2019年北京市人大附中高考数学模拟试卷(理科)(一)(3月份)

2019年北京市人大附中高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．）

1．（5分）设集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0}

2．（5分）已知i为虚数单位，复数z＝，则z3＝（）

A．i B．﹣i C．1D．﹣1

3．（5分）命题“∀x∈[0，2]，x2﹣2x≤0”的否定是（）

A．∀x∈[0，2]，x2﹣2x＞0B．∃x0∈[0，2]，x02﹣2x0≤0

C．∀x∉[0，2]，x2﹣2x＞0D．∃x0∈[0，2]，x02﹣2x0＞0

4．（5分）f（x）是R上的奇函数，且f（x）＝，则f（﹣）＝（）A．B．C．1D．﹣1

5．（5分）已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为（）

A．﹣＝1B．﹣y2＝1

C．﹣＝1D．﹣＝1

6．（5分）两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A．B．C．D．

7．（5分）中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？

如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x＝5，y＝2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（）

A．y＜x B．y≤x C．x≤y D．x＝y

8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体

的外接球表面积为（）

A．B．C．16πD．25π

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。）

9．（5分）双曲线﹣y2＝1的焦距是，渐近线方程是．

10．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是．

11．（5分）已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝1，则直线l截圆C所得的

弦长是．

12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）＝k有两个不同零点，则

k的取值范围是．

13．（5分）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为．

14．（5分）设W是由一平面内的n（n≥3）个向量组成的集合．若，且的模不小于W中除外的所有向量和的模．则称是W的极大向量．有下列命题：

①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；

②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使

得中的每个元素都是极大向量；

③若中的每个元素都是极大向量，且

W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．

其中真命题的序号是．

三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（13分）已知．

（I）求的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

16．（13分）某车险的基本保费为a（单位：元），继续购买车险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险

次数

01234≥5

保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a 随机调查了该险种的1000名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

出险次数01234≥5频数400270200804010（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P（A）的估计值；

（Ⅱ）某公司有三辆汽车，基本保费均为a，根据随机调查表的出险情况，记X为三辆车中一年内出险的车辆个数，写出X的分布列；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．

17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC和△P AC都是正三角形，AC＝2，E、F 分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D，平面P AC⊥平面ABC．

（Ⅰ）证明：EF⊥ED；

（Ⅱ）求点F到平面P AB的距离．

18．（13分）已知函数f（x）＝e x﹣a（x+1）．

（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为0，求a的值；

（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；

（Ⅲ）求证：当a＝0时，曲线y＝f（x）（x＞0）总在曲线y＝2+lnx的上方．19．（14分）已知⊙O：x2+y2＝4和椭圆C：x2+2y2＝4，F是椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率和点F的坐标；

（Ⅱ）点P在椭圆C上，过P作x轴的垂线，交⊙O于点Q（P，Q不重合），l是过点Q 的⊙O的切线．圆F的圆心为点F，半径长为|PF|．试判断直线l与⊙F的位置关系，并

证明你的结论．

20．（14分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥2）满足：a k＜1（k＝1，2，…，n）．记A n的前k项和为S k，并规定S0＝0．定义集合E n＝{k∈N*，k≤n|S k＞S j，j＝0，1，…，k﹣1}．（Ⅰ）对数列A5：﹣0.3，0.7，﹣0.1，0.9，0.1，求集合E5；

（Ⅱ）若集合E n＝{k1，k2，…，k m}（m＞1，k1＜k2＜…＜k m），证明：＜1（i＝1，2，…，m﹣1）；

（Ⅲ）给定正整数C．对所有满足S n＞C的数列A n，求集合E n的元素个数的最小值．