高数8-3(三重积分的概念与计算)

d 0 zdz
Dxy
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二、在柱面坐标系下计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点, 并设点M在xOy
面上的投影P的极坐标为 r, , 则这样的三个数
r, , z 就叫点M的柱面坐标.
规定 0 r , 0 2 ,
z
z
直角坐标与柱面坐标的关系为
x r cos , y r sin ,z z
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思想是 直角坐标系中将三重积分化为三次积分
投影法 (先一后二法)
如图, 闭区域 在xOy
面上的投影为闭区域D, z
S1 : z z1( x, y),
S2 : z z2( x, y), 过点 ( x, y) D 作直线, 从 z1 穿入, 从 z2 穿出． a O
b x
z z2( x, y)
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y)
y
y y2( x)
y y1(x)
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先将 x, y 看作定值, 将 f ( x, y, z)只看作 z 的函数, 则
F ( x, y) z2( x,y) f ( x, y, z)dz z1 ( x, y )
再计算 F ( x, y)在闭区间 D 上的二重积分
a
y1 ( x )
z1 ( x, y )
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f ( x, y, z)dv
b
dx
y2 ( x) dy
z2( x, y) f ( x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1 ( x, y )
注
这是平行于 z 轴且穿过闭区域
内部的直线与闭区域 的边界曲面 S
相交不多两点情形.
当D为Y–型闭域时,
c1
x
o
Dz
y
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c2
即 f ( x, y, z)dv dz f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
c2
F (z)dz
c1
注当被积函数仅与变量z有关, 且截面Dz易知时, 用上公式简便.
截面法的公式还有两个.
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例 计算三重积分 zdxdydz,其中为
三个坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域 .
三个坐标面及平面
x
y
z
1所围成的闭区域 .
投影法(先一后二法)
zdxdydz
d
1 y z
zdx
D yz
0
1
1 z
1 yz
0 zdz0 dy0 dx
z
1 x yz1
1O
1y
x
1
1 z
0 zdz0 (1 y z)dy
1 z 1 (1 z)2dz 1 .
02
24
zdxdydz 1 x y
d
f ( x, y, z)dv dy
x2 ( y) dx z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
c
x1 ( y)
z1 ( x, y )
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同样,也可以把积分域Ω向yOz、zOx面投影.
所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积 分(累次积分).
解题时, 要依据具体的被积函数 f ( x, y, z) 和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算.
x2 2 y2 z 2 x2
O
x
y
z 2 x2
1
1 x2
2 x2
I dx
dy
f ( x, y, z)dz
1
1 x2
x22 y2
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例 求 I
1
dx
1 x
dz
1 xz
(1
y)e(1 yz)2dy
0
0
0
z
解 e y2的原函数不是初等函数,
1 x yz1
一定要交换积分次序.
F ( x, y)d [ z2( x,y) f ( x, y, z)dz]d
D
z1 ( x, y ) D
D : y1( x) y y2( x), a x b, X－型
得 f ( x, y, z)dv
b
dx
y2 ( x)dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
应先x对积分
1O
I
1
(1 y)dy
dx e dz 1 y (1 y z )2
1 yz x
0
0
0
1
(1
y)dy
1 y e(1 yz)2 (1
y z)dz
0
0
1
1
(1 y)dy
1 y e(1 yz)2d[(1 y z)2 ]
20
0
1 54
1y
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截面法(先二后一法)
以f ( x, y, z)为体面密度的非均匀立体的质量.
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一、在直角坐标系下计算三重积分
在直角坐标系中, 如果Hale Waihona Puke Baidu平行于坐标面的
平面的来划分 , 则 vi x jykzl . ( vi是小长方体 ). 故直角坐标系下的体积元素为
dv dxdydz
在直角坐标系下三重积分可表为
f ( x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
➢在直角坐标系下计算三重积分 ➢在柱面坐标系下计算三重积分 ➢在球面坐标系下计算三重积分 ➢三重积分的换元法 ➢小结
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若几何形体是空间有界闭区域时，三元函数 f ( x, y, z)在上的积分称为三重积分，记为：
f ( x, y, z)dv
当f ( x, y, z)) 0时， f ( x, y, z)dv的物理意义表示
截面法的一般步骤
(1)把积分区域向某轴(如z轴) 投影,
得投影区间[c1,c2 ];
(2)对z [c1,c2 ]用过z轴且平行xOy的平面去截 ,
得截面Dz; (红色部分)
z
c2
(3) 计算二重积分 f ( x, y, z)dxdy z
Dz
其结果为z的函数F (z);
c1
(4) 最后计算单积分 c2 F (z)dz.
o
x
• M(x, y,z)
r
y
•
P(r, )
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柱面坐标系中, 三坐标面分别为
z 为常数
z
与xOy平面平行的平面; r为常数
• •M(x, y,z)
以z轴为中心轴的圆柱面；
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例 化三重积分I f ( x, y, z)dxdydz为三次积分,
其中积分区域为由曲面 z x2 2 y2 及z 2 x2
所围成的闭区域.
解
由z z
x2 2 y2 得交线投影区域 2 x2
D : x2 y2 1
z z x2 2y2
1 x 1
故： 1 x2 y 1 x2
解 截面法(先二后一法)
1
zdxdydz 0 zdz dxdy
Dz
Dz {( x, y) | x y 1 z}
z
1 x yz1
1O
x
Dz
1y
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
Dz
原式= 1 z 1(1 z)2dz 1 .
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计算三重积分 zdxdydz,其中为