极限四则运算法则演示教学

极限四则运算法则
由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。

定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且
)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。

证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当
100δ<-<x x 时，有2
)(ε
<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当2
00δ<-<x x 时，有2
)(ε
<
-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有
ε
ε
ε
=+
<
-+-≤-+-=+-+2
2
)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f
所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。

其它情况类似可证。

注：本定理可推广到有限个函数的情形。

定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且
)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。

证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f （βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记
αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。

推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。

推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。

定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)
(lim )
(lim )()(lim
x g x f B A x g x f ==。

证明：设βα+=+=B x g A x f )(,)(（βα,为无穷小），考虑差：
)
()()(ββ
αβα+-=-++=-B B A B B A B A B A x g x f 其分子βαA B -为无穷小，分母0)(2≠→+B B B β，我们不难证明
)
(1β+B B 有界（详细过程见书上）)(ββα+-⇒
B B A B 为无穷小，记为γ，所以γ+=B
A
x g x f )()(，
B
A
x g x f =⇒)()(lim。

注：以上定理对数列亦成立。

定理4：如果)()(x x ψϕ≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，则b a ≥。

【例1】b ax b x a b ax b ax x x x x x x x x +=+=+=+→→→→00
lim lim lim )(lim 。

【例2】n
n x x n x x x x x 0]lim [lim 0
==→→。

推论1：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)(ΛΛ为一多项式，当
)()(lim 0011
1000
x f a x a x a x a x f n n n n x x =++++=--→ΛΛ。

推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，则)
()
()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→。

【例3】31151105(lim 221
-=+⨯-=+-→x x x 。

【例4】33
009070397lim 53530-=+--⨯+=+--+→x x x x x （因为03005
≠+-）。

注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。

【例5】求3
22
lim 221-+-+→x x x x x 。

解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为1≠x ，约去公因子)1(-x ，
所以 5
3
322lim 322lim 12
21=++=-+-+→→x x x x x x x x 。

【例6】求)1
3
11(
lim 31+-+-→x x x 。

解：当1
3
,11,13
++-→x x x 全没有极限，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时， 12)1)(1()2)(1(13112
23+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以 11
)1()1(2112lim )1311(
lim 22131
-=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x 。

【例7】求2
lim 2
2-→x x x 。

解：当2→x 时，02→-x ，故不能直接用定理5，又42→x ，考虑：
042
22lim
2
2
=-=-→x x x ，
∞=-⇒→2
lim
2
2x x x 。

【例8】若3)
1sin(lim 221=-++→x b
ax x x ，求a ,b 的值。

当1→x 时，1~)1sin(2
2
--x x ，且0)(lim 2
1
=++→b ax x x
10, =(1)a b b a ++=-+
222
(1)(1)(1)
1(1)(1)(1)(1)
x ax b x ax a x x a x x x x x +++-+-++==--+-+ 2212
lim 3124, 5
x x ax b a x a b ->+++==-==- 【例9】设n m b a ,,0,000≠≠为自然数，则
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧>∞
<==++++++--∞→时
当时当时当m n m n m n b a b x b x b a x a x a m m m n n n x 0
lim 001101
10ΛΛΛΛ。

证明：当∞→x 时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形：
m
m
n n m n x m m m n n n x x b x b b x a x a
a x
b x b x b a x a x a ++++++⋅=++++++-∞→--∞→ΛΛΛΛΛΛΛΛ1010110110lim lim
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>++++++⋅∞<++++++⋅=++++++⋅
=时
当时当时当m n b a m n b a m n b a 0
000000
00000
010000
00ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 【例10】求)21(
lim 222n
n n n n +++∞→ΛΛ。

解：当∞→n 时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形：
原式2
1
21lim 2)1(1lim )21(1lim 22=+=+⋅
=+++=∞→∞→∞→n n n n n n n n n n ΛΛ。

【例11】证明[][]x x
x x ,1lim
=∞→为x 的整数部分。

证明：先考虑[][]x
x x x x -=-
1，因为[]x x -是有界函数，且当∞→x 时，01→x
，所
以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得
[][][]1lim
0)1(lim 0lim =⇒=-⇒=-∞→∞→∞→x x x
x x x x x x x 。