
x
y
2 si n (r 3 ) 2acos d 4 a3(1 cos4 ).
30
0
3
内容小结
坐标系
体积元素
适用情况
直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 * 说明:
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
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d
f ( x, y, z)dv dy
x2 ( y) dx z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
c
x1 ( y)
z1 ( x, y )
6/47
同样,也可以把积分域Ω向yOz、zOx面投影.
所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积 分(累次积分).
解题时, 要依据具体的被积函数 f ( x, y, z) 和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算.
三个坐标面及平面
x
y
z
1所围成的闭区域 .
投影法(先一后二法)
zdxdydz
d
1 y z
zdx
D yz
0
1
1 z
1 yz
0 zdz0 dy0 dx
z
1 x yz1
1O
1y
x
1
1 z
0 zdz0 (1 y z)dy
1 z 1 (1 z)2dz 1 .
02
24
zdxdydz 1 x y
应先x对积分
1O
I
1
(1 y)dy
dx e dz 1 y (1 y z )2
1 yz x
0
0
0
1
(1
y)dy
1 y e(1 yz)2 (1
y z)dz
0
0
1
1
(1 y)dy
1 y e(1 yz)2d[(1 y z)2 ]
20
0
1 54
1y
9/47
截面法(先二后一法)
x2 2 y2 z 2 x2
O
x
y
z 2 x2
1
1 x2
2 x2
I dx
dy
f ( x, y, z)dz
1
1 x2
x22 y2
8/47
例 求 I
1
dx
1 x
dz
1 xz
(1
y)e(1 yz)2dy
0
0
0
z
解 e y2的原函数不是初等函数,
1 x yz1
一定要交换积分次序.
以f ( x, y, z)为体面密度的非均匀立体的质量.
2/47
一、在直角坐标系下计算三重积分
在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的
平面的来划分 , 则 vi x jykzl . ( vi是小长方体 ). 故直角坐标系下的体积元素为
dv dxdydz
在直角坐标系下三重积分可表为
f ( x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
3/47
思想是 直角坐标系中将三重积分化为三次积分
投影法 (先一后二法)
如图, 闭区域 在xOy
面上的投影为闭区域D, z
S1 : z z1( x, y),
S2 : z z2( x, y), 过点 ( x, y) D 作直线, 从 z1 穿入, 从 z2 穿出． a O
b x
z z2( x, y)
o
x
• M(x, y,z)
r
y
•
P(r, )
14/47
柱面坐标系中, 三坐标面分别为
z 为常数
z
与xOy平面平行的平面; r为常数
• •M(x, y,z)
以z轴为中心轴的圆柱面；
7/47
例 化三重积分I f ( x, y, z)dxdydz为三次积分,
其中积分区域为由曲面 z x2 2 y2 及z 2 x2
所围成的闭区域.
解
由z z
x2 2 y2 得交线投影区域 2 x2
D : x2 y2 1
z z x2 2y2
1 x 1
故： 1 x2 y 1 x2
解 截面法(先二后一法)
1
zdxdydz 0 zdz dxdy
Dz
Dz {( x, y) | x y 1 z}
z
1 x yz1
1O
x
Dz
1y
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
Dz
原式= 1 z 1(1 z)2dz 1 .
02
24
12/47
计算三重积分 zdxdydz,其中为
➢在直角坐标系下计算三重积分 ➢在柱面坐标系下计算三重积分 ➢在球面坐标系下计算三重积分 ➢三重积分的换元法 ➢小结
1/47
若几何形体是空间有界闭区域时，三元函数 f ( x, y, z)在上的积分称为三重积分，记为：
f ( x, y, z)dv
当f ( x, y, z)) 0时， f ( x, y, z)dv的物理意义表示
d 0 zdz
Dxy
13/47
二、在柱面坐标系下计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点, 并设点M在xOy
面上的投影P的极坐标为 r, , 则这样的三个数
r, , z 就叫点M的柱面坐标.
规定 0 r , 0 2 ,
z
z
直角坐标与柱面坐标的关系为
x r cos , y r sin ,z z
F ( x, y)d [ z2( x,y) f ( x, y, z)dz]d
D
z1 ( x, y ) D
D : y1( x) y y2( x), a x b, X－型
得 f ( x, y, z)dv
b
dx
y2 ( x)dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y)
y
y y2( x)
y y1(x)
4/47
先将 x, y 看作定值, 将 f ( x, y, z)只看作 z 的函数, 则
F ( x, y) z2( x,y) f ( x, y, z)dz z1 ( x, y )
再计算 F ( x, y)在闭区间 D 上的二重积分
截面法的一般步骤
(1)把积分区域向某轴(如z轴) 投影,
得投影区间[c1,c2 ];
(2)对z [c1,c2 ]用过z轴且平行xOy的平面去截 ,
得截面Dz; (红色部分)
z
c2
(3) 计算二重积分 f ( x, y, z)dxdy z
Dz
其结果为z的函数F (z);
c1
(4) 最后计算单积分 c2 F (z)dz.
a
y1 ( x )
z1 ( x, y )
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f ( x, y, z)dv
b
dx
y2 ( x) dy
z2( x, y) f ( x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1 ( x, y )
注
这是平行于 z 轴且穿过闭区域
内部的直线与闭区域 的边界曲面 S
相交不多两点情形.
当D为Y–型闭域时,
c1
x
o
Dz
y
10/47
c2
即 f ( x, y, z)dv dz f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
c2
F (z)dz
c1
注当被积函数仅与变量z有关, 且截面Dz易知时, 用上公式简便47
例 计算三重积分 zdxdydz,其中为
三个坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域 .