二重积分的计算及应用习题课1

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高数【下】二重积分------习题课南邮内部资料

y=y(x)
1 2π 3 = ∫ a (1 − cos t )3 ⋅ a(1 − cos t )dt 3 0 32 4 π 8 t a4 2π 4 8 t = ∫ 2 sin dt = a ∫0 sin udu(u = ) 3 2 3 0 2
20
∫ 1 π = ∫ 3
0
0 2 a
∫
0
y3 ( x)dx
1 1 y2 − 2
y2 − 2
应先积x
I = ∫ dy∫ 2 e
0 y
dx
O
y2 1 − 2 0 )e
2 0
1
y2 − 2
dy = ∫ e
− y 2 1 0
2
dy + ∫ y ⋅ de
y 2
2
1
=∫ e
0
1 −
y 2
2
0
dy + ye
−∫ e
0
1 −
dy = ye
在D2外部f(x,y)>0 外部 >
I3<I1<I2（也可用“≤”）。
12
2 例设f (x, y)是有界闭域D : x + y ≤ a 上的 , 连续函数则求极限lim 1 2 ∫∫ f (x, y)dxdy 。 a→0 π a D 解利用积分中值定理 1 1 f ( x, y)dxdy = 2 ⋅ f (ξ ,η)σ 2 ∫∫ πa πa D 1 = 2 ⋅ f (ξ ,η)πa2 = f (ξ ,η) ((ξ ,η) ∈ D) πa 1 ∴lim 2 ∫∫ f ( x, y)dxdy= lim f (ξ ,η) = f (0,0) a→0 a→0 π a D
25
x y ∴∫∫ ( 2 + 2 )dσ a b D

高数二重积分习题加答案

高数二重积分习题加答案用二重积分求立体的表面积二重积分习题课例1 比较I 1 = ∫∫ ( x + y ) 2 dσ 与I 2 = ∫∫ ( x + y ) 3 dσ 的大小,D D其中D 由( x 2 ) 2 + ( y 1) 2 = 2 围成 .y由重积分的性质x+y1I1 I21212xx + y =1用二重积分求立体的表面积例2 将二重积分化成二次积分I = ∫∫ f ( x , y )d xdy ,D: x + y =1 , x C y = 1,x = 0 所围所围. ,1 yD先对y 积分y =1C xI =01∫ dx ∫011 xx 1f ( x , y )d yxy = x C1 C1用二重积分求立体的表面积先对x 积分1 yI =x =1C yD1∫∫ + ∫∫D1 D21 y=1∫ dy ∫01f ( x , y )d x +y +10D2x+∫dy ∫f ( x , y )d xx = y +1 C1用二重积分求立体的表面积例3 将二次积分换序I = D: x ≤ y ≤ 2ax x 2∫0 dx ∫xya2 ax x 2f ( x , y )dy .ax = a a2 y20≤ x≤ay 2 = 2ax x 2即y + ( x a) = a又Q x ≤ a,∴x a = a y2 2222a xI=ady∫y2 2a a yf ( x , y )d x用二重积分求立体的表面积例4 将I = ∫ d y ∫ 0 0 区域边界：区域边界：边界y 2R2 Ry y 2f ( x , y )d x 变为极坐标形式 .即r =2Rsinθπ 即θ = 2x = 2 Ry y 2x=0r =2Rsinθ2R∴ I = ∫ dθ ∫0π 2 02 Rsin θf ( rcos θ , rsin θ )rdr用二重积分求立体的表面积1 x2 例5 计算∫∫ 2 dσ , 其中D由y = x, y = , x = 2 x D y 解围成. 围成. 1 D : ≤ y ≤ x , 1 ≤ x ≤ 2. x∫∫ y2 dσ = ∫1 dx∫Dx22x 1 xx y2D2dyx = ∫ 1 y222 3 dx= ( x x)dx = 9. 1 1 4x∫用二重积分求立体的表面积例6 计算∫∫ y x dσ , 其中D : 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.2 D 先去掉绝对值符号，解先去掉绝对值符号，如图∫∫Dy x2 dσ2D3D12=D +D2 1∫∫ ( x1 1y)dσ + ∫∫ ( y x )dσD3D2= ∫ dx ∫ ( x y )dy + ∫ dx ∫ 2 ( y x2 0 1 xx211211 )dy = . 15用二重积分求立体的表面积例7 证明∫a dx∫a ( x y)证b xxn 21 b f ( y)dy = (b y)n 1 f ( y)dy. n 1∫an 2∫a dx∫a ( x y)b bf ( y)dyy by= xD= ∫ dy∫ ( x y)n 2 f ( y)dxaya=∫ba1 n 1 f ( y) ( x y) dy n 1 yboabx1 b (b y)n 1 f ( y)dy. = n 1 ∫a用二重积分求立体的表面积例8 计算解1∫0 dy∫yy1ysin x dx. x∫0 dy∫y1 01 x sin x sin x dx = ∫ dx∫2 dy 0 x x x= ∫ (1 x)sin xdx= 1 sin1.用二重积分求立体的表面积x2 y2 例9 设D为圆域x 2 + y 2 ≤ R 2 , 求∫∫ 2 + 2 dxdy . a b D y解2由对称性1 y dxdy = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy 2 D2ORx∫∫ x dxdy = ∫∫D Dx2 y2 1 1 1 ∴ ∫∫ 2 + 2 dxdy = 2 + 2 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy a b 2 a b D D R 2 1 1 1 2π 1 4 1 1 = 2 + 2 ∫ dθ ∫ r rdr = πR 2 + 2 . 0 4 b 2 a a b 0用二重积分求立体的表面积例10 求半球面z = 3a x y 与旋转抛物面2 2 2z x 2 + y 2 = 2az ( a 0 ) 所围成立体的表面积 .oxy用二重积分求立体的表面积S = S1 + S 2zz =3a 2 x 2 y 2 共同的D : 2 x + y 2 = 2azS1 S2x 2 + y 2 ≤ 2a 2 即z = 0oD2ayx用二重积分求立体的表面积S1 : z = 3a 2 x 2 y 23a z z dxdy dA1 = 1 + + dxdy = 2 2 2 3a x y x y 2 2x2 + y2 S2 : z = 2a 2a z z a2 + x2 + y2 dA2 = 1 + + dxdy = dxdy x y a2 2所求面积：所求面积：A = A1 + A2 = ∫∫D3a 3a x y2 2 2dxdy + ∫∫Da2 + x2 + y2 dxdy a用二重积分求立体的表面积= 3a ∫2π 0dθ ∫2a 02a 02a 1 2π rdr + ∫ dθ ∫ a 2 + r 2 rdr 0 a 0 3a 2 r 2 1= 6π a ∫2π rdr + a 3a 2 r 2 12a∫2a 0a 2 + r 2 rdr= 3π a ∫ +1 3a2 r 20 2ad (3a 2 r 2 )πa∫a 2 + r 2 d (a 2 + r 2 )4 2 2 2 = 6 3 + 6 π a . 3 3用二重积分求立体的表面积练习题交换下列二次积分的次序: 交换下列二次积分的次序1 2y 3 3 y1. ∫ dy ∫01 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1f ( x , y )dx;2. ∫ dx ∫R 21+ 1 x 2 xf ( x , y )dy;计算下列二次积分：计算下列二次积分：二次积分3. ∫ey2dy ∫ e0yx2dx + ∫R R 2ey2dy ∫R2 y 2ex2dx;4.∫155 dx 1 dy ∫ . y ln x y用二重积分求立体的表面积练习题答案1.∫ dx ∫ x0 223 xf ( x , y )dy2 2 y y2 0 R22.∫ dy ∫01y2 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1R r2f ( x , y )dx).3. I = ∫ π dθ ∫ e2 4 0πrdr =π8(1 e4. I = ∫ dx ∫15x 15 1 dy =∫ ln xdx = 4. 1 ln x y ln x用二重积分求立体的表面积设( x )为[0D关于直线y = x对称, 则若闭区域,1]上的正值连续函数, a ( x )∫∫ f b )( σ ) ∫∫ f ( y, x)dσ1 + (x, y dy = 证明：证明：∫∫ ( x ) D+ ( y ) d Dxdy = 2 (a + b) D为常数，其中a, b为常数，D = {( x , y ) 0 ≤ x , y ≤ 1}. y a ( x ) + b ( y ) 证设I = ∫∫ d xd y y= x 1 ( x) + ( y) Dy 由区域关于直线= x的对称性得a ( y ) + b ( x ) O I = ∫∫ d xd y ( y) + ( x) D1x1 所以, 所以2 I = ∫∫ (a + b )dxdy = a + b I = ( a + b ). 2 D。

二重积分的计算习题课

y= x
x x = ∫1 (− ) 1 dx y x
2
2
x
1
o
D
1
x=2
9 = ∫1 ( x − x)dx = . 4
2 3
2
x
型区域计算可以吗? 按Y-型区域计算可以吗型区域计算可以吗
6
P155:15(2) P155:15(2)
∫∫
D
π 2 1 1− ρ 1 − x2 − y2 dxdy = ∫ 2 dθ ∫ ρ dρ 2 2 2 0 0 1+ x + y 1+ ρ
• 确定积分序
• 写出积分限
• 计算要简便 (充分利用对称性，几何意义和性质等充分利用对称性，充分利用对称性几何意义和性质等)
2
P154:2(3) P154:2(3)
e x + y d σ , 其中 D = {( x , y ) x + y ≤ 1 ∫∫
D
}.
1
0 ≤ x ≤1 解: X-型 D1：型 x − 1 ≤ y ≤ 1 − x
12
6. (10分)计算二重积分 ∫∫ r 2 sin θ 1 − r 2 sin 2θ drdθ ,
D
π 其中D = ( r ,θ ) 0 ≤ r ≤ sec θ , 0 ≤ θ ≤ . 4
(10数学二数学二) 数学二
7. (10分)计算二重积分 ∫∫ ( x + y )3 dxdy , 其中D由曲线x = 1 + y 2
二重积分复习课
1.∫∫ f ( x, y)d xdy = 极点在区域D的外部 D 极坐标系下计算极点在区域D的边界上极点在区域D的内部 y x =ψ ( y) y = ϕ ( x) y ρ = ρ2(θ) ρ = ρ(θ ) ρ = ρ(θ) d ρ=ρ (θ)

第八讲：二重积分(18题)

x y x0,
y10
3 y3 x3d
yy0x,x10
3 x3 y3d I

x y x0,
y10
I0
3 x3 y3d 0
D
例15 设 f (u) 为可微函数 , 且 f (0) = 0 , 证明 :
D
因为 1 cos(kx ky) 0 , f (x) 0
f (x) f ( y)(1 cos(kx ky)) 0
f (x) f ( y)[1 cos(kx ky)]d 0
D
原不等式成立
例17 (练习十/十二) 设 f (x) 是 [0 , 1] 上单调减少的连续函数 ,
sin
cos sin
)
1
e
s i n cos si
n
2
2
0

1 (e 1) 2
例10
计算
1x
dx
0 x3
x y
e
y x
dy
解
原积分

D
x y
e
y x
d
利用极坐标计算此积分
yx
4
,
y x3
sin cos3

s i n

原积分
1 1y
(1) dy e x2 dx
0 5y
解
(2)

D
1 1

x3 y3
d
(1) 原积分
1

, 其中 D 由
x5 y
dx e x2 dy
y
1

x2 x2e
,

二重积分习题课(简)

1
错误点：大多同学都做错了，错误点：大多同学都做错了，可能是正切函数的导数不清楚了。不清楚了。
11
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第三次作业共有2 第三次作业共有2题 P13）多元函数微分法习题课二（习题册第一本 P13）填空 1. f ( x, y )在 ( x0 , y0 ) 处有极值，则 D 处有极值， (A) f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 ) 内唯一驻点, (B) ( x0 , y0 ) 是D内唯一驻点,则必为最大值点;且 ) 内唯一驻点则必为最大值点;
1 2 1 2 −0 ≤ x + y < × 2ε = ε 2 2 x2 + y2 xy
即
( x , y ) →(0,0)
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0).
处连续。因此函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处连续。错误作法：取极限，错误作法：有的同学令 y = kx 取极限，得到
∆y →0
= lim
∆y ∆y
∆y →0
g (0, 0),
存在，因为 f x (0, 0) 和 f y (0, 0) 存在，并且
∆x → 0
lim
∆x ∆x
不存在，不存在，所以 g (0, 0) = 0.
错误：多数同学做得不好，从偏导数的形式得不到错误：多数同学做得不好，
g (0, 0) = 0
x →0, y = kx →0
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0) 从而得到结论。从而得到结论。
3
目录上页下页返回
第二节：（：（习题册第一本 P4）（2）第二节：（习题册第一本 P4）四四、设 f ( x, y ) = x − y g ( x, y ), 其中 g ( x, y ) 在点 (0, 0) 的邻域内连续。应满足什么条件，的邻域内连续。问：g ( x, y ) 应满足什么条件，使

9-3二重积分的计算(习题课)

解
积分区域由不等式给出在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆但它们围不成区域要使 2 x x 2 , 4 x 2 都有意义必须限制 x [0,2] 因此D只能在x=0
， x=2 之间
确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单
显然 r 呢？ 0 2 极点在D的边界上，所以 0 r 2 那就错了积分限如何确定不能以为极点O在区域的边界上
2
f ( x , y )dy (a 0)
2
y 2ax
a a2 y2
2
y 2ax x
x a a2 y2
原式
= 0 dy y
a
a
f ( x , y )dx
f ( x , y )dx
2a
2a
a
a2 y2
a
2a
0 dy a
2a a
2a
dy y 2 f ( x , y)dx.
二、例题分析
例. 交换下列积分顺序 2
I dx
0
2
x 2 0
f ( x, y )d y
2 2 2
dx
8 x 2 0
f ( x, y )d y
y
x2 y2 8
解: 积分域由两部分组成: 0 y 1 x 2 0 y 8 x 2 2 D1 : , D2 : 0 x2 2 x2 2 将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x y 2
三、对称性的应用例举
例. (1) D : x2 y 2 1.则
(2)
解
D
x cos yd 0.
D

二重积分的计算及应用习题课1精品文档

2a,x
D2
将积分 D分区成 D 域 1,D2
D1
D3
及D3三部 , 分
D1
: y2 2a
xa
a2 y2,
y2
0 ya;
D 2:2ax2a,ay2a;
D3:a a2y2 x2a,
0ya;
2019/10/2
8
D1
y2 :
2a

xa
0 ya;
a2 y2,
D 2:2 ya 2x2a,ay2a;
(2) f(x,y)f(x,y)时 ,
I2f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy.
D 1
D 2
2019/10/2
15
4.D 关y于 x对.称
f(x ,y)d x d yf(y,x )d x d y
D
D
5 .D 1,D 2 关 y 于 x 对 . 称
f(x,y)d x d yf(y,x)d x d y
D1 D2
o 1x
作辅助线 yx将D 分成 D1, D2 两部分
2D 2(xy)dxdy2Ddxdy
2(

21)
3
2
说明: 若不利用对称性，需分块积分以去掉绝对值符号.
2019/10/2
19
练习题
P182 题1（2）
A
2019/10/2
20
练习题
P182 题6
2019/10/2
其它情形依此类推.
2019/10/2
27
P182 题1(1) 设有空间闭区域
1 { x ,y , ( x ) |x 2 y 2 z 2 R 2 ,z 0 }
2 { ( x ,y , x ) |x 2 y 2 z 2 R 2 , x 0 ,y 0 , z 0 }

二重积分习题及答案

在第一象限部分.
y
解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分, 则
1 o 1 x
I D1 dxdy D2 dxdy
D2
1
dx
1
1
x2 dy
1 dx
1
x2
dy
0
2 3
(2) 提示:
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
1 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号.
解采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1 x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域

二重积分计算例题及过程

二重积分计算例题及过程
下面是关于二重积分的计算的例题及过程：
一、二重积分的定义及其表达式：
二重积分是指将二维区域分割成小的子区域，把函数的积分在每个子区域上做一次，然后再把这些子区域的积分结果相加，而且每个子区域的积分面积要不断减小，从而得到总积分值作为结果。

双重积分的表达式：
$$\iint f (x, y) \, dA = \iint f (x, y) \, dx dy$$
二、计算例题：
计算二重积分
$$\iint_D(x+2y) \,dxdy$$
其中,D为：$$D=[0,1] \ times [1,2]$$
三、计算过程：
（1）根据题目给出的二重积分表达式将函数分解成x和y的乘积：$$\iint_D(x+2y) \,dxdy=\int_0^1\int_1^2(x+2y)dxdy$$
（2）计算X的积分：
$$\int_0^1\int_1^2xdxdy=\int_0^1[\frac{1}{2}x^2]_1^2dy=2y-
\frac{1}{2}y^2|_1^2=2(2)-2(\frac{1}{2})=3$$
（3）计算Y的积分：
$$\int_0^1\int_1^22ydy=\int_0^1[y^2]_1^2dy=2y^2|_1^2=2(4)-(1^2)=7$$ （4）将X和Y的积分相加：$$3+7=10$$
（5）最终得出求此双重积分的结果为：$$\int_D(x+2y) \,dxdy=10$$。

二重积分求体积的例题

二重积分求体积的例题
摘要：
一、二重积分的概念与性质
1.二重积分的定义
2.二重积分的性质
二、二重积分求体积的方法
1.直接积分法
2.替换变量法
3.极坐标变换法
三、二重积分求体积的例题解析
1.例题一
2.例题二
3.例题三
正文：
二重积分是数学中的一种积分方法，用于求解空间内某一区域的体积。

它具有丰富的性质和灵活的计算方法，是数学分析中的重要内容。

首先，我们来了解二重积分的概念与性质。

二重积分是指在三个变量（x，y，z）的笛卡尔坐标系中，对两个变量（x，y）进行积分，而第三个变量（z）作为被积函数的参数。

二重积分具有以下性质：交换律、结合律、分配律、链式法则等。

接下来，我们学习二重积分求体积的方法。

常用的方法有直接积分法、替
换变量法和极坐标变换法。

直接积分法适用于被积函数较简单的二重积分；替换变量法通过引入新变量，将复杂被积函数转化为简单形式；极坐标变换法则是将笛卡尔坐标系中的积分问题转化为极坐标系中的积分问题，从而简化计算过程。

最后，我们通过例题来解析二重积分求体积的方法。

例题一：求解空间上半球体的体积；例题二：求解空间中四棱锥的体积；例题三：求解空间中曲面的体积。

这些例题涵盖了不同类型的二重积分求体积问题，有助于我们巩固所学知识并提高解题能力。

总之，二重积分是一种强大的数学工具，通过掌握其概念、性质和计算方法，我们可以解决空间体积计算中的一系列问题。

二重积分的计算方法例题及解析

二重积分的计算方法例题及解析一、利用直角坐标计算二重积分1. 例题- 计算∬_D(x + y)dσ，其中D是由直线y = x，y = x^2所围成的闭区域。

2. 解析- （1）首先确定积分区域D的范围：- 联立方程<=ft{begin{array}{l}y = x y = x^2end{array}right.，- 解得<=ft{begin{array}{l}x = 0 y = 0end{array}right.和<=ft{begin{array}{l}x = 1 y = 1end{array}right.。

- 所以在x的范围是0≤slant x≤slant1，对于每一个x，y的范围是x^2≤slant y≤slant x。

- （2）然后将二重积分化为累次积分：- ∬_D(x + y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x + y)dy。

- （3）先计算内层积分：- ∫_x^2^x(x + y)dy=∫_x^2^xxdy+∫_x^2^xydy。

- ∫_x^2^xxdy=x<=ft(y)<=ft.rve rt_x^2^x=x(x - x^2)=x^2-x^3。

- ∫_x^2^xydy=(1)/(2)y^2<=ft.rvert_x^2^x=(1)/(2)(x^2-x^4)。

- 所以∫_x^2^x(x + y)dy=x^2-x^3+(1)/(2)(x^2-x^4)=(3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4。

- （4）再计算外层积分：- ∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4)dx=(3)/(2)×(1)/(3)x^3-(1)/(4)x^4-(1)/(2)×(1)/(5)x^5<=ft.rvert_0^1。

- =(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(10 - 5 - 2)/(20)=(3)/(20)。

二重积分习题课(课堂PPT)

被积函数关于坐标变量易分离
积分域分块要少 • 确定积分序
累次积分好算为妙
图示法
• 写出积分限
( 先找两端点，后积一条线 )
不等式
充分利用对称性 • 计算要简便
应用换元公式
4
二重积分的对称性
设函数 f (x, y) 在闭区域D上连续, 区域D关于x 轴对称
y
(上下对称) D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,在 D 上
I
1
dx
0
1 f (x) f ( y) dy . 等于（A2）
x
2
1
分析: 交换积分顺序后, x , y互换
y
yx
1y
1x
Ox 1 x
I 0 d y 0 f (x) f ( y) d x 0 d x 0 f (x) f ( y) dy
2I
11
d x f (x) f (y)dy
1
dx
y
D
3x ,
x
1
所围成.
y
解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
(-1,0) D1 (1,0)
显然,在 D1 上 f (x, y) f (x, y)
在 D2 上
f (x, y) f (x, y)
I x ln(y 1 y2 )dxdy D1
v
A f (u,v)dudv
.
则.
D
f (x, y) xy A
A f (u,v)dudv
D
o
D (uv A)dudv
.
1
u2
du (uv A)dv
0
0

二重积分习题课

，积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数。
1 1x
【例1】设
f(x,y)dxdydx f(x,y)d ，y则改变其 00
D
积分次序后为
。
1x
1
(a) dy f(x,y)dx
0
0
1 1x
(b) dy f(x,y)dx 00
11
(c) dy f(x,y)dx 00
1 1y
(d) dy f(x,y)dx 00
[解] （a）显然是错的，因为后积分的上、下限不能含有变量；（b）也是错的，因为先积分的上、下限或者为常数或者后积分变量的函数，而（b）违背了；（c）也是错的，原因是改变积分次序不会改变积分域，由排除法可知（d）该入选。
二极坐标系中积分限的确定
积，又因 f(,)0.
故 f(x,y)d0 (P0,)
与假设矛盾，即知在D内有f(x,y) 0. 2. 累次积分型的命题的证明证题思路：累次积化分为重积分化为另一次序的累次证题过程中，常用到重积分对积分域的可加性，对积分变量的无关性。
再以过 x z y 向 ( (x (y X 过 , z y [O [面 a ) , ， b Y (]投 D 作 )x x y ]D )zy 作影 z/作 )作 r Y /Z X /轴 / 轴轴 Y /Z X 用轴轴射轴极的的的 D 的的线的坐 r的得直直直标 D D 直直 x y 穿直 y x , y z ,变 z 得入得得线 r 得线得线 1(线线越线 )[和化入点入入 y 穿 ,入 z x 穿 y 入穿 1 z 1 1 x 1 (1 (1 (x (z ]穿 (z y 穿 x 穿 x ))y ,和出 ,和 ,z r 范点 y 点 2 点 z)越点越点 )越 (和 ) 和和 )越越越出点出 y 围 x z2 2 出 ((出 y 出 z x zzy x 2 )2 )2 ()((x 点点 xy ,,z ,y 点 z )点点 )) 再(r过 ,) (D r)作 /Z /轴的直得线入 z1(穿 r,点 )和越出 z2(r,点 )

二重积分的计算及应用习题课1

20
练习题
P182 题6
2020/1/29
21
2020/1/29
22
二、三重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
3. 掌握确定积分限的方法图示法列不等式法 (从内到外: 面、线、点)
1 {( x, y, x) | x2 y2 z2 R2, z 0}
2 {(x, y, x) | x2 y2 z2 R2, x 0, y 0, z 0}
C 则有（）
(A) xdv 4 xdv (B) ydv 4 ydv
故
a
a a2 y2
I
dy
0
y2
f ( x, y)dx
2a
2a
2a
a
2a

0
dy
y2 f ( x, y)dx
dy
0
a
f ( x, y)dx.
a2 y2
2a
2020/1/29
9
练习题
P182 题4
证明:
a
dy
y em(a x) f ( x)dx
0
a2 y2,
D2
:
y2 2a

x

2a,
a

y

2a;
D3 : a a2 y2 x 2a,
0 y a;
2020/1/29
8
D1
:
y2 2a

x

a

二重积分的例题及解析

二重积分的例题及解析二重积分是微积分中的重要概念，用于求解平面上的面积、质量、质心等物理量。

下面将介绍一些常见的二重积分例题，并进行解析。

例题1：计算二重积分D (x+y) dA，其中D为由直线y=x和y=2x以及y=4所围成的区域。

解析：首先，我们需要确定积分的上下限。

由于D区域被直线y=x和y=2x以及y=4所围成，因此x的取值范围为2到4，而y的取值范围为x到4。

因此，我们可以将积分式写为：D (x+y) dA = ∫2^4 ∫x^4 (x+y) dy dx接下来，我们对y进行积分，得到：∫2^4 (xy + y^2/2) |x^4 dx对于这个积分式，我们先计算内层的积分：∫(xy + y^2/2) |x^4 = x(x^4) + (x^4)^2/2 - x(x^2/2) -(x^2/2)^2/2= x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8接下来，我们对x进行积分，得到：∫2^4 (x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8) dx= 1/6 x^6 + 1/16 x^9 - 1/8 x^4 - 1/32 x^5 |2^4= (1/6 * 4^6 + 1/16 * 4^9 - 1/8 * 4^4 - 1/32 * 4^5) - (1/6 * 2^6 + 1/16 * 2^9 - 1/8 * 2^4 - 1/32 * 2^5)= 138.75因此，二重积分D (x+y) dA的结果为138.75。

例题2：计算二重积分D (x^2 + y^2) dA，其中D为单位圆盘x^2 + y^2 ≤ 1。

解析：由于D为单位圆盘，即x^2 + y^2 ≤ 1，我们可以将积分式写为：D (x^2 + y^2) dA = D r^2 dA其中，r为点(x, y)到原点的距离，即r = √(x^2 + y^2)。

因此，我们可以将积分式转化为极坐标形式：D r^2 dA = D r^3 dr dθ由于D为单位圆盘，θ的取值范围为0到2π，r的取值范围为0到1。

二重积分的计算方法例题

二重积分的计算方法例题嘿，朋友们！今天咱就来唠唠二重积分的计算方法，顺便瞅瞅例题。

你说二重积分像不像个神秘的宝藏，得用对方法才能找到它的价值呀！咱先说说直角坐标系下的计算方法吧。

就好比要去一个地方，得先知道走哪条路。

这时候就得把积分区域切成小块块，然后一层一层地算。

来，看这个例题哈。

有个区域被两条直线和一个曲线围着，要求算这个区域里某个函数的二重积分。

哎呀，别头疼！咱就按部就班来。

先确定积分上下限，就像给路定个起点和终点。

然后呢，积分积起来，就像一步步往前走，最后就能找到答案啦。

还有极坐标系下的计算方法呢，这就像换了个角度看世界。

有时候直角坐标系不好使了，极坐标系就派上用场啦！把那些圆形啊、扇形啊的区域变得好处理多了。

比如说，有个例题是关于一个圆形区域的二重积分。

这时候用极坐标系，把那个圆描述得清清楚楚，积分起来也顺顺利利。

咱再想想，二重积分不就是在平面上找面积或者体积嘛。

就像我们要数清楚一片草地上有多少朵花一样，得有合适的方法呀。

计算二重积分，不就是在数学的大花园里找宝贝嘛！有时候要细心，有时候要大胆尝试。

这可不是随随便便就能搞定的事儿，但只要咱掌握了方法，就像有了钥匙，啥门都能打开。

咱学数学可不能死记硬背，得理解，得会用。

就像学骑自行车，光知道理论可不行，得上去骑一骑才知道咋回事。

二重积分也是这样，多做几道例题，多琢磨琢磨，慢慢就会啦。

总之，二重积分的计算方法就是我们探索数学奥秘的工具，例题就是我们练习的靶子。

只要我们用心去学，去感受，就一定能掌握好这个神秘又有趣的知识。

加油吧，朋友们！让我们在数学的海洋里畅游，找到属于我们自己的宝藏！。

二重积分的计算习题

变量替换法简化计算过程
变量替换法的基本思想：通过变量替换，将复杂的被积函数或积分区域转化为简单的形式，从而简化计算过程；
常用的变量替换法有极坐标替换、广义极坐标替换等；
极坐标替换法适用于被积函数中含有x^2+y^2或积分区域为圆、圆环、扇形等情况。通过极坐标替换，可将二重积分化为极坐标系下的累次积分进行计算。
பைடு நூலகம்
02 直角坐标系下二重积分计算方法
累次积分法求解步骤与实例分析
01
步骤一
02
确定积分区域D，并画出其图形；
步骤二
根据被积函数和积分区域的特点，选择适当的积分次序；
03
步骤三
04
将二重积分化为累次积分，并计算之。
实例分析
计算二重积分∫∫D xydσ，其中D 是由直线y=x，x=1及x轴所围成的闭区域。首先，确定积分区域D，并画出其图形；其次，选择先对y 积分再对x积分的次序；最后，将二重积分化为累次积分 ∫(0,1)dx∫(0,x) xydy，并计算得到结果为1/4。
二重积分的计算习
目录
• 二重积分基本概念与性质 • 直角坐标系下二重积分计算方法 • 极坐标系下二重积分计算方法 • 二重积分在几何和物理中应用 • 数值方法求解二重积分简介 • 总结回顾与拓展延伸
01 二重积分基本概念与性质
二重积分定义及物理意义
二重积分定义及物理意义
$lim_{lambda to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i) Delta sigma_i = J$
精度与步长
数值求积公式的精度取决于步长（即小矩形的边长）的大小。步长越小，精度越高，但计算量也越大。
任意区域上数值求积公式应用

高等数学二重积分习题课

典型例题
1
2y
3
3 y
【例9】改变 0 dy0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx的积分次序。
步骤：原不等式-区域图-新不等式-新积分限
解设 D1 : 0 x 2 y, 0 y 1; D2 : 0 x 3 y, 1 y 3
[ f ( x, y) g( x, y)]d f (x, y)d g( x, y)d
D
D
D
2. 可加性： D D1 D2
f (x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d
D
D1
D2
3. 区域 D的面积： d
tan d
d

4 tan d
0
2
d
1

ln | cos

|4 0
1 2
2
2 1

3 ln 2 4
【例4】计算二重积分 R2 x2 y2 dxdy . 其中D是圆周
D
x 2 y2 Rx 所围成的闭区域。
解:在极坐标系下，由于
y
D : 0 R cos ,
则在上至少存在一点的奇函数设函数在闭区域上连续dxdxdydydxdy计算二重积分其中分析首先应画出区域的图形注意到既是型区域又是型区域而无论型区域均需要把分割成两个型区域或两个型区域的和的形式
第九章重积分习题课(一)
二重积分
一、二重积分的概念
1．定义：
n
D
f (x,
y)d lim 0 i1
1,
x2 y2 4 及直线 y 0 , y x所围成的第一象限内的闭区域.

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