9.2-1利用直角坐标计算二重积分

D
为顶的曲顶柱体的体积．
z
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, y
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
a x0 b x
y 1(x)
得
f ( x, y)d
b
dx
2( x) f ( x, y)dy.
D
a
1 ( x )
总结：如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
f ( x, y)d
b
dx
2( x) f ( x, y)dy.
D
a
1 ( x )
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1 ( y )
若区域如图，则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使用积分公式
e xdx 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
1
xy
I dx e xdy
1 2
x2
1 x(e e x )dx 1 2
3e 1 e. 82
y x y x2
例 6
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy的次序.
0
0
解 积分区域如图
y 1 x
原式
如果积分区域为：c y d , 1( y) x 2( y). ［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1 ( y )
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点.
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x) 、2( x)在区间 [a,b]上连续.
得
f ( x, y)d
b
dx
2( x) f ( x, y)dy.
D
a
1 ( x )
利用直角坐标计算二重积分
二、二重积分化为二次积分（Y-区域）
D
为顶的曲顶柱体的体积．
z
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, y
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
a x0 b x
y 1(x)
得 f ( x, y)d （b 2( x) f ( x, y)dy）dx.
D
a 1 ( x )
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z f ( x, y)

y x

x

D x o x

D
sin x
x
dxd
y


0
sin x
x
dx
x
0 d
y

0 sin x dx
2
利用直角坐标计算二重积分
五、改变积分次序举例
例5
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx.
1
1
4
2
1 2
y
y
解
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x) 、2( x)在区间 [a,b]上连续.
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z f ( x, y)
D
为顶的曲顶柱体的体积．
z
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, y
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
Y=2 2
I
2
dx
1
2
xydy
x
2
[x
1
y2 2
]2x
dx

2
(2x
1

x3 2
)dx
[x2

x4 8
]12

9 8
解法二 [Y-型]
I
2
y
dy xydx
1
百度文库
1
2
[y
1
x2 2
]1y dy
Y
X=1
X=Y
1
1X 2

2
(
1
y3 2

y )dy 2
[
利用直角坐标计算二重积分
第九章 多元函数积分学 第2节(1)直角坐标计算二重积分
主讲 韩 华
利用直角坐标计算二重积分
一、二重积分化为二次积分（X-区域）
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d .
D
D1
D2
D3
D3 D1
D2
利用直角坐标计算二重积分
三、计算举例
例 1 求I xyd ,其中 D 是 x 1、
D
y x及 y 2所围成的闭区域.
解法一 [X-型]
0
x2
D

1
[
x
2
(
x x2 ) 1 ( x x4 )]dx 33 .
0
2
140
y x2
利用直角坐标计算二重积分
四、积分次序的选择举例
例 3 求I e y2d ，其中 D 是由直线 y x, y 1及
D
y 轴所围成的闭区域.
解
e y2dy 不能用初等函数计算
1
1 y
dy f ( x, y)dx.
0
0
例 7 改变积分
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy dx f ( x, y)dy的次序.
只能用 Y-型.
I
1
dy
y e y2 dx
0
0
1 ye y2dy 1 (1 e1 ).
0
2
例4 计算 sin x dxdy, 其中D 是直线 Dx 所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知,先对 x 积分不行, y
因此取D 为X – 型域 :
yx
D
:
0 0
a x0 b x y 1(x)
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z f ( x, y)
D
为顶的曲顶柱体的体积．
z f (x, y)
z
y
y 2(x)
A(x0 )
a x0 b x y 1(x)
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z f ( x, y)
y4 8

y2 4
]12

9 8
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物
D
线 y x2和 x y2所围平面闭区域.
解 两曲线的交点
x y2
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
( x2 y)dxdy
1
dx
x ( x2 y)dy