高中数学论文：等差数列与等比数列复习小结

山西省朔州市应县四中高二数学学案（十一）

等差数列与等比数列

考纲要求

1理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

2掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。

重点、难点归纳

1数列的有关概念

数列：按照一定的次序排列的一列数。

通项公式：数列的第n项a n与n之间的函数关系如果能够用一个解析式来表示，则这个解析式就叫做这个数列的通项公式。

2数列的表示法

列举法：如a1，a2，a3，…，a n，…

图象法：用孤立的点(n，a n)来表示

解析法：即用通项公式来表示

递推法：一个数列的各项可由它的前m项的值以及与它相邻的m项之间的关系来表示

3数列的分类

有穷数列与无穷数列

有界数列与无界数列

常数列、递增数列、递减数列、摆动数列

4a n与S n的关系

S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n；a n＝S1(n＝1时)，a n＝S n－S n－1(n≥2时)。

5等差数列与等比数列概念比较

等差数列等比数列

定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差．等于

同一个常数，则这个数列就

叫做等差数列，其中的常数

叫做等差数列的公差，用字

母d表示。如果一个数列从第2项起，

每一项与它前一项的比．等于

同一个常数，则这个数列就

叫做等比数列，其中的常数

叫做等比数列的公比，用字

母q表示。

通项等差数列：a n＝a1＋(n－1)d。

a n＝a m＋(n－m)d

等比数列：a n＝a1q n－1。

a n＝a m q n－m。

中项如果a，A，b成等差数列，

那么A叫做a与b的等差中

项，并且

2

b

a

A

+

=。

如果a，G，b成等比数列，

那么G叫做a与b的等比中

项，并且ab

G±

=。

前n项和公式

等差数列{a n}前n项的和为

2

1

11

()(1)

()

2222

n

n

a a n n n d d

S na d n a n

+-

==+=+-。

Ⅰ.设数列

{}

n

a

是等差数列，其奇数项之和为奇

S

、偶数项之和为偶

S

，

那么，当项数为偶数2n时，1

,

+

=

n

n

a

a

S

S

nd

S

S＝

－

偶

奇

奇

偶

；当项数

为奇数2n＋1时，

1

1

,

n

S n

S S a

S n

+

+

-==

奇

奇偶

偶

Ⅱ.在等差数列｛

n

a｝中,有关S n的最值问题：(1)当

1

a>0,d<0时，

满足

⎩

⎨

⎧

≤

≥

+

1

m

m

a

a

的项数m使得

m

s取最大值. (2)当

1

a<0,d>0时，满

足

⎩

⎨

⎧

≥

≤

+

1

m

m

a

a

的项数m使得

m

s取最小值。在解含绝对值的数列最值

问题时,注意转化思想的应用。

Ⅲ.1

21

(21),{}

2

n

n n

s a d

s n a

n n

-

=-是以为首项,为公差的等差数列.

等比数列{a n}前n项的和为S n＝na1，(q＝1时)；S n＝

q

q

a

a

q

q

a

n

n

-

-

=

-

-

1

1

)

1(

1

1，(q≠1时)。

6等差数列与等比数列的常用性质比较

等差数列等比数列

与首末两项等距离的两项之和等与首末两项等距离的两项之积等

于首末两项之和；于首末两项之积

对于等差数列{a n}，若p＋q＝m

＋n，则a p ＋a q ＝a m＋a

n。

对于等比数列{a n}，若p＋q＝m

＋n，则a p a q＝a m a n。

项数成等差数列的等差数列的项

仍然是等差数列；

项数成等差数列的等比数列的项

仍然是等比数列；

和S2n－1＝(2n－1)a n；积T2n-1=a n2n-1

m个等差数列，它们的各对应项

之和组成一个新的等差数列；

m个等比数列，它们的各对应项

之积组成一个新的等比数列；

若对等差数列按连续m项进行分

组，则每组中m项的和所组成的

数列是等差数列。

若对等比数列按连续m项进行分

组，则每组中m项的和所组成的

数列是等比数列。

（1）正数等比数列各项的（同底）对数值，依次组成等差数列.即｛｝

为等比数列且（i=1,2……,n,……）｛｝

(且 )为等差数列；若定义＝

，则｛｝亦为等差数列.

（2）取一个不等于1的正数为底数，则以等差数列各项为指数的方幂

依次组成等比数列.即设a>0且a≠1，则｛｝为等差数列

｛｝为等比数列.

（3）｛｝既是等差数列，又是等比数列｛｝是非零常

数列.

学法探秘

1对数列的理解

用函数的观点理解数列

数列是定义在自然数集或其有限子集上的函数。数列问题本质上就是

函数问题，所以要学会用函数观点看数列问题。

a.对于等差数列，∵a n=a1+（n－1）d=dn+（a1－d），当d≠0时，

a n是n的一次函数，对应的点（n，a n）是位于直线上的若干个点.当d

＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数